Fraktale deterministyczne i stochastyczne. Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

Transkrypt

1 Fraktale deterministyczne i stochastyczne Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

2 Szare i Zielone Scena z Fausta Goethego ( ), Mefistofeles do doktora ( ): Wszelka, mój bracie, teoria jest szara, Zielone zaś jest życia drzewo złote Często przytaczany cytat przez Benoit Mandelbrota, który poczynił dziecinne spostrzeżenie:

3 Chmury nie są kulami

4 Góry nie są stożkami

5 Wybrzeże morskie to nie koło

6 Błyskawica nie zakreśla prostej linii

7 Co to jest fraktal? Złożona budowa dowolnie mały jego fragment jest równie skomplikowany jak całość. Samopodobieństwo - dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio powiększony, przypomina do złudzenia cały zbiór lub jego znaczną część. Wymiar fraktalny jest liczbą niecałkowitą.

8 Typowe przykłady samopodobieństwa

9 Klasyfikacja fraktali Fraktale deterministyczne geometryczne złożone z pomniejszonych kopii całości np. Zbiór Cantora, krzywa Kocha algebraiczne - iteracja funkcji nieliniowych: zbiór Mandelbrota, zbiory Julii, drzewo Feigenbauma itd.. Fraktale stochastyczne Trajektoria błądzenia losowego DLA klaster perkolujący

10 Dywan Sierpińskiego Każdy kwadrat dzielimy na dziewięć równych części i usuwamy środkową krok 1 krok 2 krok 5

11 Jakie jest pole powierzchni dywanu Sierpińskiego? Bok kwadratu równy 1 W pierwszym kroku usuwamy kwadrat o boku 1/3, tzn. o polu 1/9. W drugim kroku usuwamy 8 kwadratów o długości boku (1/3)^2. Pole powierzchni każdego z nich jest równe (1/3)^4. Suma pól powierzchni kwadratów usuniętych w drugim kroku wynosi 8* (1/3)^4.

12 Jakie jest pole powierzchni dywanu Sierpińskiego? W k-tym kroku usuwamy 8^(k-1) kwadratów o długości boku (1/3)^k. Po k krokach suma usuniętych pól: k k k k k

13 Trójkąt Sierpińskiego Środki boków trójkąta łączymy odcinkami i usuwamy środkowy trójkąt.

14 Piramida Sierpińskiego Łączymy odcinkami środki krawędzi czworościanu i usuwamy bryłę, której krawędziami są te odcinki.

15 Płatek śniegu, Koch 1904 Każdy bok trójkąta dzielimy na trzy równe części i doklejamy do części środkowej, tak jak na rysunku, trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym.

16 Zbiór Cantora i wymiar fraktalny samopodobieństwa skala N = ε D log N = log ε D log N = D log ε 1 D = log N log ε log 2n log 2 = = 1 log 3n log 3 < 1 iter N ε n 2 n 1 3 n

17 Wymiary samopodobieństwa: obiekt skala liczba elementów wymiar Krzywa Kocha (1/3)^k 4^k log4/log3 Zbiór Cantora (1/3)^k 2^k log2/log3 Trójkąt Sierpińskiego (1/2)^k 3^k log3/log2

18 Co to jest wymiar? iter N ε n 4 n 1 2 n N = ε D 4 n = 1 2 nd 4 = 2 D 2

19 Skala podwójnie logarytmiczna (log-log scale) y a x b log y log a b log x y' log y, x' log x y' log a bx' nachylenie prostej

20 Klasyfikacja fraktali Fraktale deterministyczne Geometryczne: złożone z pomniejszonych kopii całości np. Zbiór Cantora, krzywa Kocha Algebraiczne: iteracja funkcji nieliniowych: zbiór Mandelbrota, zbiory Julii, drzewo Feigenbauma itd.. Fraktale stochastyczne Trajektoria błądzenia losowego DLA klaster perkolujący

