Podstawowe pojęcia teorii podzielności.
|
|
- Marcin Sobczyk
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podstawowe pojęcia teorii podzielności.
2 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem 1 całkowitym. Mówimy, że element a dzieli b, a, b P R, (lub że a jest dzielnikiem b, lub że b jest wielokrotnością a) jeżeli istnieje element c P R taki, że ac b. Oznaczamy a b. 1 Od teraz pierścień będzie zawsze oznaczał pierścień przemienny z jedynką.
3 Przykłady: 1. W pierścieniu Z zachodzi 2 10 oraz W pierścieniu Rrxs zachodzi x 1 x W pierścieniu Zris zachodzi 2 ` i 5.
4 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym. Wówczas: 1. 1 a dla a P R, 2. a 0 dla a P Rzt0u, 3. a a dla a P Rzt0u, 4. a b ^ b c ñ a c dla a, b P Rzt0u, c P R, 5. u a dla u P UpRq, a P R, 6. jeśli dla a P Rzt0u, u P UpRq zachodzi a u, to a P UpRq, 7. a b 1,..., a b n ñ a x 1 b 1 `... ` x n b n dla a, b 1,..., b n, x 1,..., x n P Rzt0u, 8. a b ^ c d ñ ac bd dla a, b, c, d P Rzt0u, 9. a b ñ a bc dla a, b, c P Rzt0u, 10. ac bc ñ a b dla a, b, c P Rzt0u.
5 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym. Mówimy, że elementy a, b P R są stowarzyszone, gdy a b oraz b a. Oznaczamy a b.
6 Przykłady: 4. W pierścieniu Z zachodzi W pierścieniu Rrsx zachodzi 2x 2 ` 2 x 2 ` W pierścieniu Zris zachodzi 1 i.
7 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym, niech a, b P R. Wówczas a b wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje u P UpRq takie, że a bu.
8 Dowód. pñq : Załóżmy, że a b i b a. Zatem istnieją c, d takie, że ac b i bd a. Wobec tego bdc ac b, więc dc 1, 2 a zatem d P UpRq. pðq : Załóżmy, że a bu oraz u P UpRq. W szczególności b a. Ponadto au 1 b, więc a b. 2 Korzystamy tu z faktu, że w pierścieniu całkowitym zachodzi prawo skracania.
9 Przykłady: 7. W pierścieniu Z mamy UpZq t 1u. Zatem a b wtedy i tylko wtedy, gdy a b. 8. W pierścieniu F rxs, gdzie F jest dowolnym ciałem, mamy UpF rxsq F. Zatem f g wtedy i tylko wtedy, gdy f ag, dla pewnego elementu a P F. 9. W pierścieniu Zris mamy UpZrisq t 1, iu. Zatem a b wtedy i tylko wtedy, gdy a b lub a ib.
10 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym. Wówczas relacja jest relacją równoważności w zbiorze Rzt0u.
11 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym. 1. Element nieodwracalny i niezerowy a P R nazywamy nierozkładalnym, jeżeli dla wszelkich b, c P R jeśli a bc, to b P UpRq lub c P UpRq. 2. Element nieodwracalny i niezerowy a P R nazywamy rozkładalnym, jeżeli istnieją niezerowe i nieodwracalne elementy b, c P R takie, że a bc.
12 Przykłady: 10. Rozważmy pierścień Z. Wówczas a jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy a lub a jest liczbą pierwszą. 11. Rozważmy F rxs, gdzie F jest dowolnym ciałem. Jeżeli deg f 1, to f jest nierozkładalny. Dowód. Załóżmy, że f gh. Wówczas 1 deg f deg g ` deg h, zatem deg g 0 lub deg h 0, więc g P UpF rxsq lub h P UpF rxsq. Jeżeli deg f 2 lub deg f 3 i f nie ma pierwiastków w ciele F, to f jest nierozkładalny. Dowód. Załóżmy, że f gh dla g, h R UpF rxsq. W szczególności deg g, deg h 0. Wówczas t2, 3u Q deg f deg g ` deg h, a zatem deg g 1 lub deg h 1, więc g lub h ma pierwiastek w F, co daje sprzeczność. 12. Rozważmy Zrxs. Wówczas 2x ` 2 jest rozkładalny, bo 2x ` 2 2px ` 1q, 2 R UpZrxsq, x ` 1 R UpZrxsq, ale degp2x ` 2q Rozważmy Zris. Wówczas 3 jest nierozkładalny, ale 5 jest
13 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym. Element nieodwracalny i niezerowy a P R nazywamy pierwszym, jeżeli dla wszelkich b, c P R jeżeli a bc, to a b lub a c.
