= a (a c-c )x(3) 1/2. Grafit i nanorurki węglowe Grafen sieć rombowa (heksagonalna) z bazą dwuatomową

Transkrypt

1 Grafit i nanorurki węglowe Grafen sieć rombowa (heksagonalna) z bazą dwuatomową a 1 = a (a c-c )x(3) 1/ ( 3 a, ), ( 3 a a a = a, ) wektory bazowe sieci odwrotnej definiuje się inaczej niż w 3D musi zachodzić tylko (a i,b j )= πδ ij grupą symetrii jest: C 3v + odbicia w płaszczyźnie X lub Y, grupa jest symorficzna (O w środku komórki sześciokątnej) nanorurki (jednościenne) zwinięte paski arkusza grafenu (węzły sieciowe Bravais i węzły podsieci)

2 Jednoznacznie definiuje się przez zadanie wektora chiralnego = wektora obwodu C h, C h można przedstawić w bazie wektorów bazowych grafenu (*) = na + m (n,m), 0 =< m =<n C h 1 a Średnica d t = L/π, L= C h = sqrt(c h. C h )=a.sqrt(n +m +nm) T wektor translacji (**) T = t + 1a1 ta Jest to wektor translacji nanorurki (1D) z faktu, że T.C h =0, ( t 1 i t - nie mogą mieć wspólnego podzielnika, [jest to najkrótszy wektor o własności (**) ] ) wynika, że t 1 =(m+n)/dr, t =-(n+m)/dr, dr najw.wsp.podz. (m+n) i (n+m) nanorurki fotelowe (armchair) (n,n) komórka elementarna

3 lub.. ta jest (3,3), 4n atomów w u.c. tzn. 6 grafenowych u.c. nanorurki zygzakowate (zig-zag) (n,0) komórka elementarna nanorurki chiralne, n m Komórka eleementarna nanorurki to walec (pusty), zawiera wiele atomów w bazie; chiralne bardzo dużo potrzebne są wektory niesieciowe do opisania pełnej symetrii

4 Wektor symetrii R R do najbliższego węzła sieciowego Wektor R oznacza operację symetrii: - obrót wokół osi nanorurki o kąt ψ=π/n, N - ilość atomów w kom.elementarnej nanorurki - translacja o wektor τ τ - nie jest wektorem sieciowym grafenu ani wektorem nt wielokrotne wykonanie R (zaczynając od jednego atomu w komórce elementarnej nanorurki, wygeneruje wszystkie atomy sieciowe w tej komórce) np.: (3,3) oczywiście NR = C h + MT, i można pokazać, że M=np-mq, gdzie p i q to współrzędne R w układzie (a 1, a )

5 kolejne operacje: (ψ τ), (ψ τ), (ψ τ) 3,, (ψ τ) N = E, tworzą cykliczną grupę abelową oznaczaną C N.... N - ilość komórek grafenu w komórce element. nanorurki... z def. N C T h = a1 a = ( m + n d R + nm) nanorurki fotelowe i zygzakowate mają: - oś n-krotną C n, - n osi -krotnych (albo przecinających wiązanie C-C, albo środek sześcianu) to razem daje D n, - poza tym mają środek inwersji Ich punktową grupą symetrii jest D n x C i ale rezultat tego iloczynu zależy od parzystości n i ostatecznie G = D nh - n=j; G = D nd - n=j+1 przypomnienie: w grupie D nd nie istnieje samodzielnie element σ h a tylko iloczyny u σ h dodane do elementów D n

6 nanorurki chiralne Jeśli n,m - nie mają wspólnego podzielnika to jedynymi operacjami i symetrii są operacje śrubowe (ψ τ) czyli grupa abelowa C N, Jeśi n,m mają wspólny podzielnik d to nanorurka jest niezmiennicza przy obrotach o C d, i ostateczną grupą symetrii jest C N = C d x C N/d Sieć odwrotna i IBZ Dla jednowymiarowego układu jakim jest CN, IBZ też musi być jednowymiarowa, ale formalnie mamy periodyczność także w kier. C h w rzeczywistości tylko periodyczne warunki brzegowe formalnie dwa wektory sieci odwrotnej K 1 i K podobnie jak dla grafenu mamy komórkę elementarna zdefiniowaną przez a 1 i a i odpowiadające wektory sieci odwrotnej b 1 i b, to dla komórki zdefiniowanej przez wektory C h i T mamy dwa wektory sieci odwrotnej K 1 i K : K 1 - związany z periodycznością w C h K - związany z periodycznością w T musi zatem zachodzić C h. K 1 = π, C h. K = 0, T. K 1 = 0, T. K = π Pamiętając o (*) i (**) dostaniemy K 1 = 1/N (-t b 1 + t 1 b ), K = 1/N (mb 1 - nb ) IBZ nanorurki zaznaczone jest odcinkiem W-W /

7 NK 1 jest wektorem sieci odwrotnej grafenu => wektory k różniące się o NK 1 są równoważne ale μk 1 (dla μ = 0, 1,, N-1 ) daje N dyskretnych wektorów k (falowych) odpowiadających kwantyzacji ze względu na periodyczne warunki brzegowe w C h ; dyskretyzacja każdego D pasma grafemu na N jednowymiarowych pasm nanorurki.

8