Właściwości kryształów

Transkrypt

1 Właściwości kryształów Skaar - wektor - tensor Anizotropia - izotropia Liniowość -nieiniowość e Wprowadzenie matematycznych ram opisu właściwości fizycznych materiału krystaicznego, szczegónie gdy zaeżą one od kierunku.

2 o to jest właściwość materiału? Właściwość materiału jest to wiekość, która wiąże bodziec, którym działamy na materiał z reakcją materiału na ten bodziec. Np. w odpowiedzi na naprężenie (bodziec) materiał zmieni kształt (tzn. reakcją jest odkształcenie). Właściwość, która wiąże bodziec z reakcją jest odpowiedni współczynnik sprężystości. Bodziec Właściwość Reakcja Jak to zapisać matematycznie? Właściwość (P) jest odpowiednikiem funkcji, natomiast bodziec (F) i reakcja (R) to zmienne. R = R(F) R = P(F)

3 Właściwości iniowe W niektórych przypadkach reakcja materiału jest wprost proporcjonana do bodźca: R = R + PF ub, jeśi R =, R = PF. Właściwości iniowe Właściwość może zaeżeć też od innych zmiennych. Np. stałe sprężystości zaeżą od temperatury. Moduł Temperatura 3

4 Właściwości nieiniowe Nie wszystkie właściwości są iniowe. Istnieją też właściwości, które w pewnym zakresie wiekości bodźca są iniowe, a w pewnym nie (np. właściwości optyczne niektórych kryształów).wówczas mamy: R = PF ( )= P + F P + F P +K Fn n P! F F =! F n! F n F= F = wyraz iniowy wyrazy nieiniowe Właściwości nieiniowe Przykładem właściwości nieiniowych jest pastyczność. ε& = yied n 4

5 Skaar, wektor, tensor Skaar = wiekość, która nie zaeży od kierunku i jest iczbą Wektor = wiekość, która ma kierunek, wymaga 3 iczb; Tensor = wiekość, która wymaga opisu za pomocą 9 ub więcej iczb, ae nie zaeży od układu współrzędnych. Skaar, wektor, tensor Rząd n = n = n = n = 3 Nazwa Skaar Wektor Tensor Tensor Przykład wiekości Potencjał poa eektrycznego Natężenie poa eektrycznego Przenikaność eektryczna Sprzężenie piezoeektryczne Symbo Φ e E= E i e ε = ε ij ee i d= d ijk e e e i j i j k n = 4 Tensor Moduł sztywności c= c ijk e e e e i j k 5

6 Właściwości skaarne W niektórych przypadkach, bodziec, reakcja i właściwość są skaarne.taką właściwością jest np. ciepło właściwe: dq = mdt Gdzie dq dostarczone ciepło, m-masa, dt - zmiana temperatury Właściwości skaarne Istnieje bardzo niewiee właściwości skaarnych, które można zapisać za pomocą jednej iczby. Właściwość jest jedną iczbą, gdy wiąże ze sobą skaarny bodziec ze skaarną reakcją. np. iość dostarczonego ciepła z temperaturą; 6

7 Właściwości skaarne Poza ciepłem właściwym wiekościami skaarnymi są np. masa i gęstość. Gęstość zdefiniowana jest jako: ρ = m V Można ją obiczyć znając skład kryształu oraz parametry komórki eementarnej Gęstość Gęstość jest, zatem równa: ρ = m V komorki komorki 7

8 a b u+ Przykłady obiczania gęstości: u ρ = na V kom N A 3 V kom = a n: iczba atomów w komórce eementarnej A: masa atomowa V kom : objętość komórki eementarnej N A : iczba Avogadro (6.3x 3 atomów/mo) a u =.36nm, A u = 63.5 g/mo n = 4 atomów/kom (4)(63.5g / mo) ρ = [(3.6 cm) = 8.97g / cm / mo] 8.94 g/cm 3 gęstość z danych iteraturowych Przykłady obiczania gęstości: Na n = 4 węzły w komórce eementarnej; baza dwuatomowa: Na i stała sieci a =.563nm Ana=3, Ac=35.4 n (A + A ρ = V N kom A Na (4)(35.4g / mo) + (4)(3g / mo ρ = [(5.63 cm) 6.3 / mo] ) 3 =.7g / cm

9 Właściwości tensorowe Gdy właściwość wiąże ze sobą dwie wiekości wektorowe, wówczas i bodziec i reakcja mają składowe x, y i z. Oba czynniki nie muszą być do siebie równoegłe. Przyczyną jest anizotropia kryształów. To oznacza, że właściwość też ma różne wartości w różnych kierunkach - ma składowe. Nie jest to jednak wektor (nie ma kierunku i zwrotu). Jest to TENSOR. Właściwości tensorowe W takim przypadku, zaeżność między bodźcem a reakcją może wygądać tak: Ri 3 3 P = + + i P R i i Fk F + kfh... = F = k k F h, k k Fh 9

10 Anizotropia Greckie słowo: aniso = różne, zmienne; tropos = kierunek; Praktycznie wszystkie materiały krystaiczne są anizotropowe; Wiee materiałów wytwarza się ceowo tak aby były anizotropowe (puszki do piwa, łopatki turbin ) Anizotropia a b c W różnych kierunkach atomy są oddaone od siebie o różne odegłości. Bi+3 Sr+ u+ O-

11 Anizotropia Widać stąd, że właściwości MUSZĄ się różnić w zaeżności od kierunku. Jaki wpływ na właściwości ma odegłość między atomami najepiej widać na przykładzie diamentu i grafitu: Diament i grafit,47å,543å 3,35Å

12 Anizotropia E (diagona) = 73 GPa Moduł Younga żeaza bcc E (edge) = 5 GPa Data from Tabe 3.3, aister 6e. (Source of data is R.W. Hertzberg, Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materias, 3rd ed., John Wiey and Sons, 989.) Zasada Neumanna Eementy symetrii dowonej właściwości fizycznej kryształu musza zawierać eementy symetrii grupy punktowej kryształu. Dana właściwość może mieć dodatkowe eementy symetrii (ae nie może być mniej symetryczna niż symetria grupy punktowej).

13 Zasada Neumanna Jeżei kryształ zawiera defekty, takie jak sieć dysokacji, wówczas symetria danej właściwości może być niższa niż symetria grupy punktowej. Zatem, zasada Neumanna powinna brzmieć następująco: Eementy symetrii dowonej właściwości fizycznej kryształu musza zawierać eementy symetrii, które są wspóne da grupy punktowej kryształu i struktury defektów obecnych w krysztae. Symetria środkowa Wiee właściwości ma środek symetrii. Odwrócenie kierunku działania bodźca i reakcji musi być identyczne. Tzn. jeśi R i = P ij F j, i jednocześnie zamienimy kierunki R i F, te same wartości P będą musiały spełniać równanie. Zatem, w takim przypadku, P ij musi być równe P ji. 3

14 Przykład: tensor współczynników dyfuzji J = D J J 3 = D = D D x 3 D x D x 3 D x 3 D x D x x 3 x 3 x Prawo Ficka [ D ij ]= D D D 3 D D D 3 D 3 D 3 D 33 Macierz współczynników dyfuzji Przykład: tensor współczynników dyfuzji Każdą macierz kwadratową można zapisać jako sumę symetrycznej i antysymetrycznej macierzy. [ D ij ]= [ D ij ] S + [ D ij ] A S A [ D ij ] S D ij + D ji [ D ij ] A D ij D ji [ ] S [ ] A ( )= D ji ( )=-D ji 4

15 Przykład: tensor współczynników dyfuzji [ D ij ] S = [ D ij ] A = D ( D + D ) ( D 3 + D 3 ) ( ) D ( D 3 + D 3 ) ( ) ( D 3 + D 3 ) D 33 D + D D 3 + D 3 ( D D ) ( D 3 D 3 ) ( ) ( D 3 D 3 ) ( ) ( D 3 D 3 ) D D D 3 D 3 [ D ij ]= [ D ij ] S + [ D ij ] A Przykład: tensor współczynników dyfuzji S D ij = D ji [ D ij ] S = D ( D + D ) ( D 3 + D 3 ) D + D D 3 + D 3 ( ) D ( D 3 + D 3 ) ( ) ( D 3 + D 3 ) D 33 5

16 Przykład: tensor współczynników dyfuzji [ D ij ] A = A ( D D ) ( D 3 D 3 ) D D D 3 D 3 D ij = -D ji ( ) ( D 3 D 3 ) ( ) ( D 3 D 3 ) Przykład: tensor współczynników dyfuzji Prawo zachowania masy J x J J y z = D = D = D 3 D x D x D x 3 D y D y D y t z z z = J J = J x x J y + y J z + z 6

17 7 Przykład: tensor współczynników dyfuzji zęść antysymetryczna () ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] () ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] () = z D D y z D D x z D D z y y D D x y D D z x D D y x x t A x i x j = x j x i t A = D ij [ ]= D D D 3 D D D 3 D 3 D 3 D 33 Współczynniki dyfuzji to tensor o maksymanie 6-ciu eementach zęść antysymetryczna nic nie wnosi Przykład: tensor współczynników dyfuzji

18 Inne przykłady właściwości anizotropowych Przewodność eektryczna, właściwości dieektryczne, właściwości magnetyczne, optyczne, mechaniczne,... Przewodność eektryczna Bodziec: poe eektryczne, E Reakcja: prąd (gęstość prądu), J Właściwość: przewodność eektryczna, J i = ij E j 8

19 Przewodność eektryczna O Poe: E, E =E 3 = Reakcja: j = E, j = E, j 3 = 3 E, Właściwości mechaniczne Przykładem właściwości zaeżnej od kierunku jest sprężystość. Nawet kryształ reguarny jest anizotropowy. Moduł Younga w kierunku [] jest przeważnie większy niż w kierunku []. Zatem, do opisu właściwości sprężystych kryształu reguarnego potrzebne są trzy stałe sprężystości (ciało całkowicie izotropowe wymaga E (diagona) = 73 GPa stałych). E (edge) = 5 GPa 9

20 Właściwości mechaniczne W -D przypadku, da iniowego, sprężystego ciała naprężenie jest proporcjonane do odkształcenia ε, czyi =Eε. Zaeżność =Eε jest znana jako prawo Hooke a. W ogónym, 3-D przypadku: = ij ijk ε k ij = cijkε k c c c c = c c c c c c c3 c4 c6 c7 c8 c c c 3... c3 c c 99 9 ε ε ε ε ε ε ε ε ε stałych sprężystości?

21 Tensor naprężeń 3 ij 3 Wektor prostopadły do danej powierzchni Kierunek siły działającej na tę powierzchnię Właściwości mechaniczne Zatem, poszczegóne składowe naprężenia zdefiniowane są następująco:

22 Właściwości mechaniczne Ponieważ: ij = ji Zatem, wystarczy 6 składowych tensora naprężeń Właściwości mechaniczne = ij ijk ε k Zapisując uogónione prawo Hooke'a za pomocą tensorów, mamy: ε ε ε 3 3 = ε ε ε 6

23 Właściwości mechaniczne Jest jeszcze jedna niezgodność: jak się mają oznaczenia w macierzy współczynników do czteroindeksowych oznaczeń w tensorowym zapisie prawa Hooke'a? = ij ijk ε k 3 = Tensor Macierz ε ε ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 Właściwości mechaniczne Ogónie, w przypadku 3-D, prawo Hooke a mówi, że składniki naprężenia są iniową funkcją składowych tensora odkształcenia, gdzie 36 stałych,,, 66, to stałe sprężystości. W danej temperaturze współczynniki ij są stałe. 36 stałych ij to: 6 stałych i=j oraz 3 stałych, w których i j. Tych jest 5, ponieważ tyko połowa jest niezaeżna. Razem:. 3

24 4 Właściwości mechaniczne = ε ε ε ε ε ε sym Przykład

25 Przykład Odwrotność modułu Younga kryształu tetragonanego wykreśona w 3D; A. Authier, Laboratoire de Minéraogie- ristaographie, Université Pierre et Marie urie, Paris, France. Właściwości mechaniczne Jeżei kryształ jest symetryczny, wówczas stałych sprężystości może być mniej. Struktura Trójskośna Jednoskośna Rombowa Tetragonana Heksagonana Reguarna iało izotropowe Symetria obrotowa brak x x 3 Liczba stałych

26 Symetria Niech O jest operacją symetrii R () = PF R () = OPO T F R () = R () Te dwa wyniki są nierozróżniane, czyi równe. Symetria Da tensora -rzędu i operacji symetrii O, po zastosowaniu operacji symetrii otrzymamy nową macierz stałych sprężystości, '. Jej składowe wyznacza się w następujący sposób: ijk = ΣO im O jn O ko O p mnop 6

27 Symetria Rozważmy oś 4-krotną równoegłą do osi z. z ijk = ΣO im O jn O ko O p mnop O 4 = Tensor Macierz = = Symetria Ponieważ musi być równe, otrzymujemy: =, 3 = 3, 44 = 35, 6 =- 6, oraz 4 = 5 = 4 = 5 = 34 = 35 = 36 = 45 = 46 = 56 = =

28 Symetria W układzie reguarnym, po zastosowaniu wszystkich operacji symetrii, okazuje się, że są tyko 3 niezaeżne stałe symetrii:, and 44, Używa się również stałej ' = ( - )/, która jest stałą sprężystości związaną z naprężeniem ścinającym w kierunku <>. Miarą sprężystej anizotropii jest stosunek 44 /'. Poikryształy mm Adapted from Fig. K, coor inset pages of aister 6e. (Fig. K is courtesy of Pau E. Danieson, Teedyne Wah hang Abany) płyta Nb-Hf-W; środkowy obszar: miejsce spawania. Każde ziarno to monokryształ; rozmiary ziarna krystaicznego mogą być od nm do cm. 8

29 Poikryształy Poikryształy mogą, ae nie muszą być izotropowe: Jeśi ziarna krystaiczne są zorientowane przypadkowa (E poi Fe = GPa) Jeśi nie: to materiał jest anizotropowy. µm Adapted from Fig. 4.(b), aister 6e. (Fig. 4.(b) is courtesy of L.. Smith and. Brady, the Nationa Bureau of Standards, Washington, D [now the Nationa Institute of Standards and Technoogy, Gaithersburg, MD].) 4 Poikryształy Skoro każdy kryształ jest inaczej ustawiony i jego właściwości są anizotropowe to jak obiczyć właściwości całego poikryształu? 9

30 Poikryształy Żeby przeprowadzić dokładne obiczenia, naeżałoby znać orientację każdego krystaitu, co jest raczej niemożiwe. Poikryształy Rzadko możiwe jest dokładne obiczenie właściwości poikryształu. Bardziej odpowiednią procedurą jest wyznaczyć górną i doną granicę danej właściwości. 3

31 Poikryształy Aby opisać właściwości materiału, trzeba zdefiniować minimany reprezentatywny eement objętości wystarczająco duży aby statystycznie reprezentaował cały materiał. Pytanie: ie krystaitów wystarczy aby reprezentować cały poikrystaiczny materiał? Przykład: górna i dona granica właściwości sprężystych Moduł Voigta: najprostszy mode górnej granicy stałych sprężystości zakłada, że wszystkie ziarna doznają takiego samego odkształcenia. Moduł Reussa: najprostszy mode donej granicy stałych sprężystości zakłada, że wszystkie ziarna doznają takiego samego naprężenia. 3

32 Przykład: górna i dona granica właściwości sprężystych Moduł Reussa : Moduł Voigta : E Reuss = s E Voigt = c Przykład: górna i dona granica właściwości sprężystych 3

33 Anizotropia poikryształów Odkształcenie sprężyste w warunkach anizotropowych jest opisane przez 3 - stałych sprężystości ij, natomiast całkowicie izotropowe ciało mastałe. Poikryształ nie musi być izotropowy: Tekstura, gdzie ziarna nie są przypadkowo zorientowane; Uporządkowanie cząstek innej fazy; 33

34 34 Materiał ortotropowy Materiały takie jak drewno, aminaty, sta wacowana, kompozyty, w których poszczegóne warstwy mają różną orientację włókien; Mają one 3 prostopadłe płaszczyzny symetrii i 3 odpowiadające im prostopadłe osie (tzw. osie ortotropowe). Materiał ortotropowy Zatem, stałe ij są niezmienne wzgędem obrotu o 8 wokół osi ortotropowych. 36 stałych ij ogranicza się do. =

35 Materiał izotropowy Jeśi materiał poikrystaiczny jest zbudowany z ziaren krystaicznych zorientowanych w całkowicie przypadkowy sposób, wówczas jego właściwości mechaniczne nie zaeżą od kierunku. Materiał jest całkowicie izotropowy. W takim przypadku iość stałych sprężystości redukuje się do : = = 33 = = 3 = 3 = Materiał izotropowy Naprężenie w takim przypadku można zapisać jako: ' ' ' 33 = = = ' ' ' ( ( ( = λ δ + µ ' ij ' ii ' ij ' ' 33 ' ' ij ' 33 ' ' ) ) ) I można wprowadzić inny rodzaj stałych sprężystości (stałe Lame'a) λ = µ = 35

36 36 Materiał izotropowy zęściej stosowanymi stałymi sprężystości są moduł Younga (E) i stała Poissona (ν) Stała Poissona to stosunek odkształcenia poprzecznego do podłużnego. )] ( [ )] ( [ )] ( [ ν ν ν + = + = + = E E E Materiał izotropowy W zapisie macierzowym: + = ) )( ( E ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν

37 Anizotropia innych właściwości mechanicznych Łupiwość, twardość, pastyczność,.. Łupiwość kryształu Łupiwość Tendencja do pękania wzdłuż płaszczyzn, które są słabo związane między sobą; Powstają płaskie, błyszczące płaszczyzny; 37

38 Łupiwość pozwaa na rozpoznawanie niektórych minerałów Łupiwość Pyroxene: dwie płaszczyzny łupiwości pod kątem około 9 o ; Amfibo: dwie płaszczyzny pod kątem 56 o i 4 o ; Twardość Twardość - stopień oporu, jaki stawia kryształ zewnętrznemu mechanicznemu działaniu - również zaeży od kierunku. 38

39 Twardość Anizotropię twardości wykazują wszystkie kryształy. Jeśi ze środka badanej ściany kryształu odmierzymy w każdym kierunku wektor proporcjonany do wiekości użytej siły (czyi do twardości) i końce wektorów połączymy krzywą, to otrzymamy tzw. krzywą twardości zwaną również figurą twardości. Twardość Krzywa twardości jest okręgiem da całkowicie izotropowego materiału. 39

40 Twardość Przykłady: Twardość haitu (Na) na ścianie () jest mniejsza w kierunku krawędzi sześcianu, a większa w kierunku przekątnej ściany; Twardość fuorytu (af ) na ścianie () jest większa w kierunku krawędzi sześcianu, a mniejsza w kierunku przekątnej ściany; Twardość Poikryształy też nie są ani jednorodne, ani izotropowe pod wzgędem twardości Kontur twardości boku metaowego o rozmiarze 8 mm Twardość w funkcji odegłości od spawu. 4

41 Literatura Prof. A.D. Roet, arnegie Meon University, Dept. of Mat. Sci. and Eng.; Denyse Lemaire, "Atoms, Eements, Mineras, Rocks: Earth s Buiding Materias" Janet Rankin, Division of Engineering, MRSE Teacher Institute; Mnożenie macierzy a ij = b ik c kj aα + bδ + cγ aβ + bε + cµ aγ + bφ + cν dα + eδ + fγ dβ + eε + fµ dγ + eφ + fν α + mδ + nγ β + mε + nµ γ + mφ + nν a b c α β γ = d e f δ ε φ m n λ µ ν 4