ROZDZIAŁ 2 DYNAMIKA MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CZYNNIKIEM MIGRACJI LUDNOŚCI

Transkrypt

1 Robert ruszewski ROZDZIAŁ 2 DYNAMIA MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CZYNNIIEM MIGRACJI LUDNOŚCI 1. Wstęp Wzrost gospodarczy jest zjawiskiem ważnym i bardzo złożonym. Od wielu lat skupia na sobie uwagę ekonomistów chcących je zbadać. Istotnym powodem budowania modeli objaśniających zjawisko wzrostu gospodarczego jest chęć poznania źródeł wzrostu, wyjaśnienia jego szybkości oraz wskazanie czynników go warunkujących. W pracy tej skupiono uwagę na dwu czynnikach warunkujących wzrost gospodarczy kapitale fizycznym i ludzkim, uwzględniono także wpływ procesów migracyjnych ludności. apitał ludzki i migracja (w większości ludzi dobrze wykształconych) ma istotny wpływ na procesy gospodarcze. Migranci przenoszą małą ilość kapitału fizycznego i cały kapitał ludzki (tzn. posiadaną wiedzę i umiejętności). W niektórych dziedzinach działalności gospodarczej szeroko rozumiany kapitał ludzki odgrywa większą rolę niż kapitał fizyczny. Przykładem takich przedsiębiorstw mogą być firmy działające na rynku oprogramowania komputerowego. Migracja, a w szczególności imigracja może stać się chwilowo jedynym źródłem wykształconej kadry pozwalającej podtrzymać wysokie tempo wzrostu w danej branży. Migracja różni się od naturalnej zmiany liczebności populacji. Migracja wywołuje przyrost ludności w jednej gospodarce i spadek w drugiej zatem zjawiska emigracji i imigracji należy rozpatrywać jako dwa procesy tego samego zjawiska. Imigranci w odróżnieniu od nowonarodzonych dzieci posiadają już pewną ilość zakumulowanego kapitału ludzkiego i fizycznego. Zatem pojawienie się imigrantów zmienia natychmiast poziom kapitału fizycznego i ludzkiego. Naturalna stopa wzrostu populacji podlega teraz fluktuacjom wywołanym przez imigrację i emigrację siły roboczej. Podobnym wahaniom podlegają także stałe stopy oszczędności kapitału: ludzkiego i fizycznego. W chwili przybycia imigrantów następuje skokowa zmiana zasobów kapitału fizycznego w mniejszym stopniu i ludzkiego w większym stopniu. Wreszcie stały i egzogeniczny postęp technologiczny także może podlegać szokom związanym z napływem imigrantów, gdyż imigranci, przy odpowiednio wysokim poziomie kapitału ludzkiego mogą być uważani za nośnik postępu technologicznego. Zatem rozpatrywanie wpływu ruchów migracyjnych ludności oraz badanie jaki wpływ wywierają one na wzrost gospodarczy, jest problemem ciekawym i wartym głębszej analizy. Modelowaniem zjawiska migracji zajmował się także Juan Braun (1993) 1. Zbudował on serię modeli, w których decyzje migracyjne podejmowane są na podstawie maksymalizacji użyteczności konsumenta. luczowym założeniem w modelach Brauna jest założenie o istnieniu doskonałego rynku kredytowego na całym świecie, oferującego we wszystkich krajach jednakowe stopy procentowe. Powyższe założenie istotnie wpływa na decyzje migracyjne. Jedynym czynnikiem warunkującym migrację jest tylko poziom płac realnych. Decyzje migracyjne mogą być uwarunkowane innymi czynnikami np. poziomem bezpieczeństwa, warunkami socjalnymi, dostępnością do dóbr publicznych i ich jakością itp. Emigranci przenoszą w całości kapitał ludzki natomiast część kapitału fizycznego mogą pozostawić w kraju pochodzenia by czerpać z niego dochód i ewentualnie ułatwić sobie 1 J. Braun, Essays on economic growth and migration, Ph.D. dissertation, arvard University

2 20 Robert ruszewski powrót do kraju pochodzenia. Do opisu i analizy wpływu migracji na wzrost gospodarczy użyto jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Jakościowa teoria równań różniczkowych zwyczajnych zwana także jakościową teorią układów dynamicznych zajmuje się badaniem zachowania równań różniczkowych i układów równań różniczkowych bez ich rozwiązywania tzn. bez podawania rozwiązania w postaci jawnej, dla wszystkich dopuszczalnych warunków początkowych. W przypadku nieliniowych układów równań różniczkowych, tylko w bardzo szczególnych przypadkach, potrafimy podać rozwiązanie w postaci jawnej, a w ogólności jedynie przy użyciu metod numerycznych potrafimy podać rozwiązanie przybliżone. W modelowaniu wielu zjawisk ekonomicznych precyzja rozwiązania ilościowego nie jest tak ważna, jak jakościowa analiza opisywanego zjawiska i możliwość przewidywania charakteru zmian układu. Bardzo często dane, do uproszczonego w stosunku do rzeczywistości matematycznego modelu, pochodzą z obserwacji i są one obarczone błędem niedokładności pomiaru. Zatem jedynie jakościowa analiza może dostarczyć istotnych informacji na temat interesujących nas własności modelu. Istotną kwestią dla teorii układów dynamicznych jest zbadanie czy dla zbudowanego modelu istnieją stany stacjonarne (położenia równowagi), czy są one stabilne i jaki charakter ma ewolucja układu, wraz z upływem czasu. Podstawowym obiektem badań teorii układów dynamicznych jest układ równań różniczkowych zwyczajnych, który opisuje modelowane zjawisko gospodarcze. Punktem wyjściowym pracy jest modyfikacja modelu wzrostu Mankiwa-Romera- Weila 2. Proces akumulacji kapitału uzupełniono równaniem opisującym pewien rodzaj sprzężenia zwrotnego między migracją i wielkością kapitału przypadającą na jednostkę efektywnej pracy. Wytworzony produkt w opisywanej gospodarce jest zużywany na inwestycje w kapitał ludzki, fizyczny i na konsumpcję. Zakładam, że wszystkie funkcje wykorzystane do konstrukcji modelu hipotetycznej gospodarki są wystarczająco gładkie. Gładkość oznacza istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych odpowiedniego rzędu. 3 2.Główne założenia modelu W prezentowanym modelu wzrostu gospodarczego zakładamy, że gospodarka jest zamknięta na produkty i kapitał zagraniczny, pracownicy mogą się swobodnie przemieszczać między państwami. Założenie o większej mobilności ludzi niż kapitału fizycznego może wydawać się bardzo rygorystyczne, lecz analiza modelu z tym założeniem ukazuje wyraziście wpływ migracji na proces wzrostu. Niech M ( t ) oznacza migrację ludności do rozpatrywanej gospodarki, κ ( t ) ilość kapitału fizycznego a λ ( t ) ilość kapitału ludzkiego posiadanego przez pojedynczego migranta. Ilość kapitału fizycznego przenoszona w procesie migracji nie jest duża (nie można zabrać budynków, ciężkich maszyn) choć w przypadku wielu zawodów może stanowić niemalże kompletny warsztat pracy. Zasoby, których nie można przenieść są w całości konsumowane przed przemieszczeniem się. Zakładam, że populacja oraz siła robocza netto L ( t ) wzrasta w stałym tempie n. Zatem ogólny poziom wzrostu siły roboczej po uwzględnieniu migracji wyniesie : 2 N. G. Mankiw, D. Romer, N. Weil, A contribution to the empirics of economic growth, Quarterly Journal of Economics, May 1992, s zakładam, że funkcje są co najmniej klasy C, tzn. posiadają ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu

3 Dynamika modelu wzrostu gospodarczego z czynnikiem migracji ludności 21 L M = n + = n + m (1) L L M gdzie m = jest stopą migracji netto. L Funkcja produkcji Y ( t ) = F(,,AL ) zależy od trzech czynników: kapitału fizycznego > 0, kapitału ludzkiego > 0 oraz nakładu pracy L > 0. Podobnie jak w modelu Solowa funkcja produkcji spełnia neoklasyczne założenia: dodatniej produkcyjności krańcowej każdego czynnika wytwórczego, prawa malejących przychodów krańcowych oraz warunki Inady. Zakładamy, że część 0 < s < 1 produktu jest przeznaczana na inwestycje w kapitał fizyczny: ( t ) = sy( t ). (2) Dodatkowo uwzględniamy stałą stopę δ deprecjacji kapitału fizycznego oraz zmianę zasobów kapitału fizycznego spowodowaną migracją κ M ( t ). Ostatecznie równanie określające akumulację kapitału fizycznego przyjmuje postać: ( t ) = sy( t ) δ ( t ) + κ M( t ). (3) Składnik κ M ( t ) związany z migracją określa ilość kapitału fizycznego przyniesionego przez imigrantów bądź zabranego przez emigrantów. Akumulacja kapitału ludzkiego jest modelowana w podobny sposób jak kapitału fizycznego i po uwzględnieniu deprecjacji i procesu migracji równanie opisujące akumulację kapitału ludzkiego przyjmuje postać: ( t ) = sy( t ) δ ( t ) + λm( t ), gdzie (4) 0 < s <1- część produktu przeznaczana na akumulację kapitału ludzkiego, δ - stała stopa deprecjacji kapitału ludzkiego, _ λ - ilość kapitału ludzkiego związana z każdym migrantem. Podobnie jak w modelu Solowa zakładamy stały i egzogeniczny postęp technologiczny ( A ( t )) : A ( t ) = xa( t ), x > 0. (5) Równania (1), (3), (.4) stanowią kompletny model będący rozszerzeniem modelu Mankiwa- Romera-Weila o migracje siły roboczej. W dalszych rozważaniach przyjmiemy funkcję α β 1 α β produkcji Comba-Douglasa, zatem F (,,AL ) = ( AL ), α, β, α + β (0,1 ). Równanie opisujące akumulację kapitału fizycznego przypadającego na jednostkę efektywnej pracy przyjmuje postać: α β k = s k h ( δ + x + n )k m( k κ ), gdzie (6) _ κ κ = i oznacza efektywną ilość kapitału przypadającego na każdego migranta. A( t ) Równanie opisujące akumulację kapitału ludzkiego przypadającego na jednostkę efektywnej pracy dane jest wzorem: α β h = s k h ( δ + x + n )h m( h λ ), gdzie (7) _ λ λ = i wyraża efektywną ilość kapitału ludzkiego przypadającego na każdego migranta. A( t ) Układ równań (6) i (7) stanowi kompletny model Mankiwa-Romera-Weila poszerzony o

4 22 Robert ruszewski migrację. Pierwszy składnik prawej strony równania (6), (7) określa wielkość inwestycji rzeczywistych, które są równe oszczędnościom, drugi składnik to inwestycje restytucyjne związane z deprecjacją kapitału, wzrostem populacji i postępem technologicznym. Trzeci składnik prawej strony równania (6), (7) opisuje oddziaływanie strumienia migracji na proces akumulacji kapitału. Dzieląc równanie (6) stronami przez k a równanie (7) przez h otrzymujemy stopy wzrostu odpowiednich zmiennych: α 1 β κ γ k = s k h ( δ + x + n ) m( 1 ), (8) k α β 1 λ γ h = s k h ( δ + x + n ) m( 1 ). (9) h Wielkość δ + x + n wyraża efektywną stopę deprecjacji kapitału fizycznego w modelu bez uwzględnienia migracji. W prezentowanym modelu stopa efektywnej deprecjacji kapitału κ fizycznego jest zaburzona przez składnik związany z migracją m 1 k. Jeżeli m = 0 albo, jeśli κ = k w każdej chwili czasu t, to otrzymujemy wynik identyczny jak w modelu bez migracji. Migranci nie mogą przenosić ze sobą dużej ilości kapitału fizycznego, zatem w rozpatrywanym modelu κ < k. Jeśli m < 0 to porównanie dokonuje się między emigrantami a pracownikami gospodarki, z której oni emigrują. Gdy m > 0 wtedy porównujemy kapitał imigrantów z kapitałem osób z gospodarki, do której następuje przemieszczenie. κ Założenie κ < k powoduje, że składnik m 1 k zwiększa efektywną stopę deprecjacji, jeśli m > 0 i zmniejsza, gdy m < 0. W przypadku, gdy κ = 0 ( migranci nie przenoszą kapitału fizycznego), wtedy stopa migracji zwiększa naturalną stopę wzrostu populacji n. Wielkość δ + x + n oznacza efektywną stopę deprecjacji kapitału ludzkiego w modelu Mankiwa-Romer-Weila bez uwzględnienia migracji. Po uwzględnieniu migracji stopa λ deprecjacji jest zaburzana przez składnik m 1 h związany z procesem migracji. Podobnie jak w przypadku kapitału fizycznego, jeśli m = 0 lub λ = h w każdej chwili czasu t, to wynik jest identyczny jak dla modelu bez migracji. Jeśli m < 0 wtedy kapitał ludzki przypadający na głowę efektywnego emigranta jest porównywany z kapitałem ludzkim przypadającym na głowę efektywnego pracownika w gospodarce, z której pochodzą emigranci, a gdy m > 0 kapitał ludzki imigrantów jest porównywany z kapitałem ludzkim przypadającym na głowę efektywnego pracownika w gospodarce przyjmującej imigrantów. W prezentowanym modelu nie uwzględniamy sytuacji, w której zmiana wartości k wpływa na decyzje imigrantów w odniesieniu do κ. Dodatkowo zakładamy, że typowa gospodarka będąca źródłem imigrantów znajduje się blisko swojego stanu równowagi, czyli ilość kapitału fizycznego przypadającego na głowę efektywnego imigranta κ można uznać za κ prawie stałą (niezmienną w czasie). Zatem dla m > 0 iloraz będzie się zmniejszał wraz ze k wzrostem k. Dla m < 0 wielkość κ reprezentuje ilość kapitału na głowę efektywnego emigranta, w tym przypadku iloraz k κ można uznać za prawie stały tzn. k κ nie będzie się zmieniać wraz ze wzrostem k. apitał ludzki będzie podlegał podobnym założeniom jak kapitał fizyczny, zatem dla

5 mγk= mγh= +nxδ+ nx + )(1 1, min βλwk 0( ke 2hk 31hk me E1 E3 E2 +δ< 1 2), 3βα Dynamika modelu wzrostu gospodarczego z czynnikiem migracji ludności 23 λ λ m > 0 proporcja będzie malała wraz ze wzrostem h a dla m < 0 iloraz będziemy h h uważać za stały, gdyż wraz ze wzrostem ilości kapitału ludzkiego na głowę efektywnego pracownika wzrasta również ilość kapitału przypadającego głowę efektywnego emigranta. Jeżeli stopę migracji m potraktujemy jako stałą, to wtedy system ekonomiczny, którego matematycznym modelem jest układ równań (8), (9) będzie określało stopy wzrostu kapitału w modelu Mankiwa-Romera-Weila poszerzonym o migrację. Niedoskonałością takiego rozwiązania jest fakt, iż położenie równowagi takiego modelu jest globalnie asymptotycznie stabilne, czyli niezależnie od warunków początkowych gospodarka zawsze zmierza do stanu zrównoważonego wzrostu. Jakościowo podobne własności zachowuje także wersja, w której stopa migracji m jest zależna od k. Skutecznym sposobem usunięcia tych ograniczeń jest wprowadzenie mechanizmu sprzężenia zwrotnego, wiążącego poziom kapitału przypadającego na jednostkę efektywnej pracy, z wielkością strumienia migracji. W pierwszej wersji stopa migracji będzie powiązana z wielkością kapitału fizycznego per capita. W drugiej wersji sprzężenie strumienia migracji będzie powiązane z poziomem kapitału ludzkiego per capita. Zaproponowane mechanizmy sprzężenia zwrotnego, są szczególnymi przypadkami reguły, w której wielkość strumienia migracji zależy od poziomu obydwu typów kapitału i od preferencji migrantów co do istotności każdego z nich. Poziom kapitału per capita w gospodarce jest powiązany z wysokością płacy realnej, im wyższy jest poziom kapitału tym wyższa płaca realna. Powiązanie tych dwóch wielkości ze sobą jest dobrym uzasadnieniem uzależnienia stopy migracji od poziomu kapitału per capita. Stopy migracji dane są wzorami:, (10) odpowiednio dla zaproponowanych reguł sprzężenia zwrotnego. Równania (8-10) stanowią kompletny model wzrostu gospodarczego z czynnikiem migracji ludności. 3. Dynamika modelu Bez straty ogólności, w dalszych rozważaniach, zakładamy równość stóp deprecjacji kapitału fizycznego i ludzkiego. Dynamikę systemu ekonomicznego (8-10) zbadamy ze względu na parametr. Twierdzenie 12 4 (11) Jeżeli, to system ekonomiczny opisany równaniami (8-10) posiada trzy położenia równowagi. Wprowadzimy oznaczenia równowag:,, występujących w modelu (8-10). Równowaga odpowiada równowadze w klasycznym modelu Solowa-Swana poszerzonym o kapitał ludzki. Równowaga charakteryzuje się niższym poziomem kapitału ludzkiego per capita w stosunku do równowagi. Stopa migracji jest zawsze ujemna w punkcie, podczas gdy równowaga w zależności od 4 Dowody twierdzeń można znaleźć w: R. ruszewski, Dynamika endogenicznego modelu wzrostu gospodarczego z czynnikiem migracji ludności, Prace z ekonomii matematycznej No.1/EM/2003, SG

6 <+wk m=0 k1 h1 E1 δ+ >+wk >ε )(1) δw knx +nxδ+ (1wkβα+ E2 δ < +1w E3 (1,βαβ αε ) )(1βα βλ 24 Robert ruszewski wartości efektywnej stopy deprecjacji charakteryzuje się zarówno dodatnią jak i ujemną stopą migracji. Twierdzenie 13 Rozważamy układ (8-10). Położenie równowagi jest stabilnym węzłem dla i niestabilnym położeniem równowagi (siodłem) dla. Dla położenia równowagi ( ) wielkości i odpowiadają położeniu równowagi w rozszerzonym o kapitał ludzki modelu Solowa-Swana. W modelu bez migracji położenie to jest globalnie asymptotycznie stabilne. W badanym modelu równowaga jest lokalnie asymptotycznie niestabilna dla wartości parametru nie przekraczających wartości, po jej przekroczeniu równowaga jest lokalnie asymptotycznie stabilna. Twierdzenie 14 Jeżeli, to równowaga jest lokalnie asymptotycznie niestabilna. Twierdzenie 15 Rozważamy model (8-10). Dla każdego i dla każdego równowaga jest lokalnie asymptotycznie stabilna. Równowaga dla wartości przekraczających wielkość charakteryzuje się ujemną stopą migracji tzn. w stanie zrównoważonego wzrostu występuje emigracja. Gdyby stopa wzrostu populacji była niższa od stopy emigracji, to po pewnym czasie doszłoby do depopulacji takiej gospodarki. Badany model wyklucza taką możliwość, ponieważ równowaga w tym zakresie zmienności parametru jest lokalnie asymptotycznie niestabilna. Twierdzenie 16 Rozważamy model (8-10). Dla równowaga jest lokalnie asymptotycznie niestabilna. Równowagę charakteryzuje ujemna stopa migracji (w stanie zrównoważonego wzrostu występuje zjawisko emigracji) oraz niski poziom kapitału ludzkiego per capita. Położenie równowagi jest lokalnie asymptotycznie niestabilne w całym zakresie

7 (1βα+ wk +nxδ+ s )12(, max αw Wks k E2 E3 1,E E1 < w > w >ε0 + 1, s εβ ) > 32 β1 α Dynamika modelu wzrostu gospodarczego z czynnikiem migracji ludności 25 zmienności parametru, w którym model posiada trzy położenia równowagi. Równowaga po przekroczeniu wartości przez parametr zawsze zmienia charakter ze stabilnej równowagi w niestabilną. Dalszy wzrost efektywnej stopy deprecjacji nieuchronnie prowadzi do kolejnej bifurkacji badanego modelu. Położenia oraz zbliżają się do siebie by dla pewnej wartości parametru nałożyć się na siebie i wraz z dalszym wzrostem wartości parametru układ (8-10) charakteryzuje się jednym położeniem równowagi z zerowa stopą migracji. Analiza dynamiki systemu (8-10) ze względu na efektywną stopę deprecjacji kapitału ukazuje, iż przy niskiej stopie deprecjacji lokalnie asymptotycznie stabilna jest równowaga. W stanie zrównoważonego wzrostu występuje zjawisko imigracji, przy czym stopa imigracji jest bardzo niska. W tym samym zakresie zmienności parametru równowaga jest punktem siodłowym i przy odpowiednio dobranym warunku początkowym istnieje możliwość dążenia systemu (8-10) do równowagi, w której stopa migracji jest równa zero. Przekroczenie progowej wartości przez efektywną stopę deprecjacji kapitału skutkuje wymianą typu stabilności między równowagami i. System ekonomiczny charakteryzujący się wysoką efektywną stopą deprecjacji kapitału będzie dążył do równowagi, w której stopa migracji jest równa zero. Dotychczas zbadaliśmy wpływ efektywnej stopy migracji na właściwości modelu. Obecnie zbadamy wpływ poziomu inwestycji w kapitał ludzki na dynamikę modelu. Analizę rozpoczynamy od ustalenia ilości położeń równowagi. Twierdzenie 17 Jeżeli, to model (8-10) posiada trzy położenia równowagi,,. Lokalna asymptotyczna stabilność równowag następujących czterech twierdzeniach. jest określona w Twierdzenie 18 Położenie równowagi jest stabilnym węzłem dla i niestabilnym położeniem równowagi (siodłem) dla Twierdzenie 19 Dla każdego i dla każdego

8 < w Wk E3 E1 E2 sα β1 > 26 Robert ruszewski równowaga jest lokalnie asymptotycznie stabilna. Twierdzenie 20 Dla równowaga jest niestabilna. Twierdzenie 21 Dla równowaga jest niestabilna. Jeżeli część produktu przeznaczana na inwestycje w kapitał ludzki jest niewielka, to model (8-10) posiada tylko jedno położenie równowagi, w którym stopa migracji jest równa zero. Zwiększenie części produktu przeznaczanego na inwestycje w kapitał ludzki skutkuje pojawieniem się dodatkowych położeń równowagi i oraz przy dalszym wzroście udziału tych inwestycji w wytworzonym produkcie, zmianą stabilności równowagi. Przy odpowiednio dużych inwestycjach w kapitał ludzki równowaga jest lokalnie asymptotycznie stabilna i charakteryzuje się występowaniem zjawiska imigracji.