Podstawowe twierdzenia
|
|
- Seweryn Nowak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdzał 3 Podstawowe twerdzena 3.1 Istnene rozwazań lokalnych Rozpocznjmy od odpowedz na ogólne pytane: jake warunk mus spełnać równane różnczkowe zwyczajne, aby stnało jego rozwązane kedy rozwązane to jest jednoznaczne? Rozpatrywać będzemy równane ẋ = ft, x w przestrzen wektorowej. Przypomnjmy, że x = xt R m, a f jest funkcją dzałającą z podzboru R m+1 do R m. 3.1 TWIERDZENIE. Pcarda-Lndelöfa Nech funkcja ft, x: R m+1 R m będze cagła w zborze Q = {t, x: t t a, x x b}. Zakładamy ponadto, że sup t,x Q ft, x = M oraz f spełna w zborze Q warunek Lpschtza względem zmennej x ft, x 1 ft, x 2 L x 1 x 2, dla pewnej stałej L. Wtedy zagadnene Cauchy ego ẋ = ft, x, xt = x, 3.1 ma jednoznaczne rozwazane na przedzale t t α, α < mna, b M, 1 L. Dowód. Rozważmy podzbór przestrzen metrycznej funkcj cągłych E = {xt: xt = x, xt x b, t t α}. E jako domknęty podzbór przestrzen funkcj cągłych jest przestrzeną metryczną zupełną. W przestrzen E rozważamy odwzorowane F xt = x + 33 t f s, xs ds.
2 34 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA Jeśl stneje punkt stały tego odwzorowana xt = x + t f s, xs ds, 3.2 to spełna on równane 3.1. Z cągłośc funkcj f własnośc całk wynka bowem, że funkcja xt dana równanem 3.2 jest funkcją klasy C 1. Po zróżnczkowanu 3.2 otrzymujemy równane 3.1 spełnene warunku początkowego wynka z defncj całk. Wystarczy węc wykazać, że odwzorowane F ma punkt stały w przestrzen E. W tym celu pokażemy najperw, że F odwzorowuje przestrzeń E w sebe. Poneważ węc sup F xt x = sup t t α t t α sup t t α f s, xs ds t t sup s [t,t] F xt x b, f s, xs ds Mα b, czyl F odwzorowuje przestrzeń E w sebe. Pokażemy teraz, że F jest odwzorowanem zwężającym. W wynku prostego rachunku dostajemy sup F x 1 t F x 2 t sup t t α t t α sup t t α sup L t t α Lα sup t t α t f s, x1 s f s, x 2 s ds t L x 1 s x 2 s ds t sup s t α x 1 t x 2 t, x 1 s x 2 s ds czyl dla αl < 1 odwzorowane F jest zwężające. Z twerdzena Banacha o punkce stałym wynka, że F ma punkt stały będący grancą cągu x n+1 t = F x n t, gdze x t = x jest to jedyny punkt stały odwzorowana F w E. Dowodz to stnena jednoznacznośc rozwązana zagadnena 3.1. Istnene rozwązań można udowodnć przy neco słabszych założenach. Trac sę jednak wtedy własność jednoznacznośc rozwązana. 3.2 TWIERDZENIE. Peano Nech funkcja ft, x : R m+1 R m będze cagła w zborze Q = {t, x: t [t, t + a], x x b}. Zakładamy także, że sup t,x Q ft, x = M. Wtedy zagadnene Cauchy ego ẋ = ft, x, xt = x 3.3
3 3.1. ISTNIENIE ROZWIAZAŃ LOKALNYCH 35 ma rozwazane na przedzale [t, t + α], gdze α = mna, b M. Dowód. W dowodze wykorzystamy metodę łamanych Eulera. W tym celu przedzał [t, t + α] dzelmy na n 1 mnejszych przedzałów o końcach t 1 t = t 1 < t 1 1 < < t 1 n 1 = t + α oraz konstruujemy funkcję kawałkam lnową przyblżającą rozwązane równana 3.3 łamaną Eulera ϕ 1 t = x, ϕ 1 t = ϕ 1 t 1 + f t 1, ϕ 1 t 1 t t 1, dla t t 1, t 1 +1 ]. 3.4 Jak łatwo zauważyć, funkcja ta powstaje przez połączene odcnkam punktów 1 t, ϕ 1 t 1. Funkcja ϕ 1 t jest perwszym przyblżenem rozwązana zagadnena 3.3. Funkcję ϕ k będącą k-tym przyblżenem, otrzymujemy dzeląc przedzał [t, t + α] na n k częśc t = t k < t k 1 < < t k n k = t + α defnując ϕ k analogczne do ϕ 1, jako funkcję kawałkam lnową przechodzącą przez punkty t k, ϕ k t k. Funkcje ϕ k mają następujące własnośc: 1 są cągłe na przedzale [t, t +α] różnczkowalne wszędze poza punktam t k. Wynka to z faktu, że ϕ k są funkcjam kawałkam lnowym. 2 są wspólne ogranczone na przedzale [t, t + α], mamy bowem oszacowane ϕ k t x + Mα, które wynka z defncj funkcj ϕ k. 3 są jednakowo cągłe, bo jeśl t, t t k, t k +1 ], to z defncj funkcj ϕ kt dostajemy oszacowane ϕ k t ϕ k t M t t. Oszacowane to jest nezależne od k. Jak łatwo zauważyć, można je rozszerzyć z zachowanem tej samej stałej M na przypadek, gdy t t k, t k +1 ] a t t k j, t k j+1 ]. Z własnośc tych wynka, że cąg ϕ k spełna założena twerdzena Arzel-Ascolego. Istneje zatem podcąg ϕ kj t jednostajne zbeżny do funkcj ϕt na przedzale [t, t + α]. Wystarczy teraz udowodnć, że ϕt jest rozwązanem zagadnena 3.3. Poneważ wszystke funkcje ϕ k t spełnały warunek ϕ k t = x, węc także ϕt spełna warunek początkowy. Należy pokazać, że funkcja ϕt spełna także równane różnczkowe, czyl ϕt + h ϕt lm = f t, ϕt dla t t, t + α. 3.5 h h
