PODSTAWY LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

Transkrypt

1 PODSTAWY LINIOWJ TORII SPRĘŻYSTOŚCI

2 Pestenne dnie egowe teoii sężstości Metod owiąwni dń egowch teoii sężstości Rowiąnie łskiego dni egowego teoii sężstości w nężenich Rowiąnie łskiego osiowosmetcnego dni egowego teoii sężstości w emiescenich Nężeni kontktowe

3 Pestenne dnie egowe teoii sężstości Klscn, liniow teoi sężstości jest mechniką cił (ośodk) odkstłclnego, oiejąc się n nstęującch łożenich:. Ciło jest wełnione w sosó ciągł mteią ówno ed, jk i o odkstłceniu (kontinuum mteilne).. Ośodek ciągł jest ficnie jednoodn i iotoow. 3. Pemiesceni i odkstłceni ojwiją się w chwili łożeni ociążeń wwołującch nężeni. 4. Istnieje ntuln enięciow (enężeniow) stn cił, do któego owc ono wse o odciążeniu. 5. Odkstłceni i emiesceni są do młe. 6. Ośodek ciągł (mteił) chowuje się godnie wem Hooke. 7. Funkcje okeśljące nężeni, emiesceni i odkstłceni są ciągłe i óżnickowlne.

4 Pestenne dnie egowej teoii sężstości możn sfomułowć w nstęując sosó: Dne jest ciło liniowo sężste o dowolnm kstłcie i wmich ( s. 0. ) Rs. 0. Pjmujem, że oostje ono w socnku. Znn jest sosó odci cił i jego włsności sężste. Okeślone są sił owiechniowe q i msowe X ( ojętościowe X ρ ) diłjące n owżne ciło. Posukujem ntomist wektoowego ol emiesceń o tensoowch ól stnu nężeni i odkstłceni w tm ciele. Innmi słow, te nleźć iętnście funkcji wsółędnch unktu w ciele nieodkstłconm.

5 ( i, j, k,,3) u i ( k ) ( i, k,,3) ( ) ε ij i k ( i, j, k,,3) (, ) τ (, ),, (,, ) τ (,, ) (, ) τ (, ), (, ) u, (, ) (, ) v, w, ( ) ij k lu w notcji inżnieskiej:, ε (, ) γ (,, ), ε (,, ) γ (,, ) ε (, ) γ (, ), Posukiwne funkcje:, ( 0. ) ( 0. ) ( 0.3 ) ( 0.4 ) ( 0.5 ) ( 0.6 )

6 Do nleieni tch funkcji nleż stosowć iętnście odstwowch ównń teoii sężstości, któe ostł wceśniej wowdone. Twoą one t gu leżności: A. Równni wewnętnej ównowgi loklnej Są to t wunki Nvie, w któch uwględniono ostult Boltmn, wn tkże wunkiem Cuch ego ji, j Xiρ 0 ( i,,3; j,,3) ( 0.7 ) ij ji ( i,,3; j,,3) ( 0.8 ) lo w notcji inżnieskiej: τ τ Xρ 0 τ τ Yρ 0 ( 0.9 ) τ τ Zρ 0 τ τ τ τ τ τ ( 0.0 )

7 B. Zwiąki geometcne. Wóżni się dw odje wiąków geometcnch: B. Zleżność międ skłdowmi stnu odkstłceni i emiescenimi, cli seść wiąków Cuch ego. ( u ) ε ij u i, j j, i ( i,,3; j,,3 ) εij ε ji ( 0. ) ( 0. ) lo w notcji inżnieskiej: u v w ε, ε, ε, u v v w w u γ, γ, γ, ( 0.3 )

8 B. Wunki ciągłości ( nieodielności ) odkstłceń de Sint Vennt, któch jest tkże seść: e ε 0 ( i,,3; j,,3) e ikm j ln kl, mn lo w notcji inżnieskiej: ( k,,3; l,,3) (,,3; n,,3) m ( 0.4 ) ε ε γ, ε ε γ, ε ε γ γ γ γ ε γ γ γ ε ( 0.5 ) γ γ γ ε

9 C. Zwiąki ficne Jest to uogólnione wo Hooke, któe może mieć dwojką ostć: C. Seść funkcji okeśljącch skłdowe stnu odkstłceni w leżności od skłdowch stnu nężeni: ε ij ν ij ν ( i, j, k,,3) kk δ ij ( 0.6 ) lo w notcji inżnieskiej: ε ε ε [ ν( )] [ ν( )] [ ν( )] ( 0.7 ) τ τ γ, γ, G G γ τ G

10 C. Seść funkcji okeśljącch skłdowe stnu nężeni w leżności od skłdowch stnu odkstłceni. ij νg Gεij εkkδij ( i,,3; j,,3; k,,3) ν ( 0.8 ) lo w notcji inżnieskiej: ε ν ν ν ( ε ε ε ) ν ε ν ν ( ε ε ε ) ν ε ε ε ε ν ν ( ) ( 0.9 ) τ Gγ τ Gγ τ Gγ

11 W dnmicnm dniu egowm teoii sężstości osukiwne funkcje ( 0. ), ( 0. ) i ( 0.3 ) lo ( 0.4 ),( 0.5 ) i ( 0.6 ) są dodtkowo leżne od csu t. W ównnich ównowgi wewnętnej nleż uwględnić sił ewłdności d Alemet łożone do infinitemlnego ostodłościnu. Fomuł ( 0.7 ) lo ( 0.9 ), w któch we ston są odowiednio ówne :.. ui ui ρ t ρ ( i,,3) lo u v w ρ, ρ, ρ, t t t stją się dnmicnmi ównnimi ośodk ( cił ) odkstłclnego.

12 Metod owiąwni dń egowch teoii sężstości Posukiwne funkcje ( 0. ), ( 0. ) i ( 0.3 ) lo ( 0.4 ),( 0.5 ) i ( 0.6 ) musą ć tk done, sełnił odstwowe ównni teoii sężstości A, B i C o wunki egowe, w dku dni dnmicnego tkże wunki ocątkowe. Rowiąnie w nężenich oleg n tm, że w iewsej kolejności wnc i, j, k,,3 się seść funkcji okeśljącch skłdowe stnu nężeni ( ) ij k ( ) lo (,, ), (,, ), (,, ), τ (,, ), τ (,, ), (,, ). τ Nleż w tm celu tk ekstłcić odstwowe ównni teoii sężstości, uskć ukłd ównń óżnickowch e wględu n nężeni. T iewse ównni tego ukłdu stnowią loklne wunki ównowgi wewnętnej A. A uskć oostłe ównni, nleż skłdowe stnu odkstłceni, wżone e skłdowe stnu nężeni w leżnościch C, wowdić do wunków ciągłości odkstłceń B. Po dokonniu tej oecji i o ekstłcenich, w tkcie któch stosuje się ównież ównni ównowgi loklnej, otmujem wunki nieodielności odkstłceń wżone e nężeni. Jest to seść ównń Beltmiego - Michell >>>

13 Seść ównń Beltmiego Michell: ( ) k k ij i j j i ij kk kk ij X X X,,,,, δ ν ν ν ( ),,3,, k j i ( 0.0 ) lo w notcji inżnieskiej: 0 3 ρ ρ ν ν ν X Z Y X ś 0 3 ρ ρ ν ν ν Y Z Y X ś 0 3 ρ ρ ν ν ν Z Z Y X ś 0 3 ρ ρ ν τ Z X ś 0 3 ρ ρ ν τ X Y ś 0 3 ρ ρ ν τ X Y ś ( 0. ) onc oeto hmonicn Llce wn llsjnem. Ctj nl dw. ( 0. ) -

14 Posukiwnch seść funkcji ij ( k ) (, j, k,,3) (,, ), (,, ), τ (,, ), τ (,, ), (,, ), i lo (,, ), musi sełnić ównni ównowgi wewnętnej A, ównni Beltmiego Michell o wunki egowe: τ qni jiα jn ( i,,3; j,,3) q q q n n n τ τ lo w notcji inżnieskiej: cos cos cos ( n) τ cos( n) τ cos( n) ( n) cos( n) τ cos( n) ( n) τ cos( n) cos( n) ( 0.3 ) ( 0.4 ) W tm dku n jest nomlną do owiechni ew. cił w owżnm unkcie, któej kieunek wncją α j,,3 lo cos( n ), cos( n ), cos( n ). ij ( )

15 Ścin elementnego cwoościnu ( t ook ) ostodł do n jest fgmentem owiechni cił, n któ dił ociążenie owiechniowe q(,, ) o skłdowch q ni ( i,, 3 ) lo q n,q n,q n. Poostłe t wjemnie ostodłe ścin,n któch wstęują nężeni, njdują się już wewnąt cił. Wunki egowe wiążą nne owiechniowe ociążeni ewnętne e stnem nężeni wewnąt cił. P okji omwini wunków egowch wto tocć sdę de Sint Vennt, któ mi: Różne, le sttcnie ównowżne ukłd sił, łożone n niewielkiej cęści owiechni cił, wwołują w unktch dosttecnie oddlonch od stef diłni ociążeni ktcnie jednkowe stn nężeni. Pe dosttecne oddlenie od stef diłni ociążeni nleż oumieć odległość ędu oównwlnego liniowmi wmimi owiechni, n któą dił ukłd sił ewnętnch. Zsd t umożliwi modfikcję i uscnie wunków egowch. Wnik niej ównież, że stn nężeni w oliżu miejsc łożeni ociążeni owinien ć edmiotem odęnej nli. Wiąże się to nężenimi stkowmi.

16 Rowiąnie w emiescenich oleg n tm, że w iewsej kolejności wnc się t funkcje okeśljące emiesceni u i( j ) ( i, j,,3) lo u(,, ), v (,, ), w(,, ). Nleż w wiąku tm ekstłcić odstwowe ównni teoii sężstości, uskć ukłd ównń óżnickowch e wględu n emiesceni. W tm celu skłdowe stnu odkstłceni wżone e emiesceni godne leżnościmi B wowdm do uogólnionego w Hooke ( C ). Uskm skłdowe stnu nężeni wżone e emiesceni, któe óżnickujem i wstwim do wunków ównowgi wewnętnej A. Po ekstłcenich otmm wunki ównowgi wewnętnej wżone w emiescenich, cli t ównni Nvie Lmego : Gu i, jj ( λ G) u j, ji Xi 0 ( i, j, k,,3) ( 0.5 ) lo w notcji inżnieskiej: ϑ G ϑ ( λ G) u ρx 0 ( λ G) G v ρy 0 ϑ ( λ G) G w ρz 0 ( 0.6 ) gdie: ϑ ε ε ε u v w ; νg λ ν - stł Lmego

17 ( ) Funkcje u i j ( i, j,,3) lo u (,, ), v (,, ), w (,, ) musą sełnić ukłd ównń óżnickowch cąstkowch Nvie Lmego ( 0.5 ) lu ( 0.6 ) o wunki egowe. Są to wunki nężeniowe ( 0.3 ) lo ( 0.4 ), któe nleż ównież odć w emiescenich. A uskć odowiednie fomuł, wstc w nężeniowch wunkch egowch ( 0.3 ) lo ( 0.4 ) skłdowe stnu nężeni wić e emiesceni, w nlogicn do stosownego wowdeniu ównń Nvie -Lmego. Mogą to ć ównież emiesceniowe wunki egowe okeśljące emiesceni u i ( j ) ( i, j,,3) lo u(,, ), v (,, ), w (,, ) n cęści lu n cłm egu. Rowiąnie estennego dni egowego teoii sężstości wost, tn. e cłkownie ukłdu cąstkowch ównń óżnickowch jest do tudne. Dltego stosuje się óżne soso ułtwijące usknie choć liżonego owiąni. Wowd się w tm celu uoscone modele geometcne cił liniowo sężstego, tkie jk ęt, tc, łt c owłok. Stosuje się liżone metod owiąwni ównń óżnickowch. Kost się tkże liżonch metod numecnch owiąwni dń teoii sężstości, tkich jk metod óżnic skońconch, metod elementów skońconch c metod elementów egowch. Metod te nosą nwę metod mcieowch lu komuteowch, oniewż oieją się n chunku mcieowm i są stosowne do oliceń omocą komute.

18 ROZWIĄZANI PŁASKIGO ZADANIA BRZGOWGO TORII SPRĘŻYSTOŚCI W NAPRĘŻNIACH. Wóżnić te dw dki tego dni, minowicie łski stn nężeni lu odkstłceni. Posukuje się odowiednio funkcji (, ), (, ), τ (, ) lu ε (, ), ε (, ), γ (, ). Rowżm scegółowo iews dek, któ ilustowno n s. 0., edstwijącm tce enosącą ociążeni ewnętne q(, ) i utwiedoną n cęści egu. Rs.0. Podstwowe ównni teoii sężstości edstwiją się nstęująco: >>>

19 0, oniewż Płskie dni teoii sężstości Płski stn nężeni Płski stn odkstłceni F 0 n n n h h 0 ) τ 0 [ T ] τ , oniewż ) ε γ 0 [ ε] γ ε ν ν ε ( ε ε ε) ( ε ε) ν ν ν ν

20 A. Loklne wunki ównowgi τ τ Xρ 0 Yρ 0 B. Zwiąki geometcne ( 0.7 ) lu u v ε, ε, ε ε γ γ u v ( 0.8 ) ( 0.9 ) C. Zwiąki ficne ε ( ν ), ε ( ν ), γ τ G ( 0.30 ) lu ( ε ), νε ( ε ), νε τ Gγ ( 0.3 ) ν ν

21 Rowiąnie łskiego dni egowego teoii sężstości w nężenich oie się n wunkch ównowgi wewnętnej ( 0.7 ) o wunku nieodielności emiesceń ( 0.9 ) wżonm w nężenich. A otmć to tecie ównnie, wowdim leżność ( 0.30 ) do ( 0.9 ) o uwględnieniu, że ( ) ν G ( ) ( ) ( ) τ ν ν ν Po wkonniu óżnickowni i uoądkowniu uskuje się: ( ) τ ν ν ν ( 0.3 ) Różnickujem iewse ównnie ( 0.7 ) wględem, dugie wględem, dodjem stonmi i wlicm, co nstęuje: ρ τ Y X ( 0.33 )

22 Po wstwieniu wou ( 0.33 ) do ( 0.3 ) i o ostch ekstłcenich otmujem ównnie Lev ego: X Y ( ) ( ν) ρ ( 0.34 ) Dl dku łskiego stnu odkstłceni, o nlogicnch oecjch, ównnie Lev ego m nstęującą ostć: ( ) ( ) 0 ( ν) X Y Jeśli sił msowe X, Y mją wtości stłe, ównnie Lev ego dl łskiego stnu nężeni i odkstłceni jest identcne ρ ( 0.35 ) ( 0.36 ) Uowżni ns to do jmowni się włącnie dkiem łskiego stnu nężeni. Posukiwne funkcje (, ), (, ), τ (, ) musą sełnić ównni ównowgi wewnętnej ( 0.7 ), ównnie Lev ego ( 0.36 ) o nstęujące wunki egowe: q q (, n) τ cos( n) n cos, (, n) cos( n) n τ cos, ( 0.37 )

23 Rowiąnie łskiego dni teoii sężstości możn uościć, wowdjąc funkcję nężeń Ai ego ψ (, ), omocą któej możn wić skłdowe stnu nężeni nstęująco:, ψ, ψ Y X ρ ρ ψ τ ( 0.38 ) Łtwo swdić, że jeśli X i Y mją wtości stłe, funkcje ( 0.38 ) sełniją wunki ównowgi ( 0.7 ). Po wstwieniu leżności ( 0.38 ) do ównni Lev ego ( 0.36 ) i o ostch ekstłcenich uskuje się ównnie ihmonicne e wględu n funkcję nężeń: ψ ψ ψ 0 4 ψ ψ 4 ( 0.39 ) cli ( 0.40 ) Funkcj nężeń ψ(, ) musi ć tk don, sełnił ównnie ihmonicne, skłdowe stnu nężeni e nią wżone sełnił wunki egowe. ( 0.4 ) gdie: Pkłd 0. >>>

24 PRZYKŁAD 0. Płsk tc o guości ównej jest mocown i ociążon w sosó okn n s. 4. Dne: γ, cięż jednostki ojętości mteiłu tc, kąt α. Posukujem owiąni w ostci wielominu teciego stoni ψ 3 3 (, ) c d Funkcj t może ć funkcją nężeń, oniewż sełni ównnie ihmonicne. ( 0.4 ) Skłdowe stnu nężeni wżją nstęująco: c 6d 6 ( 0.43 ) τ c Stłe,, c, d olic się wunków egowch. Rs.0.3 WARUNKI BRZGOW >>>

25 - n ścinie ionowej. 0, τ 0,. 0, q γ WARUNKI BRZGOW: - n ścinie ochłej 3. tgα, q n 0, cos ( n) τ cos( n) 0 4. tgα, q n 0, τ cos ( n) cos( n) 0 gdie: π cos Z wunku c 0 c 0 Z wunku 6d γ d γ 6 ( n ) cos α sin α, cos( n) cos( α) dlej >>>

26 Z wunku 3 6 γsin α 6 sin α γ cosα γtg α γtg Z wunku 4 α ( ) cosα 0 ( γtg α ) sin α ( 6 γtg α ) cosα 0 γtg γtg 3 3 α 6 α 6 γtg γtg 3 α 0 α tgα 0 tgα γtg α 0

27 Po wstwieniu stłch,, c, d do fomuł ( 0.43 ) otmuje się osttecne owiąnie: γ, τ ( γtg α) tgα ( γtg α) 0, γtg α Po wstwieniu - h const otmujem: γ τ ( γtg α) tgα ( γtg α) h 0 γtg -wtość stł α - funkcj liniow ( 0.44 ) - funkcj liniow ( 0.45 ) Oiejąc się n fomułch ( 0.45 ), możn soądić wkes skłdowch stnu nężeni dl h const ( s. 0.4 ) Fomuł ( 0.44 ) są łędne w oliżu miejsc utwiedeni, oniewż nie są tm sełnione wunki egowe. Rs. 0.4

28 ROZWIĄZANI PŁASKIGO OSIOWOSYMTRYCZNGO ZADANIA BRZGOWGO TORII SPRĘŻYSTOŚCI W PRZMISZCZNIACH. Pieścień o omieniu wewnętnm i ewnętnm o guości wkonn jest mteiłu o nnch stłch sężstch ν, o gęstości ρ. N owiechni wewnętnej i ewnętnej ieścieni, któ wiuje e stłą ędkością kątową ω, dił omieniowe ociążenie owiechniowe i ( s. 0.5 ) Tk sfomułowne łskie osiowosmetcne, dnmicne dnie egowe teoii sężstości wgodniej ędie owiąwć w iegunowm ukłdie wsółędnch. Wmg to wowdeni odowiednich odstwowch ównń teoii sężstości. Rs. 0.5

29 Wtniem owżnego kążk segment ognicon dwiem owiechnimi wlcowmi o omieniu i d o dwom łscnmi echodącmi e oś ootu, któe twoą kąt dwuścienn dϕ ( s. 0.6 ) Rs. 0.6 Ze wględu n smetię, w dowolnej łscźnie echodącej e oś ootu nężenie stcne musi ć ówne eu, wiec jest to łscn główn stnu nężeni. Wstęuje w niej nężenie t wne owodowm. N owiechnich wlcowch wstęują tem ównież tlko nężeni nomlne, wne omieniowmi, ówne odowiednio o d. Odw nężeni główne t i leżą włącnie od omieni.

30 Zgodnie sdą d Alemet, łożm do segmentu siłę ewłdności ówną ilocnowi ms dϕdρ i sieseni dośodkowego ω, wóconą od śodk n ewnąt. Segment ociążon siłmi owiechniowmi o siłą ewłdności oostje w ównowde, więc sum utów tch sił n smetcn kieunek omieniow musi ć ówn eu: dϕ ω ρddϕ ( d )( d) dϕ dϕ td sin 0 dϕ dϕ Po uwględnieniu, że sin o oduceniu młch wżsego ędu otmujem ównnie ównowgi wewnętnej A: d t ρω ( 0.46 ) d Ze wględu n osiową smetię dowoln unkt tc don emiesceni u w kieunku omieniowm. Poniewż u jest funkcją, wiec dw unkt odległe od sieie o d emiescą się odowiednio o u i u du. Wnikją tego nstęujące wiąki geometcne B: ε π( u) ε du, d π π t u ( 0.47 ) Odkstłcenie omieniowe ε i owodowe ε t leż tlko od. Są to odkstłceni główne.

31 Po wugowniu emiesceni u leżności ( 0.47 ) otmm wunek nieodielności odkstłceń: u εt, du dεt dε εt, ε t εt t ( 0.48 ) d d d Zwiąki ficne C ędą mił nstęującą ostć: lu ε ε t t ν ν [ ν ] [ ν ] t t [ ε νε ] Rowiąnie łskiego osiowosmetcnego, dnmicnego dni teoii sężstości w emiescenich ędie oległo n nleieniu w iewsej kolejności u( ). t [ ε νε ] t ( 0.49 ) ( 0.50 ) Posukujem tem ięciu funkcji ( ), t ( ), ε ( ), ε t ( ) i u( ), któe sełniją ównni A, B, C o wunki egowe.

32 Wstwim wiąki geometcne ( 0.47 ) do w Hooke ( 0.50 ) ν ν t du u ν d u du ν d ( 0.5 ) Skłdowe stnu nężeni wżone e emiescenie leżnością ( 0.5 ) wowdm do ównni ównowgi loklnej ( 0.46 ) ν du u ν d ν d d du u ν d ν u du ν ρω d ν Po oustonnm omnożeniu e i wkonniu óżnickowni otmm: du u d u du u u du ν ν ν ν ν ρω d d d d Po uosceniu i oustonnm odieleniu e ównnie ównowgi loklnej wględem emiesceni u( ) ędie miło ostć: d u du u ν ρω ( 0.5 ) d d

33 Lew ston ównni ( 0.5 ) może ć isn jesce kócej Po dwukotnm scłkowniu otmm: d d ν ( u) ρω ( 0.53 ) d d 3 u ν C ρω C ( 0.54 ) 8 Stłe C i C nleż wlicć wunków egowch. Znjomość u( ) umożliwi wncenie n odstwie leżności ( 0.5 ) skłdowch stnu nężeni: nężeni omieniowego - ( ) i nężeni owodowego - t ( ) nężenie omieniowe ν C ( ν) C ( ν) ( 3 ν) ρω 8 ( 0.55 ) nężenie owodowe t ν C ( ν) C ( ν) ( 3ν) ρω 8

34 W dku u guościennej ( s. 0.7 ) ω 0, wunki egowe możn sfomułowć nstęująco: dl, - ; dl, -, cli Rs.0.7 ν ν C C ( ν) C( ν) ( ν) C( ν) Wlicone tch ównń stłe wnosą: C C ν ν ( ) Po wstwieniu stłch C i C do leżności ( 0.55 ) o ( 0.54 ) otmujem wo n nężeni i emiesceni w ue:

35 Wto uwżć, że nie leż od, więc jest wtością stłą. Innmi słow, guość owżnego kążk mieni się we wsstkich jego miejscch jednkowo i dltego uę guościenną możn tktowć jko ió łskich tc. t m u ν ν t ( ) t ν ε ( 0.56 ) ( 0.57 ) NAPRĘŻNIA I PRZMISZCZNIA W RURZ GRUBOŚCINNJ Pkłd 0.. >>>

36 PRZYKŁAD 0. Zionik wsokociśnieniow stnowi dług u guościenn ( s. 0.8 ) o wmich cm, 3 cm, l 00 cm.. Wncć ndciśnienie nujące wewnąt ionik, jeśli widomo, że wwołuje ono n ewnąt owiechni clind odkstłcenie wględne w kieunku twoącej ε 0-4. Moduł sężstości 0 5 MP, wsółcnnik Poisson ν 0,3.. Nsowć wkes, t,. 3. Olicć wg hiote mksmlnch nężeń stcnch mksmlne nężenie edukowne w ścinch ionik. Rowiąnie >>> Nężeni i emiescenie w kążkch wiującch >>> Rs.0.8

37 Stn nężeni w ue guościennej dnem jest okeślon nstęującmi womi: t ( 0.58 ) ( 0.59 ) ( 0.60 ) To osttnie wżenie otmuje się wunku, że sum utów n oś sił diłjącch n cęść ionik, odciętą dowolną łscną ostodłą do tej osi, musi ć ówn eu. ε [ ν ] t nężenie nomlne w ekoju ostodłm do osi. <<< owót dlej >>>

38 ( ), ( ) t ν ε ( ) ( ) ν ε ( ) ( ) 6,5 MP ν ε ( ) ( ) MP 6,5 - - ( ) ( ) ( ) MP 6,5 t 50 MP 5 MP t ed ndciśnienie nujące wew. ionik m. nężenie edukowne w ścinch ionik <<< owót Wkes nężeń>>>

39 <<< owót

40 W dku kążk wiującego e otwou ( s 0.9 ) 0, 0, 0, wunki egowe sfomułowć możn nstęująco: dl 0 u 0, dl 0. Piews wunek egow może ć sełnion tlko wówcs, gd C 0, w eciwnm owiem ie osttni cłon wżeni ( 0.54 ) ędie ówn nieskońconości dl 0. Po wliceniu C i wstwieniu stłch do woów ( 0.55 ) i ( 0.54 ) otmujem : Rs. 0.9 ρω 8 ( 3 ν)( ) ( 0.6 ) nężeni i emiesceni w kążkch wiującch t ρω 8 ( 3 ν) 3ν 3 ν ( 0.6 ) u ν ρω 8 3 ν ν ( 0.63 ) <<< owót dlej >>>

41 Jeśli kążek m otwó ( s.0.0 ), wunki egowe s nstęujące: dl 0 i dl 0. Wo n nężeni i emiesceni ieją wted fomę: Rs.0.0 ρω 8 ( 3 ν) ( 0.64 ) t ρω 8 ( 3 ν) 3ν 3 ν ( 0.65 ) u ρω ( ) 3 3 ν ( ν ) ( ν)( ) ( ν) 8 3 ν ( 0.66 ) <<< owót Pkłd 0.3 >>>

42 PRZYKŁAD 0.3 N stlow wł jest nsdon kążek o stłej guości. Różnic omieni włu i otwou δ 0,005 mm ( s. 0. ). Olicć licę ootów n minutę, któej wjemn ncisk włk i kążk n owiechni stku mleje do e. Dne : 0 5 MP, ν 0,8, 5 cm, 40 cm, ρ 800 kg/m 3. Rs. 0. Wjemn ncisk n owiechni stku mleje do e, jeśli óżnic emiesceń unktów leżącch n owiechni otwou i n owiechni włk osiągnie wtość: ( ) ( u ) δ u k w ( 0.67 )

43 Wł tktujem jko kążek e otwou. Dl wiującego nieociążonego kążk o śednic otwoem o śednic,, otmm: u k ( 3 ν) ω 8 ρ ν 3 ( ν)( ) ( ν) 3 ν Dl wiującego nieociążonego kążk o śednic ( w fomule ( 0.63 ) oncone ) e otwou i u w ( ν ) ω ρ 3 ν 8 ν ( 0.68 ) ( 0.69 ) Po wstwieniu leżności ( 0.68 ) i ( 0.69 ) do ( 0.67 ) otmuje się ównnie, któego możn wlicć ω ( ) 3 ν ω ρ ν 3 ν ω ρ 3 ν ν ν 8 3 ν 8 ν ( )( ) ( ) ( ) δ cli stąd n ( 3 ν) ω ω 4 ρ 30 ω 47 π δ ρ ( 3 ν) o min δ s

44 NAPRĘŻNIA KONTAKTOW Teoię nężeń stkowch, cli kontktowch ocowł Het. Jest to gdnienie geometcnie nieliniowe. N sunku 0. okno dw stkjące się cił. Mją one wsólną nomlną, wsólną łscnę stcną w unkcie stku i są wjemnie dociskne siłmi P. Dl cił min i m omień kwin wnosi i, stłe sężste i ν. Dl cił odowiednie wielkości wnosą i, stłe sężste i ν. Kąt międ łscnmi njwięksch kwin ( cli minimlnch omieni kwin, i ) jest ówn ϕ. Pjmuje się nstęujące łożeni:. Stkjące się cił są jednoodne, iotoowe i liniowosężste. Powiechnie ewnętne cił w otoceniu unktu stku są głdkie o egulnej kwiźnie. 3. Odkstłceni cił są niewielkie. Rs Powiechni stku w stosunku do owiechni cił jest mł. 5. N owiechni stku nie m nężeń stcnch, jednie nomlne.

45 Po odkstłceniu cił sowodownm ich wjemnm dociśnięciem owstje os stku w ostci elis o osich i ( > ), któe możn olicć e woów 3 n m P α 3 n m P β, 4 ' ' m ) ( ) ( 3 8 ν ν n, m A ϕ cos ' ' ' ' B ( 0.70 ) gdie: cm α i β - wsółcnniki leżne od B/A, : odne w tlic >>>

46 Tlic. Wtości α, β, B/A cd.>>> 0,4930 0,4897 0,4863 0,488 0,4794,73,765,800,837,874 0,866 0,8699 0,8737 0,8774 0,88 0,6580 0,6359 0,645 0,67 0,6006,684,775,86,88,943 0,63 0,65 0,676 0,690 0,76 0,5093 0,506 0,509 0,4996 0,4963,576,605,635,666,698 0,8468 0,8507 0,8545 0,8584 0,863 0,84 0,777 0,78 0,699 0,679,6,345,456,540,607 0,304 0,3954 0,4795 0,534 0,589 0,547 0,57 0,586 0,555 0,54,443,469,494,5,548 0,870 0,830 0,8350 0,8389 0,848,0000 0,9696 0,938 0,879 0,847,000,03,076,48,98 0,0000 0,0466 0,075 0,974 0,545 β α B/A β α B/A

47 0,355 0,33 0,84 0,3 5,09 6,59 8,06,789 0,9705 0,988 0,9909 0,9937 0,5366 0,5336 0,5307 0,577,350,37,395,49 0,80 0,850 0,890 0,830 0,4076 0,409 0,398 0,393 0,3830 3,899 3,986 4,079 4,78 4,395 0,948 0,9458 0,9488 0,957 0,9574 0,5508 0,5480 0,545 0,543 0,5395,45,65,86,306,38 0,7907 0,7948 0,7988 0,809 0,8069 0,4576 0,438 0,4499 0,4460 0,497 3,3 3,8 3,33 3,86 3,56 0,9030 0,9065 0,900 0,934 0,969 0,5646 0,568 0,559 0,5564 0,5536,53,7,89,07,6 0,770 0,7743 0,7784 0,785 0,7866 0,4759 0,473 0,4687 0,4650 0,463,94,954,996 3,040 3,085 0,8849 0,8885 0,89 0,8958 0,8994 0,588 0,575 0,576 0,5699 0,567,0,087,03,9,36 0,733 0,7538 0,7579 0,760 0,766 β α B/A β α B/A

48 Rokłd ncisków owiechniowch n ose stku jest elisoidą ( s. 0.3 ) o nstęującm ównniu: 3P, π ( ) ( 0.7 ) Rs. 0.3 Wtość m njwięksego ciśnieni n owiechni stku dl 0 i 0 wnosi: m 3P π ( 0.7 )

49 Jeśli element dociskne są wlcmi o osich ównoległch, os stku jest ostokątem o seokości, cm: 4 k π ( ) P ' ( 0.73 ) ν k ν Sił docisku n jednostkę długości wsólnej twoącej Rokłd ncisków n ose stku jest wlcem o ekoju ółelitcnm, m wnosi: m ' P π ( 0.74 )

50 Njwiękse nężenie edukowne wstęuje w tk wnm unkcie Bieljew, któego ołożenie n osi smetii okeśl wsółędn B. Według hiote mksmlnch nężeń stcnch ν 0,3 dl kołowego osu stku ( ściskni kul ) B / 0,48 i ed / m 0,60,ntomist dl ostokątnego osu stku (ściskni wlców ) B / 0,780 i ed / m 0,608. Według hiote enegii odkstłceni ostciowego wielkości te mienij się odowiednio w edile od B / 0,48 i ed / m 0,60 do B / 0,697 i ed / m 0,567. Wtości nężeni edukownego w unkcie Bieljew ekcją cęsto R e, nwet R m. Mteił wtmuje to, oniewż nuje tm stn nężeni liski estennemu ównomienemu ściskniu ( dl tkiego stnu nężeni odwie hiote tcą sens ). Kteium ncisku owiechniowego możn sfomułowć nstęująco: m k dh ( 0.75 ) Wtości jednostkowe ncisku dousclnego k dh są ncne, n. dl stli StOS wnosą 440 MP, dl stli 8G nwet 880 MP, oniewż stn nężeni w ose stku są liskie ównomienemu estennemu ściskniu.

51 LITRATURA Bąk R., Bucński T.: Wtmłość mteiłów elementmi ujęci komuteowego. WNT, Wsw 000