Geodezja geometryczna

Transkrypt

1 Geodeja geometrcna.. Kstałt Ziemi Spłascenie Ziemi Ziemia ma nieregularn spłascon w okolicach bieguna kstałt, ustalon w procesie jej tworenia w wniku diałania sił odśrodkowej. Promień równikow Ziemi a jest wieks od promienia biegunowego b o około km (rs...). Średni promień Ziemi wnosi 637 km. Rs... W efekcie spłascenia Ziemi: najwżs sct Ziemi, Mount Everest o wsokości 888 m nad poiomem mora - geoidą, nie jest punktem najbardiej oddalonm od środka mas Ziemi punktem tm jest położon blisko Równika stożek wulkanicn Chimborao (6 3 m nad poiomem mora w Ekwadore) - wżs o ponad m Mount Everest leż na serokości geograficnej, na której promień Ziemi jest o kilka kilometrów króts od promienia równikowego, 9

2 reki o nacnch długościach, płnące w stronę równika np. Missisipi, może się wdawać, że płną pod górę, ponieważ ich źródła leżą bliżej środka Ziemi niż ujścia. Geoida W casie tworenia, w wniku spłascenia powstała brła Ziemi, która nie ma swojego odpowiednika w geometrii, nawano ją geoidą ( greckiego: gea Ziemia, eidos wgląd, kstałt). Z definicji, geoida to brła, której powierchnia w każdm miejscu jest poioma, to nac prostopadła do kierunku diałania sił ciężkości. Jest ona utożsamiana powierchnią oceanów, predłużoną pod lądem w taki sposób, ab kierunek sił ciężkości bł do niej w każdm punkcie prostopadł (rs...-). Wsokości punktów powierchni Ziemi ponad geoidą - poiomem mora, odmierane wdłuż linii sił ciężkości są nawane wsokościami ortometrcnmi H (rs...). Powierchnia poioma Linia sił ciężkości Geoida (lub quasigeoida) Teren h P' P N H = h - N Elipsoida GRS-8 Rs... Wsokości te są wnacane metodami niwelacji geometrcnej, trgonometrcnej i satelitarnej. W prpadku niwelacji geometrcnej precjnej uwględniane są poprawki a nierównoległość powierchni poiomch-ekwipotencjalnch (rs...) i a wpłw grawitacjn Słońca i Księżca - mieniającch swoje położenie w casie wkonwania pomiarów. Kula iemska W pierwsm prbliżeniu Ziemia jest traktowana jako kula o średnim promieniu Ziemi równm R = 637 km. Geodejna elipsoida odniesienia Figurą geometrcną bardiej bliżoną kstałtem do geoid jest lekko spłascona kula cli elipsoida obrotowa o promieniu biegunowm b krótsm o km od promienia równikowego a (rs..., rs...3). W pracach geodejnch prjmuje się elipsoidę Geodejnego Sstemu Odniesienia GRS8 (Geodetic Reference Sstem 98, rod. 3.9). Elipsoida ta jest bardo dobre dopasowana do geoid (rs...-3).

3 Geoida prebiega ponad elipsoidą na wsokość do 7 metrów i poniżej elipsoid na głębokość do minus metrów (rs...5). Wsokości elipsoidalne punktów - ponad elipsoidą h (rs...), są mierone jednoceśnie serokością i długością geodejną a pomocą odbiorników satelitarnch GPS, (np. Osada, c). Geoida Ziemi Rs...3 Rs... Geoida Rs...5 Elipsoida GRS8 ma sereg astosowań, w tm stanowi powierchnię odniesienia w pomiarach stuacjnch: Obiekt terenowe będące predmiotem geodejnch pomiarów stuacjnch i wsokościowch (D.U. r. Nr 63, po. 57) są rutowane prostopadle na geodejną elipsoidę odniesienia GRS8 (rod..3) a następnie, w wniku odworowania kartograficnego Gaussa-Krügera (rod..5) prenosone na płascnę i gromadone w baach danch Państwowego Zasobu Geodejnego i Kartograficnego (PZGiK) w układach współrędnch PL-, PL-UTM i PL-99, (rod..6-8), Państwowego Sstemu Odniesień Prestrennch (D.U... r., po. 7).

4 .. Kula iemska Kula iemska, równik, południki, równoleżniki Jak wspomniano, pierwsm prbliżeniem kstałtu Ziemi jest kula iemska (rs...). Środek kuli pokrwa się e środkiem mas Ziemi O natomiast jej promień jest równ średniemu promieniowi Ziemi R 637m. Oś obrotu Ziemi prebija kulę iemską w dwóch punktach, nawanch biegunami geograficnmi północnm N i południowm S. Płascn prostopadłe do osi obrotu Ziemi precinają kulę iemską wdłuż kół nawanch równoleżnikami. Jednm nich jest równik - w tm prpadku płascna tnąca prechodi pre środek mas Ziemi. Płascn prechodące pre oś obrotu Ziemi precinają kulę iemską wdłuż kół południkowch. Półkola tch kół, łącące biegun Ziemi N-S, precinające równik pod kątem prostm są nawane południkami. Południk prechodąc pre wbran punkt jest nawan południkiem miejscowm, np. południk Greenwich (rs...). Oś obrotu Ziemi Greenwich Równoleżnik N r Teren h P Prosta prostopadła do kuli Równik R O R Płascna równika Ziemi Południk Greenwich S Południk punktu P Rs... Współrędne geograficne, i wsokość punktu h Położenie punktu powierchni Ziemi P określane jest a pomocą współrędnch geograficnch serokości i długości ora wsokości h (rs...): serokość geograficna jest kątem międ prostą prostopadłą do kuli poprowadoną punktu P - prechodącą środek kuli O, a płascną równika, długość geograficna jest kątem dwuściennm międ płascną południka erowego prechodącego pre Greenwich a płascną południka punktu P, wsokość h jest odległością punktu powierchni Ziemi P od powierchni kuli.

5 Współrędne geograficne wrażane są w stopniach, minutach i sekundach: = 5 3' " = 6 ' " lub, po preliceniu w stopniach: ϕ λ Współrędne geocentrcne X, Y, Z Układ współrędnch geocentrcnch prostokątnch X, Y, Z acepion jest w środku mas Ziemi (rs...). Oś Z jest skierowana wdłuż osi obrotu Ziemi na północ, osie X i Y leżą na płascźnie równika, pr cm X leż jednoceśnie na płascźnie południka Greenwich. Współrędne prostokątne X, Y, Z mierone są bepośrednio a pomocą odbiorników satelitarnego sstemu pocjnego GPS (Global Positioning Sstem), (np. Osada c). Współrędne prostokątne są powiąane e współrędnmi geograficnmi ależnościami podanmi na rs.... Oś obrotu Ziemi Greenwich Z N r h P Z = (R+h)sin X R O R Y =(R+h)cossin Y X = (R+h)coscos ϕ 5.76deg λ 6.5deg S h 7.35 Rs... Prkład prelicenia współrędnch (rs...): prelicenie,, h X, Y, Z X ( R h) cos( ϕ) cos( λ) Y ( R h) cos( ϕ) sin( λ) 58. Z ( R h) sin( ϕ)

6 prelicenie X, Y, Z,, h Z ϕ atan 5.76deg X Y λ atan Y 6.5deg X h X Y Z R 7.35 Odległość sfercna Odległość międ dowolnmi punktami powierchni Ziemi P i Q jest licona na sfere wdłuż koła wielkiego, będącego prekrojem kuli płascną prechodą pre te punkt i środek kuli O (rs...3). P N a R S a O Trójkąt sfercn R Q Rs...3 Odległość sfercna jest traktowana jako długość łuku koła wielkiego w metrach: a 5. - w metrach lub jako kąt środkow łuku: a R w radianach a w stopniach R π Rut trech punktów powierchni Ziemi P, Q, R na sferę połącone łukami kół wielkich a, b, c tworą trójkąt sfercn (rs...). P N a C B c O Q b A R Boki trójkąta w metrach: a 5. b 9. c. Suma kątów trójkąta sfercnego jest więksa od 8 A B C S Rs... A B C 8.397

7 Eksces sfercn Nadmiar sum kątów trójkąta sfercnego ponad 8nawan jest ekscesem : ε A B C 8 ε.397 Eksces może bć również oblicon na podstawie boków trójkąta, wg. woru l'huiliera: tg tg s R s a s b s c tg tg tg R R R gdie s jest połową obwodu trójkąta: a b c s s 39. ε atan tan ε.397 s R tan s a R tan s b tan s c R R Pole powierchni dwukąta i trójkąta sfercnego 8 π Dwukąt sfercn jest cęścią powierchni sfer ograniconą półkolami dwóch kół wielkich, np. boków trójkąta b i c (rs...5). Długości boków dwukąta są równe połowie długości koła wielkiego R. Miarą dwukąta sfercnego jest kąt A międ międ stcnmi do kół wielkich w punktach ich precięcia. R P A P A N a C B c O Q b A R Kąt A ma się do kąta pełnego jak pole powierchni dwukąta sfercnego P A do pola powierchni kuli R : A P A PA R A R Suma pól powierchni dwukątów sfercnch P A +P B +P C = (A+B+C)R = (+)R jest równa polu powierchni półkuli plus podwojone pole trójkąta R +F, S Rs...5 stąd F = R : F εr π F m 8 5

8 Prekstałcając wór na pole trójkąta (rs...5) otrmuje się ależność na podstawie której można oblicć eksces mając dane pole powierchni trójkąta: F R Na prkład, stosując prbliżon wór na pole trójkąta sfercnego - wór Herona trójkąta płaskiego, otrmuje się: a b c s 39. F s( s a) ( s b) ( s c) ε F 8 R.397 π Wrównanie trójkąta sfercnego Ze wględu na błęd pomiarowe suma pomieronch kątów w trójkącie sfercnm: A obs 7 5 A obs B obs 9 B obs.89 C obs 65 C obs A obs B obs C obs na ogół nie będie równa wartości teoretcnej 8 ε gdie eksces ε.397 jest oblicon na podstawie boków trójkąta. Warunek ten spełnią poprawione wartości pomieronch kątów: ( Aobs va) ( Bobs vb ) ( Cobs vc ) 8 Równanie to, nawane równaniem obserwacjnm warunkowm e wględu na wnacane poprawki v A, v B, v C, jest predstawiane w postaci: v gdie A v B v C w w 8 ε A obs B obs C obs.9936 jest odchłką teoretcnej sum kątów 8 od pomieronej A obs +B obs +C obs. 6

9 Równanie obserwacjne v A + v B + v C = w, apisane w postaci macierowej: w v v v T C B A v B jest rowiąwane metodą najmniejsch kwadratów min Pv v T C B A C B A C B A C C B B A A v v v p p p v v v v p v p v p w sformułowaniu Lagrange'a: min ) ( w k T T v B Pv v gdie k jest nienanm mnożnikiem Lagrange'a natomiast P - macierą wag obserwacji, określonch jako odwrotności kwadratów błędów średnich pomiaru kątów: A A m p B B m p C C m p Różnicka funkcji Lagrange'a - prrównana do era: ) ( v B P v v B v P v d k d k d T T T T prowadi do warunku koniecnego minimum w postaci T T kb P v skąd Bk P v Z podstawienia v = P - Bk do równania warunkowego warunku B T v = w otrmuje się równanie normalne dla mnożnika Lagrange'a B T P - Bk = w skąd k = w/(b T P - B), co po podstawieniu do v = P - Bk prowadi do rowiąania v = P - Bw/(B T P - B): w m m m v C B A A m A w m m m v C B A B m B w m m m v C B A C m C 7

10 W prpadku jednakowej dokładności kątów m A = m B = m C : v A 3 w.9765 v B 3 w.9765 v C 3 w.9765 Wrównane kąt (w stopniach): A A obs v A B B obs v B C C obs v C spełniają warunek A + B + C = 8 : A B C Kąt te są sprowadane do formatu (,', "): A Kat B C STOPNIE trunc( Kat) MINUTY trunc[ ( Kat STOPNIE) 6] SEKUNDY [( Kat STOPNIE) 6 MINUTY ] 6 Kat augment( STOPNIEaugment( MINUTY SEKUNDY )) Kat Wor trgonometrii sfercnej Do rowiąwania trójkątów sfercnch stosowane są dwa podstawowe wor trgonometrii sfercnej: sin sin cos a R A a R sin sin cos b R B b R c sin R sin C cos c R sin b R sin c cos A R - wór sinusów - wór cosinusów 8

11 Na prkład, mając dane boki b i c ora kąt międ nimi awart A można oblicć poostałe element trójkąta (rs...): bok a e woru cosinusów a Racoscos b R cos c sin b R R sin c R cos A π 5. 8 kąt B i C e woru sinusów sin b R B asin sin a sina π π R C asin sin c R sin a R sina π π Współrędne sfercne amutalne Współrędnmi amutalnmi punktu P są jego odległość sfercna a i amut A licone od wbranego punktu pocątkowego P i południka prechodącego pre ten punkt. Amut prjmuje wartości prediału A < 36. Współrędne geograficne, są prelicane na amutalne a, A i odwrotnie a pomocą worów trgonometrii sfercnej astosowanch do trójkąta P NP (rs...6) 9 - P A N - a - S 9 - P Rs...6 Prelicenie, na a, A: a cos sin sin cos cos cos( ) R cos sin( ) sin A a sin R Prelicenie a, A na, a a sin cos sin sin cos cos A R R a sin Asin sin( R ) cos 9

12 Prkład: współrędne bieguna P : ϕ λ 5deg 5deg prelicenie ( ϕ 53 deg, λ 6 deg) na (a, A): a R acos sin( ϕ) sin ϕ cos( ϕ) cos ϕ cos λ λ A asin cos( ϕ) sin λ λ sin a R deg prelicenie ( a , A deg ) na (, ): a a ϕ asincos R sin ϕ sin R cos ϕ cos( A) a sin( A) sin R λ λ asin 6.deg cos( ϕ) Współrędne sfercne prostokątne 53.deg Współrędne sfercne prostokątne, są sfercnmi odległościami punktu P od wbranego południka osiowego () i od równika wdłuż południka osiowego (), (rs...7). Współrędne geograficne, są prelicane na sfercne prostokątne, i odwrotnie a pomocą worów trgonometrii sfercnej astosowanch do trójkąta P'NP (rs...7). R P N - R R - S P Rs...7 Prelicenie, na, : sin cos sin( ) R ctg ctg cos( ) R Prelicenie, na, sin sin tg( ) cos R tg R R cos R

13 Prkład: długość geograficna południka osiowego λ 5deg prelicenie ( ϕ 53 deg, λ 6 deg) na (, ): R asin cos( ϕ) sin λ λ R acot cot( ϕ) cos λ λ prelicenie ( , ) na (, ): ϕ asin sin R cos R λ λ atan tan R cos R Odworowanie Soldnera 53.deg 6.deg Odworowanie Soldnera jest jednm e sposobów prporądkowania punktom kuli iemskiej punktów na płascźnie (rs...8-9). Południk osiow Koła małe równoległe do płascn południka osiowego X P X = m P Równik Y P Y = Rs...8 Rs...9 W odworowaniu tm położenie wbranego punktu P na sfere jest określone pre współrędne sfercne prostokątne: odległości sfercnej od ustalonego południka osiowego, odległości od równika liconej wdłuż koła małego równoległego do płascn południka osiowego.

14 Odkładając odległość sfercną na płascźnie i na jej końcu - prostopadle odległość otrmuje się obra P' punktu P w układie współrędnch płaskich, którego oś X jest obraem południka osiowego, a Y - obraem równika (rs...9). Pr dodatkowm ałożeniu, że łuki kół wielkich prostopadłch do południka osiowego i prostopadłe do nich łuki kół małch tworą na płascźnie linie siatki współrędnch prostokątnch X, Y, punkt P' jest premiescan równolegle do osi X do położenia P" pre wdłużenie odległości : X = m gdie m jest skalą liniową (rs...-): m X R r R 637. R R m R.556 ( ) R R X R P r O r R R ~Y Y P Rs... Rs... Odworowanie kuli iemskiej na płascnę (rs...8-9): X Y m X Y nawane jest odworowaniem Soldnera. Skala liniowa w odworowaniach wiernokątnch W odworowaniu Soldnera położenie pewnego punktu Q wględem P określone jest w wniku preniesienia odcinków ', ' e sfer na płascnę, pr cm odcinek ' jest rociągan - skalowan: = m', = ' gdie m jest skalą długości w punkcie P w kierunku osi (rs...-3). W efekcie amut A'' otrmanego punktu na płascźnie punktu Q'' nie jest równ amutowi A' punktu Q na sfere, atem odworowanie Soldnera nie jest równokątne (wiernokątne, konforemne).

15 Warunkiem równokątności odworowania sfer na płascnę jest niemienność amutu A = A' (rs...3): D m ' ' d Równik X ' P ' Q A ' d ' Y Q P = m P A Q'' A'' A D = m Q O P Q Rs... Rs...3 Stąd wnika, że w odworowaniach wiernokątnch skala liniowa jest stała w danm punkcie, nieależna od kierunku, dana worem m R gdie jest odległością punktu od południka osiowego wdłuż koła wielkiego lub równoważnie współrędną punktu na płascźnie odworowania. Wór ten jest pierwsm prbliżeniem skali liniowej w wiernokątnm odworowaniu Gaussa-Krügera elipsoid na płascnę (rod..5), stosowanm w praktce do redukcji odległości mieronch a pomocą tachimetru na płascnę układu PL-, (rod..8), (Osada, c). 3

16 .3. Elipsoida geocentrcna Geodejna elipsoida odniesienia GRS8 Jak wspomniano (rod..), figurą geometrcną bardiej od kuli bliżoną kstałtem do geoid jest elipsoida obrotowa o promieniu biegunowm b krótsm o km od promienia równikowego a (rs...-). W pracach geodejnch prjmuje się elipsoidę Geodejnego Sstemu Odniesienia GRS-8 (Geodetic Reference Sstem 98), (rod. 3.9). Elipsoida ta pełni rolę powierchni odniesienia, prjętą do sporądania map: punkt (P) rutowane są powierchni Ziemi prostopadle na elipsoidę (P'), (rs..., rs..3.), która następnie jest odworowwana na płascnę. Oś obrotu Ziemi Równoleżnik Równik Gre enwich b O Y N Z r N Z a λ P' Teren h φ r X P Prosta prostopadła do elipsoid Y X Połud nik S Greenwich λ = Południk miejscow L Rs..3.. Środek elipsoid GRS8 pokrwa się e środkiem mas Ziemi łącnie oceanami i atmosferą O - elipsoida jest geocentrcna (rs..3.). Oś obrotu elipsoid prjmuje średnie położenie osi obrotu Ziemi w latach Oś obrotu elipsoid wnaca na jej powierchni biegun geograficne północn N i południow S. Elipsoida jest powierchnią obrotową, atem (rs..3.): płascn prostopadłe do osi obrotu Ziemi precinają elipsoidę wdłuż kół nawanch równoleżnikami, jednm nich jest równik - w tm prpadku płascna tnąca prechodi pre środek mas Ziemi O, płascn prechodące pre oś obrotu Ziemi precinają elipsoidę wdłuż elips południkowch. Łuki elips południkowch, łącące biegun Ziemi N-S, precinające równik pod kątem prostm są nawane południkami. Południk prechodąc pre wbran punkt jest nawan południkiem miejscowm, np. południk Greenwich (rs..3.).

17 Parametrami elipsoid odniesienia GRS-8 są (rs..3.): : półoś równikowa a i biegunowa b: a b a b spłascenie: f a b a mimośród pierws e i drugi e: a b e a b.8899 e.8938 a b Współrędne geocentrcne geodejne φ,, h Położenie punktu powierchni Ziemi P określane jest wględem elipsoid odniesienia a pomocą geocentrcnch współrędnch geodejnch: serokości φ, długości λ i wsokości elipsoidalnej h (rs..3.): serokość geodejna φ jest kątem międ prostą prostopadłą do elipsoid poprowadoną punktu P a płascną równika, długość geodejna λ jest kątem dwuściennm międ płascną południka erowego prechodącego pre Greenwich a płascną południka punktu P, wsokość elipsoidalna h jest odległością punktu powierchni Ziemi P od powierchni elipsoid. Współrędne te są mierone bepośrednio a pomocą odbiorników satelitarnch GPS. Serokość i długość są wrażane w stopniach () minutach (') i sekundach ("), (rs..3.). Format (Stopnie, Minut, Sekund) jest amienian na Stopnie według reguł: λ pr użciu funkcji: φ St( StMinSek) St Min Sek φ St( ) λ St( )

18 φ = 5 6' 3.789" λ = 6 59' 9.887" h 6.38 N.39 H h N.869 P = 65 Rs..3. Format Stopnie jest amienian na (Stopnie, Minut, Sekund) pr użciu funkcji: StMinSek( St) St. St St trunc St. 6 6 Min trunc St. St Sek St. St Min 6 augment( Staugment( MinSek) ) φ StMinSek( 5.638) ( ) λ StMinSek( ) ( ) 6

19 W obliceniach w mathcadie pr użciu funkcji trgonometrcnch użwane są wartości serokości i długości wrażone w radianach: φ 5.638deg.89755rad λ deg rad gdie deg π rad Współrędne geocentrcne kartejańskie X, Y, Z Układ współrędnch geocentrcnch kartejańskich X, Y, Z acepion jest w środku mas Ziemi (rs..3.). Oś Z jest skierowana wdłuż osi obrotu Ziemi na północ, osie X i Y leżą na płascźnie równika, pr cm X leż jednoceśnie na płascźnie południka Greenwich. Współrędne geocentrcne X, Y, Z mierone są a pomocą odbiorników GPS (rs..3.) Zamiana φ, λ, h na X, Y, Z Równanie kanonicne elipsoid obrotowej o półosiach równikowej a i biegunowej b ma postać: a a b gdie,, są współrędnmi punktu leżącego na elipsoidie, w układie X, Y, Z. Elipsoida powstaje w wniku obrotu elips południkowej o półosiach a i b wokół osi obrotu Ziemi (rs..3.,.3.3), o równaniu kanonicnm we współrędnch r, : r a b Z b N r + a r Rs

20 X N b O Z r N Y h r P Z X Rs..3. Y φ λ 5.638deg deg h 6.38 Δr Δ Δ Δ hcos( φ).69 Δrcos( λ) Δrsin( λ) hsin( φ)

21 Różnickując równanie kanonicne elips otrmuje się r a b d dr gdie pochodna jest równa tangensowi kąta nachlenia stcnej do osi r Zatem d tg( / ) ctg dr b r tg r( e ) tg a co po podstawieniu do równania kanonicnego elips prowadi do współrędnej r wrażonej a pomocą serokości geodejnej φ: r( φ) acos( φ) e sin( φ) r r( φ) Podstawiając to równanie do = r(-e )tgφ otrmuje się współrędną jako funkcję serokości φ: a e sin( φ) e sin( φ) Współrędne r i punktu na elipsie południkowej mogą bć predstawione a pomocą odległości N punktu elips od osi wdłuż prostej normalnej (rs..3.3). Z rsunku.3.3 wnika, że r = Ncosφ, atem w ropatrwanm punkcie N( φ) a e sin( φ) N N( φ) N e sin( φ)

22 Współrędne, punktu elips dane są worami = r cosλ, = r sinλ gdie r = N cosφ (rs..3.). Zatem, prelicenie współrędnch geodejnch na prostokątne φ, λ,, realiowane jest według ależności: Ncos( φ) cos( λ) Ncos( φ) sin( λ) 73.6 N e sin( φ) Wor te są nawane równaniami parametrcnmi elipsoid obrotowej, parametrami są współrędne geodejne φ, λ. Prrost współrędnch,, od punktu na elipsoidie wdłuż normalnej do punktu na powierchni Ziemi są ależne od wsokości tego punktu nad elipsoidą h (rs..3.). Współrędne punktu na powierchni Ziemi X, Y, Z otrmuje się dodając do współrędnch punktu na elipsoidie,, prrost współrędnch,,: X ( N h) cos( φ) cos( λ) Y ( N h) cos( φ) sin( λ) Z N e h sin( φ) Zamiana odwrotna X, Y, Z na φ, λ, h W wniku prekstałcenia powżsch równań (φ, λ, h X, Y, Z) otrmuje się wor do prelicania współrędnch prostokątnch na współrędne geodejne i wsokość punktu nad elipsoidą (X, Y, Z φ, λ, h): λ atan Y deg X az ν atan b X Y Z be sin( ν) 3 φ atan X Y ae cos( ν) deg 5.638deg h X Y cos( φ) a 6.38 ( esin( φ) ) 3

23 - w stopniach, minutach i sekundach: λ.. StMinSek λdeg φ.. StMinSek φdeg ( ) ( ) Współrędne prostokątne X, Y, Z są mierone bepośrednio a pomocą odbiorników globalnch satelitarnch sstemów pocjnch GNSS (rs..3.). Odbiorniki prelicają pomierone współrędne prostokątne X, Y, Z na współrędne geodejne φ, λ, h - według podanch ależności, a następnie na współrędne kartograficne w wbranm odworowaniu elipsoid na płascnę ora na wsokość ortometrcną lub normalną H. Oblicenia w programach komputerowch Prelicenia współrędnch φ, λ, h X, Y, Z wkonuje się wkle a pomocą programów komputerowch C-Geo (rs ), GeoNet, WinKalk i innch: prelicenie φ, λ, h X, Y, Z (rs ): Rs

24 Rs..3.6 prelicenie odwrotne X, Y, Z φ, λ, h (rs ): Rs..3.7 Rs

25 .. Elipsoid niegeocentrcne Elipsoid niegeocentrcne Obecnie w pracach geodejnch w Polsce jest stosowana elipsoida geocentrcna GRS8. Do roku 9 stosowana bła niegeocentrcna elipsoida Krasowskiego - nienacnie presunięta i obrócona wględem elipsoid geocentrcnej GRS-8 (rs...), o parametrach: a b a. b. f a. a. b. a. b. e e a. b. Składowe presunięcia t, t, t i kąt obotu,, elipsoid Krasowskiego ora skala układu współrędch są podane na rs.... W tabeli.. podane są parametr elipsoid odniesienia stosowanch w różnch krajach. Tabela.. Geodejne elipsoid odniesienia 33

26 X Z Y t t t Z X Y Elipsoida GRS-8 Elipsoida Krasowskiego m m m R t r mr P Q Transformacja 7-parametrowa (Helmerta) Prelicenia współrędnch prostokątnch międ układami elipsoid Krasowskiego (,, ) i elipsoid GRS-8 (X, Y, Z) są wkonwane na podstawie 7-parametrowej transformacji wiernokątnej - pre podobieństwo (Helmerta), (rs...): Presunięcie [m]: t t t Obrót [rad]: ε ε ε Skala m Rs... prekstałcenie (,, ) (X, Y, Z) R = t + mr r = t+mr R R r = t+mr( )R( ) R( )r m t t t Z Y X cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos - dla małch wartości kątów obrotu sin, cos : m t t t Z Y X prekstałcenie (X, Y, Z) (,, ) r = m - R T (R-t) = m - R T R T R T (R-t) = m - R( ) T R( ) T R( ) T (R-t) ) ( cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos m t t t Z Y X 3

27 - dla małch wartości kątów obrotu sin, cos : ) ( t t t Z Y X m Zależności te są wprowadane w wniku łożenia cterech operacji: presunięcia układu geocentrcnego (rs...) X Z Y t t t Y = t + X = t + Z = t + R = t + r r t ' ' ' ' ' ' ' t Z t Y t X t t t Z Y X r t R Rs... obrotu presuniętego układu współrędnch wokół jego osi (rs...3-5), = r "cos "sin ' "sin "cos ' " ' " " " cos sin sin cos ' ' ' ) (, '' ' R R r R r Rs

28 = r cos sin " " sin cos " cos sin sin cos " " " ) (, ''' ''' ''' ''' ''' ''' ''' ''' ''' '' R R r R r Rs... = r '''' ''' '''' '''' ''' '''' '''' ''' '''' '''' '''' ''' ''' ''' '''' ''' cos sin sin cos cos sin sin cos ) (, R R r R r Rs...5 m ''' ' ''' ' '' ' ' ' '' ' m ''' ' m ''' ' ' ' ' ' ' ' r r = mr P Q skalowania współrędnch w układie obróconm (rs...6), m m m m m '''' '''' '''' '''' '''' '''' '''' r r Rs

29 Na prkład w punkcie P (rs..3.,..): X Y Z φ 5.638deg StMinSek φdeg λ deg StMinSek λdeg h 6.38 otrmuje się: ( ) ( ) współrędne,, punktu Q w układie Krasowskiego (rs...7): t t t ε m ε ε ε ε X ε Y Z Rs...7 współrędne geodejne φ., λ., h. punktu Q odniesione do elipsoid Krasowskiego (rs...8): λ. atan deg a. ν atan b. b. e. sin( ν) 3 φ. atan a. e. cos( ν) deg deg 37

30 a. h. 3.5 cosφ. e. sinφ. - w stopniach, minutach i sekundach: λ StMinSek λ. deg φ StMinSek φ. deg ( ) ( ) Rs...8 amiana odwrotna φ., λ., h.,, (rs...9): a. N. e. sin φ. cosφ. N. h. cos λ cosφ. N. h. sin λ N. e. h. sin φ Rs

31 amiana odwrotna,, X, Y, Z (rs...): X Y m ε Z ε ε ε T ε t ε t t Rs... współrędne punktu Q w układie geocentrcnm X Q Y Q ε Z Q ε ε ε T ε t ε t t premiescenie ΔX, ΔY, ΔZ międ punktami P i Q w układie geocentrcnm ΔX ΔY ΔZ X Y Z X Q Y Q Z Q odległość D międ punktami P i Q D ΔX ΔY ΔZ

32 .5. Geometria różnickowa elipsoid Wektor wodąc elipsoid Wektor wodąc elipsoid r = r(φ, λ), (rs..5.): r. ( φλ ) X. ( φλ ) Z. ( φλ ) Y. ( φλ ) r r. ( φλ ) ma współrędne X(φ, λ), Y(φ, λ), Z(φ, λ) określone równaniami wprowadonmi w rod..3. Wektor stcne Pochodne wektora wodącego elipsoid r = r(φ, λ) wględem współrędnch geodejnch φ, λ są wektorami stcnmi do elipsoid (rs..5.): w kierunku południka dr r d r φ. ( φλ ) d φ X. d ( φλ ) d φ Y. d ( φλ ) r φ r φ. ( φλ ) d φ Z. d ( φλ ) w kierunku równoleżnika dr r d r λ. ( φλ ) d λ X. d ( φλ ) d λ Y. d ( φλ ) r λ r λ. ( φλ ) d λ Z. d ( φλ )

33 Prostopadła do elipsoid Z n r r r r dr r d r=r(,) dr r d Y X Wektor normaln Rs..5. Wektor jednostkow prostopadł do elipsoid w kierunku na ewnątr jest dan worem (rs..5.) n( φλ ) r λ. ( φλ ) r φ. ( φλ ) n n( φλ ) r λ. ( φλ ) r φ. ( φλ ) lub po prekstałceniach n( φλ ) cos( φ) cos( λ) cos( φ) sin( λ) n n( φλ ) sin( φ) Różnicka wektora wodącego elipsoid Różnicka dr = r φ dφ+r λ dλ wektora wodącego elipsoid r = r(φ, λ) jest wektorem stcnm do elipsoid (rs..5.).

34 Wektor ten, godnie rowinięciem w sereg Talora (rs..5.): Δr dr ddr... jest pierwsm prbliżeniem wektora odległości Δr międ punktem P(φ, λ) i punktem Q(φ+dφ λ+dλ) położonm na elipsoidie blisko punktu P, określonm prrostami współrędnch dφ, dλ. dn dr n d n Południk i r dr d r t dr Q ddr/ Prekrój normaln r dr + ddr/ P d r Równoleżniki b Rs..5. Na prkład, dla prrostów serokości dφ i długości dλ równch ' = /6 : dφ deg deg dλ deg 6 otrmuje się: dr r φ dφ r λ dλ deg

35 Łatwo sprawdić, że jest to wektor stcn do elipsoid - tworąc kąt prost wektorem normalnm n (rs..5.): acos drn dr n ora posiada długość i amut ds dr 9.99 α dr acos drr φ dr r φ 9.deg deg Pierwsa forma kwadratowa elipsoid Długość ds wektora różnicki dr jest pierwsm prbliżeniem odległości międ dwoma bliskimi punktami na elipsoidie P i Q (rs..5.). Kwadrat długości ds = drdr = (r φ dφ+r λ dλ)(r φ dφ+r λ dλ) = r φ r φ dφ +r φ r λ dφdλ+r λ r λ dλ = Edφ +Fdφdλ+Gdλ M(φ) dφ + N(φ) cos φdλ gdie funkcja M ora współcnniki E, F, G dane są worami M( φ) E = r φ r φ e sin( φ) 3 a e M M( φ) E( φλ ) M( φ) F = r φ r λ G = r λ r λ F( φλ ) G( φλ ) N( φ) cos( φ) nawan jest pierwsą formą kwadratową powierchni elipsoid Oblicona stąd długość różnicki, wrażona a pomocą prrostów współrędnch geodejnch ds M( φ) dφ N( φ) cos( φ) dλ 9.99 jest naturalnie równa długości różnicki obliconej e współrędnch prostokątnch ds dr

36 Trójścian Darbou Po podieleniu różnicki dr pre jej długość ds otrmuje się wektor jednostkow stcn do elipsoid, mając ten sam kierunek α i wrot co różnicka dr, (rs..5.): t dr ds.5339 t Wektor jednostkow b prostopadł do wektora stcnego t i normalnego n otrmuje się na podstawie ilocnu wektorowego (rs..5.):.986 b t n b Wektor wajemnie prostopadłe jednostkowe (t, b, n) tworą ruchom trójścian Darbou w punkcie bieżącm P na elipsoidie (rs..5.). Różnicka wektora normalnego elipsoid Różnicka dn = n φ dφ+n λ dλ wektora normalnego elipsoid n = n(φ, λ) jest wektorem leżącm w płascźnie stcnej do elipsoid (rs..5.): sin( φ) cos( λ).7933 n φ. ( φλ ) sin( φ) sin( λ) n φ n φ. ( φλ ).737 cos( φ) n λ. ( φλ ) cos( φ) sin( λ) cos( φ) cos( λ) n λ n λ. ( φλ ) dn n φ dφ n λ dλ Łatwo sprawdić,że jest to wektor stcn do elipsoid, tworąc kąt prost wektorem normalnm n, (rs..5.): dnn acos dn n posiadając długość dn.336 ora amut α dn acos dnr φ dn r φ 9.deg 3.535deg

37 Kąt międ różnickami dn i dr jest równ różnic amutów α dr α dn Sereg Talora.68857deg Zgodnie seregiem Talora (rs..5.) Δr dr ddr... różnicki pierwsa dr, druga ddr i dalse stanowią kolejne prbliżenia wektora odległości Δr międ bliskimi punktami na elipsoidie P(φ, λ) i Q(φ+dφ λ+dλ). Druga różnicka ddr = d(dr) dana jest worem (rs..5.): ddr d( r d( r r r φφ. ( φλ ) r φλ. ( φλ ) r λφ. ( φλ ) d r d r d d r d) d dφ d) d( r d dd r X. ( φλ ) d r d d d) d d Y. ( φλ ) r φφ r φφ. ( φλ ) dφ d dφ Z. ( φλ ) d d λ φ X. d d ( φλ ) d d λ φ Y. d d ( φλ ) r φλ r φλ. ( φλ ) d d λ φ Z. d d ( φλ ) d d φ λ X. d d ( φλ ) d d φ λ Y. d d ( φλ ) d d φ λ Z. d d ( φλ ) r λφ r λφ. ( φλ )

38 Stąd d X. ( φλ ) dλ r λλ. ( φλ ) d Y. ( φλ ) r λλ r λλ. ( φλ ) 73.6 dλ. d Z. ( φλ ) dλ ddr r φφ dφ r φλ dφdλ r λλ dλ Pr ograniceniu seregu Talora do dwóch wraów otrmuje się prbliżon wektor 7.55 Δr dr ddr o długości Δr tworąc kąt wektorem normalnm n acos Δrn Δr n deg Składowe wektora Δr na osie układu Darbou (rs..5.) wnosą Δr Δr t Δr b Δr n t b n składowa stcna t: Δr t Δrt składowa stcna binormalna b: Δr b Δrb.953 składowa normalna n: Δr n Δrn

39 Długość wektora Δr oblicona e składowch w układie Darbou Δr t Δr b Δr n 9.93 jest naturalnie równa długości obliconej e współrędnch geocentrcnch Δr 9.93 Amut wektora Δr wnosi (rs..5.): Δr b α Δr α dr 3.876deg ds Krwina elipsoid Drugi wra seregu Talora, równ połowie drugiej różnicki.6967 ddr repreentuje odchlenie elipsoid od płascn stcnej w punkcie P, cli jej akrwienie w otoceniu punktu P (rs..5.). Jest to wektor skierowan do wnętra elipsoid: o długości ddr.536 twor kąt wektorem normalnm n ddrn acos deg ddr n Składowe wektora ddr/ na osie układu Darbou wnosą składowa stcna t: ddrt.89 składowa stcna binormalna b: ddrb.953 składowa normalna n: ddrn

40 Długość wektora ddr/ oblicona e składowch w układie Darbou ddrt ddrb ddrn.536 jest naturalnie równa długości obliconej e współrędnch geocentrcnch ddr.536 Odległość punktu Q elipsoid od płascn stcnej w punkcie P jest równa składowej normalnej wektora ddr/ (rs..5.-3): ddr n Kąt γ jaki twor cięciwa prekroju normalnego elipsoid P-Q płascną stcną dan jest worem (rs..5.3) tg ddr n ds Stąd pr ałożeniu, że łuk koła ściśle stcnego do linii prekroju normalnego elipsoid (rs..5.3) jest w prbliżeniu równ długości ds ds R otrmuje się wór na krwinę normalną /R linii prekroju normalnego w punkcie P R ddr n dr dn ds ds o promieniu krwin ds R α ddrn Ilocn dn dr ( n n d n d)( r ed fdd gd r d n r Md N cos dd n d d r d) r d 8

41 gdie e n f n g n r r r e( φλ ) M( φ) f ( φλ ) g( φλ ) N( φ) cos( φ) e( φλ ) f ( φλ ). g( φλ ) nawan jest drugą formą kwadratową elipsoid. n P R t ~ ~ds ds Q ddr n Prekrój normaln elipsoid w płascźnie n, t Okrąg krwin normalnej = /R, - ściśle stcn do linii prekroju normalnego elipsoid Rs..5.3 Wór na krwinę normalną /R linii prekroju normalnego prjmuje więc postać ilorau form kwadratowch elipsoid, drugiej pre pierwsą: R ed fdd gd Ed Fdd Gd Md N cos d M d N cos d R α M( φ) dφ M( φ) dφ N( φ) cos( φ) dλ N( φ) cos( φ) dλ

42 Stąd (rs..5.): dla dλ = promienień krwin prekroju normalnego elipsoid w płascźnie południka jest równ R α = = M, M( φ) dla dφ = promienień krwin prekroju normalnego poprecnego elipsoid w płascźnie prostopadłej do płascn południka jest równ odległości punktu elipsoid od jej osi obrotu wdłuż normalnej R α = 9 = N, N( φ) Z Prekrój południkow M = Normalna do elipsoid M R N Prekrój poprecn N = 9 Prekrój M R N w kierunku Y X Rs..5. Ze woru pierwsej form kwadratowej elipsoid ds = M(φ) dφ + N(φ) cos φdλ wnika (rs..5.5): dla dλ = elementarn odcinek stcnej do południka ds φ M( φ) dφ 85.7 jest w prbliżeniu równ długości łuku południka 5

43 dla dφ = elementarn odcinek stcnej do równoleżnika ds λ N( φ) cos( φ) dλ jest w prbliżeniu równ długości łuku równoleżnika Z ds dr r ds r=r(,) r ds N Y X Rs..5.5 Pr uwględnieniu ależności dφ dλ ds φ M( φ) ds λ N( φ)cos( φ) deg deg ora (rs..5.5) ds φ ds ds λ ds cosα dr sinα dr 5

44 wór na krwinę normalną prjmuje postać woru Eulera R α cosα dr M( φ) sinα dr N( φ) stąd promień krwin normalnej w amucie α dan jest worem R α.. α dr cosα dr M( φ) sin α dr N( φ) R α. R α.. α dr Średnia wartość promienia krwin normalnej w punkcie P oblicona promieni krwin w amutach α od do 36: R sr. ( α) π R α π α.. ( α) d R sr. α dr prjmuje po scałkowaniu postać woru krwin średniej Gaussa: R sr MN Zatem: pierwsm prbliżeniem powierchni elipsoid w niewielkim otoceniu punktu P jest płascna stcna do elipsoid w punkcie P, natomiast drugim prbliżeniem jest kula ściśle stcna do elipsoid w punkcie P o promieniu równm promieniowi krwin średniej Gaussa. 5

45 .6. Długość łuku południka i równoleżnika Długość łuku południka Niewielki element siatki geograficnej o bokach ds φ - wdłuż południka i ds λ - wdłuż równoleżnika można traktować jak płaski prostokątn (rs..6.). W tm prpadku kwadrat długości prekątnej wraża się worem pierwsej form kwadratowej elipsoid gdie ds = ds φ + ds λ ds ds = M dφ + N cos φdλ Md rd Na prkład odcinek łuku południka ds φ odpowiadając prrostowi serokości geodejnej równemu jednej sekundie dφ = ": dφ deg.8837rad 6 6 jest równ (rs..6.): ds φ Mdφ 3.93 ds =Md P d M A ds r ds =rd d N +d A+dA+8 Q +d Rs..6. Dla dowolnego prrostu serokości Δφ odpowiadająca długość łuku południka s φ jest oblicana pre podiał na nieskońcenie małe prrost dφ ora oblicanie i sumowanie nieskońcenie małch odcinków ds φ = Mdφ. 53

46 Na prkład: dla Δφ = " Δφ deg.8837 rad 6 6 φδφ s φ M( φ) dφ φ dla Δφ = ' Δφ 6 deg.98889rad φδφ s φ M( φ) dφ φ dla Δφ = Δφ deg rad φδφ s φ M( φ) dφ φ Na rsunku.3. serokość punktu P jest podana w formacie (Stopnie, Minut, Sekund) dokładnością.". Pr ałożeniu." dokładność położenia tego punktu na terenie w kierunku południkowm będie rędu 3 mm: M. deg Dla apewnienia mm serokość powinna bć podana dokładnością.3" M.3 deg. 6 6 Dokładność 3 mm będie achowana jeżeli serokość będie podana dokładnością do 3 jednostek na 8 miejscu po precinku w formacie stopniowm: Podanie serokości dokładnością -8 w formacie stopniowm odpowiada dokładności położenia punktu na terenie rędu mm: M.deg. 5

47 Długość łuku równoleżnika Równoleżnik prechodąc pre punkt P (rs..6.) o serokości φ 5.63deg jest kołem o promieniu r Ncos( φ) Zatem, e woru na łuk koła, niewielki odcinek łuku równoleżnika ds λ odpowiadając prrostowi długości geodejnej np. jednej sekundie dλ = ": dλ deg.8837rad 6 6 jest równ (rs..6.): ds λ rdλ 9.5 Analogicnie, w prpadku dowolnego prrostu Δλ łuku równoleżnika jest dana worem s λ = rδλ, na prkład: dla Δλ = ' Δλ s λ 6 deg.9888 rδλ rad dla Δλ = Δλ deg s λ rδλ rad Na rsunku.3. długość punktu P jest podana formacie (Stopnie, Minut, Sekund) dokładnością.". Pr ałożeniu." dokładność położenia tego punktu na powierchni terenu w kierunku równoleżnikowm będie rędu mm: r. deg Dla apewnienia mm długość powinna bć podana dokładnością.5" r.5 deg

48 Dokładność mm będie również achowana jeżeli serokość będie podana dokładnością do 3 jednostek na 8 miejscu po precinku w formacie stopniowm: Podanie serokości dokładnością -8 w formacie stopniowm odpowiada dokładności położenia punktu na terenie rędu.7 mm: r.deg.7 Element siatki geograficnej " " = 3.93 m 9,5 m Wmiar liniowe niewielkiego " " segmentu siatki geograficnej ograniconego liniami południków i równoleżników na elipsoidie (rs..6.) o współrędnch lewego dolnego narożnika P: φ λ 5.63deg deg i prawego górnego narożnika Q: φ dφ λ dλ 5.8deg deg są równe: ds φ 3.93 ds λ długość łuku południka - długość łuku równoleżnika W prbliżeniu, ten niewielki element elipsoid można traktować jako płaski prostokątn, atem długość prekątnej i jej amut wnosą: ds ds φ ds λ ds λ α atan ds φ deg α. StMinSek( ) ( ) α. St( 3.387) deg deg 56

49 .7. Linia geodejna Linia geodejna Linia geodejna jest najkrótsą krwą linii łącącch dwa punkt na elipsoidie. Z definicji jest to krwa której normalna główna - awierająca się w płascźnie ściśle stcnej do krwej, pokrwa się normalną do powierchni. Południki spełniają ten warunek - są więc liniami geodejnmi, natomiast równoleżniki a wjątkiem równika nie spełniają tego warunku. Prebieg linii geodejnej jest analiowan na podstawie twierdenia Clairauta: ilocn odległości punktu od osi obrotu r pre sinus amutu A jest w każdm punkcie linii geodejnej wielkością stałą: r sina = const. Na prkład linia geodejna wchodąca pewnego punktu na równiku (φ =, r = a) pod danm amutem np. A = 3 dochodi maksmalnie do równoleżnika (φ ma, r min ) w którm amut osiąga A = 9, a dalej smetrcnie opada do równika któr precina pod tm samm kątem (rs..7.). Promień tego równoleżnika r min określon jest równaniem Clairauta a sina = r min sin(9 ) = r min natomiast jego serokość geodejna φ ma jest oblicana po prekstałceniu ależności (rs..7.): r min = N(φ ma )cos(φ ma ) A a r min N wg. Clairauta asina rsin(/) ma / A r min 3deg φ ma asin φ ma asin( A) a r min a r min e deg Rs

50 .8. Prenosenie współrędnch Podstawowmi adaniami wiąanmi linią geodejną są: adanie wprost: preniesienie współrędnch geodejnch i amutu na adaną odległość wdłuż linii geodejnej, adanie odwrotne: oblicenie odległości ora amutów pocątkowego i końcowego linii geodejnej międ adanmi punktami na elipsoidie. Zadanie wprost Dane są współrędne punktu P (rs..6.) ora amut amut α i długość linii geodejnej ds wchodącej tego punktu do punktu wnacanego Q: φ St( ) deg λ St( ) deg α St( ) deg ds deg deg deg Zadanie preniesienia współrędnch polega na obliceniu współrędnch geodejnch φ+dφ, λ+dλ punktu Q ora amutu odwrotnego linii geodejnej w tm punkcie α+dα+9. Zwiąki międ sukanmi prrostami współrędnch dφ, dλ i amutu dα a danm amutem α i długością ds linii geodejnej najdiem pr ałożeniu, że odległość ds jest niewielka. W tm prpadku element siatki geograficnej o bokach ds φ i ds λ ora prekątnej ds można traktować jak płaski prostokątn (rs..6.), atem: ds Md ds r d cos sin ds ds ds ds Różnickując następnie równanie Clairauta r sin const dr sin r cosd pr uwględnieniu różnicki promienia równoleżnika r N cos dr dn cos N sin d otrmuje się rd sin sin ds Z równań tch są wnacane prrost cos( α) dφ M ds.7778 deg sin( α) dλ ds r sin( α) sin( φ) dα ds r.7778deg.6deg 58

51 a następnie (rs..6.) współrędne geodejne punktu Q i amut odwrotn linii geodejnej w stopniach: φ Q φ dφ λ Q λ dλ α QP α dα π 5.8deg deg.893deg lub w stopniach minutach i sekundach φ Q StMinSek φ Q deg λ Q StMinSek λ Q deg α QP StMinSek α QP deg ( ) ( ) (.637 ) Postępowanie to może bć kontnuowane, prenosąc oblicone współrędne i amut wdłuż kolejnch niewielkich odcinków ds na adaną odległość s. W procedure WPROST jako dane pocątkowe podawane są serokość φ, długość λ i amut α na punkcie wjściowm ora długość linii geodejnej s i licba n odcinków ds = s/n na które podielona jest w obliceniach iteracjnch długość s: s WPROST( φλ α s n ) ds n for i n cos( α) dφ ds M( φ) dλ dα sin( α) ds r( φ) sin( α) sin( φ) ds r( φ) φ φ dφ λ λ dλ α α dα φ φdeg λ λdeg α ( α π) deg stack( StMinSek( φ) StMinSek( λ) StMinSek( α) ) 59

52 Na prkład, w ropatrwanm punkcie φ, λ i amucie α, dla odległości km, km, 5 km i km ora ich podiału na n-odcinków o długościach ds = s/n otrmuje się φ Q 5 λ Q WPROST( φλ α ) 6 α QP φ Q 5 λ Q WPROST( φλ α ) 7 α QP φ Q 5 λ Q WPROST( φλ α 5) 7 α QP φ Q 5 λ Q WPROST( φλ α ) 7 α QP Można sprawdić, że oblicona współrędna φ Q i amut α QP - 8 spełniają równanie Clairauta: ilocn odległości r i sinusa amutu α w punkcie pocątkowm linii geodejnej r( φ) sin( α) 37. jest równ ilocnowi odległości r i sinusa amutu α QP - 8w punkcie końcowm: rst5 ( ( ) deg) sin( St( ) deg) 37. Podobnie prebiegają oblicenia preniesienia współrędnch w metodie L.A.Kivioja. Różnica polega na tm, że promienie M i r ora amut α są oblicane w punkcie dla średniej serokości i długości geodejnej na odcinkach ds. W kalkulatorach dostępnch w internecie, do prenosenia współrędnch i amutu na dowolne odległości w tm na duże odległości jest wkle stosowana, apewniająca duże dokładności metoda T.Vincentego. Powżse oblicenia pr użciu procedur WPROST są godne dokładnością do mm obliceniami wkonanmi w programie udostępnionm na stronie opartm na metodie T.Vincentego (rs..8.-), otrmana różnica długości geodejnej.5" = mm - patr analia dokładności w rod..6. 6

53 Rs..8. Rs..8. 6

54 Zadanie odwrotne W adaniu odwrotnm na podstawie danch współrędnch dwóch punków P i Q φ P St( ) deg λ P St( ) deg φ Q St( ) deg λ Q St( 75.3) deg 5.63deg deg deg deg należ oblicć odległość międ tmi punktami wdłuż linii geodejnej ora amut pocątkow na punkcie P i końcow na punkcie Q linii geodejnej (rs..6.) Oblicenia mogą bć preprowadone według algortmu (rs..8.3): oblicenie wektora wajemnego położenia punktów Δr r Q r. φ Q λ Q r P r. φ P λ P Δr r Q r P ` Z ds n b r r D r r Q Q P R r P Y X P Q Rs

55 oblicenie długości D wektora Δr Δr oblicenie wektora b prostopadłego do płascn prekroju normalnego elipsoid ropiętej na wektorach Δr i n: b n Δr oblicenie amutu α P linii prekroju normalnego π α P acos r φ b r φ b deg StMinSekα P deg ( ) oblicenie promienia krwin R α linii prekroju normalnego w amucie α P (rs..8.) R α R α.. α P n s = R r P Q R Prekrój normaln elipsoid w płascźnie n, r ddr n Okrąg krwin normalnej = /R, - ściśle stcn do linii prekroju normalnego elipsoid Rs

56 oblicenie kąta środkowego β okręgu krwin normalnej odpowiadającemu cięciwie Δr - równej odległości międ punktami P i Q, e woru cosinusowego (rs..8.): β acos R α Δr R α.89897deg prejście od cięciw Δr do długości łuku koła krwin s (rs..8.): s R α β preniesienie współrędnch geodejnch punktu P w kierunku prekroju normalnego α P na odległość s: φ Q λ Q α Q WPROST φ P λ P α P s φ Q St( ) deg deg λ Q St( 75.) deg 7.768deg α Q St( ) deg deg sprawdenie robieżności współrędnch preniesionego punktu Q wględem punktu danego Q: r. φ Q λ Q r Q... Oblicona odległość wnosi dokładnie s. km, jednak wstępuje poprecne presunięcie punktu Q około 5 mm, błąd tej metod jest więc rędu 5 mm w amucie dla odległości km i maleje do mm dla odległości 5 km. W kalkulatorach dostępnch w internecie, do oblicania adania odwrotnego pr dużch odległościach jest wkle stosowana, apewniająca duże dokładności metoda T.Vincentego. Powżse oblicenia są godne dokładnością do mm obliceniami wkonanmi w programie udostępnionm na stronie opartm na metodie T.Vincentego (rs ). 6

57 Rs..8.5 Rs

58 .9. Układ horontaln astronomicn Płascna awierająca kierunek pionu (sił ciężkości g) i równoległa do osi obrotu Ziemi Z jest płascną południka astronomicnego (rs..9.). Krawędź precięcia płascn poiomej prostopadłej do kierunku pionu (płascna horontu) płascną południka astronomicnego wnaca kierunek północ N. Prostopadle do niego, w płascźnie poiomej jest określon kierunek wschodu E. Kierunek pionu jest określon: kątem nachlenia do płascn równika - serokością astronomicną Φ, ora kątem międ płascnami płudników astronomicnch miejscowego (S) i Greenwich - długością astronomicną Λ φ 5.638deg h 6.38 N.39 ξ 6.9 λ deg H.869 Σ 9.deg η deg deg r N - Północ Z C h Elipsoida g GRS8 tg Y X - Zenit Y E - Wschód S - stanowisko tachimetru na punkcie 65 (rs..3. ) Z X v Rs..9. r prostopadła do elipsoid r Φ φ ξ Λ λ Φ Λ η cos( φ) deg deg X S Y S Z S X C Y C Z C Oś pionowa kartejańskiego prawoskrętnego układu pomiarowego horontalnego (N, E, ) jest skierowana na enit, natomiast osie poiome N - na północ (North) i E - na wschód (East) (rs..9.). 66

59 Orientacja układu horontalnego (N, E, ) wględem układu geocentrcnego równikowego (X, Y, Z) jest określona a pomocą serokości i długości astronomicnej Φ, Λ. Prrost współrędnch geocentrcnch międ punktami S i C (rs..9.): ΔX ΔY ΔZ X C X S Y C Y S Z C Z S prelicane są na współrędne horontalne (N, E, ) według ależności: N E sin( Φ) cos( Λ) sin( Λ) ( ) cos( Λ) cos Φ sin( Φ) sin( Λ) cos( Λ) cos( Φ) sin( Λ) cos( Φ) sin( Φ) ΔX ΔY ΔZ Zależność ta jest wprowadona w wniku łożenia trech prekstałceń: obrót układu X, Y, Z wokół osi Z o kąt Λ(rs..9.), obrót otrmanego układu wokół osi ' o kąt Φ (rs..9.3), mian naw osi (rs..9.). Y ' Z ' Y sin Λ X cos Λ ' Y cos Λ X sin Λ = Z Λ X Λ Rs cos( Λ) sin( Λ) sin( Λ) cos( Λ) X Y Z Φ Φ Rs..9.3 " ' " 'sinφ 'cosφ " 'cosφ 'sinφ cos( Φ) sin( Φ) sin( Φ) cos( Φ)... 67

60 N = E= = Rs..9. N " E " " N E Układ horontaln geodejn Układowi pomiarowemu horontalnemu (N, E, ) określonemu pre kierunek pionu odpowiada układ odniesienia horontaln ( r, r, r ), (r - reference frame) określon pre prostą prostopadłą do elipsoid (rs..9.): r r r sin( φ) cos( λ) sin( λ) ( ) cos( λ) cos φ sin( φ) sin( λ) cos( λ) cos( φ) sin( λ) cos( φ) sin( φ) ΔX ΔY ΔZ Stąd, prekstałcenie współrędnch ( r, r, r ) na (N, E, ) pr łożeniu Φ= φ + φ, Λ= λ + λ ora rowinięciu w sereg wględem niewielkich poprawek φ, λ prjmuje postać: gdie N E ηtan( φ) ξ ξ Φ φ 6.9 deg 66 η ( Λ λ) cos( φ) 6.33 deg 66 ηtan( φ) ξ r η 3.66 r 38.9 η.8 r są składowmi odchlenia pionu v od prostopadłej do elipsoid (rs..9.), odpowiednio w płascźnie południka geodejnego i płascźnie prostopadłej awierającej normalną do elipsoid - tw. płascźnie pierwsego wertkału. 68

61 .. Układ pomiarow tachimetru Pomiar stuacjne i wsokościowe są wkonwane a pomocą tachimetrów i odbiorników GPS. W casie pomiaru kompensator ustawia oś obrotu poiomego tachimetru godnie kierunkiem pionu g. Oś ta pokrwa się więc osią układu horontalnego (N, E, ). Jednoceśnie płascna poioma kartejańskiego prawoskrętnego układu pomiarowego tachimetru (,, ) pokrwa się płascną poiomą NE układu horontalnego (N, E, ). W praktce kierunek era koła poiomego tachimetru od którego mierone są kąt poiome, będąc jednoceśnie kierunkiem osi, prjmuje dowolne położenie określone amutem - tak wana stała orientacjna poioma tachimetru (rs..9.). Układ pomiarow tachimetru (,, ) jest więc obrócon wględem układu pomiarowego horontalnego (N, E, ) w płascźnie poiomej o kąt : cos( Σ) sin( Σ) sin( Σ) cos( Σ) N E Składając prekstałcenia (X, Y, Z) ( r, r, r ) (N, E, ) (,, ): R ( BL ) R ( ξη B) R 3 ( Σ) sin( φ) cos( λ) sin( λ) ( ) cos( λ) cos φ cos( Σ) sin( Σ) ηtan( φ) ξ sin( Σ) cos( Σ) sin( φ) sin( λ) cos( λ) cos( φ) sin( λ) ηtan( φ) ξ η η cos( φ) sin( φ) otrmuje się wor do prelicania prrostów współrędnch geocentrcnch X, Y, Z mieronch a pomocą odbiorników GPS, na współrędne horontalne,, mierone a pomocą tachimetru i odwrotnie: ΔX ΔY ΔZ R 3 ( Σ) R ( ξη φ) R ( φλ ) R ( φλ ) T R ( ξη φ) T ΔX ΔY ΔZ R 3 ( Σ) T

62 .. Redukcja obserwacji na elipsoidę Redukcja obserwacji e wględu na odchlenie pionu Pomierone a pomocą tachimetru kierunek poiom i kąt pionow jak również amut astronomicn A są odniesione do środka geometrcnego osi głównch tachimetru ustawionego na punkcie S i środka reflektora ustawionego na punkcie C (rs...). Kąt te są redukowane do odpowiadającch im kątów r = + d, r = + v A, A r = + da określonch w geodejnm układie odniesienia. Niewielkie poprawki, nawane redukcjami d, v A, da są predstawiane w postaci liniowej wględem składowch odchlenia osi obrotu tachimetru od prostopadłej do elipsoid,. ξ 6.9 deg 6 6 η 6.33 deg 6 6 r N - Północ Reflektor A r r r A Teren r C S r s Tachimetr - Zenit r E - Wschód r N E r r r Rs... Redukcja amutu i kąta pionowego Na podstawie liniowego prekstałcenia współrędnch ( r, r, r ) na (N, E, ) wględem, amut A i kąt pionow (rs...): A atan E N deg β acot deg N E 7

63 są redukowane do horontalnego układu odniesienia: r A r atan 7.686deg r r β r acot deg r r według ależności: gdie A r A ηtan( φ) ( ξsin( A) ηcos( A) ) cot( β ) β r β ξcos( A) v A ξcos( A) ηsin( A) deg ηsin( A) 8.97 deg deg redukcja kąta pionowego jest równa odchleniu osi obrotu tachimetru w amucie mieronego kierunku A. Kierunek maksmalnej wartości odchlenia pionu: v ξ η deg 6 6 określon jest amutem A v atan η ξ.8957deg Redukcja kierunku poiomego Amut astronomicn mieronego kierunku A jest równ sumie stałej orientacjnej tachimetru odniesionej do południka astronomicnego N i wartości kierunku : A = + (rs...). Odpowiadając mu amut redukowan A r jest równ sumie stałej orientacjnej r odniesionej do południka geodejnego r ora kierunku poiomego redukowanego r : A r = r + r (rs...). Na podstawie prekstałcenia A A r : Σ r α r Σ α ηtan( φ) ( ξsin( A) ηcos( A) ) cot( β ) - estawionego dla kierunku osi ( =, r = i =, r = ), otrmuje się: Σ r Σ ηtan( φ) deg Zatem, pomieron kierunek poiom α atan deg 7

64 redukowan jest e wględu na odchlenie pionu według ależności: α r α ( ξsin( A) ηcos( A) ) cot( β ) gdie redukcja wnosi: deg dα ( ξsin( A) ηcos( A) ) cot( β ).3 deg 6 6 Redukcja kąta poiomego Redukcja kąta poiomego międ punktami L - lewe ramię i P - prawe ramię, równego różnic kierunków lewego i prawego ramienia kąta = P L jest dana worem d = d P -d L : dγ ξsin A P ξsina L ηcos A P cot β P ηcosa L cotβ L Redukcja amutu kierunku e wględu na wsokość celu W efekcie opisanej redukcji amut, kierunek poiom i kąt poiom ostał redukowane e wględu na odchlenie pionu od prostopadłej do elipsoid w punkcie S. Wielkości te są określone w płascźnie prostopadłej do prostej normalnej do elipsoid poprowadonej punktu S. Płascna ta jest równoległa do płascn stcnej do elipsoid w prostopadłm rucie S' punktu S na elipsoidie. Zredukowane wielkości można więc ropatrwać jako wielkości na płascźnie stcnej do elipsoid w punkcie S'. Zatem redukowan amut A r jak również redukowan kierunek poiom r odnosą się do linii prekroju normalnego elipsoid płascną awierająca prostopadłą do elipsoid na stanowisku S i prechodącą pre punkt celu C - anaconą na rs... linią kropkowaną. Ostatnim etapem redukcji jest więc oblicenie poprawki amutu i kierunku da a prejście od linii prekroju normalnego do linii geodejnej łącącej prostopadł rut celu C' prostopadłm rutem stanowiska S' onaconej na rs... linią prerwaną. Poprawkę tą można wnacć na podstawie składowch wektora R położenia punktu C w układie Freneta (,, ) odniesionego do linii geodejnej: - stcna do linii geodejnej, - normalna do powierchni, - binormalna. Wektor wodąc linii geodejnej r = r(s) ma postać seregu odległości s, którego współrędne ależą od krwin normalnej k i skręcenia geodejnego t elipsoid w amucie linii geodejnej - w prbliżeniu w amucie prekroju normalnego A. Pierwsa pochodna r' jest wektorem stcnm do linii geodejnej, druga r'' - wektorem normalnm. Zatem R = r + hr''/r''= [R, R, R ] skąd da tg da = R /R = ht (rs...). Otrmana poprawka da = ht - ależna tlko od wsokości punktu C nad elipsoidą nawana jest poprawką e wględu na wsokość celu. Dokładniejs wór można otrmać uwględniając dalse wra seregów składowch wektora wodącego r = r(s), (rs...). 7

65 cos A sin A k M N r t ( )sin A N M [ s k 6 S 3 s, kts 6 R r hr' '/ r'' [ R 3, R h S S, ks 6 A dk 6 ds s C h C da s r C N 3, R ] [ s, hts, R ] R M ] r'' Oś obrotu elipsoid φ 9 S B S R R R Biegun O Elipsoida GRS-8 a b a b f a f.3358 e a b a e.8899 da tgda R / R ht Rs... Na prkład, dla danch serokości geodejnej stanowiska S, redukowanego amutu i wsokości celu: φ 5.63deg h 6.38 A 5deg otrmuje się: N a e sin( φ) M t a e e sin( φ) 3 M N da ht. deg sin( A).8 Redukcja kąta poiomego e wględu na wsokość punktu celowania jest równa różnic redukcji prawego i lewego kierunku kąta. 73

66 .3. Odworowania kartograficne Odworowanie kartograficne Odworowanie kartograficne jest prporądkowaniem punktów elipsoid (φ, λ) punktom na płascźnie (, ): = (φ, λ) = (φ, λ) spełniającm warunki regularności: każdemu punktowi na elipsoidie odpowiada tlko jeden punkt na płscźnie, funkcje (φ, λ), (φ, λ) są ciągłe, różnickowalne ora wajemnie nieależne: d d d d d d d d Prkładem jest radialne rutowanie Mercatora punktów powierchni elipsoid - wdłuż promienia wchodącego e środka elipsoid, na powierchnię walca precinającego elipsoidę wdłuż wbranego równoleżnika (rs..3.). W prpadku walca stcnego do równika kuli (rs..3.-3) odworownie dane jest worami: = Rtgφ = Rλ d d d d d R d R cos d R cos d gdie φ jest serokością geograficną odniesioną do środka Ziemi, R = a. Siatka geograficna i siatka kartograficna W rutowaniach tch ortogonalne linie południków i równoleżników tworące siatkę geograficną na elipsoidie, są prekstałcane na ortogonalne linie obraów linii południków i równoleżników tworące siatkę kartograficną na płascźnie. Można auważć, że łuki południków i równoleżników ulegają nacnemu wdłużeniu, wrastającemu serokością geodejną (rs..3.-3), odworowania te nie są więc równoodległościowe. 7

67 Siatka geograficna Siatka kartograficna Mercatora Odworowanie Mercatora walcowe siecne Rs..3. λ =, = aλ Rs..3. Klasfikacja odworowań kartograficnch W ogólności, na mapie można odworować be niekstałceń tlko jedną cechę geometrcną, stąd konstruowane są odworowania: równokątne, równopolowe, równoodległościowe. Ze wględu na rodaj powierchni, na którą następuje odworowanie punktów powierchni Ziemi odworowania dielą się na (rs..3.): płascnowe, walcowe stożkowe. 75

68 Siatka kartograficna południków i równoleżników Mercatora =a tg = =R aλ Rs..3.3 Dals podiał tch odworowań, e wględu na położenie środka rutu, położenie powierchni rutu w stosunku do bieguna kuli lub elipsoid, odległość powierchni rutu od kuli lub elipsoid, podan jest na rs..3.. Wstępują również odworowania umowne, w tm pseudopłascnowe, pseudowalcowe i pseudostożkowe, ora odworowania które nie miescą się w podanej klasfikacji. Rs

69 .. Zniekstałcenia odworowawce Odworowanie elementu siatki geograficnej na element kartograficnej W dowolnm odworowaniu elipsoid na płascnę, niewielki, praktcnie prostokątn element siatki geograficnej o bokach ds φ, ds λ i prekątnej ds (rs..6.) ds ds ds jest prekstałcan na odpowiadając równoległobocn element siatki kartograficnej na płascźnie odworowania o bokach ds φ, ds λ i prekątnej ds (rs...): ds d d P ds A ds d ds = (,) Siatka kartograficna Południki d Równoleżniki Południk osiow Równik = (,) ds ds d d d d d d d d Rs... Uwględniając wor transformacji afinicnej różnicek współrędnch geodejnch d d d d d d d d d d d d d d prekątna ds elementu siatki kartograficnej jest predstawiana a pomocą prrostów współrędnch geodejnch boków wjściowego elementu siatki geograficnej ds Ed Fdd Gd o współcnnikach: 77

70 d E ( ) d F d d d G ( ) d d d d ( ) d d d d ( ) d d d Pr uwględnieniu ależności ds ds Md ds cos rd ds sin prekątna ds może bć wrażona również a pomocą: boków elementu siatki geograficnej ds φ, ds λ : ds E M ds F Mr G ds ds ds r prekątnej elementu siatki geograficnej na elipsoidie ds i jej amutu α ds E ds ( M cos F Mr G sin sin r ) Skala długości Skala długości m jako stosunek długości na płascźnie ds do długości na elipsoidie ds jest ależna w danm punkcie od kierunku (rs..6.,..): m ds ds lub w postaci: E M cos F Mr G sin sin r gdie m m cos m sin m sin m m m E M G r F Mr - skala długości w kierunku południka: α = - skala długości w kierunku równoleżnika: α = 9 78

71 Stąd boki i prekątna elementu siatki kartograficnej są równe skalowanm bokom i prekątnej elementu siatki geograficnej ds ds m m ds mds ds ds Zbieżność południków Kąt γ międ odworowanm południkiem a osią - nawan bieżnością lub konwergencją południków, można oblicć wchodąc prrostów współrędnch d, d wdłuż południka (dλ =, rs...): d d d d d d d d Zatem (rs...) tg d d d d d d Zniekstałcenie kątowe Zniekstałcenie kąta jest różnicą pomięd odpowiadającmi sobie kątami na płascźnie odworowania i na elipsoidie. Na prkład, kąt międ odworowanm południkiem i równoleżnikiem θ można oblicć na podstawie ilocnu skalarnego wektorów ds φ, ds λ : cos ds ds ds ds F EG m m m Zniekstałcenie tego kąta wnosi 9 lub po podstawieniu m arccos m m 79

72 Skala pola Skala pola jest stosunkiem pola odworowanego równoległoboku do pola wjściowego elementu prostokątnego elipsoid ds ds sin p m m ds ds Prekstałcenie amutu sin m m m Amut odcinka ds licon od linii południka na elipsoidie (rs..6.) jest prekstałcan na kąt kierunkow A odcinka ds licon od obrau południka na płascźnie (rs...) według ależności: m ctg m ctgα m m m Wór ten można otrmać na podstawie ilorau ds ds /ds ds ds ctga ds ( ds ds cos A ds ds sin A ds ( E cos F sin) ds ds ( Ectg F) ds sin EG F ds sin ds ds )( ds ds) ( ds ds ( ds ) Ed Fd ds)( ds ds) ( Ectg F) ds sin EG F d Pierwse twierdenie Tissota Ze mianą kierunku α w akresie kąta pełnego skala m = m(α) m m cos m sin m sin akreśla krwą skali (rs...) o wartościach ekstremalnch a m cos a m sin a m sin a b m cos b m sin b m sin b obliconch w dwóch prostopadłch kierunkach α a, α b wnikającch warunku koniecnego minimum: dm min d m tg m m 8

73 Stąd a b a m atg m m Kierunki te, nawane kierunkami głównmi odworowania, o skalach ekstremalnch a, b wnacają ortogonalną krwoliniową siatkę Tissota ( T, T ) na elipsoidie, (rs...). Siatka Tissota na elipsoidie b ds T a P ds a m= m Południk m a Krwa skali na elipsoidie m() m() T b b m Równoleżnik Rs... Macier deformacji można apisać a pomocą wartości ekstremalnch i ich kierunków w postaci rokładu spektralnego: m m m m cos a sin a cos b a sin b cos a b sin a T cos b sin b gdie a b jest macierą wartości własnch a, b macier deformacji, natomiast ortogonalna macier a a cos a sin a a b cos b sin b jest macierą wektorów własnch a a, a b wskaującch kierunki wartości własnch a, b. 8

74 W dowolnm odworowaniu elipsoid skala długości m() jest na ogół różna w każdm punkcie (niejednorodna) i mienna kierunkiem (aniotropowa), (rs...): Amut prostopadłch linii siatki Tissota na elipsoidie a, b (rs...) są prekstałcane na kierunki licone wględem odworowanego południka (rs...3) m ctg a m ctgaa m m m ctga b m ctg b m m m m które są również prostopadłe. X T Siatka Tissota na płascźnie X Obra południka A() m a P m= m b a b m m() Y T Y Obra równoleżnika Elipsa Tissota na płascźnie Rs...3 Można to wkaać wchodąc ałożenia A b = A a + 9: ctga b = - tga a lub inacej ctga a ctga b = - skąd po podstawieniu powżsch wrażeń dla ctga b i ctga a : ( m ctg a m )( m tg a m ) m m m i prekstałceniu otrmuje się ależność tg m a m m którą spełnia kierunek ekstremaln α a. Jest to godne pierwsm twierdeniem Tissota (Trajdos, 97) według którego w dowolnm regularnm odworowaniu jednej regularnej powierchni na drugą istnieje awse prnajmniej jedna, a jeśli odworowanie nie jest równokątne to tlko jedna 8

75 siatka ortogonalna na powierchni orginału T, T wskaująca kierunki główne odworowania o skalach ekstremalnch a, b, nawana siatką Tissota, której obra na drugiej powierchni jest również siatką ortogonalną X T, Y T wskaującą kierunki główne odworowania o skalach ekstremalnch a, b nawaną także siatką Tissota. Drugie twierdenie Tisssota Według drugiego twierdenia Tissota (Trajdos 97) obraem graficnm skali długości m we wsstkich kierunkach wchodącch punktu na płascźnie odworowania jest elipsa (nawana elipsą Tissota), której półosie są równe ekstremalnm skalom długości a, b w kierunkach głównch X T, Y T (rs...3): Równanie biegunowe elips Tissota (m, φ) wrażające mienność promienia wodącego elips m = m(φ) w funkcji kąta kierunkowego φ ma postać: m b ab cos a sin Odwracając to równanie otrmuje się kąt kierunkow jako funkcję amutu = (): b tg a A B m( ) m( ) Elipsa Tissota może więc bć wkreślana odkładając promień wodąc m = m() na płascźnie odworowania w kierunku (rs...3): A = A() wględem odworowanego południka, = () wględem kierunku głównego X T, lub γ +A() wględem osi, gdie γ jest kątem bieżności południków. Odworowania równoodległościowe W odworowaniu równoodległościowm skala długości w danm punkcie jest stała, nieależna od kierunku α i równa jedności: m m cos m Warunek ten achodi dla m = m φ = m λ =, m φλ = sin m sin więc elipsa Tissota jest okręgiem o promieniu równm jedności: a = b =. Odworowania równokątne W odworowaniu równokątnm amut dowolnej linii licon od południka na elipsoidie α jest prekstałcon na taki sam kąt kierunkow A obrau tej linii licon od obrau południka na płascźnie A = α: 83

76 ctg m ctg m m m m Warunek ten achodi dla m φ = m λ, m φλ = więc skala długości m jest stała w danm punkcie, nieależna od kierunku, elipsa Tissota jest okręgiem o promieniu a = b = m φ = m λ. Odworowania równopolowe W odworowaniu równopolowm skala pola jest równa jedności p m m m Warunek ten achodi dla m φ m λ - m φλ = a b = więc długość jednej półosi elips Tissota jest równa odwrotności drugiej półosi b = /a. Kartometria Jednm podstawowch adań kartometrii jest określenie wielkości niekstałceń w dowolnm punkcie map, na podstawie wkreślonej siatki kartograficnej. W tm celu wstarc w odpowiednim punkcie map określić skale wdłuż południka i równoleżnika m φ, m λ ora kąt θ międ południkiem i równoleżnikiem. Ab naleźć wartości m φ i m λ należ: mierć łuki południka i równoleżnika obok odpowiedniego punktu węłowego siatki kartograficnej, określić skalę wdłuż południka i równoleżnika dieląc otrmane wartości pre długości odpowiednich łuków elipsoid, odctanch tablic kartograficnch lub obliconch - dla danch długości i serokości punktów, Wielkości m φ i m λ otrmuje się dieląc skale wdłuż południka i równoleżnika pre skalę główną map. Kąt θ jest mieron a pomocą kątomiera. Na podstawie pomieronch wartości m φ, m λ, θ oblicane są: p m m sin - niekstałcenie powierchni p a b m m p - niekstałcenia ekstremalne a i b a b m a b sin a b m p - najwiękse niekstałcenie kątów ω 8

77 Transformacja współrędnch płaskich W prpadku niewielkiego obsaru współrędne punktów są cęsto prelicane bepośrednio międ różnmi układami współrędnch płaskich pr astosowaniu transformacji równokątnej pre podobieństwo (Helmerta), transformacji afinicnej ora transformacji wiernokątnch wielomianowch, transformacji sklejanch, transformacji kriging (np. Osada, c). Analia niekstałceń liniowch, kątowch ora pola w tch transformacjach jest preprowadana według wżej wprowadonch ależności dla odworowania elipsoid (φ, λ) na płascnę (, ). W transformacjach jest prekstałacana płascna (X, Y) na płascnę (, ), formie kwadratowej elipsoid ds M d r d odpowiada więc forma kwadratowa płascn ds dx dy Zatem, pr badaniu niekstałceń w transformacjach, w wprowadonch worach na skale długości i pola ora na niekstałcenia kątowe należ podstawić M = r = ora amienić smbole φ, λ na X, Y. 85

78 .5. Odworowanie Gaussa-Krügera Założenia odworowania Gaussa-Krügera Odworowanie Gaussa-Krügera jest równokątnm walcowm poprecnm stcnm do wbranego południka np. λ 9 odworowaniem elipsoid na płascnę (rs..5.): obraami południka stcności i równika na walcu są linie prostopadłe, będące po rowinięciu walca na płascźnie, osiami płaskiego układu współrędnch Gaussa-Krügera i. południk stcności - osiow, odworowuje się wiernie, be niekstałcenia długości, skala m =, niekstałcenie σ = m - =, natomiast poostałe południki jak również równoleżniki odworowują się jako linie akrwione, smetrcnie wględem południka osiowego, warunku równokątności wnika, że ortogonalne linie południków i równoleżników tworące siatkę geograficną linii współrędnch φ, λ na elipsoidie odworowują się na ortogonalne linie południków i równoleżników tworące krwoliniową ortogonalną siatkę kartograficną współrędnch φ, λ na płascźnie Gaussa-Krügera (rs..5.). procedur odworowania Gaussa-Krugera BLnaXY i XYnaBL X φφ' φ'' λ λ' λ'' λ m σ BLnaXY ( ).33 γ.7396 = Z Siatka geograficna P Zadanie proste = 9 Zadanie odwro tne Y P Siatka kartograficna l = - M d r Południk osiow m = = 9 = 5 Ró wnik φ λ m XYnaBL ( 9 ) λ Rs..5. φ ( ) λ ( ) 86

79 Wor równokątnch odworowań elipsoid na płascnę, w tm odworowania Gaussa-Krügera wprowadane są w parametracji elipsoid a pomocą współrędnch iometrcnch (ψ, λ). Współrędne iometrcne Prekstałcenie pierwsej form kwadratowej elipsoid danej we współrędnch geodejnch (φ, λ) ds M d r d M r ( d d ) r r ( d d ) prowadi do różnicki serokości iometrcnej ψ M d d r Stąd serokość iometrcna jest dana worem M d r Na prkład, serokość iometrcna punktu o serokości geodejnej φ 5.675deg wnosi φ M( φ) ψ dφ deg r( φ) lub równoważnie, po scałkowamiu tego woru: e ψ ln tan π φ esin( φ) esin( φ) deg Serokość geodejną φ można wnacć na podstawie danej serokości iometrcnej ψ w wniku rowiąania równania całkowego wiążącego ψ φ. Pr użciu procedur Minerr w Mathcadie otrmuje się: Given φ M( φ) ψ = dφ r( φ) Minerr( φ) 5.675deg 87

80 Ze woru na kwadrat łuku elipsoid ds we współrędnch iometrcnch wnika ich własność: jednakowm niewielkim prrostom serokości i długości dψ = dλ odpowiadają identcne długości łuków południka (dλ = ) i równoleżnika (dψ = ): ds ψ = rdψ ds λ = rdλ. Prekstałcenie φ, λ, Odworowanie równokątne elipsoid (φ, λ) danej we współrędnch iometrcnch ) ( d r M l = λ - λ na płascnę (, ) można ropatrwać jako prekstałcenie płascn espolonej w płascnę espoloną, które licbie espolonej + i prporądkowuje licbę espoloną ψ + il: ) ( d df il f i gdie = (ψ, l) i = (ψ, l) są posukiwanmi funkcjami recwistmi, = ψ + il. Dla wnacenia funkcji odworowawcch Gaussa-Krügera = (ψ, l) i = (ψ, l), funkcja f() = f(ψ + il) jest rowijana w sereg Talora wokół punktu o serokości ψ na południku osiowm: = ψ + i:... 6! ) ( ) ( 5! ) ( ) (! ) ( ) ( 3! ) ( ) (! ) ( ) (! ) ( ) (... 6! ) ( ) ( 5! ) ( ) (! ) ( ) ( 3! ) ( ) (! ) ( ) (! ) ( ) ( ) ( il d v f d il d f d il d f d il d f d il d f d il d df f d f d d f d d f d d f d d f d d df f i skąd, po rodieleniu na cęść recwistą i urojoną:... 5! ) ( 3! ) ( ) (... 6! ) (! ) (! ) ( ) ( l d f d l d f d l d df l d v f d l d f d l d f d f 88

81 Dla l = współrędna = f(ψ + i) = f(ψ) punktu leżącego na południku osiowm jest ałożenia stcności walca równa długości południka s: atem gdie def f [ ( )] s s( ) M ( ) d d s( ) l d s( ) l d s( ) s( ) 6 d! d! d 3 ds( ) d s( ) l d s( ) l l d d 3! d 5! l... 6! ds ds d N cos M N cos d d d M d s d ds d( N cos) d N cos ( ) M sin N sin cos d d d d d M 3 d s d( N sin cos) d 3 N N cos ( tg ) 3 d d d M N cos ( tg e d s 5 N cos (5 8tg tg 5 d cos ) d s 3 N sin cos (5 tg 9e d cos e e d s 5 N sin cos (6 58tg tg 6 d cos 58e ) cos ) cos tg Stąd funkcje odworowawce Gaussa-Krügera = (ψ, l), = (ψ, l) prjmują postać: ) ( φλ ) φ M( φ) dφ λ λ N( φ) sin( φ) cos( φ) λ λ N( φ) sin( φ) cos( φ) 3 5 tan( φ) 9e e cos( φ) 7 λ λ 6 cos( φ) N( φ) sin( φ) cos( φ) tan( φ) tan( φ) 89

82 ( φλ ) λ λ N( φ) cos( φ) 6 λ λ 3 N( φ) cos( φ) 3 tan( φ) e cos( φ) λ λ 5 N( φ) cos( φ) 5 5 8tan( φ) tan( φ) e cos( φ) 58e cos( φ) tan( φ) Na prkład dla punktu osnow scegółowej P (65) we Wrocławiu (rs..3.) φ p λ p otrmuje się: współrędne Gaussa-Krügera φ p degλ p deg φ p degλ p deg współcnniki form kwadratowej odworowania E( φλ ) F( φλ ) G( φλ ) d dφ ( φλ ) d dφ ( φλ ) d dφ ( φλ ) d dλ ( φλ ) d dφ ( φλ ) d dλ ( φλ ) d dλ ( φλ ) E E φ p degλ p deg d dλ ( φλ ) λ p deg 83.8 λ p deg F F φ p deg - e wględu na ogranicenie seregu, F G G φ p deg skale długości (m = m φ = m λ, m φλ = ) m φ M E.3339 m λ r G.39 9

83 m φλ F. Mr m m φ.3339 niekstałcenie długości σ m.33 cm km bieżność południków d d γφλ ( ) atan d d φ ( φλ ) φ ( φλ ) γ γ φ p degλ p deg.5657deg - prjmuje się, że na półkuli północnej bieżność południków γ jest dodatnia w punktach położonch na wschód od południka osiowego i ujemna - na achód. kąt międ odworowanm południkiem i równoleżnikiem m φλ θ acos m φ m λ 9deg niewielki element siatki geograficnej ' ' na elipsoidie (rs..6.) o bokach i prekątnej równch ds φ 85.7 ds λ ds 9.99 ostaje prekstałcon na element siatki kartograficnej na płascźnie (rs...) o wmiarach ds φ ds λ ds mds φ mds λ 67. mds 9.63 i kącie obrotu wględem osi równm bieżności południków γ deg. W tachimetrii mierone odległości są redukowane elipsoid na płascnę Gaussa-Krügera według woru uprosconego na skalę długości (np. Osada, c): m R sr gdie R śr jest średnim promieniem krwin elipsoid R śr = NM na obsare Polski. 9

84 Wór ten jest wprowadon pr ograniceniu seregów dla pochodnch: d d s( ) l ln sin cos d d! 3 ds( ) d s( ) l 3 N cos 3 d d 3! d d ora dla współrędnej ln cos Stąd G N a następnie m G r cos ( l R śr cos ) N cos 3 Nl 3 N cos ( tg M ( ) N MN ) cos ( Wór ten, po rowinięciu w sereg Talora wględem małej wielkości /R śr, prowadi do wspomnianego, stosowanego w tachimetrii woru na skalę długości: m R.338 ora definicji m = + σ na niekstałcenie długości σ R.3375 cm km Dla wiualiacji siatki kartograficnej ora rokładu niekstałceń liniowch i bieżności południków oblicone są wartości współrędnch, ora ρ i γ w narożnikach siatki geograficnej obejmującej obsar Polski ora w punktach na południku osiowm (rs..5.): współrędne geodejne φ, λ punktów siatki geograficnej ułożonch w kolejności umożliwiającej jej wkreślenie na rsunku.5.: R śr ) φ st λ st

85 współrędne prostokątne, niekstałcenia i bieżności południków : X XY BLnaXY φ st φ st φ st λ st λ st λ st 9 i rows φ st 3 X XY Y XY σ XY γ XY i i i i i i i i Y σ γ serokość segmentu siatki na równoleżniku 55 międ punktami 3 i 5: Y Y 5 3 d 35 X X serokość segmentu siatki na równoleżniku 9 międ punktami i 6: Y Y 6 d 6 X X wsokość segmentu siatki na południku środkowm 9, międ punktami i : Y Y d X X Z anali niekstałcenia odworowania Gaussa-Krügera, godnie własnością odworowań równokątnch wnika, że (rs..5.-): skala m i niekstałcenie są wielkościami stałmi w danm punkcie P, nieależnmi od kierunku, ależnmi tlko od odległości - punktu od południka środkowego, stąd są one stałe wdłuż linii równoległch do osi, na południku osiowm skala wnosi m = natomiast niekstałcenie =, skala i niekstałcenie są mienne wdłuż południków ponieważ e wrostem serokości φ odległość maleje. W powżsch obliceniach, wkaanch na rs..5.- astosowane jest trój-etapowe podejście do realiacji odworowania Gaussa-Krügera, podane pre Krügera: (Łomnicki 956): odworowanie Lagrange'a elipsoid na kulę, odworowanie kuli na płascnę Merkatora, odworowanie płascn Mercatora na płascnę Gaussa. 93

86 Ta realiacja odworowania GaussaKrügera alecana jest w Wtcnch technicnch G-.. Algortm prekstałcenia φ, λ na, i odwrotnego, na φ, λ jest opisan we wspomnianch pocjach literatur (Łomnicki 956, Kadaj ) jak również w innch na prkład (Biernacki 973), (Gajderowic 9). Procedur tch prekstałceń (φλna i naφλ) w mathcadie są dostępne w podręcniku (Osada ) ora w rowijalnej w akładce nad rsunkiem.5.. Na rsunku.5. oblicone są współrędne, wspomnianego punktu P we Wrocławiu (rs..3.), jak również φ, λ w prekstałceniu odwrotnm, pr astosowaniu procedur odworowania potrójnego φλna i naφλ. Są one godne e współrędnmi obliconmi według wprowadonch wżej seregów potęgowch Gaussa-Krügera Siatka kartograficna i kilometrowa ( km) ora rokład niekstałceń i bieżności południków w odworowaniu Gaussa-Krügera na obsare Polsk 6. 6 σ 5.6 σ. σ γ.55 γ. γ d X σ.3 γ.7 P(65) d d σ 6.35 σ. σ γ. γ. γ Y Rs..5. 9

87 Prekstałcenie odwrotne, φ, λ Prekstałcenie odwrotne realiowane jest na podstawie rowinięcia funkcji w sereg Talora miennej espolonej il F( i) F( Z) wokół punktu Z = + i na osi : il F( Z df( Z ) dz ) ( Z Z df( ) ( i) d F( ) ( i) F( ) d! d! d F( Z dz d F( ) ( i) d! ) ( Z Z! ) 5! ) d 5 d F( ) ( i) 5 d 5! 5 d F( Z 5 dz F( Z dz ) ( Z Z ) ( Z Z skąd, po rodieleniu na cęść recwistą i urojoną: 5! )! d F( ) ( i) 3 d 3! d F( ) ( i) 6 d 6! 6 ) d F( Z 3 dz d F( Z 6 dz ) ( Z Z ) ( Z Z 6! ) 3! 6... ) 3 d F( ) d F( ) d F( ) F( ) 6 d! d! d 3 df( ) d F( ) d F( ) l 3 5 d! d 3! d 5! ! Dla = współrędna iometrcna ψ = F( + i) = F() punktu na południku osiowm o danej współrędnej, jest powiąana e współrędną geodejną φ tego punktu według ależności: F( ) M d N cos Długość południka s odpowiadająca serokości φ równa jest ałożenia stcności walca współrędnej : s s( Md ) Stąd, dla danej współrędnej oblicana jest serokość geodejna φ, wchodąc wartości pierwsego prbliżenia φ 95

88 Given φ = M( φ) dφ φ Minerr φ deg a następnie serokość iometrcna tego punktu φ ψ M( φ) r( φ) dφ deg Seregi potęgowe dla ψ i λ prjmują więc postać d ds d d l 3 ds ds 6 3 d ds d 5 ds 6 6 d... 6 ds 7 gdie pochodne są oblicane w punkcie P na odworowanm południku osiowm, dla φ = φ : d d d ds d ds... d ds 3 d ds d ( ) ds 3 M r M d ds r N N cos ( tg e cos d s d d d d sin ( ) ( ) 3 d d ds ds d r M d d sin tg ( ) ( ) r d r ds r N cos cos ) tg N r Stąd funkcje odworowawce Gaussa-Krügera odwrotne ψ = ψ(, ), λ = λ(, ) prjmują postać: tan φ ψ ψ Nφ cosφ ψ deg N M Nφ 5 6tan φ e cos φ 36 Nφ 6 8tan φ tanφ 96

89 λ λ N φ cosφ 6 Nφ tan φ e cos φ Nφ 5 8tanφ tanφ 6e cosφ 8tanφ e cos φ λ deg λ StMinSek λdeg ( ) Serokość geodejna φ jest oblicana na podstawie otrmanej serokości iometrcnej ψ deg : φ Given φ ψ = M( φ) r( φ) dφ φ Minerr( φ) 5.638deg φ StMinSekφdeg ( ) Redukcje odworowawce długości i kierunku Linia prekroju normalnego PQ na elipsoidie o długości S jest prekstałcana na krwą na płascźnie o długości s = ms, tworącą cięciwą kąt = (A, s) ależn od amutu A i długości s (rs..5.3-). Pomieron amut punktu Q w odległości S na elipsoidie jest więc prekstałcan na amut A obrau punktu Q na płascźnie w odległości s = ms według ależności A = + +. Dla redukcji odległości więksch niż w klascnej tachimetrii s = ms skala m jest oblicana jako średnia e skal w punktach końcowch odcinka s. 97

90 P S S,s, A Q A = ++ P s = ms Q Rs..5.3 δ( As) scos( A) ( 3 ssin( A) ) 6R sr. δ A. δ A. 5 δ A. 6 6 deg 6 6 deg 6 6 deg A. deg Rs

91 Odworowanie Gaussa-Krügera siecne (Mercatora, UTM) W położeniu siecnm walec prebiega średnio bliżej powierchni elipsoid, na obsare kraju (rs..5.5) w porównaniu położenim stcnm (rs..5.), można się więc spodiewać mniejsch wartości niekstałceń liniowch i powierchniowch. W tm prpadku: linie siecności odworowują się be niekstałceń, skala liniowa wdłuż tch linii jest równa jedności m =, południk osiow na walcu jest króts od południka na elipsoidie, więc skala długości na południku osiowm jest mniejsa od jedności m <, skala na południkach skrajnch jest więksa od jedności m >. Odworowanie to nane jest jako modfikowane odworowanie GaussaKrügera lub odworowanie walcowe poprecne siecne Mercatora albo uniwersalne poprecne odworowanie Mercatora UTM (Universal Transwerse Mercator) - pr ałożeniu pasów 3-stopniowch. P P φφ' φ'' λ λ' λ'' λ m BLnaXY ( ) σ P γ.7396 P φ P XYnaBL λ P P P Rs..5.5 φ P ( ) λ P ( ) 99

92 Dla wiualiacji siatki kartograficnej ora rokładu niekstałceń liniowch i bieżności południków oblicone są wartości współrędnch, ora ρ i γ w narożnikach siatki kartograficnej obejmującej obsar Polski ora w punktach na południku osiowm (rs..5.6): współrędne prostokątne, niekstałcenia i bieżności południków : XY BLnaXY φ st φ st φ st λ st λ st λ st i rows φ st X XY i 3 X Y XY σ XY γ XY i i i i i i i Y σ γ serokość stref na równoleżniku 55 międ punktami 3 i 5: Y Y 5 3 d 35 X X serokość stref na równoleżniku 9 międ punktami i 6: Y Y 6 d 6 X X wsokość stref na południku środkowm 9, międ punktami i : Y Y d X X

93 iteracjne prbliżenie punktów linii siecności elipsoid 7, 8. 9, o erowch niekstałceniach długości σ =, achodniej 7-8 i wschodniej 9 -: X. Y. σ. γ. Punkt 7 na równoleżniku 9 na achód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y X. Y. σ. γ. Punkt 8 na równoleżniku 55 na achód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y X.. Y.. σ.. γ.. X.. Y.. σ.. γ.. Punkt 9 na równoleżniku 9 na wschód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y Punkt na równoleżniku 55 na wschód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y

94 Siatka kartograficna i kilometrowa ( km) ora rokład niekstałceń i bieżności południków w odworowaniu siecnm Gaussa-Krügera σ 55.7 σ 69.9 σ γ.55 γ. γ X d = = X. X σ P 5.57 γ P.7 P(65) d d σ 9.33 σ 69.9 σ γ. γ. γ YY. Y.. Rs..5.6

95 .6. Układ współrędnch PL-99 Jest stosowan w opracowaniach kartograficnch w skalach : - :5. Konstrukcja układu Układ współrędnch prostokątnch płaskich PL-99 składa się jednego pasa południkowego elipsoid w odworowaniu walcowm poprecnm wiernokątnm GaussaKrügera, o (rs..6.): południku osiowm 9 E, skali na południku osiowm m =.9993 (stąd niekstałcenie σ = - 7 cm/km), wartości pocątkowej współrędnej północnej = m, wartości pocątkowej współrędnej wschodniej = 5. m. Układ PL-99 Układ Gaussa-Krugera (siecn) N-33 N = mgk m m 99=m m GK P m GK M-33 M-3 m GK m = m 99 = m GK + 5 Rs..6. Równik 3

96 Prelicanie współrędnch φ λ ora analia niekstałceń Prelicenie współrędnch φ, λ, punktu P (rs..6.) wra obliceniem niekstałcenia liniowego σ i bieżności południków γ w tm punkcie można wkonać a pomocą programów C-Geo (rs..6.), GeoNet i innch. Rs..6. Procedur w mathcadie BLnaXY i XYnaBL (rod..5) dają identcne wniki: prelicenie φ, λ, ora oblicenie niekstałcenia i konwergencji P P φφ' φ'' λ λ' λ'' λ m BLnaXY ( ) σ P γ.7396 P

97 prelicenie odwrotne, φ, λ φ P λ m φ XYnaBL ( P ) ( ) λ P λ P ( ) Arkuse map :, :5, : i : Międnarodowa Mapa Świata : Linie współrędnch geodejnch φ - południki i λ - równoleżniki tworą siatkę geograficną na elipsoidie (rs..6.3). - stopniowe pas równoleżnikowe serokości geograficnej i 6 - stopniowe pas południkowe długości geograficnej wdielają arkuse Międnarodowej Map Świata, które są drukowane w wbranm odworowaniu kartograficnm na płascźnie w skali :. Elipsoida GRS Rs

98 Pas równoleżnikowe, biegnące po obu stronach równika, onacone są literami od A do V. Słup południkowe onacone są licbami od do 6, licąc od południka 8. Adres arkusa map składając się onacenia pasa i słupa np. M-33 (rs..6.3) nawan jest godłem map. Polska najduje się na pięciu arkusach map świata 6 o godłach N-33, N-3, M-33, M-3 i M-35 (rs..6.3). Arkuse M-33, M-3, N-33 i N-3 map : określone są współrędnmi geodejnmi φ, λ ich narożników,, 3,...9 na elipsoidie (rs..6.3 i.6.5): Punkt φ st λ st - pr cm punkt i najdują się na południku osiowm 9 E (rs..6. i 5). Współrędne prostokątne, ora niekstałcenie i bieżność południków w tch punktach wnosą (rs..6.5): XY BLnaXY φ st φ st φ st λ st λ st λ st i rows φ st X Y σ γ Punkt X 3 X XY Y XY σ XY γ XY i i i i i i i i Y σ γ

99 Arkuse map :5, :, : Każd arkus Międnarodowej Map Świata w skali : np. M-33 (rs..6., rs..6.3) jest dielon na arkuse map w skalach :5, : i :. Schemat podiału, onacenia arkus i prkład godła predstawione są na rs I VI = A M-33-3 : 3 B 3 P M-33 : C D 8 9 M-33-D :5 = XXXI : M-33-XXXI Licba arkus Onacenie Wmiar Skala Prkład godła 6 : M-33 6 A, B, C, D 3 : 5 M-33-D 36 I, II, III, XXXVI : M-33-XXXI,, 3, 3 : M XXXVI =8 =8 Rs..6. Położenie dowolnego arkusa na elipsoidie, na prkład M-33-3, jest określone współrędnmi geodejnmi jego narożników (rs..6.): 7

100 5 5 Punkt 3 φ st φ min λ st 5 5 Stąd, na płascźnie układu PL-99 (rs..6.5): X. Y. σ. γ. X. Y. σ. γ. X.. Y.. σ.. γ.. BLnaXY ( ) BLnaXY ( ) BLnaXY ( ) λ min XY BLnaXY φ st φ min φ st λ st λ min λ st i rowsφ st Punkt 3 X X XY Y XY σ XY γ XY i i i i i i i i Y σ 6.73 γ Linie erowch niekstałceń długości σ =, o skali m = Współrędne punktów linii siecności elipsoid na równoleżnikach 9 i 55 po lewej i prawej stronie południka osiowego 9, wartości niekstałcenia σ = i bieżności południków γ w tch punktach - oblicone iteracjnie, wnosą (rs..6.5): Punkt na równoleżniku 9 na achód od południka osiowego w odległości od południka osiowego Y Punkt na równoleżniku 55 na achód od południka osiowego w odległości od południka osiowego Y Punkt na równoleżniku 9 na wschód od południka osiowego w odległości od południka osiowego Y

101 X.. Y.. σ.. γ.. Punkt na równoleżniku 55 na wschód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y Arkuse N-33, N-3, M-33, M-3 map : i arkus M-33-3 map : ora rokład niekstałceń i bieżności południków w układie 99 X X X X3 X X. X.. X σ 63.3 γ σ 65.3 σ 7. σ 9. 3 γ.9 γ. γ σ = σ = N-33 N-3 σ 6. 9 γ σ σ γ 6. γ.38 8 M-33-3 M-33 M-3 σ = σ = σ σ σ 7. σ.9 5 γ 5.79 γ.83 γ. γ YY YY3YY. Y.. Y Rs

102 Arkuse map :5, :5, : Arkuse map :5, :5, : na elipsoidie Każd arkus map w skali : np. N-33-3 (rs..6.-5) jest dielon na arkuse map w skalach :5, :5 i :. Schemat podiału na elipsoidie ora onacenia arkus i prkład godła predstawione są na rs =63' 3 =7' =5 A M-33-3-B :5 B a c 5 C M-33-3 : b 7 3 d : M-33-3-C-c-3 3 M-33-3-C-b :5 =5 ' Licba arkus Onacenie Wmiar Skala Prkład godła 3 : M-33-3 A, B, C, D 5 : 5 M-33-3-B 6 a, b, c, d : 5 M-33-3-C-b,, 3, : M-33-3-C-c-3 Rs..6.6 D 5 P Godła arkus map na którch najduje się dowoln punkt P, na prkład geodejnej osnow poiomej scegółowej o numere 65 (rs..3.), są określane po anaceniu tego punktu na plansach podiału sekcjnego (rs..6., rs ): Skala Godło : M-33 : 5 M-33-B : M-33-XI : M-33-3 : 5 M-33-3-D : 5 M-33-3-D-b : M-33-3-D-b-

103 Arkuse map :5, :5, : na płascźnie układu 99 Romiescenie arkus map w skalach :5, :5 i : na arkusu M-33-3 w skali :, anaconmi liniami siatki kartograficnej φ, λ i siatki kilometrowej współrędnch, w układie PL-99 jest pokaane na rsunku.6.7. Arkuse te, na elipsoidie mają kstałt trapeów elipsoidalnch o jednakowch wmiarach liniowch w danej skali. Ze wględu na niekstałcenia odworowawce wmiar ramek arkus - w tej samej skali, nie są takie same. Na prkład, na podstawie współrędnch narożników,, 3, arkusa N-33-3 (rs..6.-5) otrmuje się (rs..6.7): długość górnej ramki arkusa, międ narożnikami i 3: d 3 X X Y Y d na mapie - w terenie długość dolnej ramki arkusa, międ narożnikami i : d X X Y Y w terenie d.35- na mapie długość lewej ramki arkusa, międ narożnikami i : d X X Y Y w terenie d.37 - na mapie długość prawej ramki arkusa, międ narożnikami 3 i : d 3 X X Y Y d na mapie - w terenie dolna ramka arkusa jest dłużsa od górnej: d d w terenie d d 3 lewa ramka arkusa jest dłużsa od prawej: d d w terenie d d na mapie.5 - na mapie

104 Na rs..6.7 podane są również niekstałcenia długości i bieżności południków w narożnikach,, 3, arkusa M-33-3 map :. Arkuse map :5, :5, : ora rokład niekstałceń i bieżności południków na arkusu M-33-3 map : w układie 99 5 σ 65. σ 9. 3 γ.9 γ.6 3 X P d km 3.37 km c a A 9.7 km C b d 8.53 km 8.7 km d M-33-3 : d Y P M-33-3-B :5 B M-33-3-C-b :5 7.8 km D P d M-33-3-C-c-3 σ 63.3 : σ 7.5 γ 6.6 γ.38 Licba arkus Wmiar Skala Prkład godła Siatka kilometr. 3 : M-33-3 km (cm) 5 : 5 M-33-3-B km (cm) : 5 M-33-3-C-b km (cm) : M-33-3-C-c-3 km (cm) Rs..6.7

105 Arkus map topograficnej M-33--C-d-3 WODGiK we Wrocławiu udostępnia w układie PL-99 na obsare wojewódtwa dolnośląskiego Baę Danch Obiektów Topograficnch BDOTk o scegółowości map topograficnej w skali :, w postaci wektorowej ba danch SHP jak również w postaci map topograficnej rastrowej TIFF i drukowanej A, A, A i A3 (rs..6.8-). Na rsunkach.6.9- pokaane są fragment arkusa map topograficnej WOŁÓW M-33--C-d Rs

106 Rs..6.9

107 Rs..6. 5

108 Rs..6. 6

109 Rs..6. 7

110 Kstałt ramki arkusa map M-33--C-d-3 ora niekstałcenia odworowawce długości σ i bieżność południków γ Zgodnie podiałem sekcjnm Miednarodowej Map Świata ramkę arkusa map M-33--C-d-3 wnacają prostopadłe, akrwione linie odworowanch południków i równoleżników, tworące siatkę kartograficną na płascźnie układu 99. Ramka ta jest więc krwoliniowa, w kstałcie bliżonm do trapeu o krótsej podstawie górnej - e wględu na bieżność południków na elipsoidie. Wmiar ramki na płascźnie ukladu 99 można otrmać po preliceniu współrędnch geodejnch narożników,, 3, (rs..6.9-): 5 5 Punkt 3 φ st λ st 6 6 na współrędne prostokątne, : φ min λ min φ sek λ sek XY X Y σ γ XY BLnaXY φ st φ min φ sek λ st λ min λ sek i rows φ st Punkt 3 X X XY Y XY σ XY γ XY i i i i i i i i Y Stąd (rs..6.3): długość górnej ramki arkusa, międ narożnikami i 3: Y Y 3 d 3 X X 3 d na mapie w terenie σ γ

111 długość dolnej ramki arkusa, międ narożnikami i : Y Y d X X d.35 - na mapie w terenie długość lewej ramki arkusa, międ narożnikami i : Y Y d X X d.63 - na mapie w terenie długość prawej ramki arkusa, międ narożnikami 3 i : Y Y 3 d 3 X X 3 d na mapie w terenie dolna ramka arkusa jest dłużsa od górnej: d d d d 3. - w terenie - na mapie lewa ramka arkusa jest dłużsa od prawej: d d 3.8 d 3 d. - w terenie - na mapie Na rs..6.3 podane są również niekstałcenia długości i bieżności południków oblicone w narożnikach map. Opis ramkow map topograficnej Opis ramkow map awiera (rs..6.9-): opis wlotów kilometrowej siatki współrędnch prostokątnch, skrajne linie siatki ora linie siatki o wartościach pełnch setek kilometrów opisuje się trema pierwsmi cframi wartości współrędnch w układie 99, a poostałe tlko dwiema onacającmi diesiątki i jednostki kilometrów współrędne geograficne narożników map ora rsunek podiału minutowego i diesięciosekundowego, acernieniu podlegają odcinki onacające minut nieparste, podiał diesięciosekundow onaca się kropkami pomięd ramką ewnętrną a ramką podiału minutowego naw i godła sąsiednich arkus 9

112 rsunek wlotów i opis współrędnch siatki kilometrowej w państwowm układie współrędnch 965, łącnie numerem stref opis naw państw pr wlotach granic państwa, naw krajów sąsiednich opisuje się w wersji polskiej opis naw jednostek administracjnch pr wlotach ich granic opis wlotów kolei - nawa i odległość do najbliżsego węła kolejowego lub stacji końcowej opis wlotów dróg krajowch numeracją ora innch dróg o nawierchni twardej - nawa i odległość do najbliżsej miejscowości lub miasta opis wlotów slaku turstcnego w barwie tego slaku Siatki odniesienia kartograficna i kilometrowa ora arkus map topograficnej WOŁÓW M-33--C-d-3 w układie PL-99 σ 36.5 σ γ.6 γ. 3 φ = 5 ' 3" d d d 3.- na mapie 3 X λ = 6 37' 3" M-33--C-d-3 λ = 6 ' 5" d d σ 36. γ.6 d d na mapie φ = 5 ' " d 35. σ 38. γ Y Rs..6.3

113 Opis poaramkow map topograficnej Wscególnienie opisu poaramkowego map podane jest na rsunku.6.. Nawa arkusa WOŁÓW jest nawą miejscowości o najwięksej licbie mieskańców. GŁÓWNY URZĄD GEODEZJI I KARTOGRAFII OBJAŚNIENIA ZNAKÓW I SKRÓTÓW WOŁÓW MAPA TOPOGRAFICZNA W STANDARDZIE TBD WYDRUK Z BAZY DANYCH TOPOGRAFICZNYCH M-33--C-d-3 ISBN Schemat podiału administracjnego wra wkaem jednostek : podiałka liniowa Informacja o wdawc i jego prawach autorskich, astreżenia dotcące reprodukowania i wkorstwania map Dane dotcące wkonawc ora materiałów na p odstawie którch ostała sporądona mapa i jej stan aktualności Współrędne prostokątne w układi e 99 Współrędne geograficne geodejne w układie EUREF-89 Elipsoida GRS-8, poiom odniesienia Kronstadt-86 Rs..6.

114 .7. Układ współrędnch PL-UTM Stosuje się na potreb wdawania standardowch opracowań kartograficnch w skalach od : do :5, wdawania map morskich ora wdawania innch map prenaconch na potreb bepieceństwa i obronności państwa; Konstrukcja układu Układ współrędnch prostokątnch płaskich PL-UTM składa się trech 6 pasów południkowch elipsoid w odworowaniu walcowm poprecnm wiernokątnm GaussaKrügera, nawanch strefami (rs..7.). Układ PL-UTM Układ Gaussa-Krugera (siecn) N-33 N UTM = m GK m GK m UTM =m m GK P M-33 M m =.9993 m GK 9 8 Równik φ P = 5 6' 3.789" λ P = 6 59' 9.887" UTM = m GK , m Rs..7.

115 Stref te, o południkach osiowch 5 E, E i 7 E onacone są odpowiednio numerami 33, 3 i 35 (rs..7.). W każdej strefie: skala na południku osiowm m =.9996 (stąd niekstałcenie σ = - cm/km), wartość pocątkowa współrędnej północnej = m, natomiat wartość pocątkowa współrędnej wschodniej = 5. + n. gdie n = 33, 3, 35 jest numerem stref. Prelicanie współrędnch φ λ ora analia niekstałceń Prelicenie współrędnch φ, λ, punktu P (rs..7.) wra obliceniem niekstałcenia liniowego σ i bieżności południków γ w tm punkcie można wkonać a pomocą programów C-Geo (rs..7.), GeoNet i innch. Rs..7. 3

116 Procedur w mathcadie BLnaXY i XYnaBL dają identcne wniki: prelicenie φ, λ, ora oblicenie niekstałcenia i konwergencji P P φφ' φ'' λ λ' λ'' λ m BLnaXY ( ) σ P 6.6 γ.7 P prelicenie odwrotne, φ, λ φ P λ m φ XYnaBL ( P ) ( ) λ P λ P ( ) Redukcja kierunku i odległości Kierunek i odległość redukowane są elipsoid na płascnę układu PL-UTM według worów stosowanch w odworowaniu GaussaKrügera (rod..5), w którch odległość punktu od południka środkowego, równa współrędnej GK Gaussa-Krügera, jest oblicana w wniku prekstałcenia współrędnej UTM danej w układie PL-UTM: GK ( UTM ,)/m gdie m =.9996 (rs..7.). Arkuse map :, :5, : i : Międnarodowa Mapa Świata : Arkuse N-33 i M-33 map : określone są współrędnmi geodejnmi φ, λ ich narożników, 3,, 5, 7, 8 (rs..6.3 i.7.3): Punkt φ st λ st pr cm punkt, 6 i 9 najdują się na południku osiowm 5 E (rs..7. i.7.3).

117 Współrędne prostokątne, ora niekstałcenie i bieżność południków w tch punktach wnosą (rs..7.3): XY BLnaXY φ st φ st φ st λ st λ st λ st i rowsφ st Punkt X XY i 3 X Y XY σ XY γ XY i i i i i i i Y σ.535 γ Arkuse map :5, :, : Każd arkus Międnarodowej Map Świata w skali : np. M-33 (rs..6.3, rs..7.) jest dielon na arkuse map w skalach :5, : i :. Schemat podiału, onacenia arkus i prkład godła predstawione są na rs..6.. Położenie dowolnego arkusa na elipsoidie, na prkład M-33-3, jest określone współrędnmi geodejnmi jego narożników (rs..6.): Punkt 3 φ st φ min λ st Stąd, na płascźnie układu PL-UTM (rs..7.3): λ min XY XY BLnaXY φ st φ min φ st λ st λ min λ st i rows φ st X Y σ γ Punkt 3 X X XY Y XY σ XY γ XY i i i i i i i i Y σ 6.66 γ

118 Linie erowch niekstałceń długości σ =, o skali m = Współrędne punktów linii siecności elipsoid na równoleżnikach 9 i 55 po lewej i prawej stronie południka osiowego 5 ora wartości niekstałcenia σ = i bieżności południków γ w tch punktach - oblicone iteracjnie, wnosą (rs..7.3): X. Y. σ. γ. Punkt na równoleżniku 9 na achód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y X. Y. σ. γ. Punkt na równoleżniku 55 na achód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y X.. Y.. σ.. γ.. X.. Y.. σ.. γ.. Punkt na równoleżniku 9 na wschód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y Punkt na równoleżniku 55 na wschód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y

119 Arkuse N-33, M-33 map : i arkus M-33-3 map : ora rokład niekstałceń i bieżności południków w układie UTM σ.93 σ σ.93 3 γ.76 γ. γ σ = N-33 σ = X 6 6 X X X3 X X X P M M σ = σ = σ.5 σ. σ γ.8 γ. γ YY YY3Y. Y.. Y P Rs

120 Arkuse map :5, :5, : Romiescenie arkus map w skalach :5, :5 i : na arkusu M-33-3 w skali :, anaconmi liniami siatki kartograficnej φ, λ i siatki kilometrowej współrędnch, w układie PL-UTM jest pokaane na rsunku.7.. Arkuse te, na elipsoidie mają kstałt trapeów elipsoidalnch o jednakowch wmiarach liniowch w danej skali. Ze wględu na niekstałcenia odworowawce wmiar ramek arkus - w tej samej skali, nie są takie same. Na prkład, na podstawie współrędnch narożników,, 3, arkusa M-33-3 (rs..6.-5) otrmuje się (rs..7.): długość górnej ramki arkusa, międ narożnikami i 3: d 3 X X Y Y d na mapie - w terenie długość dolnej ramki arkusa, międ narożnikami i : d X X Y Y d.35 - na mapie - w terenie długość lewej ramki arkusa, międ narożnikami i : d X X Y Y d.37 - na mapie - w terenie długość prawej ramki arkusa, międ narożnikami 3 i : d 3 X X Y Y d na mapie - w terenie dolna ramka arkusa jest dłużsa od górnej: d d w terenie, d d na mapie prawa ramka arkusa jest dłużsa od lewej: d 3 d w terenie, d 3 d. - na mapie 8

121 Na rs..7. podane są również oblicone niekstałcenia długości i bieżności południków w narożnikach. Arkuse map :5, :5, : ora rokład niekstałceń i bieżności południków na arkusu M-33-3 map : w układie UTM X P P σ. σ.9 3 γ. γ km 3 c A 9.3 km a b C. km d 359 d 8.5 km 8.7 km d d 377 M-33-3 : Y P M-33-3-B :5 B 7. km D M-33-3-C-b :5 7 5 d σ.9 M-33-3-C-c-3 σ. : γ.76 γ.63 P 5 Licba arkus Wmiar Skala Prkład godła Siatka kilometr. 3 : M-33-3 km (cm) 5 : 5 M-33-3-B km (cm) : 5 M-33-3-C-b km (cm) : M-33-3-C-c-3 km (cm) Rs..7. 9

122 Arkus map topograficnej M-33--C-d-3 Wmiar ramki arkusa map topograficnej WOŁÓW M-33--C-d-3 (rs..6.9-) na płascźnie ukladu PL-UTM można otrmać po preliceniu współrędnch geodejnch φ, λ narożników,, 3, : Punkt 3 φ st λ st φ min λ min na współrędne prostokątne, (rs..7.5): φ sek λ sek XY XY BLnaXY φ st φ min φ sek λ st λ min λ sek i rows φ st X Y σ γ Punkt 3 X X XY Y XY σ XY γ XY i i i i i i i i Y σ Stąd (rs..7.5): długość górnej ramki arkusa, międ narożnikami i 3: Y Y 3 d 3 X X w terenie, d 3.. γ na mapie długość dolnej ramki arkusa, międ narożnikami i : Y Y d X X w terenie, długość lewej ramki arkusa, międ narożnikami i : d.35 - na mapie Y Y d X X w terenie, d.63 - na mapie 3

123 długość prawej ramki arkusa, międ narożnikami 3 i : Y Y 3 d 3 X X w terenie, d na mapie dolna ramka arkusa jest dłużsa od górnej: d d w terenie, d d 3 prawa ramka arkusa jest dłużsa od lewej: d 3 d.57 - w terenie, d 3 d.39 - na mapie.6 - na mapie Na rs..7.5 podane są również niekstałcenia długości i bieżności południków oblicone w narożnikach map Siatki odniesienia kartograficna i kilometrowa ora arkus map topograficnej WOŁÓW M-33--C-d-3 w układie PL-UTM σ.9 σ γ. γ.65 3 φ = 5 7' 3" d X d d na mapie λ = 6 56' 5" M-33--C-d-3 λ = 7 ' " d 63.5 d d d 3.6- na mapie φ = 5 5' " d σ 3.3 σ.7 γ. γ Rs..7.5 Y 3

124 .8. Układ współrędnch PL- Jest stosowan w opracowaniach kartograficnch w skalach więksch od : Konstrukcja układu Układ współrędnch prostokątnch płaskich PL- składa się cterech 3 pasów południkowch elipsoid w odworowaniu walcowm poprecnm wiernokątnm Gaussa-Krügera, nawanch strefami, o (rs..8.): południkach osiowch 5 E, 8 E, E, E onaconch numerami 5, 6, 7, 8, skali na południku osiowm m = (stąd niekstałcenie σ = -7.7 cm/km) wartości pocątkowej współrędnej północnej = m, wartości pocątkowej współrędnej wschodniej = 5. m + n. m gdie n = 5, 6, 7, 8 jest numerem stref. Układ PL- Układ Gaussa-Krugera (siecn) STREFA N-33 N-3 M-33 M-3 5 = mgk m =m m GK m GK P m GK Równik m = φ P = 5 6' 3.789" λ P = 6 59' 9.887" = m GK + 65, m Rs..8. 3

125 Granice pomięd strefami prebiegają wdłuż granic administracjnch powiatów, pr cm dla obsarów powiatów precinanch pre południki 6.5, 9.5,.5 na dwie cęści, o prnależności powiatu do określonej stref decduje cęść o więksej powierchni (rs..8.) Rs..8. Redukcja kierunku i odległości Kierunek i odległość redukowane są elipsoid na płascnę układu PL- według worów stosowanch w odworowaniu GaussaKrügera (rod..5), w którch odległość punktu od południka środkowego, równa współrędnej GK Gaussa-Krügera, jest oblicana w wniku prekstałcenia współrędnej danej w układie PL-: GK ( - 65)/m gdie m =.99993, (rs..8.). Prelicanie współrędnch φ λ ora analia niekstałceń Prelicenie współrędnch φ, λ, punktu P (rs..8.) wra obliceniem niekstałcenia liniowego σ i bieżności południków γ w tm punkcie można wkonać a pomocą programów C-Geo (rs..8.3), GeoNet i innch. Procedur w mathcadie BLnaXY i XYnaBL dają identcne wniki: prelicenie φ, λ, ora oblicenie niekstałcenia i konwergencji P P φφ' φ'' λ λ' λ'' λ m BLnaXY ( ) σ P.57 γ.875 P 33

126 prelicenie odwrotne, φ, λ φ P λ m φ XYnaBL ( P ) ( ) λ P λ P ( ) Rs..8.3 Analia niekstałceń odworowawcch Dla wiualiacji rokładu niekstałceń i bieżności południków w strefie 6 oblicone są wartości i w narożnikach i punktach na południku środkowm (rs..8.,.8.-5): 3

127 współrędne geodejne φ, λ punktów ułożonch w kolejności umożliwiającej wkreślenie stref i południka środkowego na rsunku.8.: Punkt φ st λ st λ min I współrędne prostokątne, niekstałcenia i bieżności południków : XY BLnaXY φ st φ st φ st λ st λ min λ st i rows φ st X XY i 3 X Y XY σ XY γ XY i i i i i i i Y σ γ serokość stref na równoleżniku 55 międ punktami 3 i 5: Y Y 5 3 d 35 X X serokość stref na równoleżniku 9 międ punktami i 6: Y Y 6 d 6 X X

128 wsokość stref na południku środkowm 9, międ punktami i : Y Y d X X iteracjne prbliżenie punktów linii siecności elipsoid 7, 8. 9, o erowch niekstałceniach długości σ =, achodniej 7-8 i wschodniej 9 -: X. Y. σ. γ. Punkt 7 na równoleżniku 9 na achód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y X. Y. σ. γ. Punkt 8 na równoleżniku 55 na achód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y X.. Y.. σ.. γ.. Punkt 9 na równoleżniku 9 na wschód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y X.. Y.. σ.. γ.. Punkt na równoleżniku 55 na wschód od południka osiowego BLnaXY ( ) w odległości od południka osiowego Y

129 Rokład niekstałceń i bieżności południków w strefie 6 układu PL σ 3.6 σ 7.7 σ γ.37 γ. γ d X P X. X = = σ P.55 γ P.87 P STREFA d ' 8 9 3' σ 7.9 σ 7.7 σ γ.6 γ. γ Y P Y. Y.. Rs

130 Siatki odniesienia kartograficna i kilometrowa ora romiescenie i godła arkus map : w układie PL- km P Arkus map 6.8. w skali : 5 km P P 8 km 8 km Rs

131 Arkuse map asadnicej :5, :, : i :5 Liniami podiału stref układu PL- na arkuse map są linie siatki współrędnch kilometrowch,. Podstawą podiału map asadnicej na arkuse w skalach :5, :, : i :5 jest arkus w skali :. Arkuse w skali : o wmiarach terenowch 5 km wdłuż osi i 8 km wdłuż osi, ułożone są w ręd i kolumn w każdej strefie układu PL- (rs..8.5). Adres arkusa : na prkład 6.8. (rs..8.5) składa się numeru stref 6, numeru rędu 8 i numeru kolumn. Podiał arkusa : na arkuse map asadnicej w skalach :5, :, : i :5 ora asada określania godła tch arkus są predstawione na rs ROZMIESZCZENIE ARKUSZY MAPY ZASADNICZEJ W SKALACH :5, :, :, :5 NA ARKUSZU 6.8. MAPY TOPOGRAFICZNEJ : km P Licba arkus Wmiar Skala Godło map 5 8 km : km : km : km : km : Arkuse drukowane są w formacie 5 8 cm Rs km Określanie godła arkusa : na podstawie współrędnch Pierwsa cfra współrędnej w układie PL- onaca numer stref do której dan punkt należ, na prkład punkt P o współrędnch P P najduje się w strefie 6 (rs..8.5). 39

132 Godło arkusa : na którm najduje się punkt P twor grupa trech licb rodielonch kropkami: 6.8. (rs..8.5) gdie: pierwsa licba onaca numer stref (6), druga - numer rędu, któr jest licbą całkowitą ilorau: gdie współrędna punktu P w km trecia - numer kolumn, któr jest licbą całkowitą ilorau gdie 9 - współrędna punktu P w km be cfr pierwsej onacającej numer stref. Zatem, punkt P o danch współrędnch, najdując się na arkusu 6.8. jest położon na następującch arkusach map asadnicej (rs ): w skali :5, w skali :, w skali : w skali :5 Mapa asadnica Mapę asadnicą twor się na podstawie odpowiednich biorów danch awartch w baach danch: EGiB - ewidencja gruntów i budnków, GESUT - geodejna ewidencja sieci ubrojenia terenu, PRG - państwow rejestr granic, PRPOG - państwow rejestr podstawowch osnów geodejnch, BDOT5 - baa danch obiektów topograficnch o scegółowości apewniającej tworenie standardowch opracowań kartograficnch w skalach :5 :5. BDSOG - baa danch scegółowch osnów geodejnch. Katalog obiektów stanowiącch treść map asadnicej poskanch powżsch ba danch ora standard technicne tworenia map asadnicej, w tm: generaliacja obiektów stanowiącch treść map asadnicej, wiualiacja kartograficna obiektów stanowiącch treść map asadnicej, redakcja kartograficna treści map asadnicej, wka naków kartograficnch dla obiektów stanowiącch treść map asadnicej, wka skrótów i onaceń, określa roporądenie Ministra Administracji Cfracji dnia lutego 3 r. w sprawie ba danch geodejnej ewidencji sieci ubrojenia terenu, ba danch obiektów topograficnch ora map asadnicej (D.U. dnia marca 3 r. Po. 383).

133 Zarąd Geodeji Kartografii i Katastru Miejskiego ZGKiKM we Wrocławiu udostępnia w układie PL- na obsare miasta Wrocławia mapę asadnicą w skalach :5, :, : i :5 w postaci wektorowej warstwowej ba danch DXF (rs..8.7) jak również w postaci map asadnicej rastrowej TIFF i drukowanej. Treść map asadnicej, map tematcnch, planów miejscowch jak również ortofotomapę można preglądać na stronie (rs..8.7). Godło P punkt osnow scegółowej 65 φ P = 5 6' 3.789" λ P = 6 59' 9.887" Rs..8.7

134 .9. Układ współrędnch 965 Układ określon w odworowaniu stereograficnm niegeocentrcnej elipsoid Krasowskiego bł stosowan w opracowaniach map asadnicej, map topograficnch, map hdrograficnej i soologicnej ora innch map tematcnch. Konstrukcja układu Układ 965 jest określon w wiernokątnm quasi-stereograficnm odworowaniu Roussilhe'a elipsoid Krasowskiego na płascnę stcną do elipsoid w punkcie (φ, λ ) wanm punktem głównm lub środkowm stref odworowania (rs..9.-): Płascna odworowania R s 965 RM R s P o 965 s Odworowanie południka środkowego Elipsoida s /R s Sfera s R s s /R s Rs..9. Rs..9. Rstg( s / Rs 965 m Punkt główn m =,9998 W kierunku prostopadłm : Rstg( s / Rs ) ) 965 m łuki południka środkowego i prekroju normalnego poprecnego elipsoid s, s prechodące pre punkt główn są rociągane na sfere stcnej do elipsoid w punkcie głównm (o promieniu R s ) a następnie stosowan jest rut stereograficn i skalowanie m =.9998, predstawiając s, s a pomocą współrędnch GaussaKrügera: s = GK - s, s = GK jest widocne (rs..9.), że punktowi w określonemu na płascźnie GaussaKrügera: GK s GK w ( ) Rs Rs odpowiada punkt W na płascźnie odworowania quasi-stereograficnego: 965 W ( R m s 965 R m s ) tg( w) gdie, onacają współrędne punktu głównego w układie 965, ależności: W = tg(w) i odwrotna w = arctg(w) są stosowane do prelicania współrędnch geodejnch φ, λ na współrędne 965, 965 i odwrotnie, pr wkorstaniu worów odworowania GaussaKrügera (Wtcne technicne G-; scegółow algortm i program prelicania w Mathcadie amiescone są w książce Osada ).

135 Układ 965 składa się (rs..9.3): cterech układów współrędnch prostokątnch (nawanch strefami I - IV) w odworowaniu quasi-stereograficnm Roussilhe'a e skalą w punkcie głównm m.9998, jednego układu (strefa V) w odworowaniu GaussaKrügera o skali na południku środkowm m = 53 = 7 3 m =.9998 SZCZECIN 368 KO SZALIN 37 SŁUPSK 53 6 km 3776 GD AŃSK PIŁA 3 TORUŃ GORZÓ W WLKP. POZNAŃ X IV = 567. ZIELONA GÓRA Y IV = 373. LESZNO LEGNICA WROCŁAW JELENIA GÓRA : = 5 5 = 6 m =.9998 IV III -5 - WAŁBRZYCH X III = Y III = 35. Słup - - OPOL E KONIN KALISZ - km ELBLĄG WŁOC ŁAWEK SIERADZ ŁÓDŹ CZĘSTOCHOWA -5 KATOWICE - 5 Y IV Odworowanie G-K Południk środkow: = 8 3 m = V BIELSKO-BIAŁA Rs OLSZ TYN CIECHANÓW PŁOCK SKIERNIEWICE PIO TRKÓW TRYB. KRAKÓW ZNIEKSZTAŁCENIA LINIOWE w strefach I V układ u 965 [cm/km] -5 KIELCE I m =.9998 X II = 586. Y II = 63. ŁOMŻA OSTROŁĘKA WARSZAWA RADOM TARNÓ W NOWY SĄCZ - - II SIEDLCE LUBLIN X I = 567. Y I = 637. TARNOBRZEG -5 KROSNO = 5 3 = m =.9998 = 53 7 = RZESZÓW SUWAŁKI PRZ EMYŚL BIAŁYSTOK BIAŁA PODLASKA CHEŁM ZAMO ŚĆ Prelicanie współrędnch φ λ Prelicenie współrędnch φ, λ, ropatrwanego punktu P (65, rs..3.) wra obliceniem niekstałcenia liniowego σ i bieżności południków γ w tm punkcie można wkonać a pomocą programów C-Geo (rs..9.), GeoNet i innch. 3

136 σ γ Rs..9. Procedur w mathcadie 965, BL 965 (Osada, ) dają identcne wniki prelicania współrędnch: procedur prekstałcenia BL na i odwrotnie dla układu 965 w Mathcadie: prelicenie φ, λ,, oblicenie niekstałcenia i konwergencji φφ', φ'', λ, λ', λ'', Nr stref 965. ( )

137 prelicenie odwrotne, φ, λ,, Nr stref φ BL λ 965. ( ) φ ( ) λ ( ) Arkuse map topograficnej : Stref od I do V układu 965 (rs..9.3) są podielone na arkuse map topograficnej w skali : o wmiarach terenowch km wdłuż osi i 6 km wdłuż osi - tworące w poiomie pas i w pionie słup. Godło arkusa map topograficnej awiera numer stref, pasa i słupa, np. 53 (rs..9.3). Arkuse map topograficnej :5, :5, : Romiescenie arkus map topograficnej w skalach :5, :5, : na arkusu 53 map w skali : (rs..9.3) pokaane jest na rs Na prkład miasto Wrocław najduje się w strefie IV na 6 arkusach (w skali : ) map 53 i na arkusach map 63 (rs ). Map te są dostępne na stronach internetowch CODGiK i WODGiK. ROZMIESZCZENIE ARKUSZY MAPY TOPOGRAFICZNEJ W SKALACH :5, :5, : NA ARKUSZU 53 MAPY TOPOGRAFICZNEJ : km WROCŁAW P km Licba arkus Wmiar Skala Godło 6 km 6 cm : 53 3 km 6 cm : km 6 cm : km 5 8 cm : Rs

138 Rs..9.6 P Rs

139 Map sporądone w układie współrędnch "965" nie posiadają wkreślonej siatki kartograficnej. Arkuse map asadnicej :5, :, :, :5 Romiescenie arkus map asadnicej w skalach :5, :, :, :5 na arkusu map w skali : (rs..9.7) pokaane jest na rs ROZMIESZCZENIE ARKUSZY MAPY ZASADNICZEJ W SKALACH :5, :, :, :5 NA ARKUSZU MAPY TOPOGRAFICZNEJ : km 3 3 P Licba arkus Wmiar Skala Godło map 5 8km : km : km : km : km : Arkuse drukowane są w formacie 5 8 cm Rs km Aktualnie mapa asadnica jest tworona w układie PL-. 7

140 .. Układ współrędnch GUGIK8 Układ GUGIK8 - określon w odworowaniu stereograficnm niegeocentrcnej elipsoid Krasowskiego, bł stosowan w opracowaniach map topograficnch w skalach : i :5. Konstrukcja układu Układ współrędnch GUGIK 98 jest utworon w oparciu o jednostrefowe dla obsaru Polski odworowanie quasi-stereograficne elipsoid Krasowskiego. Współrędne punktu głównego i skala układu podane są na rs.... Prekstałcenia φ λ GUGIK8 GUGIK8 są więc preprowadane analogicnie jak prekstałcenia w układie 965: φ λ (rod..9). Na płascźnie układu GUGIK8 wkreślana jest ortogonalna siatka kartograficna linii południków i równoleżników (rs...). Siatka ta stanowi podstawę podiału sekcjnego na arkuse map topograficnch w skalach : ora :5. Map w skali : są dostępne na stronach internetowch CODKiK i WODGiK. 5 GUGIK8 = m + 53 Punkt główn = 5 m = 5 m GUGIK8 = m + φ = 5 λ = 9 m = Rs... 8