Pojęcie pierścienia.
|
|
|
- Dorota Sosnowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Pojęcie pierścienia.
2 Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to y, z P Rrx py ` zq x y ` x y, z P Rrpy ` zq x y x ` z xs. Działanie ` nazywamy dodawaniem w pierścieniu R, a działanie mnożeniem. Element neutralny dodawania nazywamy zerem i oznaczamy przez 0. Pierścień pr, `, q nazywamy pierścieniem zerowym, jeżeli R t0u.
3 2. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem przemiennym, gdy jest pierścieniem i gdy mnożenie jest przemienne. 3. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem z jedynką, gdy jest pierścieniem i gdy mnożenie ma element neutralny, który wówczas nazywamy jedynką i oznaczamy przez Algebrę pr, `, q nazywamy ciałem, gdy jest niezerowym pierścieniem przemiennym z jedynką i gdy dla każdego elementu różnego od 0 istnieje element odwrotny względem mnożenia.
4 Uwaga Niech pr, `, q będzie ciałem. Wówczas: 1. R zawiera co najmniej dwa elementy, 2. pr, `q jest grupą abelową, 3. pr, q jest grupą abelową, gdzie R Rzt0u.
5 Przykłady: 1. Pierścienie liczbowe. pz, `, q, pq, `, q, pr, `, q, pc, `, q są przykładami pierścieni przemiennych z jedynką. pn, `, q nie jest pierścieniem. Ponadto pq, `, q, pr, `, q, pc, `, q są ciałami, zaś pz, `, q nie jest.
6 3. Pierścienie reszt. Niech n P N i rozważmy Z n t0, 1,..., n 1u z działaniami n oraz b n. pz n, n, b n q są przykładami pierścieni przemiennych z jedynką. pz n, n, b n q na ogół nie jest ciałem, chyba że n jest liczbą pierwszą.
7 4. Pierścienie wielomianów. Niech Rrxs będzie zbiorem wielomianów zmiennej x o współczynnikach rzeczywistych. Wówczas prrxs, `, q jest pierścieniem przemiennym z jedynką, który nie jest ciałem, gdzie ` i oznaczają działania, odpowiednio, dodawania i mnożenia wielomianów.
8 5. Pierścienie macierzy. Niech F będzie dowolnym ciałem, niech M pn, F q oznacza zbiór macierzy kwadratowych stopnia n o współczynnikach z ciała F. pmpn, F q, `, q jest pierścieniem z jedynką, przy czym ` i oznaczają tu, odpowiednio, dodawanie i mnożenie macierzy. Pierścień ten na ogół nie jest przemienny.
9 6. Pierścień endomorfizmów. Niech V będzie przestrzenią liniową. pv, `q. Oznaczmy przez EndpV q zbiór endomorfizmów liniowych przestrzeni V. pendpv q, ` q jest pierścieniem z jedynką, który na ogół nie jest przemiennt, przy czym ` i są tu działaniami, odpowiednio, dodawania i składania przekształceń liniowych.
10 7. Pierścienie funkcji. Niech pr, `R, Rq będzie pierścieniem, niech X H. W rodzinie funkcji definiujemy działania R X tf : X Ñ R : f jest funkcjąu pf ` gqpxq fpxq `R gpxq oraz pf gqpxq fpxq R gpxq. pr X, `, q jest pierścieniem, który jest przemienny, gdy R jest przemienny.
11 8. Skończony produkt pierścieni. Niech pr 1, `1, 1q,..., pr n, `n, nq będą pierścieniami. W produkcie kartezjańskim R R 1 ˆ... ˆ R n definiujemy działania po współrzędnych : pa 1,..., a n q ` pb 1,..., b n q pa 1 `1 b 1,..., a n `n b n q, pa 1,..., a n q pb 1,..., b n q pa 1 1 b 1,..., a n n b n q. pr, `, q jest pierścieniem, który jest przemienny (z jedynką), gdy wszystkie pierścienie R 1,..., R n są przemienne (z jedynką).
12 9. Pierścień grupowy. Niech pg, q będzie grupą, niech pr, `R, Rq będzie pierścieniem. Rozważmy zbiór RrGs zbiór funkcji f : G Ñ R prawie wszędzie równych 0. W zbiorze tym definiujemy działania: pf ` gqpxq fpxq `R gpxq, pf gqpxq ÿ ypg fpx y 1 q R gpyq. prrgs, `, q jest pierścieniem.
13 W dowolnym pierścieniu pr, `, q wprowadzamy oznaczenia: xy ` z px yq ` z, nÿ x i x 1 `... ` x n, i 1 nź x i x 1... x n, i 1 0ÿ x i 0, i 1 0ź x i 1. i 1 W szczególności ř n i 1 x nx oraz ś n i 1 x xn.
14 Twierdzenie Niech pr, `, q będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. 1. p xq x, 2. px ` yq p xq ` p yq, 3. npmxq nmx, 4. nx ` mx pn ` mqx, 5. 0x ` x0 0, 6. p 1qx x, 7. p xqy pxyq xp yq, 8. p xqp yq xy, 9. xpy zq xy xz, 10. px yqz xz yz, 11. x ` z y ` z ñ x y, 12. x n x m x n`m, 13. px n q m x nm, 14. px ` yq n ř n `n k 0 k xk y n k.
15 W dalszym ciągu tego wykładu pisząc pierścień będziemy na ogól mieli na myśli pierścień przemienny z jedynką.
16 Podpierścienie, podpierścienie generowane przez zbiór.
17 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem. Podzbiór P H zbioru R nazywamy podpierścieniem pierścienia R (piszemy P ă R), gdy pp, `æ P ˆP, æ P ˆP q jest pierścieniem.
18 Przykłady: 1. Z ă R; 2. R ă C; 3. Z n nie jest podpierścieniem pierścienia Z.
19 Twierdzenie Niech H P Ă R i niech pr, `, q będzie pierścieniem. Następujące warunki są równoważne: 1. P ă R; 2. P ma następujące własności: 1R P y P P px y P P y P P px y P P q.
20 Przykłady: 4. Zr? 2s ta ` b? 2 : a, b P Zu ă R. Istotnie, 1 P Zr? 2s. Ustalmy x, y P Zr? 2s, to znaczy niech x x 1 ` x 2? 2, y y 1 ` y 2? 2. Wówczas: x y px 1 y 1 q ` px 2 y 2 q? 2 P Zr? 2s, x y px 1 y 1 ` 2y 1 y 2 q ` px 1 y 2 ` x 2 y 1 q? 2 P Zr? 2s.
21 5. Z ppq t m n : NW Dpm, nq 1 oraz p nu ă Q, gdzie p jest liczbą pierwszą. Istotnie, 1 P Z ppq. Ustalmy x, y P Z ppq, to znaczy niech x m 1 n 1, NW Dpm 1, n 1 q 1, p n 1, y m 2 n 2, NW Dpm 2, n 2 q 1, p n 2. Wówczas: m 1 m2 m 1n 2 m 2 n 1 P Z n 1 n 2 n 1 n ppq, 2 bo p n 1 n 2 oraz NW Dpm 1 n 2 m 2 n 1, n 1 n 2 q 1, m 1 m2 m 1m 2 P Z n 1 n 2 n 1 n ppq, 2 bo p n 1 n 2 oraz NW Dpm 1 m 2, n 1 n 2 q 1. Pierścień Z ppq nazywamy pierścieniem liczb p-całkowitych.
22 Twierdzenie Niech R tr i : i P Iu będzie rodziną podpierścieni pierścienia R; 1. Ş ipi R i jest podpierścieniem pierścienia R, 2. Ť ipi H i jest podpierścieniem pierścienia R, o ile R jest łańcuchem.
23 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem oraz A Ă R pewnym zbiorem. Najmniejszy w sensie inkluzji podpierścień pierścienia R zawierający zbiór A (tj. przekrój wszystkich podpierścieni pierścienia R zawierających A) nazywamy podpierścieniem generowanym przez A i oznaczamy ras.
24 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem oraz P ă R. Wówczas: 1. rp s P, 2. rrs R.
