NIEPEWNOŚCI POMIAROWE

Transkrypt

1 Krzysztof Sacha Kraków, 2014 r. NIEPEWNOŚCI POMIAROWE Każdy wynik pomiaru jest obarczony pewna. Wynik pomiaru bez informacji o niepewności pomiarowej jest bezwartościowy. 1 Niepewności systematyczne Przypuśćmy, że dokonujemy pomiaru grubości sto lu używaja c linijki. Zazwyczaj niezależnie od miejsca, w którym dokonamy pomiaru zawsze otrzymujemy ten sam wynik np. l = 2.4cm. Na pytanie jaka jest dok ladność l pomiaru latwo odpowiedzieć, bo odpowiada ona najmniejszemu elementowi d lugości zaznaczonemu na linijce, czyli zwykle l = 1mm. Jeden milimetr w rozpatrywanym przyk ladzie jest tzw. systematyczna. Niepewność systematyczna pojawia sie zawsze w trakcie pomiarów i zwia zana jest z dok ladnościa z jaka jest w stanie mierzyć przyrza d pomiarowy. W przypadku pomiaru czasu przy użyciu stopera be dzie to 0.1s lub 1ms. Jeżeli dokonaliśmy pomiaru napie cia elektrycznego cyfrowym miernikiem otrzymuja c wynik U = 3.2V, niepewność systematyczna wyliczymy ze wzoru, który można znaleźć w specyfikacji przyrza du, np. ±2% rdg ± 3 dgt, (1) gdzie rdg to wartość zmierzona (u nas rdg= 3.2V ), natomiast dgt to wartość ostatniej cyfry znacza cej (w rozpatrywanym przyk ladzie dgt=0.1v ). Zatem U = V V = 0.364V. (2) Niepewności zapisujemy podaja c co najwyżej dwie cyfry znacza ce (zaokra glamy zawsze w góre ), zatem U = 0.37V lub U = 0.4V. Wynik pomiaru obarczonego systematyczna zapisujemy 3.2V ± 0.4V lub (3.2 ± 0.4)V. Jeżeli w pomiarach nie wyste inne rodzaje niepewności, to niepewność systematyczna określa przedzia l, w którym z ca la pewnościa zawarta jest prawdziwa wartość mierzonej wielkości. W analizowanym przyk ladzie prawdziwa wartość zmierzonego napie cia zawiera sie w przedziale (U U, U + U) = (2.8V, 3.6V ). 2 Niepewności przypadkowe (statystyczne) Grubość sto lu możemy zmierzyć linijka, ale również przy użyciu suwmiarki (niepewność systematyczna 0.1mm) lub śruby mikrometrycznej (niepewność systematyczna 0.01mm). Wówczas w zależności w jakim miejscu sto lu dokonamy pomiary wynik może być różny. Powiedzmy, że mierza c śruba mikrometryczna grubość w różnych miejscach otrzymaliśmy zbiór wyników pokazany na Rys. 1(a). Jak w takiej sytuacji odpowiedzieć na pytanie jaka jest grubość sto lu? W rzeczywistości nie da sie ściśle odpowiedzieć na to pytanie, bo stó l w różnych miejscach ma różna grubość. Możemy jedynie powiedzieć z jakim prawdopodobieństwem otrzymamy dana wartość grubości jeśli kolejny raz dokonamy pomiaru. Dziela c liczby otrzymanych wyników, które przedstawiliśmy na Rys. 1(a) przez calkowita liczbe pomiarów (równa w naszym przyk ladzie N = 62) dostajemy prawdopodobieństwa otrzymania różnych wartości grubości sto lu np. prawdopodobieństwo, że kolejny pomiar da w wyniku 2.307cm wynosi 18/N 0.3. Nie możemy odpowiedzieć ściśle na pytanie jaka jest grubość sto lu, ale możemy policzyć jaka jest średnia grubość sto lu l = l 1 + l l N N 1 = 1 N l i. (3)

2 Wartość średnia l nic nam jednak nie mówi z jakim rozrzutem be pojawiać sie wyniki pomiarów jeśli ponownie przysta pilibyśmy do mierzenia grubości sto lu. Wyliczmy tzw. wariancje pojedynczego pomiaru σ 2 = (l 1 l) 2 + (l 2 l) (l N l) 2 = 1 (l i l) 2. (4) Pierwiastek wariancji, czyli tzw. odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru, określa nam przedzia l ( l σ, l + σ) w jaki z dużym prawdopodobieństwem be wpadać wyniki kolejnych pomiarów. W rozważanym przyk ladzie odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru mówi nam na ile chropowaty jest stó l. liczba wynikow (a) p(x) 0,4 0,3 0,2 0,1 (b) 2 0 2,305 2,306 2,307 2,308 2,309 2,31 2,311 grubosc stolu [cm] x/σ Rys. 1: Na rysunku (a) przedstawiono ile razy w trakcie 62 pomiarów grubości sto lu, przy użyciu śruby mikrometrycznej, otrzymano dany wynik. Na rysunku (b) przedstawiono wykres rozk ladu Gaussa zmiennej losowej x, tzn. p(x) = (2πσ 2 ) 1/2 exp[ x 2 /(2σ 2 )], scharakteryzowany średnia wartościa równa 0 i odchyleniem standardowym σ. Zakreskowany obszar odpowiada przedzia lowi ( σ, σ). W przedzia l ten z prawdopodobieństwem 0.68 wpadaja zmienne losowe x. Mamy świadomość, że stó l w różnych miejscach ma różna grubość i że dobra wielkościa charakteryzuja ca stó l jest średnia grubość, która możemy wyznaczyć ze wzroru (3) i która podamy jako końcowy wynik naszych pomiarów. No dobrze, ale chcielibyśmy jeszcze wiedzieć z jaka dok ladnościa wyznaczyliśmy wartość średnia. Innymi s lowy jaka jest niepewność wartości średniej? Nie wiemy jaka funkcja opisać rozk lad prawdopodobieństwa pojedynczych pomiarów przedstawiony na Rys. 1(a), ale wiemy jaka funkcja opisuje rozk lad prawdopodobieństwa otrzymania różnych wartości średnich! Centralne twierdzenie graniczne gwarantuje nam, że prawdopodobieństwo otrzymania różnych wartości średnich (3) opisane jest krzywa Gaussa (tzw. rozk lad normalny) p( l) = 1 ( σ 2π exp ( l l 0 ) 2 ) 2 σ 2, (5) gdzie σ = σ/ N, niezależnie od tego z jakiego rozk ladu prawdopodobieństwa losujemy l 1, l 2,..., l N, pod warunkeim, że N jest duże i σ < +. Krzywa Gaussa przedstawiona jest na Rys. 1(b). Jeżeli be dziemy przeprowadzać wielokrotnie pomiary wartości średniej l to be one z prawdopodobieństwem 0.68 wpadać w przedzia l ( l 0 σ, l 0 + σ). Podsumowuja c: przedstawiaja c wyniki pomiarów podajemy otrzymana wartość średnia l oraz odchylenie standardowe wartości średniej σ, gdzie σ = σ = 1 (l i N N() l) 2. (6) 2

3 Odchelenie standardowe wartości średniej jest (statystyczna ), która interpretujemy naste co: jeżeli przeprowadzimy kolejna serie pomiarów to wyznaczona nowa wartość średnia z prawdopodobieństwem 0.68 wpadnie w przedzia l ( l σ, l+ σ). Z w lasności rozk ladu Gaussa wiemy, że nowa wartość średnia z prawdopodobieństwem 0.95 wpadnie w przedzia l ( l 2 σ, l +2 σ), a z prawdopodobieństwem w przedzia l ( l 3 σ, l +3 σ). Zauważmy, że zwie kszaja c liczbe pomiarów N, niepewność wyznaczonej wartości średniej maleje ponieważ σ = σ/ N. Op laca sie zatem przeprowadzić wiele pomiarów aby wyznaczana wartość średnia by la określona z jak najmniejsza. Należy podkreślić, że odchylenie standardowe wartości średniej nic nam nie mówi czy stó l jest chropowaty czy g ladki stolarz móg l wykonać stó l bardzo niezdarnie, a mimo to średnia grubość sto lu możemy wyznaczyć z dowolnie ma la jeżeli wykonamy bardzo duża serie pomiarów. Na koniec zastanówmy sie jak podać wyniki pomiarów w sytuacji gdy wyste zarówno niepewności systematyczne i statystyczne. Jeżeli: niepewność systematyczna < 0.1 odchylenie standardowe wartości średniej, to niepewność systematyczna możemy zaniedbać, odchylenie standardowe wartości średniej < 0.1 niepewność systematyczna, to niepewność możemy zaniedbać. Jeżeli niepewności systematyczne i przypadkowe sa porównywalne musimy obie uwzgle dnić. Natura obu niepewności jest różna i najprostszym rozwia zaniem jest podanie osobno ile wynosi la niepewność systematyczna, a ile odchylenie standardowe wartości średniej. 3 Pomiary pośrednie Cze sto bywa, że dokonujemy pomiaru pewnych wielkości, które naste pnie s luża nam do wyznaczenia innej wielkości. Powiedzmy, że mierzymy x i y, a naste pnie z zależności z = f(x, y) wyliczamy interesuja ca nas wielkość z. Pomiary x i y obarczone sa niepewnościami, jaka jest zatem niepewność wyznaczenia z? Natura niepewności systematycznych i przypadkowych jest różna, dlatego do ich wyznaczenia zastosujemy nieco inne wzory. Jeżeli niepewności systematyczne mierzonych wielkości wynosza x i y, to niepewność systematyczna wyznaczanej wielkości z = f(x, y) wyliczymy ze wzoru gdzie f(x,y) x i f(x,y) y z = f(x, y) x x + f(x, y) y y, (7) to pochodne funkcji f(x, y) odpowiednio po zmiennej x i y. Niepewność z mówi nam jak niepewności systematyczne przyrza dów użytych do pomiaru wielkości x i y wp lywaja na dok ladność wyznaczenia z. Jeżeli niepewności przypadkowe sa do zaniedbania, to z określa szerokość przedzia lu, w którym z ca la pewnościa zawarta jest prawdziwa wartość wyznaczanej wielkości z. Za lóżmy, że odchylenia standardowe wartości średnich x i ȳ wynosza odpowiednio σ x i σ y. Niepewność wyznaczanej wielkości z = f( x, ȳ) wyliczymy naste co σ z = ( f( x, ȳ) x ) 2 σ 2 x + ( f( x, ȳ) ȳ ) 2 σ 2 y. (8) Interpretacja σ z jest taka sama jak σ x i σ y, tzn. σ z określa przedzia l ( z σ z, z + σ z ), w który z prawdopodobieństwem 0.68 wpadnie z wyznaczone na podstawie kolejnej serii pomiarów. 3

4 4 Regresja liniowa W badaniach laboratoryjnych cze sto mamy do czynienia z sytuacja, gdzie pewna wielkość y jest funkcja liniowa innej wielkości x, tzn. y = ax + b (np. droga s przebyta przez cia lo poruszaja ce sie ze sta la pre dkościa v zależy liniowo od czasu ruchu t, tj. s = vt+s 0 ). Powiedzmy, że jesteśmy w stanie mierzyć y oraz kontrolować i mierzyć x i interesuje nas wyznaczenie wspó lczynnika nachylenia prostej a (np. mierzymy droge przebyta przez cia lo dla wielu różnych chwil czasowych i chcemy wyznaczyć jego pre dkość). Zak ladamy zatem, że mamy do dyspozycji zbiór par liczb {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x N, y N )} oraz, że istnieja mocne przes lanki, że zależność mie dzy y i i x i jest liniowa y i = ax i + b. Parametry a i b chcemy dobrać tak, aby linia prosta przechodzi la możliwie jak najbliżej każdego punktu (x i, y i ). W tym celu policzmy sume S(a, b) = [y 1 (ax 1 + b)] [y N (ax N + b)] 2 = [y i (ax i + b)] 2, (9) i spróbujmy tak dobrać a i b, aby suma S(a, b) by la minimalna. Jeżeli mielibyśmy do dyspozycji tylko dwie pary liczb {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )}, to wzory na optymalne wartości parametrów znane sa nawet w szkole średniej, tzn. a = y 2 y 1 x 2 x 1, b = y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 x 1. (10) W przypadku dowolnej liczby par rozwia zanie uk ladu równań: otrzymać ogólna postać wzorów S(a,b) a = 0 i S(a,b) b = 0, pozwala gdzie x = 1 N N x i i ȳ = 1 N N y i sa wartości średnimi, a = r σ y σ x, b = ȳ a x, (11) σ x = 1 (x i x) 2, σ y = 1 (y i ȳ) 2, (12) odchyleniami standardowymi, natomiast r = σ xy σ x σ y, (13) gdzie σ xy = 1 N N 1 (x i x)(y i ȳ), to tzw. wspó lczynnik korelacji Pearsona. Wzory wygla daja na skomplikowane, ale zazwyczaj korzystamy z gotowych programów, w których wystarczy podać pary liczb, a komputer już sam wyliczy dla nas szukane paramtry a i b oraz odchylenia standardowe σ a i σ b. Maja c do dyspozycji pary liczb {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x N, y N )} za lożyliśmy, że relacja mie dzy y i i x i jest liniowa i naste pnie wyliczyliśmy paramtry funkcji liniowej korzystaja c z wzorów (11). Pytanie czy poczynione za lożenie jest s luszne? Wielkościa, która pozwala nam ocenić na ile za lożenie o liniowej zależności jest poprawne jest wspó lczynnik korelacji Pearsona (13). Latwo sie przekonać, że jeśli y i = ax i + b to wspó lczynnik korelacji liniowej wynosi r = +1 dla a > 0 lub r = 1 dla a < 0. Im s labsza jest liniowa korelacja me dzy y i i x i tym r mniejsze i w przypadku braku korelacji przyjmuje wartość r = 0. W praktyce regresje liniowa stosujemy gdy r 1, wówczas wzór (11) na wspó lczynnik nachylenia prostej redukuje sie do latwej do interpretacji postaci a σ y /σ x. Prosze pamie tać, że wzory (11) sa poprawne, jeżeli niepewności wyznaczenia x i i y i sa takie same niezależnie od i. Jeżeli różne punkty (x i, y i ) sa wyznaczone z różnymi niepewnościami należy w programie komputerowym wybrać odpowiednia wersje regresji liniowej. 4

5 References [1] I Pracownia fizyczna, red. A. Magiera, OWI Krakw [2] H. Szyd lowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa