Jan Pyrzowski i Justyna Signerska. Termodynamika multifraktali

Transkrypt

1 Jan Pyrzowski i Justyna Signerska Termodynamika multifraktali 1

2 Prawdopodobienstwo w teorii uk ladów dynamicznych Empiryczna definicja prawdopodobieństwa: R - liczba wszystkich roz lacznych zdarzeń, które mog a być wynikami eksperymentu n i n = H i -relatywna czȩstość wystȩpowania zdarzenia i w ci agu n niezależnych eksperymentów lim n H i = p i - prawdopodobienstwo obserwacji zdarzenia i W uk ladach chaotycznych: x n+1 = f(x n ) µ n (A)-prawdopodobieństwo znalezienia n-tej iteracji x n odwzorowania f w zbiorze A: µ n (A) = (ρ n -gȩstość prawdopodobieństwa) A ρ n(x)dx, n 0 µ n+1 (A) = µ n (f 1 (A)) (1) µ n+1 (A) = µ n (A) (2) Miarȩ probabilistyczn a µ n spe lniaj ac a warunki (1) i (2) nazywamy miar a niezmiennicz a, a odpowiadaj ac a jej gȩstość ρ n gȩstości a niezmiennicz a. 2

3 A A µ(a) = µ(f 1 (A)) (3) A ρ(x)dx = f 1 (A) ρ(x)dx (4) Wartość oczekiwana obserwabli Q: Q = X ρ(x)q(x)dx Q = Q(x)dµ(x) X Wartości oczekiwane obserwabli s a niezmiennicze wzglȩdem odwzorowania f: Q = X Q(x)dµ(x) = Q(x)dµ(f 1 (x)) = X = X Q(f(x))dµ(x) = Q f (5) Średnia czasowa obserwabli Q wzglȩdem ustalonej trajektorii: Q = lim N 1 N N 1 n=0 Q(x n ) 3

4 Ergodyczność Mówimy, że odwzorowanie f : X X zachowuj ace miarȩ na przestrzeni probabilistycznej (X, β, µ) jest ergodyczne, jeśli wszystkie zbiory f - niezmiennicze s a miary 0 lub 1. Twierdzenie ergodyczne (Birkhoff): Jeśli odwzorowanie f : X X jest ergodyczne oraz µ jest miar a niezmiennicz a, to: Q = Q µ-prawie wszȩdzie. (6) 4

5 Fraktale Iterated function system (IFS) (X, d) - zwarta przestrzeń metryczna {w i : X X i = 1,2,...N} - uk lad kontrakcji takich, że w i (X) = X Liść Barnsley a : T i (x, y) = (a 11 x + a 12 y + b 1, a 21 x + a 22 y + b 2 ), i 1,2,3,4 5

6 Samopodobieństwo (self-similarity): Zwarta przestrzeń topologiczna X jest samopodobna, jeżeli istnieje skończony zbiór niesurjektywnych homeomorfizmów {f s : X X} s S, takich, że: X = s S f s (X) 6

7 Wymiar fraktalny (box dimension): D(0) = lim ε 0 ln r(ε) ln ε, gdzie: r(ε)-liczba obiektów ( pude lek ) o liniowym rozmiarze ε, którymi możemy pokryć badany obiekt Wymiar Hausdorffa: Zbiór fraktalny A pokrywamy zbiorami σ k o średnicy ε k, gdzie ε k < ε. Dla β > 0 definiujemy: m(β, ε) := inf {σ k } k (ε k ) β Istnieje β 0 takie, że: { ε 0 m(β, ε) 0, dla β > β0 ; ε 0 m(β, ε), dla β < β 0. β 0 nazywamy wymiarem Hausdorffa D H zbioru A: D H = β 0 7

8 Dwuskalowy zbiór Cantora : a β aβ 0 2 = 1 8

9 Multifraktale... 9

10

11 Informacja Shannona Ω-zbiór N zdarzeń elementarnych ω o równym prawdopodobieństwie p i -prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia i w zbiorze R roz l acznych zdarzeń i = 1,2,..., R: p i = N i N, gdzie N = R N i (7) lnn - liczba bitowa potrzebna, aby wybrać ustalone zdarzenie ω ze zbioru Ω b i -liczba bitowa potrzebna, aby wybrać podzbiór (zdarzenia) i Ω b i + ln N i = ln N (8) b i = ln p i (9) 10

12 b i = I(p) = R p i ln p i -informacja Shannona S(p) = I(p) -entropia Shannona (funkcje rozk ladu p) W lasności funkcji I(p): I(p) przyjmuje maksymaln a wartość 0 dla rozk ladu p i = δ ij I(p) przyjmuje minimaln a wartość ln R dla rozk ladu jednostajnego p i = 1 R I(p) jest wypuk l a funkcj a rozk ladu 11

13 Aksjomaty Khinchin a I. I(p) = I(p 1,..., p R ) II. I( 1 R, 1 R,..., 1 R ) I(p) III. I(p 1,..., p R ) = I(p 1,..., p R,0) Jeśli system (Ω, p) ze zdarzeniami postaci (i, j) jest z lożeniem systemów (Ω I, p I ) i (Ω II, p II ), w których wyróżniamy odpowiednio zdarzenia i i j, to zachodzi: IV. I(p) = I(p I ) + i p I i I(P i), gdzie: P(j i)-prawdopodobieństwo warunkowe, że Ω II jest w stanie j, jeśli Ω I jest w stanie i p i,j = P(j i)p I i, I(P i) = j P(j i)ln P(j i) - informacja warunkowa rozk ladu P(j i) prawdopodobieństwa zdarzeń j przy ustalonym zdarzeniu i. 12

14 Inne miary informacji Informacja Rényi ego I β (p) = 1 β 1 ln r (p i ) β, (10) gdzie: - parametr β R - r - liczba zdarzeń i, dla których p i 0. 13

15 W lasności funkcji I β (p) w zależności od parametru β : 1. β = 0 I 0 (p) = ln r I 0 (p) wzrasta logarytmicznie wraz z liczb a niepustych zdarzeń i 2. β = 1 podstawiaj ac ε = β 1 otrzymujemy: r p 1+ε i = r p i exp(εln p i ) = r p i (1 + εln p i ) = 1 + ε r p i ln p i, a st ad: lim I 1 1+ε(p) = lim ε 0 ε 0 ε ln(1 + ε czyli: r p i ln p i ) = r p i ln p i, lim I β(p) = I(p) (11) β 1 14

16 Zasada maksymalnej entropii Mi σ -wartość σ-obserwabli dla i-tego mikrostanu Warunki dla wartości oczekiwanych tych obserwabli: M σ = R p i M σ i Warunek dla normalizacji rozk ladu: R p i = 1 Zasada maksymalnej entropii (minimalnej informacji): δi(p) = 0 15

17 Zatem: δi(p) = R (1 + ln p i )δp i = 0 Dla nieskończenie ma lych wariacji (?) δp i zachodzi: R R M σ i δp i = 0 (12) δp i = 0 (13) Uwzglȩdniaj ac powyższe warunki otrzymujemy: R p i Ψ + (ln β σ Mi σ )δp i = 0, σ gdzie β σ i Ψ s a mnożnikami Lagrange a odpowiednio dla warunków (12) i (13). Ponieważ δp i mog a przyjmować dowolne wartości, zasadȩ maksimum entropii spe lnia rozk lad o postaci: P i = exp(ψ σ β σ M σ i ) (14) Rozk lad taki nazywamy rozk ladem kanonicznym (Gibbs a ) 16

18 Entropia rozk ladu kanonicznego (14): S = Ψ + σ β σ M σ (15) Ψ nie jest niezależnym parametrem. Warunek normalizacji rozkladu: daje R i P i = 1, Ψ = ln Z, gdzie: Z = R i exp( σ to tzw. funkcja podzia lu. β σ M σ i ) (16) 17

19 Transformacja Legendre a Maj ac wypuk l a lub wklȩs l a funkcjȩ F(x), oznaczamy: df(x) dx = y (17) y(x) jest monotoniczna; definiujemy funkcjȩ L(y): L(y) = F(x) + xy Otrzymujemy: dl dy = df dx dx dy + ydx dy + x Korzystaj ac z (17) uzyskujemy: dl(y) dy = x 18

20 Za lóżmy, że mamy tylko jeden warunek typu (12). Różniczkuj ac: S = Ψ + βm po M, otrzymujemy: ds dm = dψ dβ dβ dm + M dβ dm + β. (18) Z definicji funkcji podzia lu (16) wynika: dψ dβ = M, co po podstawieniu do (18) daje: ds dm = β Powyższe roważania latwo uogólnic dla wiȩkszej liczby warunków typu (12): Ψ(β) + S(M) = σ β σ M σ M σ = Ψ β σ β σ = S M σ 19

21 Rozk lady eskortowe Za lóżmy, że mamy dowolny rozk lad p. Zdefiniujmy transformacjȩ: p i pβ i Ri p β i β R (19) Wykorzystuj ac zależność: p i = exp( b i ), możemy zapisać (19) w postaci analogicznej do rozk ladu kanonicznego (14): gdzie: exp( b i ) exp(ψ βb i ), Ψ = ln Z Z = Mamy również: R i exp( βb i ) = R i p β i. (20) I β (p) = 1 β 1 ln r p β i = 1 Ψ(β). (21) β 1 20

22 Multifraktale Za lóżmy że mamy miarȩ probabilistyczn a µ na fraktalnym nośniku w d-wymiarowej przestrzeni fazowej Ω. R ε d - liczba d-wymiarowych sześcianów o boku ε 0 pokrywaj acych Ω. r-liczba sześcianów o niezerowym prawdopodobieństwie. p i - miara µ i-tego sześcianu o środku w punkcie x, i = 1,2,..., r Zdefiniujmy: α i (ε) α(ε, x) = ln p i ln ε - wskaźnik osobliwości (22) α(x) = lim ε 0 α(ε, x) - wymiar punktowy Fraktal nazywamy multifraktalem jeżeli α(x) nie jest sta le. 21

23 Korzystaj ac z (22) oraz p i = exp( b i ), mamy: b i = α i (ε)ln ε. (23) Z (21) otrzymujemy, że rozk lady eskortowe (19) maj a postać : gdzie: Ψ(β) = ln P i = exp(ψ βb i ), r exp( βb i ) = (β 1)I β (p). Funkcja podzia lu dana jest wzorem: Z(β) = r p β i = r exp( βb i ) = exp[ Ψ(β)], a informacjȩ Rényi ego można wyrazić jako: I β (p) = 1 β 1 ln Z(β). 22

24 Wymiary Rényi ego D(β) = lim ε 0 I β (p) ln ε = lim ε 0 Zatem dla ε 0: a st ad otrzymujemy: Z(β) ε (β 1)D(β), 1 1 r ln ε(β 1) ln p β i (24) dla β = 0 D(0)- box dimension dla β 1 1 D(1) = lim ε 0 ln ε r p i ln p i = 1 = lim ε 0 ln ε = lim 1 I(p) = α(x) ε 0 ln ε D(1)-wymiar informacji 23

25 dla β = 2 D(2)-wymiar korelacji D(+ ) D( ) W laściwości wymiaru Rényi ego 1. D(β) 0 2. D(β ) D(β) dla β > β 24

26 25

27 Uogólniony wymiar Renyi ego {σ 1, σ 2,...σ r }-pokrycie multifraktala roz l acznymi zbiorami o różnych kszta ltach i średnicach l i < l, i 1,2,..., r p i -miara probabilistyczna zbioru σ i Uogólnion a funkcjȩ podzia lu definujemy jako: Z(β, τ) = inf r {σ} (p β i /lτ i ), dla β 1, τ 0; sup r {σ} (p β i /lτ i ), dla β > 1, τ > 0. Istnieje τ 0 (β) = (β 1)D(β) takie, że: lim Z(β, τ 0) O(1) l 0 D(β) nazywamy uogólnionym wymiarem Renyi ego. 26

28 Spektrum osobliwości f(α) Oznaczaj ac V = ln(ε), granicȩ V nazywać bȩdziemy granic a termodynamiczn a. W granicy termodynamicznej wyrażenie na energiȩ swobodn a Ψ (20) zastȩpujemy przez: αmax Ψ = lim ln exp( βαv )γ(α)dα. V α min Zak ladaj ac że γ(α) ε f(α) otrzymujemy: αmax Ψ = lim ln exp([f(α) βα]v )dα. V α min Niech teraz α = α(β) oznacza wartość α, dla której wyrażenie f(α) βα osi aga maksimum. f α α= α = β 2 f α 2 α= α < 0; 27

29 Mamy wtedy: Ψ [β α f( α)]v (25) Korzystaj ac z zależności (15) oraz (23) mamy: Ψ = β αv S (26) Porównuj ac (25) i (26) otrzymujemy: lim V S V = f( α) Natomiast z (24) i (21) otrzymujemy: lim V Ψ V = τ(β) τ(β) = (β 1)D(β) 28

30 Wielkości f( α) i τ(β) powi azane s a transformacj a Legendre a w granicy termodynamicznej podobnie jak S i Ψ dla skończonych wartości V. S(b) = βb Ψ(β) Analogicznie: dψ dβ = b ds db = β f( α) = β α τ(β) (27) dτ dβ = α df d α = β (28) Oznaczaj ac α(β) = α możemy przedstawic (28) w postaci: α(β) = D(β) + (β 1)D (β) f(α(β)) = D(β) + β(β 1)D (β) 29

31 Daje to w szczególności: f(α(0)) = D(0) = α(0) + D (0) f(α(1)) = D(1) = α(1) Można również pokazać: α min = D(+ ) α max = D( ) 30

32 31

33 32

34 33

35 Hiperboliczność W s 1 (x) = {y : lim n n ln fn (x) f n (y) < 0} W u 1 (x) = {y : lim n n ln fn (x) f n (y) < 0} 34

36 Odwzorowanie Ulam a: x 1 2x 2 ρ(x) = x [ 1,1] 1 π 1 x 2 35

37 Styczności homokliniczne w odwzorowaniu Henon a 36

38 Odwzorowanie Henon a: 37

39 Bibliografia: 1. Beck S., Schlögl F., Thermodynamics of chaotic systems,cambridge University Press (1993) 2. Eckmann JP, Ruelle D., Ergodic theory of chaos and strange attractors,rev. Mod. Phys. 57, (1985) 3. Jensen et al., Scaling structure and thermodynamics of strange sets,phys. Rev. A 36, (1987) 4. Halsey et al., Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets,phys. Rev. A 33, (1986) 5. Eckmann JP, Procaccia I, Fluctuations of dynamical scaling indices in nonlinear systems,phys. Rev. A 34, (1986) 6. Gunaratne GH, Procaccia I, Organization of chaos,phys. Rev. Lett. 59, (1987) 7. Grebogi C, Ott E, Yorke JA,, Unstable periodic orbits and the dimensions of multifractal chaotic attractors,phys. Rev. A 37, (1988) 8. Ott E., Chaos w uk ladach dynamicznych,wnt (1994) 38