25 Definicja Każdy zbiór A o tej własności, że ras R nazywamy zbiorem generatorów pierścienia R. Jeśli A ta 1,..., a n u to oznaczamy ra 1,..., a n s xay. Mówimy, że pierścień jest skończenie generowany, gdy istnieją elementy a 1,..., a n P R takie, że R ra 1,..., a n s.
26 Twierdzenie (o postaci elementów podpierścienia generowanego przez zbiór) Niech pr, `, q będzie pierścieniem oraz A Ă R pewnym zbiorem. Wówczas ras tx : x jest sumą elementów postaci a 1... a k, k P NYt0u, a i P A
27 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem oraz A Ă R pewnym zbiorem. Niech ponadto P ă R. Podpierścień generowany przez zbiór P Y A nazywamy podpierścieniem generowanym przez A nad P i oznaczamy P ras. Jeżeli A ta 1,..., a n u, to pierścień Rrta 1,..., a n us nazywamy podpierścieniem skończenie generowanym przez A nad P i oznaczamy P ra 1,..., a n s.
28 Wniosek (o postaci elementów podpierścienia generowanego przez zbiór nad pierścieniem) Niech pr, `, q będzie pierścieniem oraz A Ă R pewnym zbiorem. Niech P ă R. Wówczas P ras tx : x jest sumą elementów postaci pa 1... a k, k P NYt0u, a i P A
29 Wniosek 1. Niech pr, `, q będzie pierścieniem oraz niech a P R. Niech P ă R. Wówczas P ras tx 0 ` x 1 a `... ` x n a n : n P N Y t0u, x i P P u. 2. Niech pr, `, q będzie pierścieniem oraz niech ta 1,..., a n u Ă R. Niech P ă R. Wówczas P ra 1,..., a n s tx : x jest sumą elementów postaci pa i a in n, i 1,
30 Przykłady: 6. Zris tx 0 ` x 1 i ` x 2 i 2 `... ` x n i n : n P N Y t0u, x i P Zu tu ` iv : u, v P Zu. Pierścień ten nazywamy pierścieniem Gaussa. 7. Zr? 2s tx 0 ` x 1? 2 ` x2 p? 2q 2 `... ` x n p? 2q n : n P N Y t0u, x i P Zu tu `?2v : u, v P Zu. 8. Zr 3? 2s tx 0 ` x 1 3? 2 ` x 2 p 3? 2q 2 `... ` x n p 3? 2q n : n P N Y t0u, x i P Zu tu ` 3? 2v ` 3? 4t : u, v, t P Zu.
31 Specjalne typy elementów pierścienia.
32 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem. 1. Element x P R taki, że Dy P Rzt0ux y 0 nazywamy dzielnikiem zera. Zbiór wszystkich dzielników zera oznaczamy przez DpRq. 2. Element x P R taki, który nie jest dzielnikiem zera, nazywamy elementem regularnym.
33 Przykłady: 1. Niech pr, `, q będzie pierścieniem. Wówczas 0 jest dzielnikiem zera, nazywamy je niewłaściwym dzielnikiem zera. Wszystkie pozostałe dzielniki zera nazywać będziemy właściwymi. 2. Rozważmy pierścień Z 6. Wówczas 0, 2, 3, 4 są dzielnikami zera. 3. Rozważmy pierścień Q ˆ Q. Wówczas p1, 0q i p0, 1q są dzielnikami zera.
34 Twierdzenie Niech pr, `, q będzie pierścieniem, niech x, y P R. Wówczas: 1. xy 0 ñ x P DpRq _ y P DpRq; 2. jeśli x jest regularny, to 3. jeśli x jest regularny, to xy 0 ñ y 0; xy xz ñ y z.
35 Przykład: 4. Rozważmy pierścień Z 6. Wówczas , ale 2 4.
36 Definicja Pierścień bez właściwych dzielników zera nazywamy pierścieniem całkowitym (lub dziedziną całkowitosci, lub dziedziną).
37 Przykłady: 5. Z; 6. Zris; 7. Z 5.
38 Uwaga Podpierścień pierścienia całkowitego jest pierścieniem całkowitym.
39 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem. Element x P R nazywamy elementem odwracalnym, gdy Dy P Rpx y 1 R q. Zbiór wszystkich elementów odwracalnych oznaczamy przez UpRq.
40 Twierdzenie Niech pr, `, q będzie pierścieniem. Wówczas: 1. zbiór elementów regularnych jest zamknięty na mnożenie; 2. każdy element odwracalny jest regularny; 3. U prq jest grupą abelową, nazywamy ją grupą elementów odwracalnych pierścienia R.
41 Dowód: 1. Niech x, y P R będą elementami regularnymi. Przypuśćmy, że xy P DpRq, a więc załóżmy, że istnieje z P Rzt0u taki, że pxyqz 0. Wówczas również xpyzq 0 i ponieważ x jest regularny, więc yz 0. Zatem y P DpRq, co daje sprzeczność.
42 2. Ustalmy x P UpRq i przypuśćmy, że x P DpRq, a więc załóżmy, że istnieje z P Rzt0u taki, że xz 0. Z drugiej strony istnieje y P R taki, że xy 1, a zatem co daje sprzeczność. 0 0z pxzqy xyz 1y y
43 3. Wystarczy pokazać, że zbiór elementów odwracalnych jest zamknięty na mnożenie. Ustalmy x, y P UpRq. Wówczas istnieją z, t P R takie, że xz 1 oraz yt 1. Zatem: więc xy P UpRq xzyt pxyqpztq,
44 Przykłady: 8. Z, UpZq t 1, 1u; 9. Z 6, UpZ 6 q t1, 5u; 10. Z 5, UpZ 5 q t1, 2, 3, 4u Z 5 ; 11. Q, UpQq Q ; 12. Q ˆ Q, p2, 3q P Q ˆ Q.
45 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem. Wówczas: 1. R jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy UpRq R ; 2. jeśli R jest ciałem, to R jest pierścieniem całkowitym; 3. jeśli R jest ciałem i P ă R, to P jest pierścieniem całkowitym.
46 Przykład: 13. Rozważmy Z ă Q. Wówczas Z jest pierścieniem całkowitym, ale Z nie jest ciałem.
47 Uwaga Niech R 1, R 2 będą pierścieniami. Wówczas: 1. UpR 1 ˆ R 2 q UpR 1 q ˆ UpR 2 q; 2. DpR 1 ˆ R 2 q R 1 ˆ DpR 2 q Y DpR 1 q ˆ R 2.
48 Twierdzenie Niech pr, `, q będzie pierścieniem skończonym. Następujące warunki są równoważne: 1. x jest elementem odwracalnym; 2. x jest elementem regularnym; 3. istnieje m P N takie, że x m 1.
49 Dowód: p1q ñ p3q: ustalmy x P UpRq. R jest skończony, więc UpRq jest skończona, powiedzmy UpRq m. Wówczas x m 1.
50 p3q ñ p2q: ustalmy x P R i niech x m 1, dla pewnego m P N. Jeżeli m 1, to x 1 i w szczególności x jest regularny. Jeśli m ą 1, to wówczas 1 x m x m 1 x, a zatem x P UpRq i tym samym x jest regularny.
51 p2q ñ p1q: ustalmy x P R i niech x będzie regularny. Zdefiniujmy odwzorowanie f x : R Ñ R wzorem f x pyq xy. Pokażemy, że f x jest różnowartościowe. W tym celu ustalmy y, z P R i załóżmy, że f x pyq f x pzq. Wówczas xy xz i ponieważ x jest regularny, więc y z. Ponieważ R jest skończony, więc f x jest też surjektywne. W szczególności Dy P Rrf x pyq 1s, a więc dla pewnego y P R zachodzi xy 1. Zatem x P UpRq.
52 Wniosek Niech pr, `, q będzie pierścieniem skończonym. Wówczas: 1. R UpRq Y DpRq oraz UpRq X DpRq H; 2. R jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy R jest pierścieniem całkowitym.
53 Uwaga Niech n ą 1. Wówczas: 1. DpZ n q tk P Z n : NW Dpk, nq ą 1u; 2. UpZ n q tk P Z n : NW Dpk, nq 1u.
54 Wniosek Niech n ą 1. Następujące warunki są równoważne: 1. Z n jest pierścieniem całkowitym; 2. Z n jest ciałem; 3. n jest liczbą pierwszą.
55 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem. Wówczas: 1. element x P R nazywamy nilpotentnym (lub nilpotentem), gdy Dn P Npx n 0q, a zbiór wszystkich elementów nilpotentnych pierścienia R oznaczamy przez N ilprq; 2. element x P R nazywamy idempotentnym (lub idempotentem), gdy x 2 x; 3. elementy idempotentne x, y P R nazywamy idempotentami ortogonalnymi, gdy: x ` y 1 oraz xy 0.
56 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem. Wówczas: 1. każdy element nilpotentny jest dzielnikiem zera; 2. każdy element idempotentny różny od 1 jest dzielnikiem zera.
57 Dowód. Część (1) jest oczywista, a dla dowodu części (2) zauważmy, że xpx 1q x 2 x x x 0.
58 Przykłady: 14. Rozważmy dowolny pierścień R. Wówczas 0 jest nilpotentem, nazywamy go nilpotentem trywialnym. 15. Rozważmy pierścień Z 6. Wówczas 0 jest jedynym nilpotentem. 16. Rozważmy dowolny pierścień R. Wówczas 0 i 1 są idempotentami, nazywamy je idempotentami trywialnymi. 17. Rozważmy pierścień Z 6. Wówczas 0, 1, 3, 4 są idempotentami. 18. Rozważmy pierścień Z 10. Wówczas 5 i 6 są idempotentami ortogonalnymi.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
Grupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Wielomiany wielu zmiennych.
Wielomiany wielu zmiennych. Definicja i uwaga: Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem zmiennych x 1,..., x n o współczynnikach z pierścienia R będziemy nazywali wyrażenie postaci ÿ a i1...i
Podstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Podstawowe pojęcia teorii podzielności.
Podstawowe pojęcia teorii podzielności. Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem 1 całkowitym. Mówimy, że element a dzieli b, a, b P R, (lub że a jest dzielnikiem b, lub że b jest wielokrotnością a)
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny
Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Baza i stopień rozszerzenia.
Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Definicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].
![Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].](/thumbs/66/54501363.jpg "Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].")
1. Wykład 1: Grupy i izomorfizmy grup. Definicja 1.1. Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym(lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Analiza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Definicja. Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G,
Grupy rozwiązalne. Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G, G piq rg pi 1q, G pi 1q s, dla i P N nazywamy górnym ciągiem centralnym grupy
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Matematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Algebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego
Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Pierścienie łączne - ich grafy i klasy Veldsmana
Marta Nowakowska Uniwersytet Śląski Letnia Szkoła Instytutu Matematyki, Podlesice, wrzesień 22-26, 2014 Oznaczenia Graf przecięć R - łączny pierścień z 1 Z - pierścień liczb całkowitych M - lewostronny
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Algebra. Jakub Maksymiuk. lato 2018/19
Algebra Jakub Maksymiuk lato 2018/19 Algebra W1/0 Zbiory z działaniami Podstawowe własności Potęgi Tabelka działania Przykłady Grupa symetryczna Algebra W1/1 Podstawowe własności Definicja: Działaniem
Paweł Gładki. Algebra B. ~ pgladki/
Paweł Gładki Algebra B http://www.math.us.edu.pl/ ~ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00, p. 527, Bankowa 14 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go
2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
ciałem F i oznaczamy [L : F ].
![ciałem F i oznaczamy [L : F ].](/thumbs/19/357389.jpg "ciałem F i oznaczamy [L : F ].")
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
![= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i](/thumbs/63/50165120.jpg "= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i")
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;
10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie
Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),
Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej
Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Nierówności symetryczne
Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień
2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Pozostała algebra w pigułce
Algebra Pozostała algebra w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1
Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
1 Pierścienie, algebry
Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O