4 36 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA Aby udowodnć to przejśce granczne, dokonajmy następującego oszacowana wyberamy h mnejsze od pewnego h, tak aby odpowedne funkcje były dobrze określone ϕt + h ϕt f t, ϕt = h f t, ϕ kj t f t, ϕt + ϕt + h ϕ k j t + h ϕt ϕ k j t + h h ϕ kj t + h ϕ kj t f t, ϕ kj t h f t, ϕ kj t f t, ϕt ϕt + h ϕ + kj t + h h + ϕt ϕ kj t h + ϕ kj t + h ϕ kj t f t, ϕ kj t. h 3.6 Ustalmy ε >. Drug trzec wyraz po prawej strone nerównośc 3.6 szacujemy z jednostajnej zbeżnośc cągu ϕ kj. Jeśl weźmemy k j dostateczne duże, to sup ϕ kj t ϕt < εh t Z oszacowana 3.7 oraz jednostajnej cągłośc funkcj ft, x w domknętym otoczenu punktu t, ϕ kj t wynka oszacowane perwszego wyrazu nerównośc 3.6 ft, ϕ kj t ft, ϕt < ε 4. Aby oszacować ostatn składnk nerównośc 3.6, załóżmy, że t t k j, t k j +1 ] oraz t + h t k j n, t k j ]. Wtedy n+1 ϕ kj t + h ϕ kj t hf t, ϕ kj t = f t k j, ϕ kj t k j t k j +1 t + + f t k j n, ϕ kj t k j n t + h t k j n hf t, ϕkj t = = f t k j, ϕ kj t k j f t, ϕ kj t k t j +1 t + + f t k j n, ϕ kj t k j n f t, ϕ kj t k t + h t j n. Zauważmy ponadto, że jeśl h jest dostateczne małe, to f t + θh, ϕ kj t + θh f t, ϕ kj t < ε 4 dla θ [, 1]. 3.8 Z oszacowana tego wynka, że ϕ kj t + h ϕ kj t hf t, ϕ kj t < εh 4,
5 3.1. ISTNIENIE ROZWIAZAŃ LOKALNYCH 37 czyl ϕ kj t + h ϕ kj t f t, ϕ kj t < ε h Łącząc te oszacowana wdzmy, że dla każdego ε każdego h mnejszego od pewnego h następujące oszacowane jest prawdzwe dla każdego t t, t + α ϕt + h ϕt h Jest to dowód przejśca grancznego 3.5. f t, ϕt < ε. 3.1 Jak pokazuje ponższy przykład, założene warunku Lpschtza jest stotne dla uzyskana jednoznacznośc rozwązana. Bez tego założena może stneć wele rozwązań tego samego zagadnena początkowego. 3.3 Przykład. Rozważmy równane ẋ = x 1 3. Równane to spełna warunk tw. 3.2, ale ne spełna założeń tw Dokładnej: założena tw. 3.1 są spełnone wszędze poza prostą x = ne są spełnone na tej prostej. W efekce przez każdy punkty t, przechodzą trzy krzywe całkowe patrz rys. 3.1: ϕ 1 t =, ϕ 2 t = 2 3 t t 3/2, ϕ 3 t = 2 3 t t 3/2. Rysunek 3.1: Różne rozwązana równana z przykładu 3.3
6 38 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA 3.4 Przykład. Metoda łamanych Eulera może być także prostą metodą znajdowana przyblżonych rozwązań równań różnczkowych. Jeśl przyjmemy, że poszczególne chwle czasowe są jednakowo odległe, tzn. t, t 1 = t + t, t 2 = t 1 + t = t + 2 t,..., t = t + t, to otrzymamy równane różncowe x +1 = x + ft, x t, 3.11 które można służyć do oblczana przyblżonego rozwązana. Weźmy jako przykład równane ẋ = x. Odpowadające mu równane różncowe 3.11 można łatwo rozwązać. Ma ono bowem postać Stąd x +1 = x + x t = 1 + tx x = 1 + t x Rozwązanem równana różnczkowego ẋ = x jest funkcja xt = x e t. Jeśl przyjmemy t = T oraz take, że t = T, to zauważymy, że 1 + t = 1 + t = 1 + T, co jest dobrym przyblżenem e T dla dużych. 3.2 Przedłużalność rozwazań Jeśl ϕt jest rozwązanem lokalnym na pewnym przedzale [t, t + α], to przyjmując t 1 = t + α ϕt 1 za nowy warunek początkowy, można rozwązać rozważane równane na przedzale [t 1, t 1 + α 1 ] td. Analogczne możemy konstruować przedłużena w lewo, tj. na przedzał [t α, t ] td. Powstaje pytane, jak daleko można to postępowane kontynuować, czyl jak może być maksymalny przedzał stnena rozwązana. 3.5 DEFINICJA. Rozwazane ϕt określone na przedzale J R nazywa sę rozwazanem wysyconym, jeśl ne stneje przedłużene tego rozwazana na przedzał J 1 tak, że J jest jego podzborem właścwym. Przedzał J nazywa sę wtedy maksymalnym przedzałem stnena rozwazana ϕt. Zajmemy sę teraz zachowanem rozwązana wysyconego ϕt na brzegu maksymalnego przedzału stnena rozwązana. Rozpocznjmy od udowodnena pomocnczego lematu. 3.6 LEMAT. Nech ϕt będze rozwazanem równana ẋ = ft, x 3.14
