L1: Zadania z rachunku wektorowego i macierzowego

Transkrypt

1 L: Zadaia z rachuku wektorowego i macierzowego. Zadeklarować w Matlabie podae poiżej cztery macierze i trzy wektory. Proszę sprawdzić, które z poiższych działań da się wykoać? Jeżeli ie, uzasadić, dlaczego, jeżeli tak, ziterpretować wyik A =,,, B = C = D = 0 0 a = [ ], b =, c = [ 3] 3 A+ B A+ C B + D - B A D a A b T B D c A C B - - T ( B D) -. Proszę obliczyć poiższe wyzacziki 0 3 0,, 0, Proszę dokoać aalizy liczby rozwiązań układów rówań stosując odpowiedie twierdzeia. Jeżeli rozwiązaia istieją, obliczyć je posługując się odpowiedim poleceiem w Matlabie. Układy prostokąte mające rozwiązaia doprowadzić do układów kwadratowych i rozwiązać.

2 3 x 5 x, 0 y 8 3 y = 4 = 3 z 5 x x 0 3 4, y y = = 5 z 4. Proszę zadeklarować (o ile ie są zadeklarowae) w programie Matlab macierze A, B, C i D oraz wektory a, b i c z zadaia r. Dodatkowo wygeerować losowo macierz E o rozmiarze 0x5 złożoą z liczb całkowitych z zakresu od - do 7. Zapisać w Matlabie składię poleceń realizujących automatyczie Iloczy skalary a i c Obliczeie długości wektora b Odwróceie macierzy A Traspozycję macierzy C Obliczeie wyzaczika macierzy C Rozwiązaie układu rówań A x = c T Rozwiązaie układu rówań B x = b Podiesieie współczyików macierzy A do potęg określoych poprzez odpowiadające im współczyiki macierzy C Podiesieie współczyików macierzy A do potęgi 3ciej Dodaie odpowiadających sobie wyrazów macierzy A i C Możeie odpowiadających sobie wyrazów macierzy A i C Usuięcie z macierzy D trzeciej kolumy Dodaie do macierzy B trzeciej kolumy w postaci wektora b Dodaie do pierwszego wiersza macierzy B dowolej kombiacji pozostałych wierszy Wybór z macierzy E wszystkich kolum o umerach podzielych przez 5 Wyzerowaie ieparzystych wierszy macierzy E Zamiaę miejscami drugiego wiersza i pierwszej kolumy macierzy C Odjęcie od macierzy A macierzy jedostkowej Obliczeie średiej wszystkich elemetów macierzy E Obliczeie maksymalego wyrazu macierzy E Obliczeie miimalego, co do modułu, wyrazu macierzy E Obliczeie maksymalych elemetów w poszczególych wierszach macierzy E Posortowaie elemetów macierzy E względem trzeciego wiersza. L/L: Zadaia z grafiki Ćwiczeie r Narysować wykresy (za pomocą fukcji "plot") trzech podstawowych fukcji trygoometryczych (sius, cosius, tages) w trzech odrębych układach współrzędych, ale w jedym okie graficzym. Wykresy fukcji sius i cosius powiy się zaleźć w górym wierszu, a w dolym wierszu sam wykres fukcji tages - wartości tej fukcji 8 8 a b, i mają być z przedziału [ ]. Wykresy fukcji mają być widocze w przedziale [ ] mają wyikać z podziału tego przedziału a rówych części. Wykresy mają być rysowae

3 różymi kolorami,, kreską o grubości = pukty wykresów mają być ieozakowae. Osie oraz wykresy mają być podpisae (pogrubioa czcioka TimesNewRoma, wielkość czcioki = 5, kolor czcioki jak kolor wykresu). Na wykresie ma być ustawioa legeda oraz siatka. Poiżej pokazao przykładową postać okieka graficzego - rezultatu działaia tego programu dla a = -7; b = 9; = 000; Wskazówki do wykoaia programu - proszę otworzyć owy plik edytora Matlabu, - proszę pozamykać poprzedie wykresy, - proszę zdefiiować trzy wielkości dae, w postaci zmieych a, b oraz, - proszę obliczyć wartość skoku potrzebego do geeracji wektora argumetów "x" wyikającą z podziału przedziału [ a b] a rówych części, - proszę wygeerować wektor "x" za pomocą operatora zakresu, oraz trzy wektory "y", "y" oraz "y3", odpowiadające zestawom wartości trzech fukcji trygoometryczych, proszę utworzyć pierwszy podwykres do arysowaia fukcji sius, arysować wykres sius za pomocą fukcji plot, ustawić parametry graficze wykresu, zatrzymać wykres fukcją "hold" oraz arysować siatkę fukcją "grid", a astępie dopasować osie układu do wykresu za pomocą fukcji "axis", zatytułować wykres, podpisać osie, sformatować teksty tytułu i opis osi do żądaej wielkości, czcioki i koloru, oraz umieścić legedę; formatowaie tekstu tytułu oraz opisów dwóch osi x i y może odbyć się za pomocą jedego wywołaia fukcji "set" - wystarczy podać jako pierwszy jej argumet podać wektor uchwytów do trzech obiektów graficzych, p. set([t t t3], - proszę utworzyć dwa astępe podwykresy i powtórzyć czyości wymieioe w poprzedim podpukcie, - proszę zapisać i uruchomić program, astępie skotrolować poprawość jego wykoaia i poprawić ewetuale błędy składiowe w pliku p. kierując się iformacją o błędzie i miejscem jego wystąpieia w pliku wyświetloymi w OP. Ćwiczeie r Narysować za pomocą fukcji "plot" okrąg o wzorze x + y = r. Wartość promieia r staowi daą do programu. Wskazówka: ależy wygeerować wektor "x" w odpowiedim przedziale wyikającym z położeia okręgu, a astępie wektor "y" z przekształcoego powyższego wzoru. Będzie to zbiór wartości p. górej części okręgu (ad osią "y"). Przy obliczeiach ależy pamiętać o odpowiedim zapisie działań wektorowych (p. otacja tablicowa "z kropką"). Druga część okręgu zajdująca się pod osią "y" powia być dorysowaa za pomocą ujemych wartości

4 wektora "y". Zakresy osi ależy wyrówać za pomocą fukcji "axis", tak, by wykres przedstawiał okrąg, a ie elipsę. Ćwiczeie r 3 Uogólić program z ćwiczeia r dla rysowaia okręgu o środku w pukcie (, ) ( ) ( ) 0 0 x x + y y = r ) Dae do programu: x0, y0 oraz r. x y (wzór: Wskazówka: ależy stworzyć dwa iezależe zestawy wartości fukcji obrazujących górą i dolą część okręgu, wyikających z odpowiediego przekształceia powyższego wzoru. 0 0 Ćwiczeie r 4 Rozwiązać poprzedie dwa ćwiczeia stosując współrzęde bieguowe x = x0 + r cos( α). y = y0 + r si( α) Ćwiczeie r 5 Narysować za pomocą fukcji "plot" w czterech podwykresach jedego okieka graficzego kwadrat o boku długości a, prostokąt o długościach boków a i b, trójkąt rówoboczy o długości boku "a" oraz trójkąt róworamiey o długościach boków a i b. Dae do programu: a i b. Wskazówka: figury o koturach zamkiętych ależy rysować za pomocą fukcji "plot" podając jako pierwszy argumet wektor zawierający współrzęde x-owe wszystkich puktów, a jako drugi argumet - wektor zawierający współrzęde y-owe wszystkich puktów. Jako ostati elemet tych wektorów ależy powtórzyć współrzęde pierwszego z puktów, aby zamkąć figurę - czyli połączyć odcikiem pukt pierwszy z ostatim. Np. poleceie plot([x0 x x x0],[y0 y y y0],'r-'); arysuje trójkąt o wierzchołkach w puktach (x0,y0), (x,y) oraz (x,y). Poiżej a rysuku pokazae jest przykładowe działaie programu dla a = 5 i b =0. Ćwiczeie r 6 Narysować za pomocą fukcji "plot" wykres fukcji uwikłaej o wzorze x + y x+ e x + si 5 = 5 w przedziale [ 0 0 ]. Ćwiczeie r 7

5 x y Narysować za pomocą fukcji "plot" wykres fukcji daej wzorem x = +. x + 7 Wyzaczyć dziedzię fukcji i a tej podstawie określić przedział, w którym moża arysować jej wykres. Ćwiczeie r 8 Wygeerować losowo puktów o współrzędych x z przedziału od 0 do a i współrzędych y z przedziału od 0 do b. Narysować te pukty, a astępie obliczyć cztery rodzaje średich współrzędych puktów tego zbioru: - średiej arytmetyczej Sa = xi yi - średiej kwadratowej - średiej geometryczej - średiej harmoiczej Sk = xi yi S g = xi yi S = xi y i h Narysować pukty o współrzędych określoych przez te średie. Wskazówka: zastosować wbudowae fukcje Matlaba: "rad" (geeracja losowa elemetów macierzy), "plot", "sum" (suma elemetów wektora), "prod" (iloczy elemetów wektora) oraz "sqrt". Przykładowy wyik działaia programu dla a = 0, b = 5 i = 00 pokazuje poiższy rysuek (czerwoy kwadrat - średia arytmetycza, iebieski romb - średia kwadratowa, zieloy trójkąt - średia geometrycza, różowe koło - średia harmoicza). Ćwiczeie r 9 Narysować za pomocą fukcji "plot" wykres fukcji daej zależością

6 π, x π π y( x) = si( x), < x 6 7x π, x > x + π 6 w przedziale [ π π ]. Poprawe działaie programu ilustruje poiższy rysuek. Ćwiczeie r 0 Daa jest fukcja o wzorze: + y( x) = c si( x) + 5, x x x d, x [ x 0] 6 + x [ ] [ ] x ax b, x 5 x Proszę apisać program, wyzaczający (poprzez rozwiązaie w Matlabie odpowiediego układu rówań) parametry a, b, c oraz d tak, by fukcja y(x) była klasy C (fukcja i jej pierwsza pochoda są ciągłe). Po wyzaczeiu parametrów proszę arysować wykres fukcji. x, x 5 0. Dae do zadaia: ( ) L3: Zadaia z programowaia Ćwiczeie r Napisać fukcję "suma_iloczy", która dla daego wektora "X" obliczy sumę i iloczy jego elemetów. Argumety fukcji: "X", wartości fukcji: "suma", "iloczy" lub jede wektor zbierający te dwie wartości. Program proszę apisać z wykorzystaiem pętli "for". Ćwiczeie r Napisać fukcję "wariacja", która dla daego wektora "X" obliczy wariację jego elemetów. Wariacja zdefiiowaa jest w sposób astępujący: w = ( xi x ), gdzie x ozacza wartość średią elemetów wektora "X". Dae do programu: X. Program proszę apisać z wykorzystaiem pętli "for".

7 Ćwiczeie r 3 Napisać fukcję obliczającą sumę wyrazów szeregu Program proszę apisać z wykorzystaiem pętli "for". S =. Dae do programu:. + i 0 Ćwiczeie r 4 Napisać fukcję obliczającą iloczy skalary dwóch wektorów X i Y o tej samej liczbie elemetów Dae do programu: X, Y. Program proszę apisać z wykorzystaiem pętli "for". Ćwiczeie r 5 Napisać fukcję dokoującą możeia macierzy przez wektor. Dae do programu staowią: macierz "A" i wektor "b", wyikiem powiie być wektor "c", staowiący iloczy "A" i "b". Wzór a obliczaie elemetów wektora "c": ci = Ai, jb j, i =,...,. Ćwiczeie r 6 Zmodyfikować fukcję z poprzediego zadaia tak, aby dokoywała oa możeia macierzy "A" przez macierz "B". Możeie powio odbywać się według zależości: m j= C = p A B i, j i, k k, j k =, i =,..., j =,..., m Macierz "A" ma wymiary [ x p], macierz "B" ma wymiary [p x m]. Program apisać z wykorzystaiem pętli "for". Wyiki sprawdzić dokoując możeia macierzowego A*B. Ćwiczeie r 7 Napisać program rozwiązujący układ rówań x za pomocą metody wyzaczików Cramera. Daymi do programu są: macierz współczyików A oraz wektor b. Program powiie: dokoać aalizy liczby rozwiązań, arysować dwie proste tworzące układ rówań oraz zazaczyć rozwiązaie (o ile istieje). Wyzacziki proszę obliczać bez użycia fukcji a a "det", metodą krzyżową, tz. p. wyzaczik = aa aa. a a Ćwiczeie r 8 Dae są współrzęde trzech puktów: (x0,y0), (x,y) oraz (x,y). Napisać program, który: arysuje trójkąt o wierzchołkach w tych trzech puktach, obliczy długości jego boków, obwód, długości wysokości, pole, miary kątów wewętrzych (w stopiach), sprawdzi, jaki to rodzaj trójkąta (rówoboczy, róworamiey, prostokąty, ostrokąty, rozwartokąty). Wskazówki: - długości boków trójkąta obliczyć jako długości wektorów tworzących boki tego trójkąta - pole trójkąta obliczyć ze wzoru Heroa: P = p ( p a)( p b)( p c), gdzie a,b,c ozaczają długości boków, a p - połowę długości jego obwodu, - miary kątów moża wyzaczyć korzystając z twierdzeia cosiusów, które pozwala zapisać astępujące rówaie dla każdej kombiacji długości boków = + cos(, ) a b c bc b c

8 W powyższym rówaiu obliczay jest cosius kąta pomiędzy bokami "b" i "c". Z powyższego związku moża zatem wyzaczyć cosius tego kąta, oraz cosiusy pozostałych kątów z aalogiczych zależości. Same kąty (w radiaach) moża wyzaczyć korzystając z fukcji cyklometryczej "acos". Następie ależy zamieić je a miarę stopiową. - do sprawdzeia rodzaju trójkąta będą potrzebe porówaia długości boków ora z kątów. Pamiętajmy, iż ie powio się porówywać rówości dwóch zmieych typu rzeczywistego, których wartości są obliczae - mogą być oe obliczae z błędem obcięcia a poziomie dokładości maszyowej i dlatego też mogą ie być idealie rówe sobie. Jeżeli zatem chcemy sprawdzić, czy dwie liczby a i b są rówe sobie, zamiast pisać a == b ależałoby apisać p. czyli abs(a-b)<0^- a b < 0. Jeżeli ta różica okaże się miejsza iż bardzo mała przecież liczba 0, to uzajemy te liczby za rówe sobie, mimo iż idealie wcale ie muszą takie być. Ćwiczeie r 9 Rozbudować poprzedi program w celu sprawdzeia, czy pukty, a których w dalszej kolejości budoway jest trójkąt, ie są współliiowe. Jeżeli takie są, trójkąta zbudować a ich ie moża. Wskazówka: ależy ułożyć rówaie prostej przechodzącej przez dwa dowole pukty (z trzech), a astępie sprawdzić, czy trzeci pukt a tej prostej leży - jeżeli tak, to są oe współliiowe i ie wolo wykoywać astępych obliczeń dla trójkąta. Ćwiczeie r 0 Day jest okrąg o promieiu "r" i środku w pukcie (0,0). Dokoać losowaia "" puktów leżących wewątrz kwadratu opisaego a tym okręgu. Policzyć, ile puktów leży wewątrz okręgu, odieść liczbę takich puktów do wszystkich wylosowaych. Zadaie zilustrować rysukiem: arysować okrąg, oraz wszystkie wylosowae pukty, które zajdą się w jego wętrzu. Dae do programu: "r" oraz "". Ćwiczeie r Narysować zestaw ("pęk") wektorów o długościach jedostkowych wychodzących promieiście z jedego puktu o współrzędych (x0,y0). Kolory tych wektorów dobierać losowo z zestawu 'r', 'b', 'k', 'g', 'k', 'm','c' oraz 'y'. Ćwiczeie r Daa jest fukcja si( ) cos( ) x kx w przedziale [ a ] b. Narysować jej wykres, oraz wykorzystać wygeeroway wektor wartości fukcji w puktach pośredich wykresu do zalezieia ekstremalych (max i mi) wartości (y) fukcji w daym przedziale oraz ich położeń (x). Zalezioe pukty arysować a wykresie. Program wykoać w dwóch wariatach: z wykorzystaiem pętli "for" oraz istrukcji "if", oraz jedyie za pomocą wbudowaych fukcji Matlaba (m.i. "sortrows"). Dae do programu: "k", "a", "b". Przykładowy efekt graficzy działaia programu dla "k=3", "a=-3*pi" i "b=6".

9 Ćwiczeie r 3 Zmodyfikować tak program z zadaia r, aby a wykresie zazaczae były wszystkie maksima i miima o "tych samych" wartościach (czyli w oceie programu różiących się o bardzo iewiele) fukcji. Ćwiczeie r 4 Zmodyfikować tak program z zadaia 3, aby program zazaczał a wykresie także wszystkie maksima i miima lokale. Ćwiczeie r 5 Napisać fukcję obliczają wartość jedej z fukcji aalityczych (sius, cosius, fukcja ekspotecjala itd.) korzystając z odpowiediego rozwiięcia w szereg potęgowy Taylora. Dae do programu staowią: "x" - argumet, dla którego ma być obliczaa wartość, "edop" - dopuszczaly błąd obliczeń, wyrażoy w procetach, "max" - maksymala liczba wyrazów rozwiięcia, jakie może wykorzystać program. Kotroli przerwaia pętli dokoać za pomocą kryterium opartego a bezwymiarowym błędzie względym. Rozwiięcia podstawowych fukcji są dostępe p. pod adresem: cji_w_szereg_maclauria Proszę wybrać sobie jedo z ich, p. proste rozwiięcie fukcji ekspotecjalej e x x = = 0! apisać program fukcyjy oparty o to rozwiięcie, a astępie sprawdzić wyiki używając wbudowaej fukcji Matlaba, "exp". Ćwiczeie r 6 Rozszerzyć poprzedie zadaie o ilustrację graficzą w postaci wykresu zbieżości rozwiązaia do wartości ścisłej, oraz zbieżości względego (bezwymiarowego) błędu obliczeń w skali pół-logarytmiczej. Ćwiczeie r 7 Proszę wygeerować wektor złożoy z liczb losowych z przedziału [0, 00]. Proszę zaleźć ajmiejszą dwucyfrową liczbę spośród elemetów tego wektora. Dae:.