Definicja. Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G,

Transkrypt

1 Grupy rozwiązalne.

2 Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G, G piq rg pi 1q, G pi 1q s, dla i P N nazywamy górnym ciągiem centralnym grupy G, a jego elementy hipercentrałami;

3 Uwaga Niech pg, q będzie grupą, pg piq q ipn jej górnym ciągiem centralnym. Wówczas 1. G pi`1q Ă G piq, G piq Ÿ G, dla i P N; 2. G piq {G pi`1q są abelowe dla i P N.

4 Dowód: (1) Pokażemy, że jeśli M 1 Ÿ G oraz M 2 Ÿ G, to rm 1, M 2 s Ÿ G i rm 1, M 2 s Ă M 1 X M 2. Ustalmy w tym celu M 1 Ÿ G i M 2 Ÿ G. Pierwsza teza wynika z udowodnionego wcześniej twierdzenia. Dla dowodu drugiej tezy ustalmy ra 1, b 1 s k 1... ra n, b n s kn P rm 1, M 2 s, gdzie a i P M 1, b i P M 2, dla i P t1,..., nu. Wówczas: ra 1, b 1 s k 1... ra n, b n s kn pa 1 b a 1 1 k looomooon 1 1 lomon b1 q 1... pa n b a 1 1 k looomooon n n lomon bn q n P M 2. PM 2 PM 2 Podobnie ra 1, b 1 s k 1... ra n, b n s kn P M 1. PM 2 PM 2

5 Pokażemy, że G piq Ÿ G, dla i P N. Dla i 0 jest to oczywiste, załóżmy więc, że G piq Ÿ G. Wobec tego G pi`1q rg piq, G piq s Ÿ G, co dowodzi tezy na mocy indukcji względem i P N.

6 Pokażemy, że G pi`1q Ă G piq, dla i P N. Ustalmy i P N. Ponieważ G piq Ÿ G, mamy G pi`1q rg piq, G piq s Ă G piq X G piq G piq.

7 (2) Pokażemy, że G piq {G pi`1q są abelowe, dla i P N. Ustalmy i P N. Ponieważ G pi`1q Ÿ G, więc G pi`1q Ÿ G piq. Ponadto rg piq, G piq s ă G pi`1q, więc wobec udowodnionego wcześniej wniosku G piq {G pi`1q jest abelowa.

8 Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas jeżeli pg piq q ipn jest jej górnym ciągiem centralnym oraz G piq t1u dla pewnego i P N, to G nazywamy grupą rozwiązalną, a najmniejszą liczbę i P N, dla której G piq t1u stopniem rozwiązalności.

9 Przykłady: 1. Rozważmy grupę Dp3q. Ciąg Dp3q ą ti, O 120, O 240 u ą tiu jest górnym ciągiem centralnym i tym samym Dp3q jest rozwiązalna.

10 Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas skończony ciąg podgrup grupy G, pg G 0, G 1,..., G n t1uq, taki, że G i`1 Ÿ G i, dla i P t0,..., n 1u, nazywamy ciągiem podnormalnym (lub subnormalnym) grupy G. Liczbę n nazywamy długością ciągu, a grupy faktorami ciągu. G i {G i`1, dla i P t0,..., n 1u

11 Twierdzenie Niech pg, q będzie grupą skończoną. Następujące warunki są równoważne: 1. G jest rozwiązalna, 2. istnieje ciąg pg G 0, G 1,..., G n t1uq podnormalny o faktorach abelowych, 3. istnieje ciąg pg G 0, G 1,..., G m t1uq podnormalny o faktorach cyklicznych.

12 Dowód: p1q ñ p2q: oczywiste wobec wcześniejszych uwag i przykładów.

13 p2q ñ p3q: Pokażemy, że skończona grupa abelowa ma ciąg podnormalny o faktorach cyklicznych. Jest to oczywiste, gdy G 1, zaś w przypadku G m załóżmy, że dla grup rzędu G ă m twierdzenie jest prawdziwe. Pokażemy, że w G istnieje ciąg podnormalny o faktorach cyklicznych. Ustalmy a P Gzt1u. Niech H xay. Wówczas H jest cykliczna oraz G{H ă m i oczywiście G{H jest abelowa. Wobec założenia indukcyjnego pg{h G 1 0, G 1 1,..., G 1 n t1uq jest ciągiem podnormalnym o faktorach cyklicznych.