7 3.2. PRZEDŁUŻALNOŚĆ ROZWIAZAŃ 39 w przedzale a, a +, takm że t, ϕt Q dla każdego t a, a +, gdze Q jest zborem otwartym w R m+1. Jeśl funkcja ft, x jest cagła ogranczona na Q, to stneja grance ϕa + ϕa +. Jeśl funkcja ft, x jest cagła w punkce a, ϕa + lub a +, ϕa +, to rozwazane ϕt może być przedłużone na przedzał [a, a + lub a, a + ]. Dowód. Funkcja ϕt spełna całkową wersję równana 3.14 ϕt = ϕt + f s, ϕs ds 3.15 t dla a < t t < a +. Poneważ ft, x jest ogranczona na zborze Q, węc mamy oszacowane ϕt 2 ϕt 1 2 t 1 f s, ϕs ds Mt 2 t 1, t 1, t 2 a, a +, t 1 t 2, gdze M = sup t,x Q ft, x. Jeśl t 1, t 2 a +, to ϕt 2 ϕt 1. Wynka stąd stnene grancy ϕa + dowód dla grancy ϕa + jest podobny. Jeśl funkcja ft, x jest cągła aż do punktu a +, ϕa +, to ϕa + jest zdefnowana wzorem patrz 3.15 ϕa + = ϕt + a+ t f s, ϕs ds. Analogczne dowodz sę przedłużalnośc na przedzał [a, a TWIERDZENIE. Nech ft, x będze funkcja cagł a w zborze otwartym Q R m+1 nech ϕt będze rozwazanem równana 3.14 w pewnym przedzale [t, t + α], takm że t, ϕt Q dla każdego t [t, t + α]. Jeśl ft, x jest cagła na Q, to funkcja ϕt może być przedłużona, jako rozwazane równana 3.14, do rozwazana wysyconego z maksymalnym przedzałem stnena rozwa- zana ω, ω +. Jeśl cag punktów {t n } jest zbeżny do jednego z krańców przedzału ω, ω +, to cag {t n, ϕt n } jest zbeżny do brzegu zboru Q, jeśl zbór Q jest ogranczony. Jeśl zbór Q jest neogranczony, to cag punktów t n, ϕt n może być neogranczony dla t n ω + lub t n ω. Dowód. Nech U V V Q, gdze U jest zborem zwartym a V jest zborem otwartym ogranczonym. Jeśl t, x U, to rozwązane ϕt zaczynające sę w punkce t, x można przedłużyć na przedzał [t, t 1 ], tak że t 1, ϕt 1 U. Wynka to z tw. 3.2 z a = b = dstv, Q M = sup t,x V ft, x. Z twerdzena tego wynka, że rozwązane ϕt stneje na przedzale [t, t + α], gdze α zależy tylko od a, b M czyl od zboru V. Jeśl t +α, ϕt +α U, to przyjmując ten punkt za nową wartość początkową, przedłużamy rozwązane na
8 4 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA przedzał [t, t +2α] td. Poneważ zbór U jest zwarty, węc po skończonej lczbe kroków otrzymamy przedłużene na przedzał [t, t 1 ], gdze t 1, ϕt 1 U. Zbudujmy teraz pokryce zboru Q cągem wstępującym zborów Q n otwartych, ogranczonych oraz takch że Q n Q n+1. Z poprzednej częśc dowodu wynka, że stneje cąg {t } cąg wskaźnków {n }, take że t, ϕt Q n t, ϕt Q n 1. Cąg {t } jest monotonczny, ma węc grancę. Jeśl grancą tą jest +, to kończy to dowód. Załóżmy węc, że cąg t jest ogranczony z góry. Wtedy stneje skończona granca ω + = lm t. Jeśl cąg t, ϕt jest neogranczony, to daje to część tezy twerdzena. Jeśl cąg t, ϕt jest ogranczony, to zawarty jest on w pewnym zborze zwartym U. Na zborze U funkcja f jest ogranczona można zastosować lemat 3.6. Z lematu tego wynka, że funkcja ϕt ma grancę ϕω +. Punkt ω +, ϕω + jest punktem brzegowym zboru Q. Gdyby był to punkt wewnętrzny, to na podstawe lematu 3.6 ω +, ϕω + byłoby punktem należącym do pewnego Q k, Q k Q. Można byłoby węc przedłużyć ϕt na przedzał wększy nż [t, ω +, co przeczyłoby maksymalnośc ω +. Podobne można postąpć z przedłużenem w lewo do punktu ω. 3.3 Zależność rozwazana od danych poczatkowych parametrów W tym podrozdzale zbadamy zależność rozwązane od danych początkowych oraz dodatkowych parametrów. Zależność od parametrów oznacza, że prawa strona równana zależy od trzech zmennych f = ft, x, λ, gdze t jest zmenną nezależną, x zmenną zależną, a λ jest dodatkowym parametrem. Oznacza to rozważane zagadnena początkowego ẋ = ft, x, λ, xt = x Jeśl xt jest rozwązanem zagadnena 3.16, to chcąc badać zależność tego rozwązana od warunków początkowych t, x parametru λ, będzemy traktowal to rozwązane jako funkcję wszystkch tych zmennych, tj. xt = ϕt, t, x, λ. Okazuje sę, że tę ogólną sytuację można znaczne uproścć. Dokonując zamany zmennych t t t, x x x, możemy zagadnene początkowe 3.16 sprowadzć do postac ẋ = ft t, x x, λ, x =. 3.17
9 3.3. ZALEŻNOŚĆ ROZWIAZANIA OD DANYCH 41 W tym zapse t x są dodatkowym parametram funkcj f. Oznacza to, że zależność od warunków początkowych można sprowadzć do zależnośc prawej strony równana od parametru. Możlwa jest także operacja odwrotna. Możemy potraktować λ jako zmenną zależną, uzupełnając zagadnene 3.16 równanem λ =, z warunkem początkowym λt = λ, gdze λ jest ustaloną wartoścą parametru λ wybraną dowolne. Przyjmując y = x λ otrzymujemy zagadnene początkowe g = ẏ = gt, y, yt = y, f, sprowadzające zależność od parametru do zależnośc od warunku początkowego. W dalszej częśc tego podrozdzału rozpatrując zależność od warunku początkowego będzemy zakładal, że t jest ustalone a zmena sę tylko x, czyl wartość rozwązana w chwl początkowej. To ogranczene służy jedyne uproszczenu zapsu ne jest stotne. Gładkość rozwązana względem chwl początkowej t jest bowem taka sama jak gładkość rozwązana względem t, co wynka natychmast z zamany zmennych t t t. Rozważana o zależnośc rozwązana od danych początkowych parametrów poprzedzmy dwoma twerdzenam dotyczącym funkcj welu zmennych. Mmo że twerdzena te należą do kursu analzy, przytaczamy je tutaj w sformułowanu, które będze wygodne do bezpośrednego zastosowana w dowodach tego podrozdzału. Dowody tych twerdzeń lub twerdzeń podobnych są podawane na wykładze Analzy II. 3.8 TWIERDZENIE. Twerdzene o skończonych przyrostach Na zwartym odcnku [a, b] R dane sa dwe funkcje f : [a, b] R n oraz g : [a, b] R. Zakładamy, że funkcje f g sa różnczkowalne w każdym punkce odcnka a, b oraz spełnone jest szacowane ft ġt, dla t a, b. Wtedy fb fa gb ga.
10 42 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA 3.9 TWIERDZENIE. Nech J R będze odcnkem na prostej ne koneczne ogranczonym a A R n dowolnym podzborem w R n. Jeśl funkcja ψ: J A R k jest cagł a funkcja argumentu t, dla t J, przy ustalonym x A oraz jest cagła po x, dla x A, jednostajne po t J, to ψ jest funkcja cagł a argumentów t, x J A. Jeśl funkcja ψ: J A R k jest funkcja cagł a argumentów t, x J A oraz odcnek J jest zwarty, to ψt, x jest funkcja cagł a argumentu x jednostajne po t J. Po tej powtórce z analzy przejdzemy do zasadnczego tematu, tj. zależnośc rozwązań od warunków początkowych parametrów. Zasadncze twerdzena poprzedzmy klkoma lematam. Ich celem jest wydzelene z dowodów pewnych faktów, które opsują ogólne własnośc rozwązań równań różnczkowych. 3.1 TWIERDZENIE. Lemat Gronwalla Nech na przedzale [, T ] dane będa funkcje rzeczywste at, bt, ut, cagłe na przedzale, T, oraz nech funkcja ut spełna nerówność całkowa ut at + dla bt. Wtedy zachodz oszacowane ut at + bsusds, dla t [, T ], 3.18 asbs exp s bτdτ ds Jeśl dodatkowo funkcja at jest nemalejaca as at dla s t, to otrzymujemy prostsze oszacowane ut at exp bτdτ. 3.2 Dowód. Nech φt = exp bsds. Z prostych rachunków nerównośc 3.18 mamy d dt φt bsusds = btφt ut Całkując tę nerówność w przedzale [, t] dostajemy φt bsusds bsusds atbtφt. asbsφsds Dzeląc te nerówność przez φt oraz dodając do obu stron at dostajemy nerówność 3.19.
11 3.3. ZALEŻNOŚĆ ROZWIAZANIA OD DANYCH 43 Aby otrzymać nerówność 3.2 wykorzystamy monotonczność funkcj at przy oszacowanu prawej strony 3.21 asbs φs ds at φt at bs exp d ds exp bτdτ s s bτdτ ds = ds = at exp Nerówność 3.21 przyjmuje węc dla nemalejącej funkcj at postać bsusds at exp bsds 1. bsds 1. Po dodanu at do obu stron tej nerównośc dostajemy nerówność 3.2. Prostym wnoskem z powyższego twerdzena jest nerówność, którą będzemy welokrotne wykorzystywać w dalszych dowodach WNIOSEK. Nech funkcja cagła ut spełna nerówność całkowa ut α + βus + γ ds, dla t [, T ], 3.22 gdze α, β γ sa lczbam rzeczywstym przy czym β. Wtedy ut αe βt + γ e βt β Udowodnmy teraz lemat, który stanow zasadnczy krok w dowodze cągłej zależnośc rozwązana od warunków początkowych oraz prawej strony równana LEMAT. Rozważmy równane ẋ = ft, x, 3.24 gdze, podobne jak w tw. 3.1, zakładamy, że funkcja ft, x : R m+1 R m jest cagła w zborze Q = {t, x : t t a, x x b}, ogranczona sup t,x Q ft, x = M oraz spełna w Q warunek Lpschtza względem zmennej x ze stała L. Nech ϕ 1 t będze rozwazanem równana 3.24 z warunkem poczatkowym ϕ 1 t = x 1, które stneje na odcnku J [t a, t + a], zawerajacym w swom wnętrzu punkt t, oraz spełnajace warunek t, ϕt Q, dla t J. Nech funkcja ϕ 2 t będze funkcja klasy C 1 na odcnku J, spełna warunk ϕ 2 t = x 2, t, ϕ 2 t Q dla t J, oraz będze blska rozwazanu równana 3.24 w tym sense, że zachodz dla nej oszacowane ϕ 2 t ft, ϕ 2 t ε 3.25
12 44 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA dla pewnego ε > oraz każdego t J. Wtedy dla każdego t J zachodz oszacowane ϕ 1 t ϕ 2 t x 1 x 2 e Lt t + ε e Lt t L Dowód. Dla uproszczena zapsu przyjmujemy t = ne zmnejsza to ogólnośc dowodu, bo warunek tak można otrzymać przez odpowedną transformacje zmennej t. Korzystając z oszacowana 3.25 oraz faktu, że funkcja ϕ 1 t jest rozwązanem równana 3.24 możemy napsać ϕ 1 t ϕ 2 t ε + ft, ϕ 1 t ft, ϕ 2 t. Poneważ funkcja ft, x spełna warunek Lpschtza po zmennej x, ostatną nerówność można przepsać w postac ϕ 1 t ϕ 2 t ε + L ϕ 1 t ϕ 2 t. Nech ϕt = ϕ 1 t ϕ 2 t. Funkcja ta jest klasy C 1 na odcnku J, bo taka jest z założena funkcja ϕ 2 t, a dla funkcj ϕ 1 t wynka to z tw Z twerdzena 3.8 dostajemy wtedy ϕt ϕ ε + L ϕτ dτ. Korzystając z prostego zwązku ϕτ ϕ + ϕτ ϕ dostajemy oszacowane ϕt ϕ ε + L ϕ t + L ϕτ ϕ dτ. Jeśl w ostatnm oszacowanu oznaczymy ut = ϕt ϕ oraz k = ε + L ϕ >, to oszacowane to przyjme postać ut kt + L uτdτ. Jest to nerówność z wnosku Z tego wnosku wynka oszacowane ε ϕt ϕ L + ϕ e Lt 1. Z tej ostatnej nerównośc otrzymujemy ϕt ϕ + ϕt ϕ ϕ e Lt + ε L e Lt 1. Korzystając z faktu, że ϕ = ϕ 1 ϕ 2 = x 1 x 2 dostajemy oszacowane z tezy. Przejdzemy teraz do dowodu twerdzene o cągłej zależnośc rozwązana od warunków początkowych parametrów.
13 3.3. ZALEŻNOŚĆ ROZWIAZANIA OD DANYCH TWIERDZENIE. Nech ft, x, λ będze ogranczona cagła dla t, x J A R R m λ G R k, gdze zbory J A G sa otwarte ogranczone. Zakładamy, że t J oraz funkcja f spełna po zmennej x A warunek Lpschtza ze stała L nezależna od t J oraz λ G. Wtedy rozwazane ϕt, x, λ równana 3.16 zależy w sposób cagły od punktu x, λ. Dowód. Na podstawe uwag uczynonych na początku tego podrozdzału zajmemy sę wyłączne zależnoścą rozwązana od danych początkowych. Rozpatrywać węc będzemy równana w postac Nech ϕt, u 1 będze rozwązanem równana 3.24 z warunkem początkowym ϕt = u 1, a ϕt, u 2 rozwązanem z warunkem ϕt = u 2. Z lematu 3.12 wynka oszacowane ϕt, u 1 ϕt, u 2 u 1 u 2 e Lt t. Nech K = sup t J e Lt t założylśmy ogranczoność przedzału J, co gwarantuje skończoność stałej K. Wtedy ϕt, u 1 ϕt, u 2 K u 1 u 2, co oznacza, że rozwązane ϕt, u spełna warunek Lpschtza po warunku początkowym u ze stałą nezależną od t J, czyl jest cągłą funkcją warunku początkowego. Pokażemy teraz, że ϕt, u jest funkcja cągłą obu argumentów. Zauważmy, że funkcja ta jest cągła jako funkcja t przy ustalonym u, co wynka z tw Jeśl teraz ustalmy t, to funkcja ϕt, u jest cągłą funkcją u cągłość ta jest jednostajna po t J, co wynka ze spełnana warunku Lpschtza po u ze stałą nezależną od t. Cągłość to parze argumentów t, u wynka teraz z tw Powyższe twerdzene można udowodnć przy neco słabszych założenach. Dowód takego twerdzena wymaga w zasadze powtórzena dowodu twerdzena Peano dla różncy funkcj ϕt, u 1 ϕt, u 2, dlatego przytaczamy je tu bez dowodu TWIERDZENIE. Jeśl funkcja ft, x, λ jest ogranczona cagła w pewnym zborze otwartym Q, a przez każdy punkt t, x, λ Q przechodz dokładne jedna krzywa całkowa ϕt, x, λ równana 3.16, to ϕ zależy w sposób cagły od punktu x, λ. Przejdzemy teraz do dowodu gładkej zależnośc rozwązana od warunków początkowych parametrów TWIERDZENIE. Nech ft, x, λ będze funkcja klasy C 1 swoch argumentów dla t, x Q R m+1 λ G R k, gdze zbory Q G sa otwarte. Wtedy rozwazane ϕt, x, λ zagadnena poczatkowego 3.16 jest klasy C 1 względem
14 46 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA zmennych t, x, λ w otwartym zborze, na którym jest określone. Jeśl yt jest macerza Jacobego ϕt,x,λ, to spełna ona równane λ dy dt z warunkem poczatkowym ft, x, λ ft, x, λ = y + λ 3.27 yt = ϕt, x, λ λ =. Natomast macerz Jacobego zt = ϕt,x,λ spełna równane z warunkem poczatkowym dz dt ft, x, λ = z 3.28 zt = ϕt, x, λ = I, gdze I jest macerza dentycznoścowa m m. Dowód. Różnczkowalność w sposób cągły względem t wynka z tw. 3.1 ẋ jest funkcją cągłą argumentów t, x, λ, bo jako rozwązane równana jest równe ft, ϕt, x, λ. Podobne jak w tw ogranczymy sę do rozpatrzena zależnośc od danych początkowych udowodnmy, że rozwązane jest klasy C 1 jako funkcja warunku początkowego. Nech ϕt, x będze rozwązanem równana 3.24 z warunkem początkowym ϕt = x, a ϕt, u będze rozwązanem równana 3.24 z warunkem początkowym ϕt = u. Wprowadźmy pomocnczą funkcję wt = ϕt, u ϕt, x zt u x, 3.29 gdze zt jest rozwązanem równana 3.28 z funkcją f nezależną od λ. Nech Bt, u = ft,ϕt,u. Wtedy równane 3.28 można zapsać jako żt Bt, uzt =. Korzystając z defncj funkcj wt oraz równana 3.28 oblczmy lewą stronę powyższej równośc dla funkcj w ẇt Bt, uwt =ft, ϕt, u ft, ϕt, x ft, ϕt, x ϕt, u ϕt, x. Prawa strona równana 3.3 zeruje sę dla u = x a jej pochodna po u wynos ft, ϕt, u ft, ϕt, x. 3.3
15 3.3. ZALEŻNOŚĆ ROZWIAZANIA OD DANYCH 47 Z welowymarowego wzoru Taylora wynka węc oszacowane gdze ft, ϕt, u ft, ϕt, x ft, ϕt, x ϕt, u ϕt, x m ϕt, u ϕt, x, m = sup α [,1] Wynka stąd oszacowane f t, αϕt, u 1 αϕt, x f t, ϕt, x ẇt Bt, uwt m ϕt, u ϕt, x. Pokażemy teraz, że stała m może być dowolne mała, jeśl u x. W tym celu zauważmy, że funkcja ft,αϕt,u 1 αϕt,x jest cągłą funkcją argumentów t, u, α. Z tw. 3.2 wynka, że funkcja ta dąży do ft,ϕt,x, gdy u x, jednostajne po t J oraz α [, 1]. Dla każdego ε > stneje węc stała η, taka że gdy ϕt, u ϕt, x η, to m ε. Mamy węc oszacowane ẇt Bt, uwt ε ϕt, u ϕt, x, 3.31 które jest prawdzwe dla ϕt, u ϕt, x η. Poneważ z lematu 3.12 wynka, że przy założenach twerdzena rozwązane jest funkcją lpschtzowską warunku początkowego, to stneje stała K, taka że Łącząc te oszacowana dostajemy Zajmemy sę teraz równanem ϕt, u ϕt, x K u x. ẇt Bt, uwt εk u x vt = Bt, uvt Prawa strona tego równana spełna warunek Lpschtza ze stałą β β = sup Bt, u, t J,u A gdze J jest zwartym odcnkem zawerającym w swom wnętrzu t a A = {u : u x η} jest zwartym otoczenem punktu x. Rozwązanem równana 3.33 z warunkem vt = jest oczywśce funkcja vt. Z drugej strony funkcja wt spełna warunek wt =, co wynka z jej defncj oraz obserwacj, że ϕt, u = u, ϕt, x = x a zt = I. Z nerównośc 3.32 wynka, że funkcja wt jest blska rozwązanu równana 3.33 w sense opsanym w lemace
16 48 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA Funkcja ta spełna także założena tego lematu. Rozwązane vt spełna także założena tego lematu. Z nerównośc 3.26 wynka węc oszacowane wt εk u x eβt t 1. β Ułamek po prawej strone ostatnej nerównośc jest jednostajne ogranczony dla każdego t J. Pozwala to ostatną nerówność zapsać w postac czyl wt εk u x, dla u x η, ϕt, u ϕt, x zt u x εk u x. Poneważ oszacowane to jest prawdzwe dla każdego ε >, wynka z nego stnene pochodnej ϕt,u u w punkce u = x oraz dowodz, że jest ona równa zt. Musmy jeszcze pokazać, że ϕt, u jest funkcja klasy C 1 względem pary argumentów t, u. Na początku dowodu zauważylśmy, że pochodna ϕt,u t jest funkcją cągłą argumentów t, u, bo jako rozwązane równana jest równa ft, ϕt, u a f jest z założena cągłą funkcją. W przypadku pochodnej ϕt,u u wykazalśmy, że w punkce u = x jest ona równa rozwązanu zt równana W otoczenu punktu x prawa strona tego równana spełna warunek Lpschtza. Z tw wynka węc, że jest ona cągłą funkcją t, u. Wykazalśmy w ten sposób, że obe pochodne cząstkowe funkcj ϕt, u są cągłym funkcjam pary zmennych t, u, czyl funkcja ϕt, u jest klasy C 1 jako funkcja pary argumentów WNIOSEK. Jeśl w założenach tw funkcja ft, x, λ jest klasy C r, gdze r 1, to rozwazane ϕt, x, λ jest też klasy C r. Dowód. Rozumowane jest dentyczne dla każdej zmennej, od której zależy rozwązane. Indukcyjny dowód przeprowadzmy tylko dla zależnośc rozwązana od parametru. Załóżmy, że wnosek jest prawdzwy dla r = s. Pokażemy, że jeśl ft, x, λ jest klasy C s+1, to rozwązane jest też tej klasy. Różnczkujemy równane 3.16 s razy po λ otrzymujemy równane, dla którego spełnone są założena tw. 3.15, czyl jego rozwązane jest klasy C 1. Skoro s-ta pochodna jest klasy C 1, to rozwązane równana 3.16, podobne jak funkcja ft, x, λ, jest różnczkowalne w sposób cągły s + 1 razy Przykład. Dane jest zagadnene Cauchy ego ẋ = µx 2 + 2t, x = µ 1. Należy znaleźć pochodną rozwązana względem parametru µ. µ=
17 3.3. ZALEŻNOŚĆ ROZWIAZANIA OD DANYCH 49 Sprowadzamy problem do równana, w którym zależna od parametru jest tylko prawa strona równana. W tym celu wprowadzamy nową zmenną zależną y = x µ + 1. Rozpatrywane zagadnene Cauchy ego redukuje sę teraz do następującego ẏ = µy 2 + 2µ 2 y + 2t + µ 3 2µ 2 + µ, y = Zgodne z tw dostajemy równane ż = 2µy + 2µ 2 z + y 2 + 4µy + 3µ 2 4µ + 1. Równane to rozwązujemy standardową metodą dla równań lnowych. Najperw znajdujemy rozwązane równana jednorodnego zt = c exp 2µy + 2µ 2 ds, a następne uzmennamy stałą otrzymując korzystamy z warunku początkowego z = Stąd ct = exp s zt = exp 2µy + 2µ 2 ds exp s 2µy + 2µ 2 dτ y 2 + 4µy + 3µ 2 4µ + 1ds. 2µy + 2µ 2 dτ y 2 + 4µy + 3µ 2 4µ + 1ds = exp 2µy + 2µ 2 dτ s y 2 + 4µy + 3µ 2 4µ + 1ds. Zauważmy, że dla µ = równane 3.34 ma rozwązane y = t 2. Wykorzystując to rozwązane dostajemy po przejścu grancznym Poneważ z = y µ = µ 1, węc lm zt = s 4 + 1ds = 1 µ 5 t5 + t. µ = 1 µ= 5 t5 + t + 1.
18 5 ROZDZIAŁ 3. PODSTAWOWE TWIERDZENIA 3.4 Twerdzene o prostowanu Twerdzene, które ponżej przedstawamy, jest właścwe prostym wnoskem z tw Jest ono jednak ważne, poneważ daje geometryczny ops lokalnego zachowana krzywych całkowych. Z twerdzena tego wynka, że krzywe całkowe równana różnczkowego są lokalne równoległe względem sebe, tzn. przez odpowedn dyfeomorfzm można je zamenć na rodznę prostych równoległych. Ta własność sprawa, że twerdzene to nazywa sę twerdzenem o lokalnym prostowanu krzywych całkowych pola wektorowego TWIERDZENIE. W zborze otwartym Q R m+1 dane jest równane ẋ = ft, x 3.35 z funkcja f klasy C r, r 1. Nech t, x Q. Istneje wtedy V, t, x V Q oraz dyfeomorfzm klasy C r g: V W, gdze W jest obszarem w R m+1, o tej własnośc, że jeśl s, u 1,..., u m jest lokalnym układem współrzędnych w W, to g przeprowadza równane 3.35 w równane du ds =. Dowód. Nech ϕt, t, p będze rozwązanem równana 3.35 z warunkem początkowym xt = x = p. Naszym celem jest zadane przekształcena, które krzywą całkową ϕt, t, p przekształc na prostą us = p. Odwzorowane to łatwej jest zapsać w forme funkcj odwrotnej utożsamene zmennych t s wynka z faktu, że s opsuje zmanę t wzdłuż krzywej całkowej ϕt, t, p g 1 t, p = t, ϕt, t, p Z wnosku 3.16 wynka, że g jest odwzorowanem klasy C r. Jakoban odwzorowana 3.36 w punkce t, p jest różny od zera, czyl g jest dyfeomorfzmem klasy C r. Pokażemy teraz, że odwzorowane g przeprowadza pole wektorowe [1, ft, x] na pole [1, ]. Wynka to z faktu, że jeśl g przeprowadza krzywe ϕt, t, p na proste us = p, to wektory styczne do jednej rodzny krzywych są przeprowadzane na wektory styczne do drugej rodzny. Możemy węc powedzeć, że dyfeomorfzm g przeprowadza równane 3.35, któremu odpowada pole [1, ft, x], w równane du ds =, któremu odpowada pola wektorowego [1, ].
5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowof(x, y) = arctg x y. f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. x = 1 1 y = y y = 1 1 +
Różnczkowalność pocodne Ćwczene. Znaleźć pocodne cz astkowe funkcj f(x, y) = arctg x y. Rozw azane: Wdać, że funkcj f można napsać jako f(u(x, y)) gdze f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. Korzystaj ac z reg
Bardziej szczegółowoI. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Bardziej szczegółowop Z(G). (G : Z({x i })),
3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W
Bardziej szczegółowoALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO
ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ. Moduły prnjektywne posety skończonego typu prnjektywnego Nech I będze skończonym posetem. Przez max
Bardziej szczegółowo2012-10-11. Definicje ogólne
0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj
Bardziej szczegółowoV. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH
Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty 007 34 V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH. Zbór np. lczb rzeczywstych a, b elementy zbor A a A b A, podzbór B zbor A : B A, sma zborów
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowo( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X
Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowo) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4
Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie statystyczne, statystyki
M. Beśka, Statystyka matematyczna, wykład 1 1 1 Przestrzene statystyczne, statystyk 1.1 Rozkłady zmennych losowych Nech Ω, F, P ) będze ustaloną przestrzeną probablstyczną, a X : Ω IR zmenną losową na
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2007/08 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x, b R N, A R N N (1) ma jednoznaczne
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoModelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład IX
Modelowane przepływu ceczy przez ośrodk porowate Wykład IX Metody rozwązywana metodam analtycznym równań hydrodynamk wód podzemnych płaskch zagadneń fltracj. 9.1 Funkcja potencjału zespolonego. Rozważana
Bardziej szczegółowoEgzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoMETODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V)
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne na dziedzinach
Marek Materzok Równana rekurencyjne na dzedznach Pommo, ż poczynłem starana, aby praca ta była możlwe kompletna wolna od błędów, ne mogę zagwarantować, że ne wkradły sę do nej żadne neścsłośc czy pomyłk.
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowody dx stąd w przybliżeniu: y
Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowo7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera
Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n
Bardziej szczegółowoProces narodzin i śmierci
Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatk do wykładu Geometra Różnczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 14 grudna 2013 1 Całkowane form różnczkowych 1.1 Twerdzene Stokes a W dalszym cągu E oznaczać będze półprzestrzeń w R n, tzn. zbór E =
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowoKwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego
Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne 2017/2018
Metody Numeryczne 7/8 Inormatya Stosowana II ro Inżynera Oblczenowa II ro Wyład 7 Równana nelnowe Problemy z analtycznym rozwązanem równań typu: cos ln 3 lub uładów równań ja na przyład: y yz. 3z y y.
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoRóżniczkowalność, pochodne, ekstremum funkcji. x 2 1 x x 2 k
Różnczkowalność, pochodne, ekstremum funkcj Ćwczene 1 Polczyć pochodn a kerunkow a funkcj: 1 1 1 x 1 x 2 x k ϕ(x 1,, x k ) x 2 1 x 2 2 x 2 k x k 1 1 x k 1 2 x k 1 w dowolnym punkce p [x 1, x 2,, x k T
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych
Metody iteracyjne dla hiperbolicznych równań różniczkowo-funkcyjnych Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański 6 Wrzesień 2016 Zastosowania równań hiperbolicznych Nieliniowe równania hiperboliczne wykorzystywane
Bardziej szczegółowou u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele
Bardziej szczegółowoV. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA
46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoFunkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoZapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.
Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Zajęcia 4
St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Andrzej Palczewski
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Andrzej Palczewski Spis treści 1 Definicje i przykłady 5 1.1 Definicja równania różniczkowego..................... 5 1.2 Zagadnienie początkowe..........................
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu
Bardziej szczegółowo5. Maszyna Turinga. q 1 Q. Konfiguracja: (q,α β) q stan αβ niepusta część taśmy wskazanie położenia głowicy
5. Maszyna Turnga = T Q skończony zór stanów q 0 stan początkowy F zór stanów końcowych Γ skończony zór symol taśmy T Γ alfaet wejścowy T Γ symol pusty (lank) δ: Q Γ! 2 Q Γ {L,R} funkcja
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja
Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody teracyjne P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Sngular Value Decomposton Twerdzene 1. Dla każdej macerzy A R M N, M N, stneje rozkład
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Bardziej szczegółowoRóżniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów
Różniczkowalna zależność 1 Różniczkowalna zależność rozwiązania od warunków początkowych i parametrów Rozważmy zagadnienie początkowe x =f(t,x,p) (1) x()=ξ. Funkcjafjestokreślonanazbiorze(a,b) R S,gdzieRjestwnętrzem
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoStatystyka. Zmienne losowe
Statystyka Zmenne losowe Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu
Bardziej szczegółowoW praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobeństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźne wypełna wnętrze kwadratu [0 x ; 0 y ]. Znajdź p-stwo, że dowolny punkt
Bardziej szczegółowo7.8. RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH
WYKŁAD 7 7.8. RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH 7.8.. Ogólne równane rucu Rucem zmennym w korytac otwartyc nazywamy tak przepływ, w którym parametry rucu take jak prędkość średna w przekroju
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.
Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoPROBLEM ODWROTNY DLA RÓWNANIA PARABOLICZNEGO W PRZESTRZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAROWEJ THE INVERSE PARABOLIC PROBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE
JAN KOOŃSKI POBLEM ODWOTNY DLA ÓWNANIA PAABOLICZNEGO W PZESTZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAOWEJ THE INVESE PAABOLIC POBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE S r e s z c z e n e A b s r a c W arykule skonsruowano
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoXXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mkroekonometra 5 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Uogólnone modele lnowe Uogólnone modele lnowe (ang. Generalzed Lnear Models GLM) Różną sę od standardowego MNK na dwa sposoby: Rozkład zmennej objaśnanej
Bardziej szczegółowoWykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze
Wykłady Jacka Osewalskego z Ekonometr zebrane ku pouczenu przestrodze UWAGA!! (lstopad 003) to jest wersja neautoryzowana, spsana przeze mne dawno temu od tego czasu ne przejrzana; ma status wersj roboczej,
Bardziej szczegółowoOptymalizacja belki wspornikowej
Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoKONSPEKT WYKŁADU. nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA. Piotr Konderla
Studa doktorancke Wydzał Budownctwa Lądowego Wodnego Poltechnk Wrocławskej KONSPEKT WYKŁADU nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA Potr Konderla maj 2007 Kurs na Studach Doktoranckch Poltechnk
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoArytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013
Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
Bardziej szczegółowoProgramowanie Równoległe i Rozproszone
Programowane Równoległe Rozproszone Wykład Programowane Równoległe Rozproszone Lucjan Stapp Wydzał Matematyk Nauk Informacyjnych Poltechnka Warszawska (l.stapp@mn.pw.edu.pl) /38 PRR Wykład Chcemy rozwązać
Bardziej szczegółowoSekantooptyki owali i ich własności
Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r. Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy
Bardziej szczegółowoKier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium
Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboraorum Ćw. Zasosowane bbloecznych funkcj MATLABa do numerycznego rozwązywana równań różnczkowych. Wprowadzene Układy równań różnczkowych zwyczajnych perwszego rzędu
Bardziej szczegółowoMetody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,
Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą
Bardziej szczegółowoKomputerowe generatory liczb losowych
. Perwszy generator Komputerowe generatory lczb losowych 2. Przykłady zastosowań 3. Jak generuje sę lczby losowe przy pomocy komputera. Perwszy generator lczb losowych L. H. C. Tppet - 927 Ksąż ążka -
Bardziej szczegółowo