Wielomiany wielu zmiennych.
|
|
- Ewa Czyż
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wielomiany wielu zmiennych.
2 Definicja i uwaga: Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem zmiennych x 1,..., x n o współczynnikach z pierścienia R będziemy nazywali wyrażenie postaci ÿ a i1...i n x i x in n, i 1,...,i nďm gdzie m P N, wskaźniki i 1,..., i n P N przebiegają wszystkie liczby nie większe niż m oraz a i1...i n P R. Dwa wielomiany uważamy za równe, gdy różnią się jedynie o składniki postaci 0 x i 1... x in, gdzie i 1,..., i n P N.
3 Bedziemy mówili, ze wielomian f ř i 1,...,i a nďm i 1...i n x i x in n jest stopnia r, gdy istnieje taki różny od zera współczynnik a i1...i n, że i 1 `... ` i n r i a j1...j n 0 o ile j 1 `... ` j n ą r. Umowa ta nie określa stopnia wielomianu 0, przyjmujemy więc dodatkowo, ze stopniem wielomianu 0 jest 8. Stopień wielomianu f będziemy oznaczać przez degpf q. Wielomiany stopnia 1 będziemy nazywali liniowymi, a wielomiany stopnia 2 kwadratowymi. Wielomian postaci a x i x in n, gdzie a P R oraz i 1,..., i n P N nazywamy jednomianem.
4 W zbiorze wszystkich wielomianów zmiennych x 1,..., x n o współczynnikach z pierścienia R definiujemy dodawanie ` i mnożenie, kładąc dla dowolnych wielomianów f ř i 1,...,i a nďm i 1...i n x i x in n oraz g ř j 1,...,j b nďr j 1...j n x j x jn n : f ` g ÿ k 1,...,k nďmaxtm,ru c k1...k n x k xkn n gdzie $ & a k1...k n ` b k1...k n, gdy k 1,..., k n ď maxtm, ru, c k1...k n a k1...k n, gdy, dla pewnego wskaźnika k i, i P t1,..., nu, k i % b k1...k n, gdy, dla pewnego wskaźnika k i, i P t1,..., nu, k i oraz ÿ f g c k1...k n x k xkn n gdzie c k1...k n k 1,...,k nďm`r ÿ 0ďl 1 ďk 1,...,0ďl nďk n a k1 l 1,...,k n l n b l1...l n.
5 Uwaga Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto ÿ f a i1...i n x i x in n P Rrx 1,..., x n s oraz g ÿ i 1,...,i nďm Wówczas: 1. degpf ` gq ď maxtdegpfq, degpgqu; 2. degpfgq ď degpfq ` degpgq; 3. jeśli j 1,...,j nďr f 0 ^ g 0 ^ R jest pierścieniem całkowitym, b j1...j n x j 1 to degpfgq degpfq ` degpgq.
6 Wniosek Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. Wówczas jeśli R jest pierścieniem całkowitym, to Rrx 1,..., x n s też.
7 Definicja Niech R i P będą dowolnymi pierścieniami, niech R Ă P i niech S Ă P będzie pewnym zbiorem. Zbiór S nazywamy algebraicznie niezależnym nad R, jeżeli zbiór tf P Rrs 1,..., s n s : n P N, s 1,..., s n P S, f jest jednomianemu jest liniowo niezależny nad pierścieniem R.
8 Twierdzenie (własność uniwersalna pierścienia wielomianów wielu zmiennych) Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. 1. Pierścień R ma następującą 1,..., r n P : R Ñ P homomorfizm D!ψ : R rψpx i q r i, i P t1,..., nu ^ ψæ R φs. 2. Dla dowolnego rozszerzenia R Ă S oraz elementów s 1,..., s n P SzR algebraicznie niezależnych nad R i takich, że S Rrs 1,..., s n s, 1,..., r n P : R Ñ P homomorfizm D!ψ : S rψps i q r i, i P t1,..., nu ^ ψæ R φs. to S Rrx 1,..., x n s i izomorfizm α : Rrx 1,..., x n s Ñ S jest jednoznacznie wyznaczony przez warunki
9 Definicja Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. 1. Dla dowolnego pierścienia P i jego elementu r P P oraz homomorfizmu φ : R Ñ P, jedyne przedłużenie ψ : Rrx 1,..., x n s Ñ P homomorfizmu φ takie, że rψpx i q r i, i P t1,..., nu ^ ψæ R φs nazwamy wartością wielomianów, a jego wartość dla wielomianu f P Rrx 1,..., x n s, ψpfq, wartością wielomianu f w punkcie pr 1,..., r n q P R n. Jeżeli wartość wielomianu f w punkcie pr 1,..., r n q P R n jest równa 0, to punkt pr 1,..., r n q P R n nazywamy miejscem zerowym (lub pierwiastkiem) f. Najczęściej rozważamy przypadek, gdy R P oraz φ id P. Wówczas ψpfq ψ ai1...i n x i xin n ÿ ÿ ai1...i n r i r in n.
10 Definicja i uwaga Niech R, P będą pierścieniami, a φ : P Ñ R homomorfizmem pierścieni. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm ψ : Rrx 1,..., x n s Ñ P ry 1,..., y n s taki, że ψpx i q y i, i P t1,..., nu oraz ψæ R φ. Ponadto jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy, a jeśli φ jest surjektywny, to ψ jest surjektywny. Homomorfizm ψ nazywamy homomorfizmem pierścieni wielomianów n zmiennych indukowanym przez homomorfizm współczynników.
11 Wniosek Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto 0 f P Rrx 1,..., x n s. Wówczas: 1. jeśli R jest nieskończony, to dla pewnego pr 1,..., r n q P R n, fpr 1,..., r n q 0; 2. jeśli R jest nieskończony, to jedyny homomorfizm ψ : Rrx 1,..., x n s Ñ R Rn definiujący pierścień funkcji wielomianowych jest różnowartościowy.
12 Definicja Niech pi, ăq będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. j P IDk P Iri ă k ^ j ă ks, to wówczas pi, ăq nazywamy zbiorem skierowanym.
13 Uwaga Niech pi, ăq będzie zbiorem skierowanym, niech tr i : i P Iu będzie rodziną pierścieni indeksowaną elementami zbioru I taką, j P Irpi ă jq ñ pr i ă R j qs. W zbiorze Ť ipi R i definiujemy działania ` oraz następująco: jeśli a, b P Ť ipi R i, to a P R i, b P R j, dla pewnych i, j P I; ponieważ I jest skierowany, więc dla pewnego k P I zachodzi i ă k oraz j ă k, a zatem R i ă R k oraz R j ă R k, więc a, b P R k i możemy zdefiniować a ` b a `Rk b oraz a b a Rk b. Wówczas p Ť ipi R i, `, q jest pierścieniem.
14 Definicja i uwaga Niech R będzie pierścieniem, S pewnym zbiorem, a tx s : s P Su rodziną zmiennych indeksowaną elementami zbioru S. Dla dowolnego skończonego zbioru T ts 1,..., s n u Ă S definiujemy R T Rrx s1,..., x sn s. Wówczas pi, Ăq, gdzie I tt Ă S : cardt ă 8u jest zbiorem indeksowanym, zaś tr T : T P Iu rodziną pierścieni indeksowaną elementami zbioru I taką, 1, T 2 P IrpT 1 Ă T 2 q ñ pr T1 ă R T2 qs. Wobec poprzedniej uwagi Ť T PI R T jest pierścieniem. Nazywamy go pierścieniem wielomianów nieskończonej liczby zmiennych ze zbioru tx s : s P Su o współczynnikach z R i oznaczamy Rrtx s : s P Sus.
15 Uwaga Niech R będzie dowolnym pierścieniem, S pewnym zbiorem, Rrtx s : s P Sus pierścieniem wielomianów nieskończonej liczby zmiennych ze zbioru tx s : s P Su o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto Wówczas: f P Rrtx s : s P Sus oraz g P Rrtx s : s P Sus. 1. degpf ` gq ď maxtdegpfq, degpgqu; 2. degpfgq ď degpfq ` degpgq; 3. jeśli f 0 ^ g 0 ^ R jest pierścieniem całkowitym, to degpfgq degpfq ` degpgq.
16 Wniosek Niech R będzie dowolnym pierścieniem, S pewnym zbiorem, Rrtx s : s P Sus pierścieniem wielomianów nieskończonej liczby zmiennych ze zbioru tx s : s P Su o współczynnikach z pierścienia R. Wówczas jeśli R jest pierścieniem całkowitym, to Rrtx s : s P Sus też.
17 Twierdzenie (własność uniwersalna pierścienia wielomianów nieskończenie wielu zmiennych) Niech R będzie dowolnym pierścieniem, S pewnym zbiorem, Rrtx s : s P Sus pierścieniem wielomianów nieskończonej liczby zmiennych ze zbioru tx s : s P Su o współczynnikach z pierścienia R. 1. Pierścień R ma następującą : tx s : s P Su Ñ P : R Ñ P rψæ txs:spsu λ ^ ψæ R φs. 2. Dla dowolnego rozszerzenia R Ă R 1 i zbioru T Ă R 1 algebraicznie niezależnego nad R i takiego, że R 1 Rrtx t : t P T us, : tx t : t P T u Ñ P : R Ñ P rψæ txt:tpt u λ ^ ψæ R φs. to R 1 Rrtx t : t P T us i izomorfizm
18 Definicja Niech R będzie dowolnym pierścieniem, S pewnym zbiorem, Rrtx s : s P Sus pierścieniem wielomianów nieskończonej liczby zmiennych ze zbioru tx s : s P Su o współczynnikach z pierścienia R. Dla dowolnego pierścienia P i odwzorowanie λ : tx s : s P Su Ñ P oraz homomorfizmu φ : R Ñ P, jedyne przedłużenie ψ : Rrtx s : s P Sus Ñ P homomorfizmu φ takie, że rψæ txs:spsu λ ^ ψæ R φs nazwamy wartością wielomianów, a jego wartość dla wielomianu f P Rrtx s : s P Sus, ψpfq, wartością wielomianu f na zbiorze λptx s : s P Suq Ă P. Jeżeli wartość wielomianu f na zbiorze λptx s : s P Suq Ă P jest równa 0, to zbiór λptx s : s P Suq Ă P nazywamy miejscem zerowym (lub pierwiastkiem) f. Najczęściej rozważamy przypadek, gdy R P oraz φ id P.
19 Definicja i uwaga Niech R, P będą pierścieniami, S pewnym zbiorem, a φ : P Ñ R homomorfizmem pierścieni. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm ψ : Rrtx s : s P Sus Ñ P rty s : s P Sus taki, że ψpx s q y s, s P S oraz ψæ R φ. Ponadto jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy, a jeśli φ jest surjektywny, to ψ jest surjektywny. Homomorfizm ψ nazywamy homomorfizmem pierścieni wielomianów n zmiennych indukowanym przez homomorfizm współczynników.
20 Definicja Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. Wielomian 0 f ÿ i 1,...,i nďm a i1...i n x i x in n P Rrx 1,..., x n s nazywamy wielomianem jednorodnym stopnia d (lub formą stopnia d) 1,..., i n ď mrdegpa i1...i n x i x in n q ds. Formy stopnia 1 nazywamy formami liniowymi, formy stopnia 2 formami kwadratowymi, formy stopnia 3 formami kubicznymi itd.
21 Uwaga Niech R będzie dowolnym pierścieniem, prrx 1,..., x n s, `, q pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia R. Wielomian 0 f ÿ i 1,...,i nďm a i1...i n x i x in n P Rrx 1,..., x n s jest wielomianem jednorodnym stopnia d wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego pierścienia P, R ă P i dla każdego zbioru n ` 1 algebraicznie niezależnych nad R elementów a, b 1,..., b n P P zachodzi równość fpab 1,..., ab n q a d fpb 1,..., b n q.
22 Wielomiany symetryczne.
23 Definicja Niech n P N, niech R będzie pierścieniem. 1. Wielomian f P Rrx 1,..., x n s nazywamy wielomianem półsymetrycznym, P Apnqrfpx 1, x 2,..., x n q fpx σp1q, x σp2q,..., x σpnq qs. 2. Wielomian f P Rrx 1,..., x n s nazywamy wielomianem symetrycznym, P Spnqrfpx 1, x 2,..., x n q fpx σp1q, x σp2q,..., x σpnq qs. Zbiór wszystkich wielomianów symetrycznych oznaczamy R sym rx 1,..., x n s.
24 Przykłady: 1. Rozważmy fpx 1, x 2, x 3 q x 2 1 ` x2 2 ` x ` 32. Jest to wielomian symetryczny. 2. Rozważmy fpx 1, x 2, x 3 q x 1 x 2 x 3. Jest to wielomian symetryczny. 3. Rozważmy V px 1,..., x n q ś 1ďiăjďn px i x j q. Jest to wielomian półsymetryczny, nazywamy go wielomianem Vandermonde a. 4. Rozważmy V 2 px 1,..., x n q. Jest to wielomian symetryczny.
25 Uwaga Niech n P N, niech R będzie pierścieniem. Wówczas R sym rx 1,..., x n s jest pierścieniem.
26 Definicja Niech n P N, niech R będzie pierścieniem. Wielomiany: S 1 px 1,..., x n q x 1 `... ` x n S 2 px 1,..., x n q x 1 x 2 `... ` x 1 x n ` x 2 x 3 `... ` x 2 x n `... ` x n 1 x n S k px 1,..., x n q. ÿ 1ďi 1 ăi 2 ă...ăi k ďn S n px 1,..., x n q x 1... x n.. x i1 x i2... x ik nazywamy wielomianami symetrycznymi podstawowymi zmiennych x 1,..., x n.
27 Twierdzenie Niech n P N, niech F będzie ciałem. Wówczas wielomiany symetryczne podstawowe S 1,..., S n P F sym rx 1,..., x n s są algebraicznie niezależne nad F.
28 Dowód: Dowód prowadzimy przez indukcję względem n. Dla n 1 teza jest oczywista, załóżmy więc, że n ą 1 i że wielomiany symetryczne podstawowe n 1 zmiennych S1 1,..., S1 n 1 P F symrx 1,..., x 1 n 1s są algebraicznie niezależne. Przypuśćmy nie wprost, że istnieje wielomian λ P F ry 1,..., y n s taki, że λps 1,..., S n q 0. Niech ponadto λ będzie wielomianem możliwie najniższego stopnia.
29 Oczywiście S j px 1,..., x n 1, 0q S 1 j px 1,..., x n 1 q, dla j P t1,..., n 1u. Ponadto S n px 1,..., x n 1, 0q 0. Niech λpy 1,..., y n q ψ 0 py 1,..., y n 1 qy n n`ψ 1 py 1,..., y n 1 qy n 1 n `...`ψ n py 1,. Wobec tego: 0 λps 1 px 1,..., x n 1, 0q,..., S n px 1,..., x n 1, 0qq λps 1 1px 1,..., x n 1 q,..., S n 1 1px 1,..., x n 1 q, S n px 1,..., x n 1, 0qq ψ 0 ps 1 1px 1,..., x n 1 q,..., S 1 n 1px 1,..., x n 1 qq0 n ` ` ψ n ps 1 1px 1,..., x n 1 q,..., S 1 n 1px 1,..., x n 1 qq ψ n ps 1 1px 1,..., x n 1 q,..., S 1 n 1px 1,..., x n 1 qq.
30 Ponieważ S 1 1,..., S1 n 1 są algebraicznie niezależne, więc ψ n 0. Wobec tego: λpy 1,..., y n q y n pψ 0 py 1,..., y n 1 qyn n 1 `ψ 1 py 1,..., y n 1 qyn n 2 `...`ψ n a zatem ψ 0 ps 1,..., S n 1 qsn n 1 `ψ 1 ps 1,..., S n 1 qsn n 2 `...`ψ n 1 ps 1,..., S n 1 q i stopień wielomianu ψ 0 py 1,..., y n 1 qyn n 1 ` ψ 1 py 1,..., y n 1 qyn n 2 `... ` ψ n 1 py 1,..., y n 1 q jest mniejszy od stopnia wielomianu λ, zatem ψ 0 0,..., ψ n 1 0 i tym samym λ jest wielomianem zerowym, co daje sprzeczność.
31 Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie teorii wielomianów symetrycznych) Niech n P N, niech F będzie ciałem. Wówczas wielomiany symetryczne podstawowe S 1,..., S n P F sym rx 1,..., x n s generują pierścień F sym rx 1,..., x n s.
32 Dowód: Wystarczy pokazać, że dla ustalonego wielomianu symetrycznego f P F sym rx 1,..., x n s istnieje wielomian G P F ry 1,..., y n s taki, że: f GpS 1,..., S n q. Dowód prowadzimy przez indukcję względem n. Dla n 1 teza jest oczywista, ustalmy więc n ą 1 i załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszelkich k ă n. Niech m deg f. Konstrukcję wielomianu G prowadzimy indukcyjnie względem m. Znowu, dla m 1 nie ma co robić, załóżmy więc, że m ą 1 i że stosowne wielomiany G zostały już skonstruowane dla f o stopniu l ă m.
33 Wielomian fpx 1,..., x n 1, 0q P F rx 1,..., x n s jest wielomianem symetrycznym n 1 zmiennych. Wobec założenia indukcyjnego istnieje wielomian G 1 P F ry 1,..., y n 1 s taki, że fpx 1,..., x n 1, 0q G 1 ps 1 1px 1,..., x n 1 q,..., S n 1 1px 1,..., x n 1 qq, gdzie S 1 1 px 1,..., x n 1 q,..., S 1 n 1 px 1,..., x n 1 q P F rx 1,..., x n 1 s są wielomianami symetrycznymi podstawowymi n 1 zmiennych.
34 Niech f 1 px 1,..., x n q fpx 1,..., x n q G 1 ps 1 px 1,..., x n q,..., S n px 1,..., x n qq. Wówczas f 1 jest wielomianem symetrycznym. Ponadto f 1 px 1,..., x n 1, 0q 0, więc x n f 1. Istnieje zatem h P F rx 1,..., x n s taki, że f 1 px 1,..., x n q x n hpx 1,..., x n q.
35 Ustalmy k P t1,..., nu i niech σ pk, nq P Spnq. Wówczas: f 1 px 1,..., x n q f 1 px σp1q,..., x σpnq q x k hpx σp1q,..., x σpnq q. Wobec tego x k f 1 px 1,..., x n q, dla k P t1,..., nu.
36 Ponieważ wielomiany x 1,..., x n są parami względnie pierwsze, więc w rezultacie x 1... x n f 1 px 1,..., x n q, czyli S n px 1,..., x n q f 1 px 1,..., x n q. Istnieje zatem g P F rx 1,..., x n s taki, że f 1 px 1,..., x n q S n px 1,..., x n qgpx 1,..., x n q. Oczywiście gpx 1,..., x n q jest wielomianem symetrycznym. Ponadto deg g deg f 1 deg S n deg f 1 n ă m.
37 Wobec założenia indukcyjnego istnieje wielomian G 2 P F ry 1,..., y n s taki, że gpx 1,..., x n q G 2 ps 1 px 1,..., x n q,..., S n px 1,..., x n qq. Zatem f 1 px 1,..., x n q S n px 1,..., x n qg 2 ps 1 px 1,..., x n q,..., S n px 1,..., x n qq, skąd fpx 1,..., x n q G 1 ps 1 px 1,..., x n q,..., S n 1 px 1,..., x n qq`s n px 1,..., x czyli G G 1 ` y n G 2.
38 Zauważmy przy okazji, że wielomian G jest wyznaczony w powyższym dowodzie jednoznacznie: gdyby bowiem istniały dwa wielomiany G, G 1 P F ry 1,..., y n s takie, że: GpS 1,..., S n q G 1 ps 1,..., S n q, to wówczas pg G 1 qps 1,..., S n q 0, co, wobec algebraicznej niezależności S 1,..., S n, daje G G 1 0, czyli G G 1.
39 Przykład: 5. Rozważmy fpx 1, x 2, x 3 q px 1 ` x 2 qpx 1 ` x 3 qpx 2 ` x 3 q. Odwołując się do notacji z dowodu zasadniczego twierdzenia teorii wielomianów symetrycznych, mamy: fpx 1, x 2, 0q px 1`x 2 qx 1 x 2 S 1 1px 1, x 2 qs 1 2px 1, x 2 q G 1 ps 1 1, S 1 2q, gdzie G 1 py 1, y 2 q y 1 y 2. Wówczas f 1 px 1, x 2, x 3 q fpx 1, x 2, x 3 q S 1 S 2 x 1 x 2 x 3, czyli f 1 px 1, x 2, x 3 q S 3 px 1, x 2, x 3 q, gpx 1, x 2, x 3 q 1 oraz G 2 py 1, y 2, y 3 q 1. Reasumując: f S 1 S 2 S 3.
40 Konstrukcja pierścienia ułamków względem zbioru multyplikatywnego.
41 Definicja Niech R będzie pierścieniem. Podzbiór S Ă R nazywamy podzbiorem multyplikatywnym, jeżeli 1. 1 P S, 0 R S, b P Spab P Sq.
42 Przykłady: 1. Niech R będzie pierścieniem. Wówczas S UpRq jest podzbiorem multyplikatywnym. 2. Niech R będzie pierścieniem całkowitym. Wówczas S Rzt0u jest podzbiorem multyplikatywnym. 3. Niech R będzie pierścieniem, I Ÿ R ideałem pierwszym. Wówczas S RzI jest podzbiorem multyplikatywnym. 4. Niech R Z. Wówczas S t2 k : k P N Y t0uu jest podzbiorem multyplikatywnym.
43 Twierdzenie Niech R ts i : i P Iu będzie rodziną podzbiorów multyplikatywnych pierścienia R; 1. Ş ipi S i jest podzbiorem multyplikatywnym pierścienia R, 2. Ť ipi S i jest podzbiorem multyplikatywnym pierścienia R, o ile R jest łańcuchem.
44 Definicja Niech R będzie pierścieniem oraz A Ă UpRq pewnym zbiorem. Najmniejszy w sensie inkluzji podzbiór multyplikatywny pierścienia R zawierający zbiór A (tj. przekrój wszystkich podzbiorów multyplikatywnych pierścienia R zawierających A) nazywamy podzbiorem multyplikatywnym generowanym przez A.
45 Definicja i uwaga Niech R będzie pierścieniem oraz S Ă R podzbiorem multyplikatywym. W zbiorze R ˆ S definiujemy relację warunkiem pa 1, s 1 q pa 2, s 2 q wtw. Ds 0 P Srs 0 pa 1 s 2 a 2 s 1 q 0s. Wówczas relacja jest relacją równoważnościową. Klasę abstrakcji rpa, sqs nazywamy ułamkiem o liczniku a i mianowniku s i oznaczamy a s. Zbiór klas abstrakcji relacji oznaczamy przez S 1 R. W zbiorze S 1 R definiujemy element zerowy jedynkę dodawanie 0 1, 1 1, a 1 s 2 ` a2 s 2 a 1s 2 ` a 2 s 1 s 1 s 2,
46 Definicja i uwaga Niech R będzie pierścieniem oraz S Ă R podzbiorem multyplikatywym. Odwzorowanie λ : R Ñ S 1 R dane wzorem λpaq a 1 jest homomorfizmem. Nazywamy go homomorfizmem kanonicznym. Ponadto λpsq Ă UpS 1 Rq.
47 Twierdzenie Niech R będzie pierścieniem oraz S Ă R podzbiorem multyplikatywym. Homomorfizm kanoniczny λ : R Ñ S 1 R jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy S Ă RzDpRq.
48 Dowód. pðq : Ustalmy a, b P R i załóżmy, że λpaq λpbq. Wówczas a 1 b 1, a zatem dla pewnego s 0 P S: s 0 pa bq 0. Ponieważ s 0 nie jest dzielnikiem zera, więc a b 0, czyli a b. pñq : Załóżmy, że s 0 P S jest dzielnikiem zera, czyli s 0 a 0 dla pewnego a P Rzt0u. Wówczas s 0 pa 0q 0, czyli a 1 0 1, a zatem λpaq λp0q więc λ nie jest różnowartościowe.
49 Wniosek Niech R będzie pierścieniem całkowitym oraz S Ă R podzbiorem multyplikatywym. Wówczas homomorfizm kanoniczny λ : R Ñ S 1 R jest różnowartościowy.
50 Definicja i uwaga Niech R będzie pierścieniem całkowitym oraz S Rzt0u. Wówczas homomorfizm kanoniczny λ : R Ñ S 1 R jest różnowartościowy, a pierścień S 1 R jest ciałem (to znaczy każdy pierścień całkowity można zanurzyć w ciało). Ciało S 1 R nazywamy ciałem ułamków pierścienia całkowitego R i oznaczamy prq.
51 Dowód. Wystarczy pokazać, że S 1 R jest ciałem. Ustalmy a s P S 1 Rzt 0 1 u. Pokażemy, że a s P UpS 1 Rq. Zauważmy, że a 0: istotnie, przypuśćmy, że a 0. Wówczas a s 0 s 0 1, co daje sprzeczność. Wobec tego s a P S 1 R. Ponadto a s s a 1 1.
52 Przykłady: 5. Niech R Z. Wówczas Q pzq jest ciałem ułamków Z. 6. Niech R F rx 1,..., x n s będzie pierścieniem wielomianów n zmiennych nad ciałem F. Wówczas ciało ułamków pierścienia R oznaczamy F px 1,..., x n q i nazywamy ciałem funkcji wymiernych a jego elementy funkcjami wymiernymi n zmiennych.
53 Twierdzenie (własność uniwersalna pierścienia ułamków) Niech P, R będą pierścieniami, S Ă P zbiorem multyplikatywnym, niech φ : P Ñ R będzie homomorfizmem takim, że φpsq Ă UpRq. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm ψ : S 1 P Ñ S 1 R taki, że ψ λ φ, gdzie λ : P Ñ S 1 P jest homomorfizmem kanonicznym. Ponadto jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy. Inaczej: diagram P φ λ 2 ψ S 1 P R
54 Dowód: Zdefiniujmy odwzorowanie ψ : S 1 P Ñ R wzorem ψp a s q φpaqpφpsqq 1 dla a s P S 1 P.
55 Pokażemy, że ψ jest dobrze określone. Istotnie, ustalmy a s P S 1 P i niech a s a1 s. Wobec tego istnieje element s 1 0 P S taki, że s 0 pas 1 a 1 sq 0. Zatem φps 0 pas 1 a 1 sqq φps 0 qpφpaqφps 1 q φpa 1 qφpsqq 0. Ponieważ φps 0 q P UpRq, więc φpaqφps 1 q φpa 1 qφpsq 0, a stąd ψp a s q φpaqpφpsqq 1 φpa 1 qpφps 1 qq 1 ψp a1 s 1 q.
56 Bez trudu sprawdzamy, że ψ jest homomorfizmem oraz że jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy. Pokażemy, że ψ λ φ. Ustalmy w tym celu a P P. Mamy: ψ λpaq ψpλpaqq ψp a 1 q φpaqpψp1qq 1 φpaq.
57 Pozostaje wykazać, że ψ jest wyznaczone jednoznacznie. Niech bowiem ψ 1, ψ 2 : S 1 P Ñ S 1 R będą takimi homomorfizmami, że ψ 1 λ φ oraz ψ 2 λ φ. Ustalmy a s P S 1 P. Mamy: ψ 1 p a s q ψ 1p a 1 1 s q ψ 1p a 1 q ψ 1p 1 s q ψ 1p a 1 q pψ 1p s qq 1 1 ψ 1 pλpaqqpψ pλpsqqq 1 1 ψ 1 λpaq pψ 2 λpaqq 1 φpaqpψpsqq 1 ψ 2 p a s q.
58 Wniosek Niech P będzie pierścieniem całkowitym, niech R będzie dowolnym pierścieniem, S Ă P zbiorem multyplikatywnym, niech φ : P Ñ R będzie homomorfizmem takim, że φpsq Ă UpRq. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm ψ : S 1 P Ñ S 1 R taki, że ψ λ φ, gdzie λ : P Ñ S 1 P jest homomorfizmem kanonicznym. Ponadto jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy. Inaczej: diagram P φ λ 2 ψ S 1 P R
59 Wniosek Niech P będzie pierścieniem całkowitym, niech F będzie dowolnym ciałem, niech φ : P Ñ F będzie homomorfizmem różnowartościowym. Wówczas istnieje dokładnie jeden homomorfizm różnowartościowy ψ : pp q Ñ F taki, że ψ λ φ, gdzie λ : P Ñ pp q jest homomorfizmem kanonicznym. Ponadto jeśli φ jest różnowartościowy, to ψ jest różnowartościowy. Inaczej: diagram φ P F λ 5 ψ pp q jest przemienny (to znaczy dla każdego pierścienia całkowitego jego ciało ułamków jest najmniejszym ciałem, w jaki pierścień ten można zanurzyć).
Pojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Bardziej szczegółowoPodciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
Bardziej szczegółowoRozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
Bardziej szczegółowoBaza i stopień rozszerzenia.
Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia teorii podzielności.
Podstawowe pojęcia teorii podzielności. Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem 1 całkowitym. Mówimy, że element a dzieli b, a, b P R, (lub że a jest dzielnikiem b, lub że b jest wielokrotnością a)
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowoDefinicja. Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G,
Grupy rozwiązalne. Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G, G piq rg pi 1q, G pi 1q s, dla i P N nazywamy górnym ciągiem centralnym grupy
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoWniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu.
11. Wykład 11: Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Ideały pierwsze i maksymalne. 11.1. Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Definicja i Uwaga 11.1. Niech R będzie pierścieniem,
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowojest przemienny. h f J.
12. Wykład 12: Moduły injektyne. Deinicja 12.1. Niec będzie pierścieniem, leym -modułem. eżeli dla każdego -modułu M i omomorizmu : M Ñ zacodzi następujący arunek: dla każdego leego -modułu N idlakażdego
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoCO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowo(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;
10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowociałem F i oznaczamy [L : F ].
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoim = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.
61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoΦ(f) ={g 1,...,g n }, jeżeli f ma przedstawienie f = x j g j dla pewnych x i R \{0}.
10. Wykład 10: Moduły wolne. Definicja 10.1. Niech R będzie pierścienie z jedynką. Lewy unitarny R-oduł M nazyway odułe wolny, gdy M = i I f i, gdzie f i = R, i I. Rodzinę {f i : i I} nazyway bazą (lub
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoAlgebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoAlgebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.
Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a +
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoWielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy
Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Bardziej szczegółowoO ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoLXX Olimpiada Matematyczna
LXX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 09 r. (pierwszy dzień zawodów). Punkty X i Y leżą odpowiednio wewnątrz boków i trójkąta ostrokątnego, przy
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoUniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny
Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoSpektrum pierścienia i topologia Zariskiego
Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo