Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu."

Mikołaj Andrzejewski
6 lat temu
Przeglądów:

1 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 1/1 Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu. Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej, Politechnika Gdańska

2 Liczba obrotu: definicja i własności II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 2/1

3 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 3/1 Odwzorowanie okręgu Niech S 1 R/Z i π : R S 1 będzie naturalną projekcją. Uwaga Jeżeli odwzorowanie okręgu ϕ : S 1 S 1 jest ciagłe, to istnieje ciagłe odwzorowanie f : R R takie, że poniższy diagram jest przemienny: R f R π π S 1 ϕ S 1 Wówczas f nazywamy podniesieniem ϕ.

4 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 4/1 Stopień odwzorowania okręgu Uwaga Jeśli f : R R jest podniesieniem ϕ do R to spełniony jest warunek: ϕ(z) = e 2πi f(x) dla z = e 2πix, x R. Podniesienie f jest wyznaczone jednoznacznie z dokładnościa do przesunięcia o liczbę całkowita: f(x) = f(x) + k, k Z. Istnieje stała d taka, że f(x + 1) = f(x) + d dla wszystkich x R. d nazywamy stopniem odwzorowania ϕ (stopień odwzorowania nie zależy od wyboru podniesienia f ).

5 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 5/1 Podniesienie homeomorfizmu okręgu Uwaga Jeżeli ϕ : S 1 S 1 jest homeomorfizmem, to podniesienie f : R R jest monotonicznie rosnac a funkcja spełniajac a f(x + 1) = f(x) + 1, x R (1) lub malejac a o analogicznej własności f(x + 1) = f(x) 1, x R, (2) co oznacza, że homeomorfizm okręgu jest zawsze stopnia 1 lub 1. Definicja Mówimy, że homeomorfizm okręgu ϕ : S 1 S 1 zachowuje orientację, jeśli jego podniesienie f spełnia (1). W przeciwnym wypadku (tj. gdy zachodzi (2)) mówimy, że ϕ zmienia orientację.

6 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 6/1 Liczba obrotu Twierdzenie Niech ϕ : S 1 S 1 będzie homeomorfizmem i f : R R będzie podniesieniem ϕ. Dla każdego x 0 R granica lim n 1 n f n (x 0 ) = (3) istnieje i nie zależy od wyboru x 0. Jest ona liczba wymierna wtedy i tylko, gdy ϕ ma orbitę periodyczna. Definicja Liczbę nazywamy liczba obrotu odwzorowania f. Liczba obrotu homeomorfizmu ϕ : S 1 S 1 nazywamy liczbę [0, 1) określona jako = k obrotu podniesień f k : R R. mod 1, gdzie k sa liczbami

7 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 7/1 Własności liczby obrotu Twierdzenie Jeśli homeomorfizm ψ : S 1 S 1 zachowuje orientację, to (ψ 1 ϕψ) = (ϕ). Fakt Niech ϕ : S 1 S 1 będzie homeomorfizmem zachowujacym orientację takim, że Q. Wówczas wszystkie orbity periodyczne maja ten sam okres. Twierdzenie Liczba obrotu ( ) jest ciagła w topologii C 0.

8 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 8/1 Własności liczby obrotu Niech ϕ 0, ϕ 1 : S 1 S 1 będa homeomorfizmami zachowujacymi orientację. Określmy homotopię pomiędzy ϕ 1 i ϕ 2 jako ϕ t = tϕ 0+(1 t)ϕ 1 tϕ 0 +(1 t)ϕ 1, t [0, 1]. Niech f 0 i f 1 będa podniesieniami ϕ 0 i ϕ 1 odpowiednio, uzyskanymi poprzez podniesienie tej homotopii do R. Definicja Powiemy, że ϕ 0 ϕ 1, jeśli f 0 (x) < f 1 (x) dla każdego x R. Twierdzenie Liczba obrotu ϕ( ) jest monotoniczna: jeśli ϕ 1 ϕ 2, to (ϕ 1 ) (ϕ 2 ).

9 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 9/1 Monotoniczność liczby obrotu Twierdzenie Jeśli ϕ 1 ϕ 2 oraz (ϕ 1 ) R \ Q, to (ϕ 1 ) < (ϕ 2 ). Twierdzenie Niech ϕ : S 1 S 1 będzie homeomorfizmem zachowujacym orientację o wymiernej liczbie obrotu (ϕ) = p/q, lecz posiadajacym również punkty nieokresowe. Wtedy wszystkie dostatecznie małe perturbacje ϕ spełniajace ϕ ϕ lub wszystkie dostatecznie małe perturbacje ϕ takie, że ϕ ϕ maja liczbę obrotu (ϕ) = p/q.

10 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 10/1 Diabelskie schody Definicja Monotoniczna funkcję ciagł a F : [0, 1] R nazywamy diabelskimi schodami, jeżeli istnieje rodzina {I α } α A rozłacznych otwartych podprzedziałów odcinka [0, 1], których suma jest gęsta w [0, 1] i na których funkcja F przyjmuje stałe wartości, różne dla α 1 = α 2.

11 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 11/1 Monotonicznośc liczby obrotu - c.d. Twierdzenie Niech { t} t [0,1] będzie monotoniczna ciagła rodzina homeomorfizmów S 1 zachowujacych orientację taka, że przyporzadkowanie : t (ϕ t ) nie jest stałe. Jeśli istnieje zbiór gęsty A Q taki, że żadne z odwzorowań ϕ t nie jest topologicznie sprzężone z obrotem R α dla α A, to odwzorowanie ( ) tworzy diabelskie schody.

12 Klasyfikacja Poincare go II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 12/1

13 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 13/1 Wymierna liczba obrotu Twierdzenie Niech ϕ : S 1 S 1 będzie homeomorfizmem zachowujacym orientację o wymiernej liczbie obrotu (ϕ) = p/q. Wówczas istnieja dwa możliwe rodzaje orbit nieokresowych odwzorowania ϕ: jeśli ϕ ma dokładnie jedna orbitę okresowa, to każdy inny punkt jest heterokliczny względem odwzorowania ϕ q do dwóch punktów na orbicie periodycznej, różnych jeśli orbita periodyczna nie jest jednopunktowa, jeśli ϕ ma więcej orbit okresowych, to każdy punkt nieperiodyczny jest heterokliniczny pod działaniem ϕ q do dwóch punktów na różnych orbitach okresowych.

14 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 14/1 Niewymierna liczba obrotu Twierdzenie [Poincaré] Niech homeomorfizm ϕ : S 1 S 1 zachowujacy orientację ma niewymierna liczbę obrotu. Wówczas: jeśli ϕ jest tranzytywne, to jest sprzężone z obrotem R (ϕ), jeśli ϕ nie jest tranzytywne, to jest semisprzężone z obrotem R (ϕ) za pomoca monotonicznego ciagłego nieodwracalnego odwzorowania H : S 1 S 1.

15 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 15/1 Typy orbit a liczba obrotu wymierna liczba obrotu = p/q Q I. orbity periodyczne o tym samym okresie równym q i uporzadkowane w ten sam sposób jak orbity obrotu R II. orbity homokliniczne do danej orbity okresowej III. orbity heterokliniczne do dwóch różnych orbit okresowych

16 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 16/1 Typy orbit a liczba obrotu niewymierna liczba obrotu = α R \ Q I. orbity gęste w S 1 i uporzadkowane w ten sam sposób jak orbity obrotu R II. orbity gęste w zbiorze Cantora III. orbity homokliniczne do zbioru Cantora

17 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 17/1 Homeomorfizm odwracajacy orientację Twierdzenie Niech ϕ : S 1 S 1 będzie homeomorfizmem odwracajacym orientację. Wówczas ϕ ma dokładnie dwa punkty stałe i liczbę obrotu równa 0.

18 II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 18/1 Bibliografia 1. Hasselblatt, B., Katok, A., A First Course in Dynamics, Cambridge University Press, Katok, A., Hasselblatt, B., Mendoza, L., Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge University Press, Misiurewicz, M., Rotation Theory. 4. Szlenk, W., An Introduction to the Theory of Smooth Dynamical Systems, PWN, Warszawa 1984.

Podobne dokumenty

Podkowa Smale a jako klasyk chaosu

IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 1/? Podkowa Smale a jako klasyk chaosu Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej, Politechnika Gdańska Konstrukcja odwzorowania