14 Przykłady: 14. Rozważmy pierścień Z. Wówczas a jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy a lub a jest liczbą pierwszą. 15. Rozważmy F rxs, gdzie F jest dowolnym ciałem. Wówczas x jest elementem pierwszym. Dowód. Załóżmy, że x fg, dla pewnych f, g P F rxs. Wówczas x h fg, dla pewnego h P F rxs. W szczególności fgp0q 0, więc fp0q 0 lub gp0q 0. Wobec twierdzenia Bezout x f lub x g.
15 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym, niech a P R. Jeśli a jest pierwszy, to jest nierozkładalny.
16 Dowód. Załóżmy, że a bc. Wówczas a bc, a więc a b lub a c. Jeśli a b, to dla pewnego d P R zachodzi ad b. Zatem b bcd, czyli cd 1, a więc c P UpRq. Jeśli a c to, podobnie, b P UpRq.
17 Przykład: 16. Rozważmy Zr? 5s. Wówczas 3 jest nierozkładalny, ale nie pierwszy.
18 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym, niech a b. Wówczas: 1. a jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy b jest nierozkładalny, 2. a jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy b jest pierwszy, 3. a c wtedy i tylko wtedy, gdy b c, 4. c a wtedy i tylko wtedy, gdy c b.
19 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym, niech a 1,..., a n, d P R. Element d nazywamy największym wspólnym dzielnikiem elementów a 1,..., a n, gdy 1. d a 1,..., d a n, 2. jeśli, dla dowolnego c P R, c a 1,..., c a n, to wówczas c d. Oznaczamy d NW Dpa 1,..., a n q.
20 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym, niech a 1,..., a n, d 1, d 2 P R. Niech d 1 NW Dpa 1,..., a n q oraz d 2 NW Dpa 1,..., a n q. Wówczas d 1 d 2.
21 Dowód. Wobec definicji d 1 a 1,..., d 1 a n i d 2 a 1,..., d 2 a n, więc d 1 d 2 oraz d 2 d 1.
22 Przykłady: 17. Rozważmy Z. Wówczas 4 NW Dp8, 12q. 18. Rozważmy Zr? 6s. Wówczas nie istnieje największy wspólny dzielnik elementów 6 oraz 2? 6.
23 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym. Załóżmy, że we wszystkich poprzednikach poniższych implikacji istnieją stosowne największe wspólne dzielniki. Wówczas istnieją też największe wspólne dzielniki w następnikach implikacji i ponadto: 1. jeśli d NW Dpa 1,..., a n q i a 1 da 1 1,..., a n da 1 n, to 1 NW Dpa 1 1,..., a1 nq; 2. jeśli a a 1,..., a a n, to a NW Dpa, a 1,..., a n q; 3. jeśli a jest nierozkładalny, to # 1, gdy a a i dla pewnego i P t1,..., nu NW Dpa, a 1,..., a n q a, gdy a a i dla wszelkich i P t1,..., n 4. NW Dpca 1,..., ca n q cnw Dpa 1,..., a n q; 5. jeśli 1 NW Dpa, a i q, dla i P t1,..., nu, to 1 NW Dpa, a 1,..., a n q; 6. NW Dpa 1,..., a n q NW DpNW Dpa 1,..., a n 1 q, a n q; 7. jeśli 1 NW Dpa, b, to 1 NW Dpa k, b l q, dla k, l P N;
24 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym, niech a 1,..., a n, w P R. Element w nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością elementów a 1,..., a n, gdy 1. a 1 w,..., a n w, 2. jeśli, dla dowolnego c P R, a 1 w,..., a n w, to wówczas w c. Oznaczamy d NW W pa 1,..., a n q.
25 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym, niech a 1,..., a n, d 1, d 2 P R. Niech w 1 NW W pa 1,..., a n q oraz w 2 NW W pa 1,..., a n q. Wówczas w 1 w 2.
26 Przykłady: 19. Rozważmy Z. Wówczas 24 NW W p6, 8q. 20. Rozważmy Zr? 3s. Wówczas nie istnieje najmniejsza wspólna wielokrotność elementów 2 i 1 `? 3, ale 1 NW Dp2, 1 `? 3q.
27 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym, niech a, b P R. Jeśli istnieje NW W pa, bq, to istnieje NW Dpa, bq oraz ab NW Dpa, bqnw W pa, bq.
28 Dowód. Niech w NW W pa, bq. Wówczas a ab oraz b ab, istnieje zatem d P R takie, że dw ab. Pokażemy, że d NW Dpa, bq. Pokażemy, że d a i d b. Istotnie, niech a 1 i b 1 będą takimi elementami, że w aa 1 oraz w bb 1. Wówczas ab dw daa 1 oraz ab dbb 1, a więc b da 1 oraz a db 1, czyli d b oraz d a. Ustalmy d 1 P R i załóżmy, że d 1 a oraz d 1 b. Pozostaje pokazać, że d 1 d. Istotnie, niech a i b będą takimi elementami, że a a d 1 oraz b b d 1. Wówczas a a b d 1 oraz b a b d 1 i skoro w NW W pa, bq, to w a b d 1. Zatem ab wd a b d 1 d i skoro ab a d 1 b d 1, więc d 1 d.
29 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym. Załóżmy, że we wszystkich poprzednikach poniższych implikacji istnieją stosowne największe wspólne dzielniki i najmniejsze wspólne wielokrotności. Wówczas istnieją też największe wspólne dzielniki i najmniejsze wspólne wielokrotności w następnikach implikacji i ponadto: 1. a b wtedy i tylko wtedy, gdy a NW Dpa, bq wtedy i tylko wtedy, gdy b NW W pa, bq; 2. NW W pa 1,..., a n q NW W pnw W pa 1,..., a n 1 q, a n q; 3. NW Dpa, NW W pb, cqq NW W pnw Dpa, bq, NW Dpa, cqq; 4. NW W pa, NW Dpb, cqq NW DpNW W pa, bq, NW W pa, cqq; 5. NW Dpa ` b, NW W pa, bqq NW Dpa, bq.
30 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym, niech a, b, c P Rzt0u. Wówczas: 1. a b wtedy i tylko wtedy, gdy paq Ą pbq; 2. a b wtedy i tylko wtedy, gdy paq pbq; 3. a P UpRq wtedy i tylko wtedy, gdy paq R; 4. a jest elementem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy paq jest ideałem pierwszym; 5. a jest elementem nierozkładalnym wtedy i tylko wtedy, gdy paq jest elementem maksymalnym w rodzinie ideałów głównych pierścienia R; 6. a jest elementem rozkładalnym wtedy i tylko wtedy, gdy paq nie jest elementem maksymalnym w rodzinie ideałów głównych pierścienia R.
31 Dowód. 1. pñq : Załóżmy, że a b. Wówczas ac b dla pewnego c P R, więc b P paq, więc pbq Ă paq. pðq : Załóżmy, że paq Ą pbq. Wówczas b P paq, czyli b ac dla pewnego c P R, czyli a b. 2. Wynika wprost z (1). 3. Oczywiste. 4. pñq : Załóżmy, że a jest elementem pierwszym. Niech xy P paq. Wówczas xy as, dla pewnego s P R, więc a xy, a zatem a x lub a y. Wobec tego aa 1 x lub aa 2 y, dla pewnych a 1, a 2 P R, czyli x P paq lub y P paq. pðq : Załóżmy, że paq jest ideałem pierwszym. Niech a xy. Wówczas xy as, dla pewnego s P R, więc xy P paq, a zatem x P paq lub y P paq. Wobec tego aa 1 x lub aa 2 y, dla pewnych a 1, a 2 P R, czyli a x lub a y. 5. pñq : Załóżmy, że a jest nierozkładalny. Niech paq Ă pcq Ă R, dla pewnego c P R. Wówczas c a, czyli cx a, dla pewnego x P R. Wobec tego c P UpRq lub
32 Pierścienie z jednoznacznym rozkładem.
33 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym. 1. Pierścień R nazywamy pierścieniem z rozkładem gdy każdy niezerowy i nieodwracalny element tego pierścienia można przedstawić w postaci iloczynu elementów nierozkładalnych. 2. Pierścień R nazywamy pierścieniem z jednoznacznym rozkładem (lub pierścieniem gaussowskim, lub UFD 3 ) gdy każdy niezerowy i nieodwracalny element tego pierścienia można przedstawić w postaci iloczynu elementów nierozkładalnych w sposób jednoznaczny z dokładnością do stowarzyszenia. 3 Unique factorization domain.
34 Przykłady: 1. Zdefiniujmy ω d # 1`? d 2, gdy d 1 mod 4,? d, w przeciwnym przypadku i rozważmy pierścień Zrω d s. Twierdzenie. Jeżeli d ă 0, to Zrω d s jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem wtedy i tylko wtedy, gdy d P t 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163u. Uwaga. Jeżeli d ą 0, to wśród d P t1,..., 100u jest 38 takich, że Zrω d s jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem. Ogólnie nie wiadomo, czy pierścieni Zrω d s o tej własności jest nieskończenie wiele. 2. Rozważmy Zr? 5s. Istotnie, Zr? 5s nie jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem, albowiem 3 3 p2 `? 5qp2? 5q.
35 Tak więc jeżeli oznaczymy przez PpRq zbiór reprezentantów klas abstrakcji względem relacji stowarzyszenia wyznaczonych przez elementy nierozkładalne, to każdy element a ma jednoznaczne przedstawienie postaci Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym z jednoznacznym rozkładem. Niech a P R i niech a p p 1k1 p p 2k2 p n1... p nkn będzie rozkładem elementu a na iloczyn elementów nierozkładalnych, przy czym p isi p iti, i P t1,..., nu, s, t P t1,..., ku oraz p isi j p jtj dla i j, s, t P t1,..., ku. Wówczas a up k p kn n 1, u P UpRq. Ponadto, jeżeli a up k pkn n vp l p ln n są dwoma rozkładami takiej postaci oraz p 1,..., p n są parami niestowarzyszone, to k 1 l 1,..., k n l n.
36 Dowód. Niech p 11,..., p 1k1 będą elementami nierozkładalnymi, p 1s1 p 1t1, s, t P t1,..., ku. Pokażemy, że p p 1k1 up k dla pewnego u P UpRq. Istotnie, ponieważ p 11 p 1s1 dla s P t2,..., ku, więc istnieją u 2,..., u k1 P UpRq takie, że p 11 u s p 1s1, s P t2,..., ku. Zatem: p p 1k1 p 11 u 2 p 12 u k1 p 1k1 up k Niech up k pkn n vp l p ln n dla p i j p j, i j. Pokażemy, że k 1 l 1,..., k n l n. Istotnie, przypuśćmy, że k 1 ą l 1. Wówczas up k 1 l p kn n vp l p ln n oraz k 1 l 1 ą 0. Wobec jednoznaczności rozkładu p 1 p i0, dla i 0 P t2,..., nu, co jest sprzeczne z przyjętymi założeniami.
37 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym z jednoznacznym rozkładem. Niech a, b P Rzt0u i niech a up k pkn n, gdzie u P UpRq, p 1,..., p n P PpRq są parami różne, będzie rozkładem kanonicznym. Wówczas b a wtedy i tylko wtedy, gdy b vp l p ln n, gdzie v P UpRq oraz l i ď k i, i P t1,..., nu.
38 Dowód. pðq : Oczywiste. pñq : Załóżmy, że a bc, dla pewnego c P R. Wówczas up k pkn n bc i wobec jednoznaczności rozkładu, w rozkładzie b i c występują elementy nierozkładalne stowarzyszone z p 1,..., p k. Niech więc b vp l p ln n, c v 1 p m p mn n. Zatem k i l i ` m i ě l i, i P t1,..., ku.
39 Twierdzenie Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym z rozkładem. Następujące warunki są równoważne: 1. R jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem; 2. każdy element nierozkładalny w R jest pierwszy; 3. dla każdych dwóch elementów niezerowych istnieje ich największy wspólny dzielnik.
40 Dowód: p1q ñ p3q : Załóżmy, że R jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem. Niech a up k pkn n, b vp l p ln n (dopuszczamy k i, l i 0). Niech m i mintk i, l i u i niech d p m p mn n. Pokażemy, że d NW Dpa, bq. Oczywiście d a i d b. Niech c a i c b. Wobec Uwagi 0.13 c wp s pmn n, gdzie w P UpRq, s i ď k i, s i ď l i, i P t1,..., nu. Zatem s i ď m i mintk i, l i u, i P t1,..., nu, więc c d.
41 p3q ñ p2q : Załóżmy, że dla każdych dwóch elementów niezerowych istnieje ich NWD. Niech p będzie elementem nierozkładalnym. Niech p ab. Pokażemy, że p a lub p b. Istotnie, przypuśćmy, że p a i p b. Wówczas 1 NW Dpp, aq i 1 NW Dpp, bq. Zatem 1 NW Dpp, abq, co jest sprzecznością, bo p ab i p jest nierozkładalny.
42 p2q ñ p1q : Załóżmy, że każdy element nierozkładalny w R jest pierwszy. Niech p 1... p n q 1... q m, gdzie n, m P N oraz p 1,..., p n, q 1,..., q m są nierozkładalne. Pokażemy, że n m oraz, po ewentualnej zmianie numeracji, p 1 q 1,..., p n q n. Dowód przeprowadzimy indukcyjnie względem n. Jeśli n 1, to p 1 q 1... q m. Skoro p 1, q 1,..., q m są nierozkładalne, to m 1 i p 1 q 1, więc i p 1 q 1.
43 Jeśli n ą 1, to załóżmy prawdziwość twierdzenia dla k ă n. Ponieważ p 1... p n q 1... q m, więc p 1 q 1... q m. Ponieważ p 1 jest nierozkładalny, więc p 1 jest pierwszy. Zatem dla pewnego i 0 P t1,..., mu zachodzi p 1 q i0, przy czym możemy założyć, że i 0 1 i tym samym p 1 q 1. Ponieważ q 1 jest nierozkładalny, więc p 1 q 1. Zatem q 1 up 1, dla pewnego u P UpRq. Mamy więc a stąd p 1... p n up 1 q 2... q m, p 2... p n uq 2... q m. Oczywiście uq 2 jest nierozkładalny. Zatem wobec założenia indukcyjnego n 1 m 1 oraz p 2 uq 2 q 2,..., p n q n.
44 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym z jednoznacznym rozkładem. Niech p P PpRq. Funkcję v p : R Ñ Z Y t8u zdefiniowaną wzorem $ & k i, jeśli p p i, v p paq 0, jeśli p R tp 1,..., p n u, % 8, jeśli a 0, gdzie a up k pkn n jest rozkładem kanonicznym elementu a, nazywamy waluacją p-adyczną.
45 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym z jednoznacznym rozkładem. Niech p P PpRq i niech v p : R Ñ Z Y t8u będzie jego waluacją p-adyczną. Wówczas: 1. jeśli a 0, to v p paq ě 0; 2. v p paq 0 dla prawie wszystkich p P PpRq; 3. jeśli a P R, to a u ś pppprq pvppaq, dla pewnego u P UpRq; 4. v p pabq v p paq ` v p pbq, dla a, b P R; 5. v p pa ` bq ě mintv p paq, v p pbqu, dla a, b P R; 6. jeśli a, b P R, to a b wtedy i tylko wtedy, gdy v p paq ď v p pbq, dla wszystkich p P PpRq.
46 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym z jednoznacznym rozkładem. Niech a, b P R. Wówczas: 1. istnieje największy wspólny dzielnik elementów a i b oraz zachodzi wzór NW Dpa, bq ź p mintvppaq,vppbqu ; pppprq 2. istnieje najmniejsza wspólna wielokrotność elementów a i b oraz zachodzi wzór NW W pa, bq ź p maxtvppaq,vppbqu. pppprq
47 Dowód. 1. Porównaj dowód implikacji p1q ñ p3q w Twierdzeniu Ćwiczenie.
48 Dziedziny ideałów głównych.
49 Twierdzenie Każdy całkowity pierścień ideałów głównych jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem.
50 Dowód: Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym (dziedziną) ideałów głównych. Pokażemy najpierw, że każdy wstępujący łańcuch ideałów jest skończony. Istotnie, niech I 1 Ă I 2 Ă... będzie wstępującym łańcuchem ideałów. Niech J Ť 8 i 1 I i. Wówczas J Ÿ R, ale ponieważ R jest pierścieniem ideałów głównych, więc J paq, dla pewnego a P R. W szczególności a P I i0, dla pewnego i 0 P N, a zatem J paq Ă I i0 i ponieważ I i0 Ă J, więc J I i0. Ponadto: J I i0 Ă I i0`1 Ă I i0`2 Ă... Ă więc dla j ą i 0 zachodzi I j I i0 J. 8ď I i J, i 1
51 Pokażemy, że R jest pierścieniem z rozkładem. Przypuśćmy nie wprost, że R nie jest pierścieniem z rozkładem. Wówczas istnieje niezerowy i nieodwracalny element a P R taki, że a nie jest iloczynem elementów nierozkładalnych. W szczególności a nie jest elementem nierozkładalnym, a więc a a 1 b 1 dla pewnych niezerowych i nieodwracalnych a 1, b 1 P R. Zauważmy, że a 1 lub b 1 nie jest iloczynem elementów nierozkładalnych: istotnie, gdyby a 1 p 1... p k oraz b 1 q 1... q l, dla pewnych nierozkładalnych elementów p 1,..., p k, q 1,..., q l, to wówczas a a 1 b 1 p 1... p k q 1... q l wbrew założeniom. Załóżmy, że to a 1 nie jest iloczynem elementów nierozkładalnych. W szczególności a 1 nie jest nierozkładalny, a więc a 1 a 2 b 2 dla pewnych niezerowych i nieodwracalnych elementów a 2, b 2 P R, z których przynajmniej jeden powiedzmy a 2 nie jest iloczynem elementów nierozkładalnych. Postępując indukcyjnie otrzymujemy nieskończone ciągi a 1, a 2, a 3,... oraz b 1, b 2, b 3,... elementów niezerowych i nieodwracalnych takich, że a i a i`1 b i`1, i P N. W szczególności a i`1 a i, dla i P N, otrzymujemy więc nieskończony ciąg wstępujący ideałów
52 Ustalmy a P R i załóżmy, że a jest elementem nierozkładalnym. Wobec Uwagi 0.11 (5) oraz tego, że R jest pierścieniem ideałów głównych, paq jest ideałem maksymalnym w R. Wobec tego jest też ideałem pierwszym. A zatem wobec Uwagi 0.11 (4) a jest elementem pierwszym. Tym samym, wobec Twierdzenie 0.1, R jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem.
53 Przykłady: 1. (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki) Z jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem. 2. Niech F będzie dowolnym ciałem. Wówczas F rxs jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem.
54 Uwaga Niech pr, `, q będzie dziedziną ideałów głównych, niech a 1,..., a n, d P R. Wówczas d NW Dpa 1,..., a n q wtedy i tylko wtedy, gdy pdq pa 1,..., a n q.
55 Dowód. pñq : Załóżmy, że pdq pa 1,..., a n q. Pokażemy, że d NW Dpa 1,..., a n q. Oczywiście d a i dla i P t1,..., nu. Niech zatem c a i, i P t1,..., nu. Wtedy a i P pcq, i P t1,..., nu, a więc pa 1,..., a n q Ă pcq. Zatem pdq Ă pcq, więc c d. pðq : Załóżmy teraz, że d NW Dpa 1,..., a n q. Ponieważ R jest pierścieniem ideałów głównych, więc pa 1,..., a n q pd 1 q, dla pewnego d 1 P R. Wobec już udowodnionej części twierdzenia, d 1 NW Dpa 1,..., a n q, a więc d d 1.
56 Wniosek Niech pr, `, q będzie dziedziną ideałów głównych, niech a 1,..., a n, d P R. Wówczas: 1. 1 NW Dpa 1,..., a n q wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją x 1,....x n P P takie, że 1 x 1 a 1 `... ` x n a n ; 2. d NW Dpa 1,..., a n q wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją x 1,....x n P P takie, że d x 1 a 1 `... ` x n a n ; 3. jeśli istnieją x 1,....x n P P takie, że d x 1 a 1 `... ` x n a n, to NW Dpa 1,..., a n q d.
57 Pierścienie euklidesowe.
58 Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem całkowitym. 1. Funkcję N : R Ñ N Y t8u nazywamy normą euklidesową, jeżeli Npaq 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a b P Rzt0upNpaq ď b P Rzt0uDq, r P Rpa bq ` rq oraz Nprq ă Npbq. 2. Funkcję N : R Ñ N Y t8u nazywamy multyplikatywną normą euklidesową, jeżeli jest normą euklidesową b P Rzt0upNpabq NpaqNpbqq. 3. Pierścień R nazywamy pierścieniem euklidesowym, jeżeli istnieje w nim norma euklidesowa. 4. Pierścień R nazywamy pierścieniem euklidesowym z normą multyplikatywną, jeżeli istnieje w nim multyplikatywna norma euklidesowa.
59 Uwaga Niech pr, `, q będzie pierścieniem euklidesowym, N : R Ñ N Y t8u normą euklidesową, niech a, b P Rzt0u. Wówczas: 1. jeżeli a b, to Npaq ď Npbq; 2. jeżeli a b, to Npaq Npbq; 3. a P UpRq wtedy i tylko wtedy, gdy Npaq Np1q; 4. jeżeli Npaq Npbq i a b, to a b. Ponadto, gdy N : R Ñ N Y t8u jest multyplikatywną normą euklidesową, to: 5. jeżeli a b, to Npaq Npbq; 6. a P UpRq wtedy i tylko wtedy, gdy Npaq 1; 7. jeżeli Npaq jest liczbą pierwszą, to a jest elementem nierozkładalnym.
60 Przykłady: 1. Rozważmy Z. Jest to pierścień euklidesowy z normą multyplikatywną N : Z Ñ N Y t0u, Npaq a. 2. Rozważmy F rxs, gdzie F jest dowolnym ciałem. Jest to pierścień euklidesowy z normą multyplikatywną N : F rxs Ñ N Y t0u, # 0, jeśli f 0, Npfq 2 deg f, jeśli f Rozważmy Zrω d s. Twierdzenie. Zrω d s jest pierścieniem euklidesowym wtedy i tylko wtedy, gdy d P t 11, 7, 3, 1, 2, 3, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73u
61 Twierdzenie Każdy pierścień euklidesowy jest dziedziną ideałów głównych.
62 Dowód. Niech pr, `, q będzie pierścieniem euklidesowym, N : R Ñ N Y t8u normą euklidesową, Niech t0u I Ÿ P. Pokażemy, że I jest główny. Istotnie, niech n mintnpaq : a P I, a 0u i niech n Npcq. Wystarczy pokazać, że I pcq. Inkluzja pąq jest oczywista, a dla dowodu inkluzji păq ustalmy x P I. Wówczas istnieją q, r P R takie, że x qc ` r, oraz Nprq ă Npcq. Zatem r x qc P I oraz Nprq ă Npcq. Wobec wyboru elementu c, r 0, a więc x qc P pcq.
63 Wniosek Każdy pierścień euklidesowy jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem.
64 Przykład: 4. Rozważmy Zrω 19 s. Jest to pierścień z jednoznacznym rozkładem, ale nie jest euklidesowy.
65 Twierdzenie (algorytm Euklidesa) Niech pr, `, q będzie pierścieniem euklidesowym, N : R Ñ N Y t8u normą euklidesową, niech a, b P Rzt0u. Wówczas istnieją ciągi pq 1,..., q n q oraz pr 1,..., r n q elementów pierścienia R takie, że a b q 1 ` r 1 i Npr 1 q ă Npbq, b r 1 q 2 ` r 2 i Npr 2 q ă Npr 1 q, r 1 r 2 q 3 ` r 3 i Npr 3 q ă Npr 2 q,. r n 3 r n 2 q n 1 ` r n 1 i Npr n 1 q ă Npr n 2 q,
66 Dowód. Istnienie stosownych ciągów pq 1, q 2,...q i pr 1, r 2,...q wynika z definicji normy. Pokażemy, że ciągi te są skończone. Przypuśćmy, że pr 1, r 2,...q jest ciągiem nieskończonym. Wówczas pnpr 1 q, Npr 2 q,...q jest nieskończonym malejącym ciągiem liczb naturalnych, co jest niemożliwe. Pokażemy, że r n 1 NW Dpa, bq. Zauważmy najpierw, że r n 1 a i r n 1 b. Mamy r n 2 r n 1 q n, a zatem r n 1 r n 2. Mamy też r n 3 r n 2 q n 1 ` r n 1, a więc r n 1 r n 3. Postępując indukcyjnie otrzymujemy, że r n 1 a i r n 1 b. Załóżmy, że c a i c b. Ponieważ a b q 1 ` r 1, więc c r 1. Dalej, ponieważ b r 1 q 2 ` r 2, więc c r 2. Postępując indukcyjnie otrzymujemy, że c r n 1.
i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoBaza i stopień rozszerzenia.
Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar
Bardziej szczegółowoPojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoPodciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
Bardziej szczegółowoRozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoDefinicja. Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G,
Grupy rozwiązalne. Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G, G piq rg pi 1q, G pi 1q s, dla i P N nazywamy górnym ciągiem centralnym grupy
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowociałem F i oznaczamy [L : F ].
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoWielomiany wielu zmiennych.
Wielomiany wielu zmiennych. Definicja i uwaga: Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem zmiennych x 1,..., x n o współczynnikach z pierścienia R będziemy nazywali wyrażenie postaci ÿ a i1...i
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych
Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowoWielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy
Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowoPodzielność liczb. Podzielność liczb
Euclides i kwestie podzielności liczb Definicja Niech a, b Z. Mówimy, że liczba a > 0 dzieli liczbę b, albo a b, jeżeli istnieje taka całkowita liczba c, że b = ac. Definicja a b a > 0 i b = ac, c całkowite.
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoKONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.
KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoAlgebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.
Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a +
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoAlgebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Bardziej szczegółowoLXX Olimpiada Matematyczna
LXX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 09 r. (pierwszy dzień zawodów). Punkty X i Y leżą odpowiednio wewnątrz boków i trójkąta ostrokątnego, przy
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowoAlgebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoĄ ń Ę Ę ź Ę Ę Ę ź Ż ź Ę ń ń ć Ę ź Ż
Ó Ś ń Ś Ź ń Ą ń Ę Ę ź Ę Ę Ę ź Ż ź Ę ń ń ć Ę ź Ż Ę Ę Ę ź ź Ą Ą ĄĄ ń Ę Ę ń ń ń Ź Ą ń ń ń ń Ę Ą Ę ń Ę Ę Ą ń ń ń ń ź Ę Ę ź ć ń Ę ń Ę Ę Ą ń Ę Ę ń Ę Ę ć ć ń ń Ę Ę Ę Ę ć ć Ź ć ć Ę Ż Ę ń Ż Ó Ę ć ń Ę Ż Ż Ż Ż Ę
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowo19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoZegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup.
Rozgrzewka (Ci, którzy znają pojęcie kongruencji niech przejdą do zadania 3 bc i 4, jeśli i te zadania są za proste to proponuje zadanie 5): Zad.1 a) Marek wyjechał pociągiem do Warszawy o godzinie 21
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowojest przemienny. h f J.
12. Wykład 12: Moduły injektyne. Deinicja 12.1. Niec będzie pierścieniem, leym -modułem. eżeli dla każdego -modułu M i omomorizmu : M Ñ zacodzi następujący arunek: dla każdego leego -modułu N idlakażdego
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii liczb
Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja
Bardziej szczegółowoKongruencje twierdzenie Wilsona
Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.
Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowo