Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
|
|
- Kacper Kwiecień
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
2 Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
3 Dowód. Niech f 1 będzie czynnikiem nierozkładalnym wielomianu f. Wówczas pf 1 q Ÿ F rxs jest ideałem maksymalnym w rodzinie ideałów głównych F rxs, a więc ideałem maksymalnym, ponieważ F rxs jest pierścieniem ideałów głównych. Wobec tego pierścień ilorazowy F rxs{pf 1 q jest ciałem. Tym samym złożenie homomorfizmów kanonicznych u : F Ñ F rxs{pf 1 q dane wzorem upaq a ` pf 1 q jest zanurzeniem, jako nietrywialny homomorfizm ciał. Tym samym ciało L F rxs{pf 1 q jest rozszerzeniem ciała F. Powiedzmy, że f 1 pxq a 0 ` a 1 x `... ` a n x n i niech α x ` pf 1 q P L. Wówczas f 1 pαq a 0`a 1 px`pf 1 qq`...`a n px`pf 1 qq n f 1`pf 1 q 0 L.
4 Definicja Niech F będzie ciałem, niech f 1 P F rxs. Rozszerzenie L ciała F nazywamy rozszerzeniem o pierwiastek a wielomianu f gdy L F paq 1. 1 Przypomnijmy, że symbolem F paq oznaczamy najmniejsze ciało zawierające ciało F i element a.
5 Przykłady: 1. Rozważmy ciało R i wielomian x 2 ` 1 P Rrxs. Wówczas ciało C jest rozszerzeniem ciała R o pierwiastek i wielomianu x 2 ` 1, C Rpiq.
6 Twierdzenie Niech F i L będą ciałami, niech φ : F Ñ L będzie izomorfizmem. Niech φ : F rxs Ñ Lrxs będzie izomorfizmem indukowanym przez φ. Niech f P F rxs będzie wielomianem nierozkładalnym, niech α będzie pierwiastkiem f, a β pierwiastkiem φpfq. Wówczas φpfq jest wielomianem nierozkładalnym oraz istnieje izomorfizm ψ : F pαq Ñ Lpβq taki, że ψ F φ oraz ψpαq β.
7 Dowód: Bez trudu sprawdzamy, że φpf q jest wielomianem nierozkładalnym. Zdefiniujmy odwzorowanie φ 1 : F rxs Ñ F pαq wzorem φ 1 pgq gpαq. Jak łatwo zauważyć, jest to homomorfizm. Ponadto pfq Ă ker φ 1 i ponieważ f jest nierozkładalny, więc pfq jest maksymalny i stąd pfq ker φ 1. Wobec twierdzenia o izomorfizmie F rxs{pfq Imφ 1. Ponadto F Ă Imφ 1 oraz α P Imφ 1, więc Imφ 1 F pαq. W szczególności udowodniliśmy, że istnieje izomorfizm ψ 1 : F rxs{pfq Ñ F pαq.
8 Podobnie pokazujemy, że istnieje izomorfizm ψ 2 : Lrxs{pφpfqq Ñ Lpβq, Zdefiniujmy ponadto odwzorowanie ψ 0 : F rxs{pfq Ñ Lrxs{pφpfqq wzorem ψ 0 pg ` pfqq φpgq ` pφpfqq. Również bezpośrednio sprawdzamy, że ψ 0 jest izomorfizmem. Otrzymujemy następujący diagram: F rxs{pfq ψ 0 Lrxs{pφpf qq ψ 1 ψ 2 F pαq Lpβq ψ w którym odwzorowanie ψ : F pαq Ñ Lpβq dane jest wzorem ψ ψ 2 ψ 0 ψ 1 1. Wówczas ψ jest izomorfizmem, ψ F φ oraz ψpαq β.
9 Wniosek Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs i niech a będzie pierwiastkiem wielomianu f. Dowolne dwa rozszerzenia ciała F o pierwiastek a wielomianu f są izomorficzne.
10 Twierdzenie Niech F będzie wielomianem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f rozkłada się na czynniki liniowe.
11 Dowód. Niech n deg f. Dowód prowadzimy przez indukcję względem n. Gdy n 1 nie ma czego dowodzić. Ustalmy zatem n ą 1 i załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich wielomianów stopnia k, gdzie k ă n. Wobec twierdzenia Kroneckera istnieje rozszerzenie M ciała F, w którym f ma pierwiastek α. Wówczas fpxq px αqf 1 pxq, dla pewnego f 1 P Mrxs. Ponadto deg f 1 ă n, więc istnieje rozszerzenie L ciała M, w którym f 1 rozkłada się na czynniki liniowe. Zatem F Ă M Ă L i f rozkłada się w L na czynniki liniowe.
12 Definicja Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Rozszerzenie L ciała F nazywamy ciałem rozkładu wielomianu f, gdy L F pa 1,..., a n q oraz fpxq apx a 1 qpx a 2 q... px a n q jest rozkładem wielomianu f na czynniki liniowe.
13 Przykłady: 2. Rozważmy ciało Q i wielomian x 2 5 P Qrxs. Wówczas ciało R jest ciałem, w którym x 2 5 px?5qpx `?5q rozkłada się na czynniki liniowe oraz Qp? 5,?5q Qp? 5q jest ciałem rozkładu wielomianu x 2 5.
14 Twierdzenie Niech F i L będą ciałami, niech φ : F Ñ L będzie izomorfizmem. Niech φ : F rxs Ñ Lrxs będzie izomorfizmem indukowanym przez φ. Niech f P F rxs i niech M będzie ciałem rozkładu wielomianu f, a N ciałem rozkładu wielomianu φpf q. Wówczas istnieje izomorfizm ψ : M Ñ N taki, że ψ F φ.
15 Dowód: Niech M F pa 1,..., a n q, gdzie fpxq apx a 1 q... px a n q. Niech N Lpb 1,..., b m q, gdzie φpfq bpx b 1 q... px b m q. Zmieniając ewentualnie numerację pierwiastków a 1,..., a n, załóżmy, że a 1,..., a k R F oraz a k`1,..., a n P F. Dowód prowadzimy przez indukcję względem k.
16 Jeżeli k 0, to a 1,..., a n P F, a więc b 1,..., b m P L. Wobec tego F M, L N i skoro F L, to M N i izomorfizm ustala φ : F Ñ L.
17 Ustalmy teraz k ą 0 i załóżmy prawdziwość twierdzenia dla liczb mniejszych od k. Niech f 1 P F rxs będzie czynnikiem nierozkładalnym f i niech f 1 pa k q 0. Wówczas f f 1 g, dla pewnego g P F rxs, więc φpfq φpf 1 qφpgq. Wobec Twierdzenia 0.2 wielomian φpf 1 q jest nierozkładalny w Lrxs. Ponieważ Nrxs jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem, więc każdy czynnik nierozkładalny wielomianu φpf q w N rxs jest stowarzyszony z pewnym x b i. Zatem φpfq ma pierwiastek b i dla pewnego i P t1,..., mu. Wobec Twierdzenia 0.2 istnieje izomorfizm σ : F pa k q Ñ Lpb i q taki, że σ F φ oraz σpa k q b i. Wobec założenia indukcyjnego istnieje izomorfizm ψ : M Ñ N taki, że ψ F pak q σ. W szczególności ψ F φ.
18 Wniosek Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas dowolne dwa ciała rozkładu wielomianu f są izomorficzne.
19 Ciało algebraicznie domknięte.
20 Definicja Niech F będzie ciałem. Ciało F nazywamy algebraicznie domkniętym, gdy każdy wielomian nierozkładalny f P F rxs jest liniowy.
21 Twierdzenie Niech F będzie ciałem. Następujące warunki są równoważne: 1. F jest algebraicznie domknięte; 2. każdy wielomian f P F rxs stopnia dodatniego ma w F co najmniej jeden pierwiastek.
22 Twierdzenie Niech F będzie ciałem. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F, które jest ciałem algebraicznie domkniętym.
23 Dowód: Niech A tf P F rxs : deg f ą 0u będzie zbiorem wszystkich wielomianów dodatnich stopni o współczynnikach z ciała F, niech R F rtx f u fpa s będzie pierścieniem wielomianów o współczynnikach z ciała F i zmiennych indeksowanych wielomianami ze zbioru A, niech ponadto I xtfpx f q : fpxq P Auy będzie ideałem pierścienia R generowanym przez wszystkie wielomiany ze zbioru A, w których, dla danego wielomianu f P A, zmienną x zastąpiono zmienną x f.
24 Pokażemy najpierw, że I Ĺ R. Istotnie, przypuśćmy, że 1 P I. Wówczas istnieje n P N, wielomiany f 1,..., f n P A oraz wielomiany g 1,..., g n P R takie, że 1 g 1 f 1 px f1 q `... ` g n f n px fn q. Niech L będzie ciałem rozkładu wielomianu f 1... f n P F rxs. Wówczas każdy wielomian f i, i P t1,..., nu, ma pierwiastek a i P L, i P t1,..., nu. Wobec tego w ciele L zachodzi równość 1 g 1 f 1 pa 1 q `... ` g n f n pa n q 0, co jest sprzecznością.
25 Ideał I możemy więc rozszerzyć do ideału maksymalnego m. Niech F 1 R{m. Wówczas F 1 jest ciałem i rozpatrując złożenie kanonicznych homomorfizmów otrzymujemy homomorfizm u : F Ñ F 1 dany wzorem upaq a ` m, który tym samym jest zanurzeniem, a w rezultacie F 1 jest rozszerzeniem ciała F. Poza tym dowolny wielomian f P F rxs stopnia niezerowego ma w F 1 pierwiastek x f ` m.
26 Postępując indukcyjnie konstruujemy ciąg rozszerzeń ciał F Ă F 1 Ă F 2 Ă... o tej własności, że każdy wielomian f P F i rxs ma pierwiastek w ciele F i`1. Niech F 8 Ť 8 i 1 F i. F 8 jest ciałem jako suma łańcucha ciał. Jest też ciałem algebraicznie domkniętym, gdyż jeśli f P F 8 rxs jest wielomianem dodatniego stopnia, to wówczas f P F i rxs dla pewnego i P N. Wobec tego f ma pierwiastek w ciele F i, ale F i Ă F 8.
27 Najsłynniejszym ciałem algebraicznie domkniętym jest ciało liczb zespolonych. Twierdzenie orzekające o tym, że C jest ciałem algebraicznie domkniętym nosi nazwę zasadniczego twierdzenia algebry. Po raz pierwszy zostało ono sformułowane przez Girarda w 1629 roku, a pełny dowód jako pierwszy podał Gauss w Zasadnicze twierdzenie algebry jest zasadnicze tylko z historycznego punktu widzenia i obecnie przyjęta nazwa wydaje się dziś nieco przesadzona, pochodzi jednak z czasów, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków. Istnieje całe mnóstwo dowodów zasadniczego twierdzenia my podamy jeden z nich, korzystający z twierdzenia Weierstrassa. 2 Dowód zasadniczego twierdzenia algebry opiera się na dwóch lematach: 2 Funkcja ciągła na zbiorze zwartym o wartościach rzeczywistych przyjmuje wartości największą i najmniejszą.
28 Lemat Niech P pzq a n z n `... ` a 1 z ` a 0 P Crzs, a n 1, niech p : C Ñ R będzie dana wzorem ppzq P pzq. Wówczas p osiąga kres dolny na zbiorze C.
29 Dowód. Wobec nierówności trójkąta dla modułu: ppzq P pzq a n z n `... ` a 1 z ` a 0 z n a n ` an 1 z ě ě z n p1 a n 1 z `... ` a0 z n... a 0 z n q z n p1 n maxt a i : i P t0,..., n 1uu q, R dla z ě R ě 1. Niech R 2p1 ` maxt a i : i P t0,..., n 1uuq. Wówczas ppzq ě 1 2 Rn ą a 0 pp0q dla z ě R. Zatem wewnątrz koła tz : z ď Ru istnieje punkt, w którym wartość p jest mniejsza od wartości w dowolnym punkcie poza kołem tz : z ď Ru. Wobec tego inftppzq : z P Cu inftppzq : z ď Ru. Ponieważ koło tz P C : z ď 1u jest zbiorem zwartym, więc wobec twierdzenia Weierstrassa funckcja p osiąga na nim kres dolny.
30 Lemat Niech P pzq a n z n `... ` a 1 z ` a 0 P Crzs, a n 1, niech p : C Ñ R będzie dana wzorem ppzq P pzq. Niech ponadto ppz 0 q inftppzq : z P Cu. Wówczas P pz 0 q 0.
31 Dowód: Przypuśćmy, że P pz 0 q 0, P pz 0 q m, m P R`. Niech ρ P p0, mint1, muq. Niech z P BKpz 0, ρq (w ten sposób oznaczamy brzeg koła o środku z 0 i promieniu ρ). Wówczas z z 0 ` ρe iθ. Mamy: P pz 0 ` ρe iθ q nÿ a k pz 0 ` ρe iθ q k k 0 P pz 0 q ` w 1 pz 0 qρe iθ `... ` w n pz 0 qρ n e inθ, gdzie w 1 pz 0 q,..., w n pz 0 q są pewnymi współczynnikami.
32 Pokażemy, że dla pewnej liczby j P t1,..., nu, w j pz 0 q 0. Istotnie, przypuśćmy że w 1 pz 0 q... w n pz 0 q 0. Wówczas P jest stały na BKpz 0, ρq, a więc wielomian Qpzq P pzq P pz 0 q stopnia dodatniego ma nieskończenie wiele pierwiastków, co jest sprzecznością.
33 Niech zatem k mintj P t1,..., nu : w j pz 0 q 0u. Mamy więc: P pz 0 ` ρe iθ q ď P pz 0 q ` w k pz 0 qρ k e ikθ ` p1 ` n maxt w j pz 0 q : j P t1,..., nuuqρ k`1. Połóżmy θ π Argpw kpz 0 qq k. Wówczas: P pz 0 ` ρe i π Argpw k pz 0 qq k q ď P pz 0 q w k pz 0 q ρ k Niech teraz ρ ă ` p1 ` n maxt w j pz 0 q : j P t1,..., nuuqρ k`1. w k pz 0 q 1`n maxt w j pz 0 q :jpt1,...,nuu. Wówczas: P pz 0 q w k pz 0 q ρ k ` ă p1 ` n maxt w j pz 0 q : j P t1,..., nuuqρ k`1 P pz 0 q P pz 0 q m inftppzq : z P Cu, więc ppz 0 ` ρe i π Argpw k pz 0 qq k q ă inftppzq : z P Cu - sprzeczność.
34 Oczywiście z Lematu 0.2 wynika natychmiast zasadnicze twierdzenie algebry.
Baza i stopień rozszerzenia.
Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar
Bardziej szczegółowoPodciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia teorii podzielności.
Podstawowe pojęcia teorii podzielności. Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem 1 całkowitym. Mówimy, że element a dzieli b, a, b P R, (lub że a jest dzielnikiem b, lub że b jest wielokrotnością a)
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowociałem F i oznaczamy [L : F ].
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoWielomiany wielu zmiennych.
Wielomiany wielu zmiennych. Definicja i uwaga: Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem zmiennych x 1,..., x n o współczynnikach z pierścienia R będziemy nazywali wyrażenie postaci ÿ a i1...i
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoPojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoDefinicja. Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G,
Grupy rozwiązalne. Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G, G piq rg pi 1q, G pi 1q s, dla i P N nazywamy górnym ciągiem centralnym grupy
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoCO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowo... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoAlgebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoWielomiany i rozszerzenia ciał
Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoAlgebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.
Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a +
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowoO ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych
Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych, Markus Schmidmeier, FAU Maj, 2015 Oznaczenia K ciało algebraicznie domknięte α, β, γ partycje, tzn. nierosnące ciągi liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoWniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu.
11. Wykład 11: Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Ideały pierwsze i maksymalne. 11.1. Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Definicja i Uwaga 11.1. Niech R będzie pierścieniem,
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoDefinicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoV. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach
V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowo3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =
Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoTeoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I
Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I Bazyli Klockiewicz 22 czerwca 2014 1 Rugownik pary wielomianów oraz wyróżnik wielomianu. Poniższe stwierdzenia opisują
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowo