Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
|
|
- Katarzyna Sowińska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków 4 14 Pierścienie Euklidesa 5 15 Ideały w pierścieniach Pierścienie ilorazowe pierścieni wielomianów 12 1 Pierścienie i ciała 11 Definicja i przykłady Definicja 11 Niech P Trójke (P, +, ) nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione sa naste ce aksjomaty: P1 + : P P P oraz : P P P sa działaniami dwuargumentowymi określonymi w zbiorze P, tzn (a, b P ), a + b P i a b P P2 (P, +) jest grupa przemienna (tzw grupa addytywna pierścienia) P3 (a, b, c P ), a (b c) = (a b) c (operacja jest ła czna) P4 (a, b, c P ), a (b + c) = (a b) + (a c) oraz (b + c) a = (b a) + (c a) (obustronna rozdzielność wzgle dem +) Element neutralny w grupie (P, +) nazywamy zerem pierścienia i ozn 0, natomiast element odwrotny do elementu do a P ozn a i nazywamy elementem przeciwnym do elementu a Pierścień, którego jedynym elementem jest 0, nazywamy pierścieniem trywialnym Definicja 12 Pierścień (P, +, ) nazywamy przemiennym, jeśli (a, b P ), a b = b a Jeżeli istnieje w (P, +, ) element neutralny działania mnożenia, to oznaczamy go 1 i mówimy, że pierścień (P, +, ) jest pierścieniem z jedynka Definicja 13 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem z jedynka Element b P nazywamy odwrotnym do elemntu a P i ozn a 1, jeżeli ab = ba = 1 Element a nazywamy wtedy elementem odwracalnym Przykład 14 Pierścienie liczbowe Pierścieniami (przemiennymi) sa naste ce zbiory liczbowe z działaniami dodawania i mnożenia: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) oraz (C, +, ) Przykład 15 Pierścienie reszt modulo n Niech n N Zbiór Z n wraz z działaniami + n i n tworzy pierścień przemienny (Z n, + n, n) 1
2 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 2 Przykład 16 Pierścienie macierzy Niech n N i (P, +, ) be dzie pierścieniem przemiennym Zbiór M n n (P ) wszystkich macierzy kwadratowych, stopnia n o elemetach a ij P wraz z operacjami dodawania i mnożenia macierzy tworzy pierścień (M n n (P ), +, ) Przykład 17 Pierścienie wielomianów Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem przemiennym Wielomianem zmiennej x nad pierścieniem (P, +, ) nazywamy wyrażenie p(x) postaci: p(x) := a 0 + a 1 x + + a n x n, gdzie a 0, a 1,, a n P, n N Zbiór P [x] = {a 0 + a 1 x + + a n x n a i P, n N} wraz z działaniami dodawania i możenia wielomianów p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n i q(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m zdefiniowanymi naste co: p(x) + q(x) := max(m,n) k=0 i=0 (a i + b i )x i, m+n p(x) q(x) := c k x k, gdzie c k = a i b j i+j=k tworzy pierścień (P [x], +, ) wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia (P, +, ) Przykład 18 Pierścienie funkcji Niech X i (P, +, ) be dzie pierścieniem Zbiór P X := {f : X P } wszystkich funkcji określonych na X o wartościach w P z działaniami: dla f, g P X (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f g)(x) := f(x) g(x) tworzy pierścień (P X, +, ) Elementem neutralnym dodawania jest funkcja stała f(x) = 0, dla x P, zaś elelmentem przeciwnym dla f P X jest funkcja ( f)(x) := f(x) Jeżeli pierścień (P, +, ) ma jedynke 1, to funkcja f(x) = 1, dla x P, jest jedynka w pierścieniu (P X, +, ) Przykład 19 Pierścienie endomorfizmów grup przemiennych Niech (G, +) be dzie grupa przemienna a End(G, +) zbiorem endomorfizmów grupy (G, +) Zbiór End(G, +) wraz z operacjami dodawania i składania funkcji tworzy pierścień (End(G, +), +, ) endomorfizmów grupy Jednościa tego pierścienia jest funkcja id G Twierdzenie 110 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem 1 (a, b, c P ), a (b c) = (a b) (a c) 2 (a P ), a 0 = 0 a = 0 3 (a, b P ), ( a) b = a ( b) = (a b) 4 (a, b P ), ( a) ( b) = a b 5 Jeśli (P, +, ) jest pierścieniem przemiennym i n N, to dla a, b P (a + b) n = n a k b n k k=0
3 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 3 12 Pierścienie całkowite Definicja 111 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem przemiennym Niezerowy element 0 a P nazywamy dzielnikiem zera, jeśli istnieje niezerowy element 0 b P taki, że a b = 0 Definicja 112 Nietrywialny pierścień przemiennym z 1 bez dzielników zera nazywamy pierścieniem całkowitym Przykład 113 Pierścieniami całkowitymi sa wszystkie pierścienie liczbowe Natomiast pierścień (Z 4, + 4, 4) oraz pierścienie macierzy nie sa pierścieniami całkowitymi Twierdzenie 114 (Prawo skracania) Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym, 0 a P, b, c P Wtedy a b = a c b = c Twierdzenie 115 Niech n N Pierścień (Z n, + n, + n ) jest pierścieniem całkowitym wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza Definicja 116 Nietrywialny pierścień (P, +, ) z 1, w którym wszystkie niezerowe elementy tworza grupe (P, ) wzgle dem mnożenia nazywamy pierścieniem z dzieleniem (lub quasiciałem) Definicja 117 Przemienny pierścień z dzieleniem nazywamy ciałem Ciałami sa pierścienie liczbowe: (Q, +, ), (R, +, ) oraz (C, +, ) Twierdzenie 118 Każde ciało jest pierścieniem całkowitym Pierścień całkowity nie musi być ciałem np pierścień (Z, +, ) Twierdzenie 119 Każdy skończony pierścień całkowity jest ciałem Wniosek 120 Niech n N Pierścień (Z n, + n, + n ) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza Twierdzenie 121 (Wedderburna) Każdy skończony pierścień z dzieleniem jest ciałem Najważniejszym przykładem pierścienia z dzieleniem, który nie jest ciałem (nie jest przemienny) jest tzw pierścień kwaternionów Przykład 122 Pierścień kwaternionów Kwaternionami nazywamy elementy 4-wymiarowej przestrzeni wektorowej D nad ciałem liczb rzeczywistych R o bazie złożonej z wektorów, które oznaczymy przez: 1, i, j, k W zbiorze D określamy strukture pierścienia w naste cy sposób Dodawanie jest dodawaniem wektorów przestrzeni wektorowej (D, +, R), natomiast mnożenie : D D D jest dwuliniowym przekształceniem przestrzeni wektorowej jednoznacznie wyznaczonym przez podane niżej wartości na wektorach bazy: 1 1 = 1, 1 i = i = i 1, 1 j = j = j 1, 1 k = k = k 1 i i = j j = k k = 1 i j = j i = k j k = k j = i k i = i k = j Zerem pierścienia (D, +, ) jest wektor zerowy [0, 0, 0, 0], natomiast jedynka jest wektor bazowy 1 Pierścień (D, +, ) jest pierścieniem z dzieleniem Elementem odwrotnym do elementu 0 q = a 1 + b i + c j + d k jest element a 1+b i+c j+d k a 2 +b 2 +c 2 +d Ponieważ pierścień (D, +, ) nie jest przemienny, nie jest ciałem 2 Definicja 123 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem i = S P (S, +, ) nazywamy podpierścieniem pierścienia (P, +, ), jeśli spełnione sa naste ce warunki: 1 (S, +) jest podgrupa grupy (P, +)
4 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 4 2 (a, b S), a b S 3 Jeżeli (P, +, ) jest pierścieniem z 1, to 1 S Jeśli (S, +, ) jest podpierścieniem pierścienia (P, +, ), to (S, +, ) jest również pierścieniem Przykład 124 Pierścienie liczbowe (Z, +, ), (Q, +, ) i (R, +, ) sa podpierścieniami pierścienia (C, +, ) Zbiór rzeczywistych, kwadratowych macierzy diagonalnych jest podpierścieniem pierścienia macierzy rzeczywistych Uwaga 125 (S, +, ) jest podpierścieniem pierścienia (P, +, ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b S, a b S oraz ab S Definicja 126 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem i X P Najmniejszy podpierścień pierścienia (P, +, ), który zawiera zbiór X nazywamy podpierścieniem generowanym przez zbiór i ozn X Twierdzenie 127 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem z 1, X P i a P Wtedy a X wtedy i tylko wtedy, gdy a jest suma skończonej liczby elementów postaci, ±a 1 a n oraz m 1 := , gdzie n N, }{{} m razy m Z, a 1,, a n X Definicja 128 Niech (P, + P, P ) i (R, + R, R) be da pierścieniami Odwzorowanie f : P R nazywamy homomorfizmem pierścieni, jeśli dla dowolnych a, b P f(a + P b) = f(a) + R f(b), f(a P b) = f(a) R f(b) Jeśli pierścienie (P, + P, P ) i (R, + R, R) sa pierścieniami z jedynka, to również: f(1 P ) = 1 R Zanurzeniem pierścieni nazywamy homomorfizm różnowartościowy Izomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm różnowartościowy i na Jeśli istnieje izomorfizm mie dzy pierścieniami (P, +, ) i (R, +, ) to ozn P = R Przykład Niech (P, +, ) i (R, +, ) be da pierścieniami Odwzorowanie f : P R, a 0 R jest tzw homomorfizmem zerowym pierścienia (P, +, ) w pierścień (R, +, ) 2 Niech n N Odwzorowanie f : Z Z n, z (z) n jest homomorfizmem pierścienia liczb całkowitych (Z, +, ) w pierścień (Z n, + n, n) Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem i a P Przekształcenie jest endomorfizmem grupy (P, +) L a : P P ; L a (x) := a x Lemat 130 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem z 1 Przekształcenie L: P End(P, +); a L a jest zanurzeniem (homomorfizmem różnowartościowym) pierścienia (P, +, ) w pierścień endomorfizmów (End(P, +), +, ) grupy (P, +) w siebie Twierdzenie 131 (Twierdzenie o reprezentacji dla pierścieni z 1) Każdy pierścień (P, +, ) jest izomorficzny z podpierścieniem pierścienia endomorfizmów swojej grupy przemiennej (P, +)
5 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 5 13 Ciało ułamków Twierdzenie 132 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym Istnieje ciało (F (P ), +, ) takie, że 1 Pierścień (P, +, ) jest izomorficzny z pewnym podpierścieniem (P, +, ) ciała (F (P ), +, ) 2 Każdy element ciała (F (P ), +, ) można przedstawić w postaci p q 1 dla pewnych p, q P Ciało (F (P ), +, ) nazywamy ciałem ułamków pierścienia (P, +, ) Przykład Jesli (P, +, ) = (Z, +, ) jest pierścieniem liczb całkowitych, to ciało ułamków (F (Z), +, ) jest ciałem (Q, +, ) liczb wymiernych 2 Ciało ułamków pierścienia wielomianów (R[x], +, ) nad ciałem liczb rzeczywistych, jest ciałem funkcji wymiernych Przykład 134 Ciało ułamków pierścienia Mikusińskiego Niech C[0, ) be dzie zbiorem wszystkich funkcji rzeczywistych ciagłych na przedziale [0, ) W zbiorze tym definiujmy operacje dodawania i mnożenia funkcji w naste cy sposób: (f + g)(x) := f(x) + g(x) (dodawanie funkcji) (f g)(x) := x 0 f(t)g(x t)dt (splot funkcji) (C[0, ), +, ) jest pierścienim przemiennym bez dzielników zera, ale nie posiada jedynki Mimo to, można dla tego pierścienia zbudować ciało ułamków dokładnie w taki sam sposób, w jaki budowało sie ciało ułamków dla pierścienia całkowitego Jako pierwszy ciało ułamków pierścienia (C[0, ), +, ) skonstruował polski matematyk Jan Mikusiński Elementy f g ciała ułamków pierścienia (C[0, ), +, ) nazywane sa funkcjami uogólnionymi, dystrybucjami ba dź operatorami Jednościa tego ciała jest operator δ (zwany funkcja delta) o naste cych własnościach: δ(x) = 0, dla x 0 δ(x)dx = 1 Operator δ(x) wprowadził w 1926r P Dirac i zastosował do rozwia zywania pewnych problemów w mechanice kwantowej Twierdzenie 135 Jeżeli pierścienie (P, +, ) i (R, +, ) sa izomorficzne, to ich ciała ułamków (F (P ), +, ) i (F (R), +, ) również sa izomorficzne 14 Pierścienie Euklidesa Twierdzenie 136 Algorytm dzielenia dla liczb całkowitych Niech a, b Z, b 0 Istnieja jednoznacznie wyznaczone liczby całkowite q, r Z takie, że a = qb + r oraz 0 r < b Liczbe r nazywamy reszta z dzielenia a przez b, natomiaste liczbe q nazywamy ilorazem Twierdzenie 137 Algorytm dzielenia dla wielomianów Niech (F, +, ) be dzie ciałem i niech f(x), g(x) F [x] Jeżeli g(x) nie jest wielomiamen zerowym, to istnieja jednoznacznie wyznaczone wielomiany q(x), r(x) F [x] takie, że f(x) = q(x)g(x) + r(x), gdzie albo r(x) jest wielomianem zerowym albo str(x) < stg(x) Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem przemiennym, p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n P [x] oraz a P Wówczas p(a) definiujemy jako naste cy element pierścienia i nazywamy wartościa wielomianu w punkcie a p(a) := a 0 + a 1 a + + a n a n P
6 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 6 Twierdzenie 138 Twierdzenie o reszcie Niech (F, +, ) be dzie ciałem i niech a F W pierścieniu (F [x], +, ) reszta z dzielenia wielomianu f(x) przez wielomian x a jest równa f(a) Twierdzenie 139 (Bézout) Niech (F, +, ) be dzie ciałem i niech a F W pierścieniu (F [x], +, ) wielomian x a jest czynnikiem wielomianu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy f(a) = 0 Definicja 140 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Element a P nazywamy pierwiastkiem wielomianu f(x) P [x], jeśli f(a) = 0 Jeśli pierścień (P, +, ) jest ciałem, to na mocy Twierdzenia Bézout, a P jest pierwiastkiem wielomianu f(x) P [x] wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian x a jest czynnikiem f(x) Twierdzenie 141 Niech n N Wielomian stopnia n nad ciałem (F, +, ) ma co najwyżej n pierwiastków w ciele (F, +, ) Definicja 142 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym i niech a, b P Powiemy, że b dzieli a (lub b jest czynnikiem a) i ozn b a, jeśli (q P ) a = q b Twierdzenie 143 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym i niech a, b, c P Wtedy 1 a b, a c a (b + c), 2 a b a bp, dla dowolnego p P, 3 a b, b c a c Definicja 144 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym i niech a, b P Element g P nazywamy najwie kszym wspólnym dzielnikiem a i b i ozn NWD(a, b) lub (a, b), jeśli 1 g a i g b, 2 dla każdego elementu c P, jeśli c a i c b, to c g Element l P nazywamy najmniejsza wspólna wielokrotnościa a i b i ozn NWW(a, b) lub [a, b], jeśli 1 a l i b l, 2 dla każdego elementu k P, jeśli a k i b k, to l k Definicja 145 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym Funkcje d: P N {0}, spełniaja ca dla dowolnych elementó 0 a, b P naste cy warunek: d(a) d(ab), nazywamy norma w pierścieniu (P, +, ) Liczbe d(a) nazywamy norma elementu a P Definicja 146 Pierścieniem Euklidesa nazywamy pierścień całkowity (P, +, ) z norma, w którym zachodzi Algorytm dzielenie, tzn dla każdej pary elementów a, b P, b 0, istnieja elementy q, r P takie, że a = qb + r, gdzie r = 0 lub d(r) < d(b) Przykład 147 Pierścieniami Euklidesa sa : 1 Pierścień liczb całkowitych (Z, +, ), z norma d(a) = a 2 Każde ciało (F, +, ), z norma d(a) = 1, dla a 0 3 Pierścień wielomianów (F [x], +, ) o współczynnikach w ciele (F, +, ), z norma d(f(x)) = stf(x) Twierdzenie 148 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Euklidesa Wtedy dla dowolnych elementów a, b P istnieje ich najwie kszy wspólny dzielnik Ponadto, istnieja elementy s, t P takie, że NWD(a, b) = sa + tb (1481)
7 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 7 Twierdzenie 149 Algorytm Euklidesa Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Euklidesa, a, b P i b 0 Powtarzaja c wielokrotnie algorytm dzielenia, dla pewnych q 1,, q k+1, r 1,, r k P otrzymujemy: a = bq 1 + r 1, d(r 1 ) < d(b) b = r 1 q 2 + r 2, d(r 2 ) < d(r 1 ) r 1 = r 2 q 3 + r 3, d(r 3 ) < d(r 2 ) r k 2 = r k 1 q k + r k, d(r k ) < d(r k 1 ) r k 1 = r k q k Jeśli r 1 = 0, to a = bq 1 i NWD(a, b) = b Jeśli r 1 0, to NWD(a, b) = r k Przykład 150 Niech a(x) = x 5 + 2, b(x) = 2x Z 3 [x] Wtedy x = (2x)(2x 4 + 2) + (2x + 2), st(2x + 2) < st(2x 4 + 2) 2x = (x 3 + 2x 2 + x + 2)(2x + 2) + 1, st1 < st(2x + 2) 2x + 2 = (2x + 2) Zatem w pierścieniu (Z 3 [x], +, ) mamy NWD(x 5 + 2, 2x 4 + 2) = 1 Ponadto 1 = (2x 4 + 2)(2x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1) + (x 5 + 2)(2x 3 + x 2 + 2x + 1) Twierdzenie 151 Niech n N i a, b Z Równanie ax + ny = b ax n b (1511) ma rozwia zanie x, y Z wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, n) b Jeśli isnieje rozwia zanie równania (1511), to istnieje NWD(a, n) rozwia zań x Z n Przykład 152 Równanie 15x + 36y = ma w zbiorze liczb całkowitych rozwia zanie, gdyż NWD(15, 36) = 3 3 Sa 3 rozwia zania x Z 36 Sa to liczby: 5, 17 i 29 Twierdzenie 153 Niech p q N be da liczbami pierwszymi Niech n := pq, k := (p 1)(q 1) i niech d Z be dzie taka, że NWD(d, k) = 1 Niech ponadto e Z be dzie całkowitym rozwia zaniem równania dx k 1 Wtedy dla dowolnej liczby całkowitej b Z, zachodzi b ed n b Przykład 154 System kryptograficzny z kluczem publicznym Rozważmy grupe osób, z których każda chce wysłać tajna wiadomość do dowolnej innej Załóżmy, że wiadomość, która ma być wysłana ma postać numeryczna Na przykład każda wiadomość tekstowa można traktować jako bloki m liter alfabetu łacińskiego (przyjmujemy, że składa sie on z 26 znaków) Wtedy każdy blok m liter można przedstawić jako rozwinie cie liczby całkowitej przy podstawie 26 Po takim przekształceniu jednostka tekstu długości m jest dodatnia liczba całkowita nie wie ksza niż N = 26 m (W praktyce liczba N ma od 200 do 600 znaków) Zasada funkcjonowani systemu: Dowolna osoba z grupy, powiedzmy użytkownik A, wybiera dwie bardzo duże liczby pierwsze p i q w taki sposób, żeby ich iloczyn n A = pq był wie kszy od N Dodatkowo znajduje liczby d A i e A (tego samego rze du wielkości co n) takie, że (d A, k) = 1, gdzie k = (p 1)(q 1) oraz d A e A k 1 Pare (n A, e A ) zwana kluczem publicznym (osoby A) podaje do wiadomości wszystkich, natomiast liczby p, q i d A zachowuje w sekrecie
8 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 8 Inny użytkownik, nazwijmy go B, który chce wysłać wiadomość w do osoby A, sprawdza jej klucz publiczny, oblicza s na w e A i wysyła s do A Aby odszyfrować wiadomość, A posługuje sie swoim tajnym kluczem deszyfruja cym, którym jest liczba d A Na mocy poprzedniego zadania oryginalna wiadomość w na s d A Bezpieczeństwo takiej metody szyfrowania gwarantuje fakt, że bez znajomości liczb pierwszych p i q nie wydaje sie możliwe znalezienie deszyfruja cego wykładnika d A Złamanie szyfru jest prawdopodobnie tak trudne, jak rozkład wielkiej liczby naturalnej n A na czynniki System z kluczem publicznym został opracowany przez R Rivest a, A Shamir a i L Adleman a w roku 1977, i znany jest obecnie pod nazwa systemu RSA Definicja 155 Niech (R, + R, R) i (S, + S, S) be da pierścieniami Produktem prostym tych pierścieni jest pierścień (R S, +, ), w którym operacje określone sa naste co: (r 1, s 1 ) + (r 2, s 2 ) := (r 1 + R r 2, s 1 + S s 2 ), (r 1, s 1 ) (r 2, s 2 ) := (r 1 R r 2, s 1 S s 2 ) Zerem w pierścieniu (R S, +, ) jest para (0 R, 0 S ) Jeśli (R, + R, R) i (S, + S, S) sa pierścieniami z jednościa to para (1 R, 1 S ) jest jedynka pierścienia (R S, +, ) Twierdzenie 156 Niech n, m N Wtedy wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m, n) = 1 (Z mn, + nm, nm ) = (Z n, + n, n) (Z m, + m, m) Twierdzenie 157 Niech m = m 1 m 2 m r, gdzie NWD(m i, m j ) = 1, gdy i j Wtedy (Z m, + m, m) = (Z m1, + m1, m1 ) (Z mr, + mr, mr ) Wniosek 158 Niech n = p k 1 1 pk m m N, gdzie p 1,, p m sa różnymi liczbami pierwszymi Wówczas (Z n, + n, n) = (Z p k 1 1, + p k 1 1, pk 1 1 ) (Z p km m, + p km m, pkm m ) Twierdzenie 159 Chińskie Twierdzenie o resztach Niech m = m 1 m 2 m r, gdzie NWD(m i, m j ) = 1, gdy i j, a 1,, a r Z Wtedy układ kongruencji x m1 a 1 x m2 a 2 x mr ma zawsze rozwia zanie całkowite Ponadto, jeśli b jest rozwia zaniem układu kongruencji, to każde inne rozwia zanie z spełnia warunek z m b (tzn rozwia zanie jest jednoznaczne w pierścieniu (Z m, + m, m)) Przykład 160 Liczby m 1 = 2, m 2 = 3 i m 3 = 5 sa parami wzgle dnie pierwsze, zatem układ kongruencji x 2 0 x 3 1 x 5 2 ma (jednoznaczne w pierścieniu (Z 30, + 30, 30 )) rozwia zanie x Niech m = m 1 m 2 m r Z, gdzie (m i, m j ) = 1, gdy i j a r
9 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 9 Definicja 161 Reprezentacja modularna liczby x Z m nazywamy układ (a 1, a 2,, a r ) liczb całkowitych dodatnich taki, że dla 1 i r, x mi a i Ponieważ pierścienie (Z m, + m, m) i (Z m1, + m1, m1 ) (Z mr, + mr, mr ) sa izomorficzne, to każda liczba 0 x < m ma taka jednoznaczna reprezentacje modularna Przykład 162 Każda liczba całkowita x Z 30 ma jednoznaczna reprezentacje przez swoje reszty modulo 2, 3 i 5 Taka reprezentacja przez reszty odpowiada izomorfizmowi pierścieni: Z 30 Z 2 Z 3 Z 5 ; x ((x) 2, (x) 3, (x) 5 ) Przypomnijmy, w pierścieniu (P, +, ) z 1, element p P jest odwracalny, jeśli istnieje taki element v P, że pv = vp = 1 Przykład Jeżeli (P, +, ) jest ciałem, to każdy niezerowy element 0 p P jest odwracalny 2 W pierścieniu (Z, +, ) elementami odwracalnymi sa 1 i 1 3 Niech (F, +, ) be dzie ciałem Elementami odwracalnymi w pierścieniu (F [x], +, ) sa wszystkie niezerowe wielomiany stałe, czyli 0 f F 4 W pierścieniu Gaussa (Z[i], +, ) elementami odwracalnymi sa : 1, 1, i, i Definicja 164 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym Elementy a, b P nazywamy stowarzyszonymi, co oznaczamy a b, jeśli a b i b a Relacja stowarzyszenia jest relacja równoważności Przykład W pierścieniu (Z, +, ) elementami stowarzyszonymi sa 1 i 1 2 W pierścieniu (Z[i], +, ) elementami stowarzyszonymi sa : i oraz i Uwaga 166 Elementy odwracalne w pierścieniu całkowitym sa to elementy stowarzyszone z 1 Lemat 167 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym Elementy a, b P sa stowarzyszone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwracalny element u P taki, że a = ub Definicja 168 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem całkowitym Nieodwracalny element p P nazywamy nierozkładalnym, jeśli zachodzi naste cy warunek: jeśli p = ab to a lub b jest odwracalny w pierścieniu (P, +, ) Przykład 169 W pierścieniu (Z, +, ) elementami nierozkładalnymi sa liczby pierwsze i liczby przeciwne do liczb pierwszych Twierdzenie 170 O jednoznaczności rozkładu Każdy niezerowy element pierścienia Euklidesa jest albo odwracalny albo jest iloczynem skończonej liczby elementów nierozkładalnych Czynniki takiego iloczynu wyznaczone sa jednoznacznie z dokładnościa do ich kolejności i z dokładnościa do relacji stowarzyszenia Pierścienie spełniaja ce warunek sformułowany w powyższym twierdzeniu nazywaja sie pierścieniami z jednoznacznościa rozkładu Wniosek 171 Pierścień liczb całkowitych (Z, +, ), pierścienie wielomianów nad ciałami i pierścień Gaussa (Z[i], +, ) maja własność jednoznaczności rozkładu Przykład 172 W pierścieniu (Z( 3) := {a + bi 3 a, b Z}, +, ) mamy: 4 = 2 2 = (1 + 3)(1 3) (1721) Można sprawdzić, że każdy z elementów: 2, 1 + 3, 1 3 jest nierozkładalny w pierścieniu (Z( 3), +, ) Sta d pierścień ten nie ma własności jednoznaczności rozkładu i nie może być pierścieniem Euklidesa
10 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 10 Definicja 173 Niech (F, +, ) be dzie ciałem Wielomian f(x) F [x] stopnia dodatniego jest rozkładalny nad ciałem (G, +, ), jeśli jest iloczynem dwóch wielomanów stopnia dodatniego o współczynnikach w ciele (G, +, ) Wielomian f(x) F [x] jest nierozkładalny nad ciałem (G, +, ), jeśli f(x) nie da sie przedstawić w taki sposób Przykład 174 Poje cie rozkładu wielomianu zależy od ciała Wielomian x jest nierozkładalny nad ciałem liczb rzeczywistych, ale ten sam wielomian jest rozkładalny nad ciałem liczb zespolonych Wielomian f(x) F [x] nierozkładalny nad ciałem (F, +, ) jest elementem nierozkładalnym w pierścieniu (F [x], +, ) Definicja 175 Ciało (F, +, ) maja ce te własność, że każdy wielomain f(x) F [x] stopnia dodatniego ma w ciele (F, +, ) wszystkie pierwiastki, nazywa sie ciałem algebraicznie domknie tym W ciele algebraicznie domknie tym jedynymi nierozkładalnymi wielomianami sa wielomiany liniowe Twierdzenie 176 Zasadnicze twierdzenie algebry Jeżeli f(x) C[x] jest wielomianem stopnia dodatniego, to f(x) ma pierwiastek należa cy do ciała (C, +, ) Wniosek 177 Ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknie te Twierdzenie Jedynymi nierozkładalnymi wielomianami w (C[x], +, ) sa wielomiany stopnia 1 2 Jedynymi nierozkładalnymi wielomianami w (R[x], +, ) sa wielomiany stopnia pierwszego i wielomiany stopnia drugiego ax 2 + bx + c, dla których b 2 < 4ac 15 Ideały w pierścieniach Definicja 179 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Podzbiór = I P nazywamy ideałem pierścienia (P, +, ), jeśli spełnione sa naste ce warunki: 1 (I, +) jest podgrupa grupy (P, +); 2 (x I) (p P ) xp, px I Przykład 180 I = {0} oraz I = P sa ideałami pierścienia (P, +, ) Sa to tzw ideały trywialne Uwaga 181 Niech I be dzie ideałem pierścienia (P, +, ) Wtedy, jeśli 1 I, to I = P Twierdzenie 182 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem przemiennym z 1 i a P Zbiór (a) := {ap p P } jest ideałem pierścienia (P, +, ) zwanym ideałem głównym generowanym przez element a Przykład 183 całkowitych 1 Niech n N Zbiór (n) = nz = {nz z Z} jest ideałem głównym w pierścieniu liczb 2 Zbiór (x) = {x p(x) p(x) R[x]} jest ideałem głównym w pierścieniu (R[x], +, ) Jest to zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, których pierwiastkiem jest 0 Definicja 184 Pierścień przemienny, w którym wszystkie ideały sa główne nazywamy pierścieniem ideałów głównych Twierdzenie 185 Każdy pierścień Euklidesa jest pierścieniem ideałów głównych Wniosek 186 Pierścieniami ideałów głównych sa : 1 pierścien (Z, +, ) liczb całkowitych, 2 pierścień wielomianów (F [x], +, ) o współczynnikach w ciele (F, +, )
11 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA 11 Wniosek 187 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Euklidesa Wtedy 1 (a, b P ) (q, r P ) a = qb + r, gdzie r = 0 lub d(r) < d(b) 2 (a, b P ) istnieje najwie kszy wspólny dzielnik elementów a i b 3 Pierścień (P, +, ) ma własność jednoznaczności rozkładu 4 Pierścień (P, +, ) jest pierścieniem ideałów głównych Twierdzenie 188 Niech I be dzie ideałem pierścienia (przemiennego) (P, +, ) Zbiór warstw P/I wraz z operacjami: dla p 1, p 2 P (p 1 /I) + (p 2 /I) := (p 1 + p 2 )/I, (p 1 /I) (p 2 /I) := (p 1 p 2 )/I jest pierścieniem (przemiennym) (P/I, +, ) zwanym pierścieniem ilorazowym pierścienia (P, +, ) przez ideał I Przykład 189 Zbiór I = (2) = {2z z Z 6 } = {0, 2, 4} jest ideałem głównym (generowanym przez 2) w pierścieniu (Z 6, + 6, 6) Ideał I określa w pierścieniu (Z 6, + 6, 6) dwie warstwy: I = {0, 2, 4} oraz 1/I = {1, 3, 5} Sta d Z 6 /I = {I, 1/I} oraz + I 1/I I I 1/I 1/I 1/I I I 1/I I I I 1/I I 1/I Twierdzenie 190 Niech h : P R be dzie homomorfizmem z pierścienia (P, +, ) w pierścień (R, +, ) Ja dro Kerh = h 1 ({0}) = {p P h(p) = 0} jest ideałem pierścienia (P, +, ) Każdy ideał I pierścienia (P, +, ) jest ja drem homomorfizmu naturalnego: π : P P/I; p p/i Uwaga 191 Niech h : P R be dzie homomorfizmem z pierścienia (P, +, ) w pierścień (R, +, ) Obraz Imh = {h(p) p P } jest podpierścieniem pierścienia (R, +, ) Twierdzenie 192 (Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie dla pierścieni) Niech h : P R be dzie homomorfizmem z pierścienia (P, +, ) w pierścień (R, +, ) Wtedy pierścień ilorazowy (P/I, +, ) jest izomorficzny z pierścieniem (Imh, +, ) Przykład 193 Odwzorowanie h : Z[x] Z; f(x) f(0) jest homomorfizmem z pierścienia (Z[x], +, ) w pierścień liczb całkowitych (Z, +, ) Ponadto, Kerh = {x f(x) f(x) Z[x]} = (x) oraz Imh = Z Zatem na mocy twierdzenia o izomorfizmie dla pierścieni, pierścienie (Z[x]/(x), +, ) i (Z, +, ) sa izomorficzne Przykład 194 Przekształcenie h : Z Z n ; z (z) n jest homomorfizmem z pierścienia (Z, +, ) w pierścień (Z n, + n, n) Ponadto, Kerh = (n) oraz Imh = Z n Sta d pierścień ilorazowy (Z/(n), +, ) jest izomorficzny z pierścieniem (Z n, + n, n) Twierdzenie 195 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem Euklidesa i a P Pierścień ilorazowy (P/(a), +, ) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy a jest elementem nierozkładalnym w pierścieniu (P, +, ) Przykład 196 Wielomian x 2 1 jest rozkładalny nad ciałem liczb wymiernych Sta d w pierścieniu ilorazowym (Q[x]/(x 2 1), +, ), elementy x + 1/(x 2 1) oraz x 1/(x 2 1) sa dzielnikami zera: x + 1/(x 2 1) x 1/(x 2 1) = (x + 1)(x 1)/(x 2 1) = x 2 1/(x 2 1) = 0/(x 2 1) Zatem pierścień (Q[x]/(x 2 1), +, ) nie jest ciałem Wniosek 197 Pierścień (Z n, + n, n) = (Z/(n), +, ) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza Wniosek 198 Niech (F, +, ) be dzie ciałem i p(x) F [x] Pieścień ilorazowy (F [x]/(p(x)), +, ) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy p(x) jest wielomianem nierozkładalnym nad (F, +, )
12 1 PIERŚCIENIE I CIAŁA Pierścienie ilorazowe pierścieni wielomianów Lemat 199 Niech (F, +, ) be dzie ciałem i p(x), f(x), g(x) F [x] Wtedy f(x) (p(x)) g(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany f(x) i g(x) maja te same reszty przy dzieleniu przez p(x) Twierdzenie 1100 Niech (F, +, ) be dzie ciałem, p(x) F [x] i stp(x) = n > 0 Każdy element pierścienia ilorazowego (F [x]/(p(x)), +, ) można przedstawić w dokładnie jeden sposów w postaci: gdzie a 0, a 1,, a n 1 F (a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 )/(p(x)), Jeśli nie be dzie prowadzić to do nieporozumień, elementy pierścienia ilorazowego (F [x]/(p(x)), +, ) be dziemy przedstawiać jako wielomiany a 0 +a 1 x+ +a n 1 x n 1, zamiast jako warstwy (a 0 +a 1 x+ +a n 1 x n 1 )/(p(x)) Uwaga 1101 Niech (F, +, ) be dzie ciałem i p(x) F [x] Pierścień ilorazowy (F [x]/(p(x)), +, ) zawsze zawiera podpierścień izomorficzny z ciałem (F, +, ) Przykład 1102 Niech p(x) = x 2 + x + 1 Z 2 [x] Wtedy Z 2 [x]/(x 2 + x + 1) = {a 0 + a 1 x a 0, a 1 Z 2 } = {0, 1, x, x + 1} oraz x x x x x + 1 x x x x x + 1 x + 1 x x x x x + 1 x 0 x x x x x Przykład 1103 Niech p(x) = x 2 +1 = (x + 1)(x+1) Z 2 [x] Wtedy Z 2 [x]/(x 2 + x + 1) = {a 0 + a 1 x a 0, a 1 Z 2 } = {0, 1, x, x + 1} oraz x x x x x + 1 x x x x x + 1 x + 1 x x x x x + 1 x 0 x 1 x + 1 x x + 1 x + 1 0
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoDefinicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWielomiany i rozszerzenia ciał
Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowo1 Pierścienie, algebry
Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O
Bardziej szczegółowoPojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): -
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): - 1. Informacje ogólne koordynator
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowo1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady
Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoUniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny
Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A. Pilitowska i A. Romanowska jesień 2012 1 Iloczyny (produkty) proste 1. Znaleźć tabelke dodawania i mnożenia pierścienia Z 2 Z 3. 2. Które z naste puja cych par grup
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
Bardziej szczegółowoKrzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowoRównania wielomianowe
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoAlgebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Bardziej szczegółowo1. Informacje ogólne. 2. Opis zajęć dydaktycznych i pracy studenta. wykład
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-MO1S-12-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie):
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoAlgebra. Jakub Maksymiuk. lato 2018/19
Algebra Jakub Maksymiuk lato 2018/19 Algebra W1/0 Zbiory z działaniami Podstawowe własności Potęgi Tabelka działania Przykłady Grupa symetryczna Algebra W1/1 Podstawowe własności Definicja: Działaniem
Bardziej szczegółowo(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),
Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowo