ROZDZIAŁ 8 POLITYKA FISKALNA A OPTYMALNE STOPY OSZCZĘDNOŚCI W MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CZYNNIKIEM MIGRACJI LUDNOŚCI

Transkrypt

1 Robert ruszewski ROZDZIAŁ 8 OLITYA FISALNA A OTYMALNE STOY OSZCZĘDNOŚCI W MODELU WZROSTU GOSODARCZEGO Z CZYNNIIEM MIGRACJI LUDNOŚCI Wprowadzenie W pracy skonstruuję model wzrostu gospodarczego z kapitałem fizycznym (rzeczowym) i ludzkim Uwzględnię także wpływ procesów migracyjnych ludności Na bazie tego modelu badać będę wpływ polityki fiskalnej państwa na optymalne długookresowe stopy oszczędności (inwestycji) sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw Określimę wzajemne relację łączące stopy inwestycji sektora budżetowego i optymalne stopy oszczędności sektora gospodarstw domowych Do rozwiązania postawianego problemu zastosuję teorię optymalnego sterowania będącą narzędziem dynamicznej optymalizacji Rozwiązanie typowego zadania z teorii optymalnego sterowania składa się ze ścieżek czasowych zmiennych sterujących i zmiennych stanu Wartości zmiennej sterującej są kształtowane w wyniku swobodnych decyzji podejmowanych przez gospodarstw domowe w danym okresie W analizowanym modelu zmiennymi sterującymi są stopy oszczędności (inwestycji) gospodarstw domowych i przedsiębiorstw Zmienna stanu to taka zmienna której wartości są zdeterminowane zdarzeniami z przeszłości rzykładem zmiennych stanu są wielkości określające zasób kapitału ludzkiego i fizycznego przypadającego na jednostkę efektywnej pracy Główne założenia modelu W prezentowanym modelu wzrostu gospodarczego zakładam że gospodarka jest zamknięta na produkty i kapitał zagraniczny pracownicy mogą się swobodnie przemieszczać między państwami Założenie o większej mobilności ludzi niż kapitału fizycznego może wydawać się bardzo restrykcyjnym lecz wyraziście ukazuje wpływ migracji na proces wzrostu gospodarczego Niech M oznacza migrację ludności do rozpatrywanej gospodarki κ ilość kapitału fizycznego a λ ilość kapitału ludzkiego posiadanego przez pojedynczego migranta Ilość kapitału fizycznego przenoszona w procesie migracji nie jest duża (nie można zabrać budynków ciężkich maszyn) choć w przypadku wielu zawodów może stanowić niemalże kompletny warsztat pracy Zasoby których nie można przenieść są w całości konsumowane przed przemieszczeniem się Zakładam że populacja oraz siła robocza netto L wzrasta w stałym tempie n > 0 Zatem ogólny poziom wzrostu siły roboczej po uwzględnieniu migracji wyniesie: L M = n + = n + m L L M gdzie m = jest stopą migracji netto L

2 74 Robert ruszewski Y = zależy od trzech czynników: kapitału fi- L > Zakładam że funkcja produkcji spełnia neoklasyczne założenia: dodatniej produkcyjności krańcowej każdego czynnika wytwórczego prawa malejących przychodów krańcowych oraz warunki Inady odobnie jak Mankiw Romer i Weil (Mankiw Romer Weil 992) przyjmuję postęp tech- Funkcja produkcji () t F( L ) zycznego () t > 0 kapitału ludzkiego ( t) > 0 oraz nakładu pracy ( t) 0 niczny A () t jako wielkość egzogeniczną wzrastającą według stałej stopy x > 0 Zatem A = x A Funkcja produkcji jest jednorodna stopnia pierwszego (stałe korzyści skali) zatem można zapisać ją w postaci: () () () ( t) ( t) Y t = A t L t F A() t L() t A() t L() t Niech () t ( t) F( ( t) ( t) A( t) L( t) ) k h f (kh) = A() t L() t A() t L() t A() t L() t wówczas funkcję produkcji można przedstawić w postaci Y ( t) = A( t) L( t) f ( kh) gdzie f (kh) oznacza funkcję produkcji w postaci intensywnej a k i h wielkości kapitału fizycznego i ludzkiego przypadające na jednostkę efektywnej pracy W celu uwzględnienia wpływu polityki fiskalnej państwa rozważać będę dwa sektory: pierwszy zwany sektorem budżetowym i drugi sektor gospodarstw domowych i przedsiębiorstw Zakładam że państwo ściąga w formie podatków τ -tą część realnego produktu przy czym τ ( 0) Wielkość τ w dalszej części pracy nazywana będzie stopą (stopniem) fiskalizacji gospodarki rzy przyjętych założeniach (gospodarka zamknięta) stopa fiskalizacji wyznacza część produktu którą dysponuje budżet Dochody budżetowe przeznaczane są na inwestycje w sferze kapitału fizycznego ( I ) i ludzkiego ( I ) oraz na konsumpcję publiczną Zatem I = sτy I = sτy gdzie s (0) s (0) stanowią części budżetu przeznaczane na inwestycje w sferze kapitału fizycznego i ludzkiego przy czym 0 < s + s < Inwestycje sektora budżetowego w sferze akumulacji kapitału fizycznego należy rozumieć jako inwestycje budżetu centralnego i budżetów lokalnych w infrastrukturę społeczno-ekonomiczną wraz transferami inwestycyjnymi do sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw Inwestycje budżetowe w sferze akumulacji kapitału ludzkiego definiuję jako nakłady na oświatę służbę zdrowia itp Sektor gospodarstw domowych i przedsiębiorstw dysponujący dochodem po opodatkowaniu ( τ)y inwestuje s (0) -tą część w akumulację kapitału fizycznego ( I ) oraz s (0) -tą część w akumulację kapitału ludzkiego przy czym 0 < s + s < Zatem I = s ( τ)y I = s ( τ)y Wielkości s s są więc stopami inwestycji sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw w sferze zasobów kapitału fizycznego i ludzkiego odpowiednio O wielkościach τ s s zakładamy że są stałe i mają charakter długookresowych zmiennych egzogenicznych Stopy oszczędności (inwestycji) sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw są zmien-

3 olityka fiskalna a optymalne stopy oszczędności w modelu wzrostu gospodarczego 75 ne w czasie tzn s = s s = s i są swobodnie kształtowane przez gospodarstwa domowe Całkowite inwestycje w akumulację kapitału fizycznego ( I ) oraz ludzkiego ( I ) stanowiące sumę inwestycji obydwu sektorów dane są wzorami: I = I + I = τs Y(t ( ) ) ( τs ) Y I = I + I = Dodatkowo uwzględniam stałą stopę δ 0 deprecjacji kapitału fizycznego oraz zmianę zasobów kapitału fizycznego spowodowaną migracją κ M Ostatecznie równanie określające akumulację całkowitego zasobu kapitału fizycznego przyjmuje postać: = I > δ + κm Składnik κ M związany z migracją określa ilość kapitału fizycznego przyniesionego przez imigrantów bądź zabranego przez emigrantów Akumulacja kapitału ludzkiego jest modelowana w podobny sposób jak kapitału fizycznego i po uwzględnieniu stałej stopy deprecjacji δ > 0 i procesu migracji równanie opisujące akumulację całkowitego zasobu kapitału ludzkiego przyjmuje postać: = I δ + λm κ λ Niech κ = λ = Wówczas równania opisujące akumulację kapitału fizycznego i ludzkiego przypadającego na jednostkę efektywnej pracy przyjmują postać: A A k = ( τs ) f (kh) ( δ + x + n)k m(k κ) h = ( τs ) f (kh) ( δ + x + n)h m(h λ) owyższe równania ruchu zmiennych k i h przy założeniu egzogeniczności stóp inwestycji gospodarstw domowych i przedsiębiorstw są matematyczną reprezentacją modelu Mankiwa-Romera-Weila poszerzonego o oddziaływanie egzogenicznego strumienia migracji z uwzględnieniem polityki fiskalnej państwa Optymalne stopy oszczędności W pracy (ruszewski 2003) zbadano właściwości rozszerzonego o migrację modelu Mankiwa-Romera-Weila We wspomnianej pracy stopy inwestycji były stałe i dane egzogenicznie a gospodarstwa domowe i przedsiębiorstwa nie miały żadnego wpływu na poziom inwestycji w kapitał fizyczny i ludzki a tym samym i poziom konsumpcji zatem nie mogły dokonywać żadnych wyborów kierując się chociażby maksymalizacją konsumpcji Obecnie ograniczenia te zostały usunięte Stopy inwestycji w obydwa rodzaje kapitału są zmienne w czasie a gospodarstwa domowe będą miały możliwość swobodnego ich kształtowania mając na uwadze maksymalizację zdyskontowanej konsumpcji w nieskończonym horyzoncie czasowym W rozpatrywanym modelu całkowita konsumpcja C sektora gospodarstw domo- wych i przedsiębiorstw jest równa ( ( τ(s + s ) + ( τ)(s s ) ) F(AL) + a w przeliczeniu na jednostkę efektywnej pracy C c = = ( ( τ(s + s ) + ( τ)(s + s ) ) f (kh) AL Celem homogenicznego gospodarstwa domowego jest maksymalizowanie zdyskontowanej konsumpcji przypadającej na jednostkę efektywnej pracy co formalnie jest równoważ-

4 76 Robert ruszewski ne maksymalizacji następującego funkcjonału J (c) : + J (c) = ( τ(s + s ) + ( τ)(s + s )) f (kh)e dt ( ) 0 gdzie s s ( s + s ) (0) dla każdego t R + Funkcja e to czynnik dyskontujący a ρ > 0 to stopa dyskontowa (stopa preferencji czasowych) Jest ona tym wyższa im bardziej podmioty mikroekonomiczne cenią sobie konsumpcję bieżącą w stosunku do konsumpcji przyszłej W dalszych rozważaniach przyjmę funkcję produkcji Cobba-Douglasa zatem α α α Y() t = F( AL ) = (AL) = ALk h gdzie α (0) oraz 0 < α + < Możliwości konsumpcyjne typowego gospodarstwa domowego w analizowanej gospodarce ograniczone są równaniami określającymi ewolucję w czasie zasobów kapitału ludzkiego i fizycznego: α k = ( τs ) k h ( δ + x + n)k m(k κ) α h = ( τs ) k h ( δ + x + n)h m(h λ) Zadanie wyznaczenia optymalnych ścieżek czasowych stóp inwestycji w kapitał fizyczny i ludzki sprowadza się zatem do rozwiązania następującego zadania sterowania optymalnego: zmaksymalizować przy warunkach + α J(c) = ( ( τ(s + s ) + ( τ)(s + s ) ) k 0 α k = ( τs ) k h ( δ + x + n)k m(k α h = ( τs ) k h ( δ + x + n)h m(h κ) λ) k(0) = k 0 h(0) = h 0 Zmiennymi sterującymi są stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw s oraz s a zmiennymi stanu wielkości określające zasoby kapitału fizycznego i ludzkiego przypadające na jednostkę efektywnej pracy owyższe zadanie sterowania optymalnego rozwiążę przy pomocy zasady maksimum ontriagina W tym celu skonstruuję hamiltonian wartości bieżącej: α s s kh = τ(s + s ) + ( τ)(s + s ) k h + ( ) ( ( ) α + ( τs ) k h ( δ + x + n)k m(k κ) ) + α + ( τs ) k h ( δ + x + n)h m(h λ) ) gdzie ( t) są zmiennymi dualnymi związanymi ze zmiennymi stanu k oraz h odpowiednio Warunki konieczne maksymalizacji funkcjonału J (c) przy zadanych ograniczeniach dane są równaniami: = 0 = 0 = + ρ k h e dt

5 olityka fiskalna a optymalne stopy oszczędności w modelu wzrostu gospodarczego 77 = + ρ h które uzupełniamy tzw warunkami traswersalności: lim e k = 0 t + lim t + e h = 0 Warunki konieczne dla hamiltonianu wartości bieżącej przyjmują postać: α α ( τ)k h + ( τ) k h = 0 α α ( τ)k h + ( τ) k h = 0 α = α( ( τ(s + s ) + ( τ)(s + s ) ) k h + α α( τs ) k h + ( δ + x + n) + m α α( τs ) k h + ρ α = ( ( τ(s + s ) + ( τ)(s + s ) ) k h + α ( τs ) k h + α ( τs ) k h + ( δ + x + n) + m + ρ α k = ( τs ) k h ( δ + x + n)k m(k κ) α h = ( τs ) k h ( δ + x + n)h m(h λ) = oraz = k = lim ke = lim e h = t + t + t + (6) Z warunków koniecznych (-2) wynika że dla każdego t R + Zatem lim e 0 oraz lim he = 0 czyli t + spełnione są warunki transwersalności Oczywiście dla tak wyznaczonych funkcji (t ) oraz ich pochodne (t ) oraz (t ) są równe zero dla każdego t R + Uwzględniając zależności ( t) = = oraz ( t) = = 0 w równaniach (3) (4) otrzymuję następujące układ równań: α αk h = δ + x + n + m + ρ (7) α k h = δ + x + n + m + ρ Logarytmując logarytmem naturalnym równania powyższego układu a następnie wyznaczając ich pochodne względem czasu otrzymuję układ równań: k h ( α ) + = 0 k h k h α + ( ) = 0 k h z którego wynika iż przy założeniu racjonalności gospodarstw domowych w analizowanym modelu abstrakcyjnej gospodarki stopy wzrostu kapitału fizycznego i ludzkiego przypadające na jednostkę efektywnej pracy są równe zero Dzieląc stronami równania (5) oraz (6) przez k i h odpowiednio oraz uwzględniając zerowe stopy wzrostu tych zmiennych otrzymuję zależności: α κ ( τs ) k h ( δ + x + n) m( ) = 0 k () (2) (3) (4) (5)

6 78 Robert ruszewski α λ ( τs ) k h ( δ + x + n) m( ) 0 = h = δ α α odstawiając do powyższych równań wielkości k h ( + x + n + m + ρ) k α h = ( δ + x + n + m + ρ) wyznaczone z równań (7) otrzymuję zależności: ( τs ) κ δ + x + n + m k = α δ + x + n + m + ρ λ δ + x + n + m ( τ + τ ) = h s ( )s δ + x + n + m + ρ Do pełnego wyznaczenia optymalnych stóp inwestycji w kapitał fizyczny i ludzki niezbędne są wartości k i h które wyznaczę z warunków (7) Zatem dzieląc stronami pierwsze równanie przez drugie oraz wprowadzając oznaczenia µ = δ + x + n + m + ρ η = δ + x + n + m + ρ otrzymuję α α α µ k = α h = µ η α η µ η Okazało się zatem że wartości zmiennych stanu k i h wyznaczone z warunków koniecznych dla zadania optymalnego sterowania są stałe i wyrażają się przez parametry charakteryzujące badaną gospodarkę tym samym optymalne stopy inwestycji są także stałe i jednoznacznie wyrażają się przez parametry opisujące gospodarkę Do dalszej analizy wpływu polityki fiskalnej państwa i migracji na poziom optymalnych stóp inwestycji zakładam równość stóp deprecjacji kapitału fizycznego i ludzkiego δ = δ = δ Założenie to uprości stronę algebraiczną problemu Zatem optymalne stopy inwestycji są równe: δ + x + n + m + ρ α δ + x + n + m κ α α τ s = s τ δ + x + n + m + ρ τ α δ + x + n + m + ρ α δ + x + n + m λ α τ s = s τ δ + x + n + m + ρ τ owyższe formuły obowiązują dopóty dopóki s > 0 oraz s > 0 W chwili gdy optymalne stopy oszczędności s i s które są zmiennymi sterującymi w zadaniu optymalizacyjnym osiągną zerową wartość nastąpi tzw przełączenie sterowania i gospodarstwa domowe będą realizowały zerowe stopy oszczędności Statyka porównawcza adanie wpływu stopnia fiskalizacji gospodarki oraz pozostałych zmiennych egzogenicznych na optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw zwią- oraz

7 olityka fiskalna a optymalne stopy oszczędności w modelu wzrostu gospodarczego 79 zane jest z działem ekonomii matematycznej zwanym statyką porównawczą Do zrealizowania tego zadania posłużą odpowiednie pochodne cząstkowe optymalnych stóp oszczędności względem wybranych zmiennych egzogenicznych W dalszej części pracy ze względu na skomplikowane wyrażenia opisujące odpowiednie pochodne optymalnych stóp oszczędności statyka porównawcza będzie prowadzona przy użyciu metod numerycznych ochodne optymalnych stóp oszczędności względem stopnia fiskalizacji τ opisane są równościami: τ τ = = ( τ) ( τ) 2 2 α δ + x + n + m + ρ δ + x + n + m κ α δ + x + n + m + ρ α δ + x + n + m + ρ δ + x + n + m λ α δ + x + n + m + ρ α α s s owyższe pochodne mogą przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujemne zatem wpływ stopnia fiskalizacji na optymalne stopy oszczędności sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw nie jest jednoznaczny i zależy od konfiguracji wartości pozostałych zmiennych egzogenicznych Wzrost stopy fiskalizacji gospodarki będzie powodował pod- wyższenie optymalnej stopy oszczędności kapitału fizycznego > 0 gdy stopa τ oszczędności sektora budżetowego ( s ) będzie spełniała następujący warunek: δ + x + n + m + ρ α δ + x + n + m κ α s < α = αs δ + x + n + m + ρ Jeżeli stopa inwestycji (oszczędności) sektora budżetowego spełnia warunek: α α s < s < s wówczas wzrost fiskalizacji gospodarki skutkuje obniżeniem stóp oszczędności w sektorze gospodarstw domowych i przedsiębiorstw τ < 0 Wpływ polityki fiskalnej na stopę oszczędności dla kapitału ludzkiego ma podobną strukturę Dodatkowo rosnące τ stopy inwestycji sektora budżetowego negatywnie wpływają na stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw gdyż = = < 0 τ τ Wpływ stopy preferencji czasowych ρ przekłada się na spadek optymalnych stóp oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw gdyż < 0 oraz < 0 co w ρ ρ

8 80 Robert ruszewski połączeniu z negatywnym wpływem wzrostu stóp inwestycji sektora budżetowego prowadzi do następującego wniosku W skali gospodarki jako całości występuje substytucja stóp inwestycji (oszczędności) między sektorem budżetowym a sektorem gospodarstw domowych i przedsiębiorstw Wpływ stopy fiskalizacji gospodarki i stopy preferencji czasowych na optymalne stopy oszczędności przedstawia rysunek arametry gospodarki (wartości zmiennych egzogenicznych) przyjęte do obliczeń numerycznych wynoszą: α = 0 35 = 0 4 x + n + δ = 0 κ = 5 λ = 0 s = 0 25 s = 0 4 m = Dla małych wartości stopy preferencji czasowych optymalna stopa oszczędności dla kapitału fizycznego gospodarstw domowych wzrasta wraz z zwiększającym się stopniem fiskalizacji gospodarki i nie występuje zjawisko substytucji stóp z sektorem budżetowym Spowodowane to jest zbyt niskim poziomem inwestycji sektora budżetowego w akumulację kapitału fizycznego ( s = 025) Wraz ze wzrostem stopy preferencji czasowych optymalne stopy oszczędności w kapitał fizyczny rosną coraz wolniej Dalszy wzrost stopy preferencji czasowych prowadzi do spadku stopy oszczędności gospodarstw domowych jako funkcji stopnia fiskalizacji gospodarki Substytucja stóp inwestycji pomiędzy sektorem budżetowym i gospodarstwami domowymi może występować także przy niskim poziomie inwestycji budżetowych ale warunkiem jest występowanie wyższej stopy preferencji czasowych gospodarstw domowych Inwestycje sektora budżetowego w kapitał ludzki są realizowane na poziomie s = 04 W tym przypadku wraz z rosnącymi stopami fiskalizacji i preferencji czasowych racjonalnie zachowujące się gospodarstwa domowe redukują część swojego dochodu związaną z akumulacją kapitału ludzkiego Rysunek Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jako funkcje stóp fiskalizacji i preferencji czasowych Źródło: opracowanie własne Wpływ polityki państwa realizowanej poprzez stopę fiskalizacji gospodarki i inwestycje sektora budżetowego na optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych przedstawia rysunek 2 arametry gospodarki przyjęte do obliczeń numerycznych wynoszą:

9 olityka fiskalna a optymalne stopy oszczędności w modelu wzrostu gospodarczego 8 α = 035 = 0 4 x + n + δ = 0 κ = 5 λ = 0 ρ = 0 m = Akumulacja kapitału fizycznego i ludzkiego jest modelowana w podobny sposób zatem charakter zmian optymalnych stóp oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jest taki sam Rosnąca stopa inwestycji sektora budżetowego prowadzi do redukcji optymalnych stóp oszczędności gospodarstw domowych by przy stopniu fiskalizacji τ 0 35 dla kapitału fizycznego i τ 0 4 dla kapitału ludzkiego przyjąć wartości zerowe Rysunek 2 Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jako funkcje stopy fiskalizacji i stóp inwestycji sektora budżetowego Źródło: opracowanie własne Wpływ strumienia migracji i stopnia fiskalizacji gospodarki na optymalne stopy inwestycji przedstawia rysunek 3 arametry gospodarki przyjęte do obliczeń numerycznych wynoszą: α = 0 35 = 0 4 x + n + δ = 0 s = 0 25 s = 0 4 κ = 5 λ = 0 ρ = 0 Rosnący stopień fiskalizacji tak jak we wcześniejszych rozważaniach prowadzi do redukcji optymalnych stóp inwestycji gospodarstw domowych Oddziaływanie strumienia migracji na strukturę stóp oszczędności jest bardziej złożone W przypadku akumulacji kapitału fizycznego występowanie zjawiska emigracji prowadzi do redukcji stopy oszczędności rzy występowaniu w gospodarce zjawiska imigracji stopa oszczędności początkowo (przy niewielkim napływie imigrantów) rośnie a następnie także ulega redukcji Wzajemne relacje udziałów kapitału fizycznego α oraz kapitału ludzkiego i stóp inwestycji sektora budżetowego przedstawia rysunek 4 arametry gospodarki przyjęte do obliczeń numerycznych wynoszą: x + n + δ = 0 κ = 5 λ = 0 ρ = 0 m = Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych są tym wyższe im wyższe są udziały danego typu kapitału w produkcie gospodarki oraz tym niższe im wyższe są stopy inwestycji sektora budżetowego

10 82 Robert ruszewski Rysunek 3 Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jako funkcje stóp migracji i fiskalizacji Źródło: opracowanie własne Rysunek 4 Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jako funkcje parametrów α i stóp inwestycji sektora budżetowego Źródło: opracowanie własne Ostatnim elementem statyki porównawczej badanego modelu jest wzajemna relacja pomiędzy strumieniem migracji wielkością kapitału fizycznego przenoszonego przez mi-

11 olityka fiskalna a optymalne stopy oszczędności w modelu wzrostu gospodarczego 83 grantów i optymalnymi stopami oszczędności gospodarstw domowych (rysunek 5) arametry gospodarki przyjęte do obliczeń numerycznych wynoszą: α = 0 35 = 0 4 x + n + δ = 0 s = 025 s = 0 4 λ = 0 ρ = 0 Rysunek 5 Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jako funkcje parametrów κ i stopy migracji Źródło: opracowanie własne odsumowanie W niniejszym opracowaniu zaproponowałem rozszerzenie modelu Mankiwa-Romera- Weila o oddziaływanie egzogenicznego strumienia migracji zmienne stopy oszczędności (inwestycji) gospodarstw domowych i sektor budżetowy Na bazie tego modelu zbadaliśmy wpływ polityki fiskalnej państwa na optymalne długookresowe stopy oszczędności (inwestycji) sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw Optymalne stopy oszczędności (inwestycji) gospodarstw domowych i przedsiębiorstw są stałe i wyznaczone przez wartości zmiennych egzogenicznych Stopy te są tym wyższe im wyższe są udziały danego typu kapitału w produkcie całkowitym gospodarki i tym niższe im wyższa jest stopa preferencji czasowych gospodarstw domowych rzedstawiony model wzrostu gospodarczego przewiduje zjawisko występowania substytucji stóp inwestycji miedzy sektorem budżetowym i sektorem gospodarstw domowych i przedsiębiorstw Rosnące stopy inwestycji sektora budżetowego powodują spadek stóp inwestycji gospodarstw domowych Zjawisko to jest wzmacniane przez rosnącą stopę preferencji czasowych sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw Rosnący stopień fiskalizacji gospodarki prowadzi do redukcji optymalnych stóp inwestycji niezależnie od konfiguracji pozostałych parametrów opisujących analizowaną gospodarkę oraz przyspiesza proces substytucji stóp miedzy sektorami

12 84 Robert ruszewski ILIOGRAFIA: ruszewski R (2003) Dynamics of the economic growth model with migration Discussion apers Series Mathematical Economics No /EM/ Mankiw N G Romer D Weil D N (992) A contribution to the empirics of economic growth Quarterly Journal of Economics vol 07 (May) str Tokarski T (200) Determinanty wzrostu gospodarczego w warunkach stałych efektów skali Uniwersytet Łódzki