21 Jak zmierzyć linię brzegową?

22 Wybrzeże Irlandii

23 Długość wybrzeża Irlandii L N długość

24 Irlandia w log-log -1.23

25 Wybrzeże Skandynawii

26 Długość wybrzeża Skandynawii L N długość

27 Skandynawia w log-log -1.15

28 Konstruujemy linię wybrzeża Rozciągamy gumę między dwoma punktami Chwytamy środek gumy i ciągniemy ją w stronę morza lub lądu. Przytwierdzamy gumę pinezką. Robimy to samo z dwoma powstałymi w ten sposób odcinkami, potem z czterema itd. Otrzymujemy... wybrzeże

29 Przykład konstrukcji wybrzeża

30 Zlepek DLA też jest fraktalem Można go skonstruować przez prosty proces stochastyczny

31 Jaki jest wymiar (fraktalny) DLA? Boxcounting: Bok: L=1/8 Liczba pudełek o boku L potrzebnych do pokrycia DLA N(L)=?

32 Wymiar pudełkowy (metoda boxcounting) Boxcounting: Bok: L=1/8 Liczba pudełek o boku L potrzebnych do pokrycia DLA N(L)= 46

33 Narysuj to w log-log u Wymiar pudełkowy d = - nachylenie prostej d=1.7 Fraktal! log(l)

34 Powtórka z liczb zespolonych y z x iy r exp( i) v r f u x

35 Co to znaczy pomnożyć dwie liczby zespolone? y z 3 r 2 z 2 af z z z r 1 r z 2 1 exp( i exp( i z 2 rr 1 ) ) e i 2 f r 1 z 1 x

36 Dynamika przekształcenia z z 2 z φ z φ z φ z 0, ,5 10 z 2 0, ,25 20 z 4 0,409 6 z 8 0,167 8 z 16 0,028 1 z 32 0, , , , ,9 320

37 Zbiór Julii dla z n+1 =z n 2 +c y U W x Zbiór Julii dla c=0 (okrąg)

38 Zbiory Julii Dla każdego punktu z0 (zespolone) tworzymy ciąg z1, z2, z3,... iterując funkcję kwadratową z 2 z Jeżeli ciąg nie ucieka do nieskończoności to punkt z0 należy do zbioru więźniów W; Jeżeli ciąg ucieka do nieskończoności to z0 należy do zbioru uciekinierów U; Granica między zbiorami W i U to zbiór Julii c

39 Przykład: c= 0,5 +0,5i

40 Co to znaczy nieskończoność? Punkt ucieknie do nieskończoności jeżeli kolejna iteracja przekroczy r(c)=max( c,2). Pierwsze przybliżenie zbioru uciekinierów U to dysk o promieniu r(c). Kolejne przybliżenie dadzą punkty, które po pierwszej iteracji uciekną poza obszar o promieniu r(c). Itd.

41 Jak ważny jest czas? Załóżmy, że z 0,..., z 100 leżą w odległości mniejszej niż 2 od punktu początkowego. Czy ciąg nigdy nie ucieknie do nieskończoności? Niestety nie wiemy! Musimy wybrać maksymalną liczbę iteracji N. Decyzja: większa dokładność i dłższy czas.

42 Jak ważny jest czas - przykład N = 10; N = 50.

43 Przykłady zbiorów Julii c = -0.5 c = i c = i c = i c = i c = i c = i c = i c = i

44 Zbiór Mandelbrota Zbiór tych c, dla których zbiory Julii są spójne. Dla każdego c, zaczynamy z z0 = 0 i generujemy ciąg z1, z2, z3,... iterując zn -> zn2 + c Jeżeli ciąg nie ucieka do nieskończonosci, wtedy c należy do zbioru Mandelbrota M. Uwagi dotyczące kryterium ucieczki do nieskończonośi są takie same jak przy zbiorach Julii.

45 Zajrzyj w głąb zbioru Mandelbrota

46

47 Analogi zbioru Mandelbrota dla wyższych potęg

48 Punkty stałe i cykle w zbiorze Mandelbrota Punkt stały Cykl o okresie 2 Cykl o okresie 3