Metoda dyskretyzacji częściowej w analizie drgań własnych niejednorodnych płyt kołowych z wtrąceniami w postaci masy pierścieniowej

Transkrypt

1 B u l e t y n WAT Vo l. LXII, Nr, Metoda dyskretyzac częścowe w analze drgań własnych neednorodnych płyt kołowych z wtrącena w postac asy perścenowe Krzysztof Kal Żur,, Jerzy Jaroszewcz Poltechnka Bałostocka, Wydzał Zarządzana, Katedra Zarządzana Produkcą, 6- Kleosn, ul. Oca Tarasuka,.aroszewcz@pb.edu.pl Poltechnka Bałostocka, Wydzał Mechanczny, Zakład Inżyner Produkc, 5-5 Bałystok, ul. Weska 45C, k.zur@pb.edu.pl Streszczene. W pracy wykorzystano funkcę wpływu etodę dyskretyzac częścowe do analzy drgań własnych trówarstwowe płyty kołowe typu,,sandwch, o stałe grubośc utwerdzone na obwodze. Wyznaczono sztywność zastępczą płyty oraz dokonano dyskretyzac e asy uwzględnaąc neednorodność aterału. Konstruuąc acerz wpływu oraz wykorzystuąc wzory Bernstena- Keropana, oblczono dokładne przyblżone estyatory częstośc drgań własnych płyty. W pracy zbadano wpływ perścenowe asy skupone syetryczne neednorodnośc aterału płyty na e częstośc drgań własnych. Słowa kluczowe: drgana własne, płyta kołowa, neednorodność, asa perścenowa. Wstęp Efektywną etodą analzy prowadzące do otrzyana charakterystyk dynacznych neednorodnych płyt z dodatkowy asa est etoda oparta na zastosowanu teor funkc uogólnonych. Efekt asy skupone est wprowadzany do równań wyścowych przy użycu funkc d-draca, przy czy gęstość asy skupone est dodawana do gęstośc płyty. W ten sposób ożna uwzględnć wpływ bezwładnośc asy skupone. Metoda wprowadzena asy skupone do równań różnczkowych za poocą funkc uogólnonych est stosowana równeż w oblczenach szeroke klasy powłok o ały wznose, zaknętych cylndrycznych oraz sferycznych.

2 46 K.K. Żur, J. Jaroszewcz W nnesze pracy przedstawono etodę dyskretyzac częścowe bazuącą na funkc wpływu G(x, ), będące loczyne funkc Cauchy ego K(x, ) funkc Heavsde a H(x). Płytę o cągły lub cągło-dyskretny rozkładze asy zastępue sę układa dyskretny przy zachowanu cągłe funkc sztywnośc. Masę płyty skupa sę na perścenach o określonych proenach r. Suaryczna asa układu zastępczego pozostae równa ase własne płyty. Efektywność wyże wyenonego aparatu ateatycznego pokazano na przykładze analzy drgań własnych trówarstwowe płyty kołowe typu,,sandwch z asą dodatkową. Zaprezentowano wpływ perścenowe asy skupone neednorodnośc aterału syetryczne rozłożonego względe warstwy środkowe płyty na e częstość drgań własnych. Przykład płyty rozważane w nnesze pracy przedstawono na rysunku. Rys.. Model neednorodne płyty kołowe typu,,sandwch utwerdzone na obwodze, gdze: r współrzędna proenowa; w funkca ugęca płyty; R proeń płyty; r proeń rozłożena asy perścenowe; E k, k odpowedno oduł Younga, lczba Possona k-te warstwy; h grubość warstwy wewnętrzne; h grubość płyty. Sforułowane zagadnena brzegowego drgań osowosyetrycznych neednorodne płyty kołowe z wtrącena asowo-sprężysty Równane drgań osowosyetrycznych płyty kołowe w kartezańsk układze współrzędnych (W, r) przyue postać [8]: r W W D W W W D h rdr, r r r r r r r r r () t która po rozdzelenu zennych przez podstawene W wre () t oraz przyęcu Eh sztywnośc walcowe D Dr D ( ) a forę []:

3 Metoda dyskretyzac częścowe w analze drgań własnych neednorodnych płyt kołowych dw dw dw r + 4 ( + ) r + ( + + ) r + dr dr dr ( ) ( ) + + r r w, 4 dw dr Eh () gdze: r współrzędna proenowa ( < r R); lczba Possona; E oduł Younga; współczynnk zany grubośc sztywnośc płyty; h grubość płyty; ς asa właścwa płyty; częstość drgań własnych; w(r) funkca ugęca płyty. Chcąc prześć od równana ruchu () do zagadnena brzegowego neednorodne płyty kołowe o stałe grubośc z wtrącena asowo-sprężysty utwerdzenu na obwodze (rys. ), należy: podzelć równane () przez współrzędną proenową r w nawyższe (czwarte) potędze, przyąć za współczynnk zany grubośc sztywnośc płyty, wyznaczyć sztywność zastępczą D z wynkaącą z neednorodnośc aterału, przyąć odpowedne warunk brzegowe. Równane drgań osowosyetrycznych neednorodne płyty kołowe o stałe grubośc z wtrącena w postac as sprężyn skuponych ożna przedstawć w postac [4]: gdze: Lw [ ] K M Lw [ ] w wr ( ) ( r r), D d () z 4 d w d w d w dw 4 dr r dr r dr r dr + + +, (4) M h h h +, / h / Ew ( ) Ew Eh E h h (6) h Dz dw + dw +, h / D ( c ),( < K > ). (7) ( ) z (5)

4 48 K.K. Żur, J. Jaroszewcz W powyższych wzorach przyęto oznaczena: L[w] operator różnczkowy równana Eulera dla płyty o stałe grubośc,, asa właścwa odpowedno warstwy wewnętrzne zewnętrzne, D z sztywność zastępcza trówarstwowe płyty kołowe, paraetr wtrąceń, asa skupona, c sztywność sprężystych podpór (dla rozważane płyty c ), K lczba wtrąceń, h, h odpowedno grubość warstwy wewnętrzne grubość całe płyty. Dla płyty kołowe utwerdzone na obwodze przyęto warunk brzegowe w następuące postac [9]: dw dw wr ( ), ( R) ( R), w( ) <, ( ) (). (8) dr dr Rozwązane zagadnena brzegowego (), (8) wraz z ego pochodny us być ogranczone w r. Takch rozwązań oże stneć węce nż dwa, węc należy wybrać te nabardze gładke.. Dyskretyzaca asy neednorodne płyty kołowe o stałe grubośc Proeń rozłożena asy własne płyty r, podobne ak w poprzednch pracach, przyęto w następuące postac [4]: R( ) r, <, K >. (9) K Masy wynkaące z dyskretyzac wyprowadza sę na podstawe drugego twerdzena Guldna-Pappusa dotyczącego obętośc płyty, które a postać [6]: V CA, () gdze: C odległość środka cężkośc eleentu płyty od os obrotu; A pole powerzchn eleentu płyty. Korzystaąc z zależnośc wyprowadzonych w poprzednch pracach, opracowano wzór dla -te asy trówarstwowe płyty o stałe grubośc w następuące postac: + ( ) ℵ R h h + h, ℵ. K ()

5 Metoda dyskretyzac częścowe w analze drgań własnych neednorodnych płyt kołowych Sua as pochodzących z dyskretyzac us być równa całkowte ase płyty: R h h h. K + () W ponższe tabel przedstawono dla płyty o stałe grubośc przykładowe wartośc ℵ dla stopna dyskretyzac K < >. Wartość współczynnka Tabela ℵ dla stopna dyskretyzac K < > K ℵ ℵ ℵ, ℵ 4 4 ℵ, ℵ, ℵ Można uwzględnć dodatkową asę skuponą uętą we wzorze (7) na okręgach o proenach r w postac stosunków: r,. R R h h + h () Proeń asy dodatkowe us spełnać warunek < r < r < < rk < R, a e wartość zgodne z publkacą [7] pownna eć,. 4. Wyznaczene częstośc drgań własnych neednorodne płyty kołowe o stałe grubośc 4.. Konstrukca acerzy wpływu Ogranczone w zerze rozwązane równana Eulera (4) [ ] Lw dla płyty o stałe grubośc a postać []:

6 5 K.K. Żur, J. Jaroszewcz gdze: wr ( ) C + Cr F K ( r, r) H( r r), (4) C dowolne stałe; H(r) funkca Heavsde a; F sła ednostkowa rozłożona na okręgu r ; K (, ) rr fundaentalna funkca operatora L[w], która a postać: r r K ( r, r) r r + ( r + r) ln. (5) 4 r Podstawaąc ogranczone w zerze rozwązane (4) do dwóch perwszych warunków brzegowych (8), oblczono stałe całkowana C, C, a następne borąc pod uwagę u ( r ) przy F, otrzyano wzór na współczynnk podatnośc w postac [5]: ( K( ) ( ) ( ) ' Rr R r R K Rr,,. (6) R Dokonuąc odpowednch przekształceń, otrzyano: R r r r r r + r r ln,, R R R R (7) 4 R r 4r r, ln R R R (8) r r Podstawaąc zależnośc otrzyano wzór na współczynnk R R podatnośc w postac: ( ( ) ln ) R (9) Wzory Bernstena-Keropana w analze częstośc drgań własnych neednorodne płyty kołowe z wtrącena w postac asy perścenowe Wykorzystuąc równane ałych drgań w postac odwrotne danego odelu płyty bez dodatkowe asy, w uęcu oparty o przeeszczena K []:

7 Metoda dyskretyzac częścowe w analze drgań własnych neednorodnych płyt kołowych... 5 dq M + q, M dt () oraz wzór (8), (9), otrzyano równane charakterystyczne w postac: a a + a (), gdze: a a a ( ), () 4 4. () R h h + h Wprowadzaąc asę dodatkową oraz borąc pod uwagę stosunek e do asy r płyty, a także stosunek e proena rozłożena do proena płyty otrzyano równane charakterystyczne w następuące postac: R D z gdze: a a + a (4), a a + a (5) a ( ) + ( ) + a. 4 4 Można zauważyć, że dodatkowa asa zwększa stopeń dyskretyzac o eden (K + ). Wzory na współczynnk szeregu charakterystycznego (4) dla K > ożna wyrazć w postac: K K K a a a. 4 + (6) Chcąc wyznaczyć estyatory podstawowe częstośc drgań płyty neednorodne, stosuey znane wzory Bernstena-Keropana [] z uwzględnene sztywnośc zastępcze asy płyty:

8 5 K.K. Żur, J. Jaroszewcz D ( y ) + ( y+ ),, z R h h + h (7) gdze odpowedno dolny górny estyator współczynnka częstośc podstawowe a postać: a a ( y ), ( y ). + a aa a + a 4aa (8) Wykorzystuąc tablce Bernstena-Keropana [], ożna oszacować trzy kolene częstośc drgań własnych oraz wyznaczyć przyblżoną wartość czwarte. W perwsze kolenośc należy oblczyć stosunek B / B, gdze: a, a B B aa. a a a (9) Odczytuąc z tabel załączone do pracy [] odpowedne paraetry oraz wykorzystuąc ponższe wzory:,,,,, () ( ) 4 ( ) 4 ( ) + B B B 4 4 () ożna, przy wykorzystanu wzoru (7), oblczyć estyatory kolenych częstośc drgań własnych płyty. 5. Przykład oblczeń częstośc drgań własnych płyty kołowe ednorodne, neednorodne neednorodne z asą skuponą Można zauważyć, że estyator podstawowe częstośc drgań dla płyty ednorodne neednorodne o stałe grubośc a tę saą wartość. Wynka to z występowana lczby Possona edyne w sztywnośc płyty D, D z, a ne we współczynnkach równana Eulera (4). Dla płyt kołowych o zenne grubośc należy

9 Metoda dyskretyzac częścowe w analze drgań własnych neednorodnych płyt kołowych... 5 uwzględnć odpowedno dla płyty ednorodne neednorodne lczbę Possona oraz zastępczą lczbę Possona z. Lczby Possona wpływaą na wartość współczynnka stoącego przy członach r równana Eulera, a ty say d w dw r dr dr na postać ego rozwązana K (r, r ). We wzorach wynkaących z dyskretyzac asy () oraz we wzorze na podatność (9) ożna ponąć odpowedne wyrażena: dla płyty ednorodne poay we wzorze () człon R h, a we wzorze (9) człon R, dla płyty neednorodne neednorodne z asą skuponą poay we wzorze () człon człon R. R h h h +, a we wzorze (9) równeż Ponęte wyrażena zostaną uwzględnone przy oblczanu wartośc bezwzględne częstośc drgań (7). W analze drgań płyty o stałe grubośc przyęto stopeń dyskretyzac K. W pracy [5] pokazano, że przy tak stopnu dyskretyzac błąd bezwzględny estyatora wynese 6,8% w porównanu z wartoścą ścsłą. Wynk oblczeń estyatorów podstawowe częstośc drgań dla płyty ednorodne neednorodne przedstawono w ponższe tabel. Tabela Wynk oblczeń proen r, as, acerzy podatnośc [] estyatorów częstośc drgań własnych płyty kołowe ednorodne neednorodne Płyta ednorodna neednorodna o stałe grubośc π ℵ, ℵ π 4 π 4 χ, χ 4,89,5 β,5,454 a a a _ +,85,9 9,54 9,579 9,5

10 54 K.K. Żur, J. Jaroszewcz Oblczaąc estyator podstawowe częstośc drgań neednorodne (ednorodne) płyty kołowe z asą perścenową, usy zwększyć stopeń dyskretyzac (K ), zdefnować stosunek asy perścenowe do asy płyty () (,) oraz stosunek proena asy skupone do proena płyty () (,). Wynk oblczeń estyatorów podstawowe częstośc drgań dla płyty neednorodne (ednorodne) z asą skuponą przedstawono w ponższe tabel. Tabela Wynk oblczeń proen r, as, acerzy podatnośc [] estyatorów częstośc drgań własnych płyty kołowe ednorodne neednorodne z asą skuponą Płyta ednorodna neednorodna o stałe grubośc z asą skuponą π ℵ, ℵ, ℵ π 4 5 π 4 π 4 χ, χ, χ 5 4,4,954,4 β,955,89,5,4,5,45 a a a _ +,8,4 7,7 7,7 7,77 Uzyskane wynk z tabel tabel zgadzaą sę z wynka ueszczony w pracy []. Chcąc oblczyć wartość bezwzględną częstośc drgań własnych płyty kołowe ednorodne, neednorodne neednorodne z asą skuponą, wykorzystay odel płyty o paraetrach przedstawonych w tabel 4. Należy paętać z teor płyt cenkoścennych Krchoffa-Love a [8], że grubość płyty h us spełnać warunek: R h <. () 5

11 Metoda dyskretyzac częścowe w analze drgań własnych neednorodnych płyt kołowych Paraetry rozpatrywanych płyt kołowych o stałe grubośc Tabela 4 Rodza płyty Materał ς kg E N R [] h [] Jednorodna Stal St 8,6,7,5,9 Trówarstwowa Stal St Alunu 8 7,6,7,7,,5 h,65 h,9 Wykorzystuąc wzory na sztywność walcową płyty ednorodne D, sztywność zastępczą D z (6), asę M (6) oraz częstość podstawową drgań własnych (7), wykonano oblczena dla płyt z tabel 4, które zestawono w tabel 5. Tabela 5 Oblczena dla płyt ueszczonych w tabel 4 Rodza płyty Jednorodna 9,594 7, Trówarstwowa 9,594 77,4 Trówarstwowa z asą skuponą 7,77 4,8 6. Wnosk W pracy zbadano wpływ neednorodnośc aterału dodatkowe asy perścenowe [] na drgana własne płyty kołowe utwerdzone na obwodze. W sposób klasyczny wyznaczono sztywność zastępczą płyty [], a następne wykorzystano w analze drgań własnych etodę dyskretyzac częścowe zaproponowane w pracach [, 4]. Model rozważane płyty spełna hpotezę Krchoffa-Love a, co pozwala ponąć bezwładność obrotową płyty oraz współczynnk ścnana []. Założono w pracy dealny kontakt echanczny poędzy poszczególny warstwa stałość paraetrów względe grubośc każde z warstw. W pracy [4] pokazano, że stopeń dyskretyzac K 5 dae wynk różnące sę od wartośc ścsłe około %. Stosuąc etody nueryczne (MES), ożna spotkać sę z problea generac odpowedno zagęszczone satk, potrzebne duże ocy oblczenowe oraz weryfkac uzyskanego rozwązana. Jednak obe etody MES MDC wzaene sę uzupełnaą. Dalsze prace pownny skupć sę na: badanach nuerycznych (MES) eksperyentalnych w celu weryfkac uzyskanych rozwązań, zbadanu wpływu neednorodnośc aterału w postac pokryca gradentowego [, ] oraz wtrąceń w postac sprężystych podpór [] na drgana własne stateczność płyt kołowych Krchoffa-Love a Ressnera-Mndlna

12 56 K.K. Żur, J. Jaroszewcz oraz porównanu wynków z wynka przedstawony w nnesze pracy. Lteratura [] S.A. Bernsten, K.K. Keropan, Opredelene castot koleban sterznevych syste etodo spektralnofunkc, Gosstrozdat, Moskwa, 96. [] H.D. Conway, Soe specal soluton for the flexural vbratons of dscs of varyng thckness, Ing. Arch., B.6, 6, 96, 958b, [] J. Jaroszewcz, L.M. Zory, Metody analzy drgań osowosyetrycznych płyt kołowych z zastosowane funkc wpływu Cauchy ego, Monografa, Bałystok, 5. [4] J. Jaroszewcz, L.M. Zory, The ethod of partal dscretzaton n free vbraton probles of crcular plates wth varable dstrbuton of paraeters, Internatonal Appled Mechancs, 4,, 6, [5] J. Jaroszewcz, K.K. Żur, Wpływ perścenowe asy skupone na drgana własne płyt kołowych z typowy warunka brzegowy, Bul. WAT, 4, Warszawa,, -4. [6] Mały poradnk echanka, praca zborowa, Wydane 7., to, WNT, Warszawa, 988. [7] R.E. Roberson, Vbraton of a claped crcural plate carryng concentrated ass, J. Appl. Mech., 8, 4, 95, [8] S. Toshenko, S. Wonowsky-Kreger, Theory of plates and shells, McGraw-Hll, New York, 94. [9] N.V. Vasylenko, O.M. Oleksečuk, Teorya kolyvań stkost ruchu, Vyshcha Shkola, Kev, 4. [] Z. Kączkowsk, Płyty oblczena statyczne, Arkady, Warszawa,. [] H. Tha, T. Park, D. Cho, An effcent shear deforaton theory for vbraton of functonally graded plates, Archves of Appled Mechancs, Sprnger-Verlag,, [] F. Ebrah, A. Rastgoo, An analytcal study on the free vbraton of sart crcular thn FGM plate based on classcal plate theory, Thn-Walled Structures, Elsever, 8, [] S. Sorokn, N. Peake, Vbratons of sandwch plates wth concentrated asses and sprng lke nclusons, Journal of Sound and Vbratons, Elsever,, -. K.K. Żur, J. Jaroszewcz The ethod of partal dscretzaton n free vbraton analyss of non-hoogeneous crcular plates wth addtonal annular ass Abstract. In the paper, nfluence functon and ethod of partal dscretzaton n free vbraton analyss of non-hoogeneous crcular plate wth constant thckness and claped edges were presented. Dscretzaton of ass of crcular plate and calculaton of replacng stffness were acheved. Influence atrx and Bernsten-Keropan s estators were calculated. The nfluence of addtonal annular ass and non-hoogeneous ateral on a value of natural basc frequency of a sandwch crcular plate was also presented. Keywords: free vbratons, crcular plate, non-hoogeneous, annular ass