14 Niech G i κ 1 pg 1 iq, dla i P t1,..., ku oraz G k`1 t1u, gdzie κ : G Ñ G{H jest epimorfizmem kanonicznym. Wówczas G i 1 {G i G 1 i 1{G 1 i, dla i P t1,..., ku oraz G k {G k`1 H. Zatem pg G 0, G 1,..., G k`1 t1uq jest ciągiem podnormalnym o faktorach cyklicznych i na mocy zasady indukcji matematycznej teza została udowodniona.

15 Niech pg G 0, G 1,..., G k t1uq będzie ustalonym ciągiem podnormalnym o faktorach abelowych. Grupy G i 1 {G i, i P t1,..., ku, są skończonymi grupami abelowymi. Niech G i 1 {G i G 1 i,0, G 1 i,1,..., G 1 i,k i t1u, dla i P t1,..., ku, będą ciągami podnormalnymi o faktorach cyklicznych. Niech G i,j κ 1 i pg 1 i,jq, dla j P t0,..., k i u, i P t1,..., ku, gdzie κ i : G i 1 Ñ G i 1 {G i są epimorfizmami kanonicznymi.

16 Zatem: G i,0 G i 1, i P t1,..., ku, G i,ki G i, i P t1,..., ku, G i,j Ÿ G i,j 1, dla j P t0,..., k i u, i P t1,..., ku, G i,j 1 {G i,j G 1 i,j 1 {G1 i,j, dla j P t0,..., k iu, i P t1,..., ku. Zatem pg G 1,0, G 1,1,..., G 1,k1 G 2 G 2,0, G 2,1,..., G 2,k2,..., G k,0,..., G k t1uq jest ciągiem podnormalnym o faktorach cyklicznych.

17 p3q ñ p1q: Niech pg G 0, G 1,..., G k t1uq będzie ciągiem podnormalnym o faktorach cyklicznych. Pokażemy, że G piq Ă G i, dla i P t0,..., ku. Jest to oczywiste dla i 0, załóżmy więc, że dla ustalonego i ą 0 zachodzi G piq Ă G i. Pokażemy, że G pi`1q Ă G i`1. Istotnie: G pi`1q rg piq, G piq s Ă rg i, G i s. Ponieważ G i`1 Ÿ G i oraz G i {G i`1 jest cykliczna, a więc abelowa, więc wobec odpowiedniego wniosku: rg i, G i s Ă G i`1.

18 Definicja Niech pg, q będzie grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżeli G p k dla pewnej liczby pierwszej p oraz k P N.

19 Twierdzenie Niech pg, q będzie p-grupą. Wówczas G jest rozwiązalna.

20 Twierdzenie Niech pg, q będzie grupą, niech G pq, gdzie p i q są liczbami pierwszymi. Wówczas G jest grupą rozwiązalną.

21 Przykłady: 2. Rozważmy grupę Dp4q. Mamy Dp4q 8 2 3, a więc Dp4q jest rozwiązalna jako p-grupa. 3. Rozważmy grupę Sp3q. Mamy Sp3q 6 2 3, a więc Sp3q jest rozwiązalna jako grupa rzędu pq.

22 Twierdzenie (Burnside a) 1 Niech pg, q będzie grupą, niech G p a q b, gdzie p i q są liczbami pierwszymi oraz a, b P N. Wówczas G jest grupą rozwiązalną. 1 Twierdzenie pochodzi z 1911 roku, zwiemy je też p a q b -theorem.

23 Twierdzenie (Feit a-thompsona) 2 Niech pg, q będzie grupą, niech G 2k ` 1, gdzie k P N. Wówczas G jest grupą rozwiązalną. 2 Twierdzenie pochodzi z 1963 roku, jego oryginalny dowód zajmuje 254 strony: W. Feit, J. Thompson, Solvability of groups of odd order, Pacific J. of Math. 13 (1963),

24 Iliczyny (sumy) proste wewnętrzne i zewnętrzne.

25 Uwaga Niech pg, q będzie grupą, H 1, H 2 ă G. Następujące warunki są równoważne: 1. G H 1 H 2 oraz H 1 X H 2 t1u, 2. każdy element g P G ma jednoznaczne przedstawienie w postaci g h 1 h 2, gdzie h 1 P H 1 oraz h 2 P H 2.

26 Dowód. p1q ñ p2q: Załóżmy, że G H 1 H 2 oraz H 1 X H 2 t1u. Załóżmy, że dla pewnych h 1, h 1 1 P H 1 oraz h 2, h 1 2 P H 2 zachodzi h 1 h 2 h 1 1 h1 2. Wówczas ph 1 1 q 1 h 1 h 1 2 h 1 2 P H 1 X H 2 t1u, więc h 1 h 1 1 oraz h 2 h 1 2. p2q ñ p1q: Załóżmy, że każdy element g P G ma jednoznaczne przedstawienie postaci g h 1 h 2, gdzie h 1 P H 1, h 2 P H 2. Wówczas oczywiście G H 1 H 2. Załóżmy, że g P H 1 X H 2. Wówczas g g 1 1 g. Zatem g 1.

27 Oznaczenie: Gdy pg, `q zapisana jest w notacji addytywnej, piszemy H 1 ` H 2 zamiast H 1 H 2.

28 Definicja Niech pg, q będzie grupą, H 1, H 2 ă G. 1. G jest słabym iloczynem (sumą) wewnętrznym podgrup H 1 i H 2, gdy spełnia jeden (a więc wszystkie) warunki Uwagi G jest słabym iloczynem (sumą) półprostym wewnętrznym podgrup H 1 i H 2, gdy jest słabym iloczynem (sumą) wewnętrznym oraz H 1 Ÿ G lub H 2 Ÿ G. 3. G jest słabym iloczynem (sumą) prostym wewnętrznym podgrup H 1 i H 2, gdy jest słabym iloczynem (sumą) wewnętrznym oraz H 1 Ÿ G i H 2 Ÿ G.

29 Przykłady: 1. Rozważmy grupę Dpnq. Niech Obrpnq oznacza grupę obrotów, a Odbpnq dowolną dwuelementową grupę generowaną przez odbicie. Wówczas Dpnq Obrpnq Odbpnq jest słabym iloczynem półprostym wewnętrznym, ale nie jest słabym iloczynem prostym wewnętrznym. 2. Rozważny grupę abelową pa, q. Każda podgrupa grupy abelowej jest normalna, a więc A jest słabym iloczynem wewnętrznym ô A jest słabym iloczynem półprostym wewnętrznym ô A jest słabym iloczynem prostym wewnętrznym.

30 Uwaga Niech pg, q będzie grupą, H 1, H 2 ă G. Następujące warunki są równoważne: 1. odwzorowanie φ : H 1 ˆ H 2 Ñ G dane wzorem φph 1, h 2 q h 1 h 2 jest izomorfizmem; 2. G H 1 H 2, H 1 X H 2 t1u 1 P H 2 P H 2 ph 1 h 2 h 2 h 1 q; 3. G jest słabym iloczynem prostym wewnętrznym podgrup H 1 i H 2.

31 Dowód: p1q ñ p2q : Ponieważ φ jest izomorfizmem, więc jest surjekcją, a zatem G H 1 H 2. Ustalmy h 1 P H 1, h 2 P H 2. Wówczas: h 1 h 2 φph 1, h 2 q ppφph 1, h 2 qq 1 q 1 pφph 1 1, h 1 2 qq 1 ph 1 1 h 1 2 q 1 Przypuśćmy, że istnieje 1 g P H 1 X H 2. Wówczas φp1, gq g φpg, 1q, wbrew założeniu, że φ jest izomorfizmem, a więc injekcją.

32 p2q ñ p3q : Wystarczy udowodnić, że H 1 Ÿ G i H 2 Ÿ G. Ustalmy g P G i niech g h 1 h 2 dla h 1 P H 1, h 2 P H 2. Ustalmy h P H 1. Wówczas: ghg 1 h 1 h 2 hph 1 h q 1 2 h 1 h hh h 1 1 h 1 h h hh 1 1 h hh P H 1, a zatem gh 1 g 1 Ă H 1. Podobnie pokazujemy, że H 2 Ÿ G.

33 p3q ñ p1q : Ponieważ G jest słabym iloczynem prostym wewnętrznym, a więc w szczególności słabym iloczynem wewnętrznym, więc odwzorowanie φ jest dobrze określoną bijekcją. Ustalmy ph 1, h 2 q, ph 1 1, h1 2 q P H 1 ˆ H 2. Wówczas: φpph 1, h 2 q ph 1 1, h 1 2qq φph 1 h 1 1, h 2 h 1 2q h 1 h 1 1h 2 h 1 2 h 1 h 2 h 1 1h 1 2 φph 1, h 2 qφph 1 1, h 1 2q, a więc φ jest homomorfizmem.

34 Definicja Niech H 1, H 2 będą grupami. Grupę H 1 ˆ H 2 nazywamy iloczynem (sumą) prostym zewnętrznym grup H 1 i H 2.

35 Oznaczenie: Gdy H 1 i H 2 zapisane są w notacji addytywnej, piszemy H 1 H 2 zamiast H 1 ˆ H 2. Ze względu na izomorfizm z Uwagi 0.3, będziemy na ogół mówić po prostu o iloczynach (sumach) prostych, bez rozróżniania między słabymi iloczynami (sumami) prostymi wewnętrznymi a iloczynami (sumami) prostymi zewnętrznymi. Opisane konstrukcje w naturalny sposób przenoszą się na dowolną skończoną liczbę grup. W ten sposób mówimy o iloczynach (sumach) prostych grup H 1,..., H n, które oznaczać będziemy przez H 1 ˆ... ˆ H n, lub H 1... H n w notacji addytywnej. Konstrukcje te przenoszą się także na nieskończoną liczbę grup, nie będziemy się jednak nimi zajmować

36 Torsyjne grupy abelowe; grupy abelowe skończone.

37 Definicja Grupę nazywamy torsyjną, jeżeli każdy element ma rząd skończony. Jeżeli rzędy elementów są wspólnie ograniczone, to ograniczenie to nazywamy wykładnikiem grupy. Grupę nazywamy beztorsyjną, gdy każdy element ma rząd nieskończony.

38 Definicja Niech pa, `q będzie grupą abelową. Zbiór wszystkich elementów grupy A o skończonym rzędzie nazywamy częścią torsyjną grupy i oznaczamy T paq.

39 Uwaga Niech pa, `q będzie grupą abelową. Wówczas: 1. T paq ă A, 2. T pt paqq T paq, 3. jeżeli B ă A, to T pbq B X T paq, 4. jeżeli A B, to T paq T pbq, 5. T pa Bq T paq T pbq.

40 Definicja Niech pa, `q będzie grupą abelową, niech p będzie liczbą pierwszą. Zbiór wszystkich elementów grupy A, których rząd jest potęgą liczby p nazywamy p-komponentą (lub p-składową) grupy A i oznaczamy T p paq.

41 Uwaga Niech pa, `q będzie grupą abelową. Wówczas: 1. T p paq ă T paq ă A, 2. T p pt p paqq T p paq T p pt paqq, 3. jeżeli B ă A, to T p pbq B X T p paq, 4. jeżeli A B, to T p paq T p pbq, 5. T p pa Bq T p paq T p pbq, 6. jeżeli A jest skończenie generowaną torsyjną grupą abelową, to T p paq t0u dla prawie wszystkich liczb pierwszych p, 7. T p pa{t p paqq t0u

42 Twierdzenie Niech pa, `q będzie grupą abelową torsyjną, niech p 1,..., p n będą wszystkimi liczbami pierwszymi, dla których T pi paq t0u, i P t1,..., nu. Wówczas: 1. A jest sumą prostą wszystkich swoich p-komponent: A T p1 paq... T pn paq, 2. jeżeli A jest sumą prostą pewnych p-grup Bppq, p P tq 1,..., q m u, A Bpq 1 q... Bpq m q, to tp 1,..., p n u tq 1,..., q m u oraz: T pi paq Bpp i q, dla i P t1,..., nu.

43 Dowód: 1. Pokażemy, że A T p1 `... ` T pn paq. Ustalmy a P A. Niech rpaq n p s ps k k, dla pewnych liczb pierwszych p 1,..., p k, k ě n. Niech n i n, i P t1,..., ku. p s i i Wówczas NW Dpn 1,..., n k q 1, więc istnieją x 1,..., x k P Z takie, że Zatem: n 1 x 1 `... ` n k x k 1. n 1 x 1 a `... ` n k x k a a. Ponadto dla i P t1,..., ku, p s i i n ix i a p s i i a więc rpn i x i aq p k i i, więc n ix i a P T pi paq. n p s i i x i a x i na 0,

44 Pokażemy, że A T p1... T pn paq. Przypuśćmy, że dla pewnego a P A, po ewentualnej zmianie numeracji: a a 1 `... ` a n b 1 `... ` b n, a i, b i P T pi paq, i P t1,..., nu, przy czym a 1 b 1. Wówczas: oraz a 1 b 1 P T p1 paq. Z drugiej strony a 1 b 1 pb 2 a 2 q `... ` pb n a n q rppb 2 a 2 q `... ` pb n a n qq NW W prpb 2 a 2 q, rpb n a n qq dla pewnych l 2,..., l n P N. NW W pp l 2 2,..., p ln n q, Zatem rpa 1 b 1 q 1, czyli a 1 b 1 0, a więc a 1 b 1, co doprowadza nas do sprzeczności.

45 2. Ustalmy i P t1,..., nu. Zauważmy, że Wobec tego: T pi pbpqqq # Bpp i q, jeżeli p i q, t0u, jeżeli p i q. T pi paq T pi pbpq 1 q... Bpq m qq T pi pbpq 1 qq... T pi pbpq m qq Bpp i q.

46 Wniosek (II twierdzenie strukturalne) Niech pa, `q będzie grupą abelową skończoną, niech A p k pkn n, gdzie p 1,..., p n są parami różnymi liczbami pierwszymi. Wówczas grupa A ma jednoznaczne przedstawienie w postaci sumy prostej p-grup: A T p1 paq... T pn paq.

47 Oznaczenie: Niech pa, `q będzie grupą abelową, niech p P P będzie liczbą pierwszą. Oznaczamy: pa tpa : a P Au.

48 Uwaga Niech pa, `q będzie grupą abelową, niech p P P będzie liczbą pierwszą. Wówczas: 1. pa ă A, 2. jeżeli A jest skończoną grupą cykliczną oraz A p k, to pa jest grupą cykliczną i pa p k 1, 3. jeżeli B ă A, to pb B X pa, 4. jeżeli A B, to pa pb, 5. ppa ˆ Bq pa ˆ pb, 6. odwzorowanie φ : A Ñ pa dane wzorem φpaq pa jest surjektywnym homomorfizmem, 7. jeżeli A jest grupą abelową skończoną, to: gdy p A, to pa ă A, gdy p A, to pa A.

49 Twierdzenie Niech pa, `q będzie skończoną p-grupą abelową. Wówczas grupa A jest sumą prostą p-grup cyklicznych.

50 Dowód: Niech A p n. Dowód prowadzimy indukcyjnie względem n. Jeżeli n 1, to A p, a zatem A Z p i A nie ma właściwych podgrup, a sama jest grupą cykliczną. Jeżeli n ą 1, to załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb l P N, l ă n. Wobec ostatniej części Uwagi 0.6, pa ă A, niech więc pa p l, dla l ă n. Wobec założenia indukcyjnego pa xa 1 y... xa r y, dla pewnych elementów a 1,..., a r P pa o rzędach będących potęgami liczby p. Niech x 1,..., x r P A będą takimi elementami, że a 1 px 1,..., a r px r.

51 Pokażemy, że xx 1 y `... ` xx r y jest grupą, która jest sumą prostą grup xx 1 y,..., xx r y. Sprawdzenie, że jest to istotnie grupa, pozostawiamy jako ćwiczenie, a dla udowodnienia, że jest to suma prosta, przypuśćmy, że dla pewnych k 1,..., k r P N. Wówczas k 1 x 1 k 2 x 2 `... ` k r x r, k 1 px 1 k 2 px 2 `... ` k r px r, i ponieważ xa 1 y... xa r y jest sumą prostą, więc k 1 k 2... k r 0 i tym samym xx 1 y X pxx 2 y `... ` xx r yq t0u. Podobnie sprawdzamy, że xx i y X pxx 1 y `... ` xx i 1 y ` xx i`1 y `... ` xx r yq t0u, dla i P t2,..., ru.

52 Niech zatem H xx 1 y... xx r y. Rozważmy rodzinę B tb ă A : B X H t0uu. Jako rodzina podgrup grupy skończonej B jest skończona, w szczególności zawiera element maksymalny. Oznaczmy go przez B. Zauważmy, że B ` H jest grupą oraz wobec określenia B jest to suma prosta grup B i H.

53 Pokażemy, że A B H. Inkluzja pąq jest oczywista, pozostaje wykazać inkluzję păq. Przypuśćmy, że istnieje a P A taki, że a R B ` H. Wówczas pa ph dla pewnego h P H. Ponadto c a h R B ` H oraz pc pa pb 0. Wobec maksymalności B, xtcu Y By X H t0u, a więc istnieją h 1 P H oraz b 1 P B takie, że 0 h 1 kc ` b 1, oraz 0 ă k ă p. Ponieważ NW Dpk, pq 1, więc dla pewnych s, t P Z: sk ` tp 1, a więc c psk ` tpqc skc sh 1 sb 1 P H ` B, co daje sprzeczność.

54 Dla zakończenia dowodu zauważmy, że B ă A, więc B jest sumą prostą p-grup cyklicznych. Wobec tego B i H są sumami prostymi grup cyklicznych oraz A B H.

55 Przykłady: 3. Rozważmy skończoną p-grupę abelową Z 2 ˆ Z 2. Wówczas: Z 2 ˆ Z 2 xp1, 1qy xp1, 0qy xp1, 0qy xp0, 1qy.

56 Twierdzenie Niech pa, `q będzie skończoną p-grupą abelową. Niech A A 1... A r oraz A B 1... B s będą dwoma różnymi rozkładami na sumy proste grup cyklicznych. Przyjmijmy, że A 1 ď A 2 ď... ď A r oraz B 1 ď B 2 ď... ď B s. Wówczas r s oraz A i B i dla i P t1,..., ru.

57 Dowód: Niech A i p α i, B j p β j, i P t1,..., ru, j P t1,..., su. Wówczas A p α1... p αr p β1... p βs, więc w szczególności α 1 `... ` α r β 1 `... ` β s. Dowód prowadzimy indukcyjnie względem α 1 `... ` α r. Jeżeli α 1 `... ` α r 1, to za bardzo nie ma czego dowodzić. Załóżmy więc, źe α 1 `... ` α r ą 1 i że twierdzenie jest prawdziwe dla p-grup A rzędów mniejszych od p α 1`...`α r. Niech 0 ď k ď r oraz 0 ď l ď s będą takimi liczbami, że A 1... A k p oraz B 1... B l p.

58 Wówczas A p k`α k`1`...`α r p l`β l`1`...`β s. Ponadto: pa pa 1... pa r pa k`1... pa r oraz pa pb 1... pb s pb l`1... pb s, a zatem pa k`1... pa r pb l`1... pb s, przy czym pa i i pb j, i P tk ` 1,..., ru, j P tl ` 1,..., su są grupami cyklicznymi, których rzędy spełniają zalżności: pa i p α i 1, i P tk`1,..., ru oraz pb j p β j 1, j P tl`1,..., su. Ponadto pa ă A i zachodzi pa k`1 ď... ď pa r oraz pb l`1 ď... ď pb s.

59 Wobec założenia indukcyjnego r k s l oraz pa k`1 pb l`1,..., pa r pb s, skąd p α k`1 1 p β l`1 1,..., p αr 1 p βs 1, więc i p α k`1 p β l`1,..., p αr p βs, skąd α k`1 β l`1,..., α r β s. Tym samym z równości k ` α k`1 `... ` α r l ` β l`1 `... ` β s wynika k l, czyli A i B i dla i P t1,..., ru.

60 Wniosek (I twierdzenie strukturalne) Niech pa, `q będzie grupą abelową skończoną. Wówczas istnieje przedstawienie A w postaci sumy prostej p-grup cyklicznych A A A 1k1 A A 2k2... A s1... A sks, przy czym A 11 p t 11 1,..., A 1k 1 p t 1k 1 1, A 21 p t 21 2,..., A 2k 2 p t 2k 2 2,..., A s1 p t s1 s,..., A sks p t sks s, gdzie p 1,..., p s są parami różnymi liczbami pierwszymi, wykładniki dobrane są tak, aby t 11 ď... ď t 1k1, t 21 ď... ď t 2k2,..., t s1 ď... ď t sks oraz ciąg liczb t 11,..., t 1k1, t 21,..., t 2k2,..., t s1,..., t sks jest jednoznacznie wyznaczony przez grupę A. W szczególności: A p t 11`...`t 1k1 1 p t 21`...`t 2k p t s1`...`t sks s.

61 Ciąg pp t 11 1,..., pt 1k 1 1, p t 21 2,..., pt 2k 2 2,..., p t s1 s,..., p t sks s q występujący w I twierdzeniu strukturalnym nazywamy typem skończonej grupy abelowej A, a jego elementy niezmiennikami.

62 Przykłady: 4. Rozważmy skończoną grupę abelową Z 60. Wówczas, skoro , to Z 60 T 2 pz 60 q T 3 pz 60 q T 5 pz 60 q. T 2 pz 60 q, T 3 pz 60 q, T 5 pz 60 q, jako podgrupy grupy cyklicznej o rzędach, odpowiednio, 4, 3 i 5 są cykliczne, a więc T 2 pz 60 q Z 4, T 3 pz 60 q Z 3, T 5 pz 60 q Z 5. Tym samym i Z 60 ma typ p4, 3, 5q. Z 60 Z 4 Z 3 Z 5