ANALIZA DYNAMICZNA KONSTRUKCJI Z TŁUMIKAMI Z NIEDOKŁADNIE OKREŚLONYMI PARAMETRAMI PROJEKTOWYMI

Transkrypt

1 ZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARHITEKTURY JOURNAL OF IVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARHITETURE JEEA, t. XXXIII, z. 63 (1/I/16), styczeń-marzec 2016, s Magdalena ŁASEKA-PLURA 1 Roman LEWANDOWSKI 2 ANALIZA DYNAMIZNA KONSTRUKJI Z TŁUMIKAMI Z NIEDOKŁADNIE OKREŚLONYMI PARAMETRAMI PROJEKTOWYMI 1. Wstęp W pracy został omówony sposób oblczana charaterysty dynamcznych ram z nedoładne oreślonym parametram proetowym. Analzowano onstruce z wbudowanym pasywnym tłumam drgań. Załada sę, że parametry proetowe mogą sę zmenać, edna zares ch zmennośc est znany. Zastosowany rachune nterwałowy pozwala wyrazć parametry proetowe ao tzw. lczby przedzałowe. Przyęto, że dolna górna granca szuanych charaterysty dynamcznych est przedstawona ao rozwnęce w szereg Taylora perwszego rzędu. W pracy został zameszczony przyład numeryczny, w tórym analzowano ośmoondygnacyną, tróprzęsłową ramę z tłumam. Prezentowana metoda może meć zastosowane w pratyce w celu oreślena zaresu zmennośc charaterysty dynamcznych przy nedoładne oreślonych parametrach proetowych. Słowa luczowe: charaterysty dynamczne, analza nterwałowa, modele tłumów, tłumene pasywne Obecne coraz częśce powstaą onstruce, tóre są proetowane na pełne wyorzystane parametrów fzycznych wytrzymałoścowych zastosowanych materałów. Jedna wszyste parametry proetowe obcążenowe obarczone są pewnym nedoładnoścam. Źródła tych odchyleń można podzelć na technologczne, geometryczne struturalne. Te perwsze są zwązane z procesam technologcznym am został poddany wyścowy materał onstrucyny. Do druge grupy zalcza sę odchylena od przyętych wymarów elementu onstrucynego oraz odchylena geometryczne zwązane z wyonanem na wytwórn błędam montażowym. Ostatną grupę stanową neprawdłowośc struturalne materałów użytych w onstruc. 1 Autor do orespondenc/correspondng author: Magdalena Łaseca-Plura, Poltechna Poznańsa, Instytut Konstruc Budowlanych, ul. Potrowo 5, Poznań, tel , e-mal: magdalena.laseca-plura@put.poznan.pl 2 Roman Lewandows, Poltechna Poznańsa, Instytut Konstruc Budowlanych, ul. Potrowo 5, Poznań, tel , e-mal: roman.lewandows@put.poznan.pl

2 440 M. Łaseca-Plura, R. Lewandows W procese proetowana, nedoładnośc w oreślanu parametrów materałowych obcążenowych są uwzględnone w normach proetowych poprzez zastosowane współczynnów oryguących. Perwszą grupę metod pozwalaących na uwzględnene nedoładne oreślonych parametrów proetowych stanową metody probablstyczne, w tórych te nedoładnośc w oreślanu tratowane są ao welośc losowe. W pratyce nżynerse stosowane ch est edna ucążlwe ze względu na znaczną pracochłonność trudnośc w dobranu właścwego rozładu losowego. Drugą grupę stanową metody, w tórych orzysta sę tylo z nformac o zarese zmennośc parametrów. Do grupy budynów, tóre wymagaą ndywdualnego podeśca zalczaą sę mędzy nnym onstruce wysoe, wrażlwe na drgana, w tórych stosue sę różnego rodzau tłum drgań. W te sytuac dużą trudność sprawłby właścwy dobór modelu rozładu losowego parametrów proetowych. Stosunowo proste est edna ustalene zaresu ch zmennośc. W tym przypadu zastosowane znadue analza nterwałowa. Została ona obszerne opsana w ponerse monograf Moore a [6]. Znalazła zastosowane do rozwązana welu zagadneń nżynersch. W pracy [3] omówono m.n. możlwośc użyca analzy nterwałowe do problemów dynam. W [1] przedstawone zostało rozwązane nterwałowego problemu własnego. Rozpatrywano uład bez tłumena, w tórym parametram o oreślone zmennośc były masa sztywność. W pracy [8] przedstawono sposób zastosowana rachunu nterwałowego do analzy modalne. Analzowano uład bez tłumena z nepewnym parametram proetowym, dla tórego znalezono wartośc własne, wetory własne oraz funcę odpowedz częstotlwoścowe. W pracy [2] została zaproponowana metoda oblczena wartośc własnych wyorzystuąca rozwnęce w szereg Taylora. Wyazano, że metoda dae rezultaty blse rozwązanu doładnemu nawet przy założenu dużych nepewnośc parametrów proetowych. W pracy [9] przedstawono metodę wyznaczena func odpowedz częstotlwoścowe uładu z nepewnym parametram. Natomast w pracy [4] wyznaczono przemeszczena wywołane obcążenam sesmcznym analzowano mędzy nnym budyne z tłumam pasywnym. W nnesze pracy uwzględnono wpływ nedoładne oreślonych parametrów proetowych na częstośc drgań swobodnych onstruc z tłumam pasywnym. Tłum są modelowane za pomocą lasycznych model Kelvna Maxwella. Założono, że dolna górna granca częstośc drgań swobodnych est opsana za pomocą szeregu Taylora. Wyn oblczeń zostały porównane z wynam uzysanym za pomocą tzw. vertex method, w tóre uwzględna sę wszyste możlwe ombnace górnych dolnych wartośc rozpatrywanych parametrów.

3 Analza dynamczna onstruc z tłumam z nedoładne oreślonym Podstawy rachunu nterwałowego Podstawowe założena rachunu nterwałowego zostaną podane na podstawe pracy [6]. Załada sę, że pewen zbór parametrów proetowych rozpatrywanego uładu zdefnowany est ao p = col [ p1, p2,..., p r ], gdze r oznacza lczbę parametrów proetowych. Znany est tylo pewen przedzał w am mogą one sę zmenać. Można e zdefnować ao lczby nterwałowe I p = p, p, gdze p oznacza dolną, p górną grancę parametru, a ndes [ ] ( ) [ ( ) ( )] górny I nformue, że welość z tym ndesem est lczbą nterwałową. Analza nterwałowa ma na celu znalezene dolne górne grancy welośc opsuące zachowane onstruc, tóra tuta zostane opsana ao pewna funca f p = f p, f p. W analze nterwałowe defnuemy tzw. wartośc centralne parametrów 1 p = + 2 p zares nepewnośc parametrów 1 ( p p ), p = ( p p ) 2 p ao: Podstawowe dzałana na lczbach nterwałowych x I [ x, x] = defnue sę w następuący sposób: [ x + y, x y], x y = [ x y x y] x + y = + = y I [ y, y] (1), (2) [ ( x y, x y, x y, x y), max( x y, x y, x y, x y)] x y = mn (3) x y I I [ x, x] 1 1 = = [ x, x], [ y, y] y y. (4) W przypadu nnych operac należy zazwycza oblczyć wszyste możlwe ombnace dolnych górnych granc wybrać ch namneszą nawęszą wartość. W porównanu do tych samych operac wyonanych na lczbach rzeczywstych rachune nterwałowy wymaga węsze lczby dzałań arytmetycznych. Istotną trudnoścą est równeż możlwość przeszacowana wynu, tórego przedzał będze szerszy nż ten, w tórym mogą zawerać sę wszyste możlwe rozwązana. Mmo tych trudnośc analza nterwałowa est przydatnym narzędzem do wyznaczana rozwązań problemów mechan, w tórych parametry proetowe rozpatrywanych uładów są zmenne w pewnych oreślonych grancach.

4 442 M. Łaseca-Plura, R. Lewandows 3. Równane ruchu ramy z tłumam drgań. Uwzględnene nepewnośc parametrów proetowych W pracy rozpatrywana est onstruca modelowana ao rama z neodształcalnym ryglam z wbudowanym tłumam oraz z masam suponym na pozome stropów. Równane ruchu tae onstruc można zapsać ao: ( t) + q& ( t) + K q( t) = p( t) f ( t) M q& + (5) gdze M, K oznaczaą odpowedno macerze mas, tłumena sztywnośc rozpatrywane onstruc, q = [ q q... q ] T 1 2 n oznacza wetor przemeszczeń onstruc, p = [ p p... p ] T 1 2 n wetor sł wymuszaących, f = [ f f... f ] T 1 2 n wetor oddzaływana sł pomędzy onstrucą a tłumam, a n oznacza lczbę stopn swobody dynamczne onstruc. Po wyonanu transformac Laplace a z zerowym warunam początowym równane ruchu (5) można zapsać w postac: ( s M + s + K ) q( s) = p( s) + f( s) 2 (6) gdze q ( s) = L[ q( t) ], p ( s) = L[ p( t) ], ( s) L[ f( t) ] f =, a s oznacza zmenną Laplace a. Wetor f(s) r zdefnowany est ao: f ( s) = G ( s) L q( s) (7) = 1 gdze G (s) zależy od przyętego modelu tłuma, L est macerzą zależną od położena tłuma, a r oznacza lczbę tłumów. Rozpatrzono dwa lasyczne modele: Kelvna Maxwella poazane na Rys. 1, gdze symbole 0, c 0, 1 c 1 oznaczaą stałe model, u est słą w tłumu, a q q to przemeszczena węzłów tłuma. 0 a) b) 1 c 1 u q q u u q q u c 0 Rys. 1. Modele tłumów a) model Kelvna, b) model Maxwella Fg. 1. Models of dampers a) Kelvn model, b) Maxwell model Welość G (s) defnue sę ao G ( s) = 0 + c0 s w przypadu modelu Kelvna G ( s) = 1 c1 s ( 1 + c1 s) w przypadu modelu Maxwella. Równane ruchu (6) można przepsać w postac:

5 Analza dynamczna onstruc z tłumam z nedoładne oreślonym 443 D ( s) q( s) = p( s) (8) = 2 gdze D ( s) s M + s + K + G, G = G ( s) L. Jeżel wetor sł wymuszaących est równy zeru to z (8) otrzymue sę problem własny: r = 1 D ( s ) q( s) = 0 (9) tórego rozwązanem est cąg zespolonych wartośc własnych s odpowadaących mu wetorów własnych q. Jeżel wartośc własne zapsane zostaną w postac s = µ + η to częstośc drgań swobodnych można wyznaczyć z zależno śc ω = µ + η. Załadamy, że wybrana charaterystya dynamczna onstruc est oreślona ao funca parametrów proetowych F ( p). Jeżel parametry przymuą welo- I śc nterwałowe, dolną górną grancę func F( p ) można zapsać ao rozwnęce w szereg Taylora: F m I F ( ) ( ) ( p ) I p = F p p, F ( ) = F( p ) p m ( p ) F p + p (10) p gdze p = p p, F( p ) p est wrażlwoścą rozpatrywane func względem wybranego parametru proetowego p, a m oznacza lczbę parametrów proetowych. Wrażlwośc charaterysty dynamcznych dla ram z tłumam drgań zostały szczegółowo omówone w pracy [5]. 4. Przyład oblczenowy W przyładze analzowano ośmoondygnacyną, tróprzęsłową ramę z tłumam Maxwella usytuowanym na pąte, szóste sódme ondygnac (Rys. 2). Konstruca została zaproetowana na podstawe E8 Part 1. Parametry onstrucyne, z wyątem masy stropu, zostały przyęte na podstawe pracy [7]. Wysoość słupów wynos 3 m, a rozpętość przęsła 5 m. Moduł Younga (E) dla betonu wynos 31 GPa. Sztywnośc wymary słupów zmenaą sę co dwa pętra. Zostały one podane w Tabel 1. Masa stropu est równa m = g/m. Parametry tłumów wynoszą: 1 = N/m c 1 = Ns/m, gdze ndes oznacza oleny numer tłuma. Zostały one przyęte w ten sposób, aby bezwymarowy współczynn tłumena wynosł γ 1 0, 04. Założono, że parametry tłumów mogą zmenć sę o 10% w stosunu do welośc perwotne, węc można e zapsać ao welośc nterwałowe: 1 = [ ,137500] c 1 = [ 45000, 55000]. Perwsza częstość drgań swobodnych bezwymarowy współczynn tłumena dla centralnych wartośc parametrów wynoszą 1 = 3,4308 ω rad/s oraz γ 1 = 0, 0405.

6 444 M. Łaseca-Plura, R. Lewandows Rys. 2. Schemat rozpatrywane ramy Fg. 2. A dagram of the consdered frame Tabela 1. Wymary słupów zastępcze sztywnośc pęter ramy Table 1. Dmensons of columns and stffness of stores Kondygnaca Zewnętrzne słupy Wewnętrzne słupy Sztywnośc pęter [cm] [cm] [N/m] 1,2 50x50 60x ,4 45x45 53x ,6 40x40 45x ,8 35x35 40x Po oblczenu wrażlwośc tych charaterysty dynamcznych ze względu na zmanę parametrów tłumów, oblczono ch dolną górną grancę na podstawe zależnośc (10). Wartośc górne dolne grancy po uwzględnenu zmennośc parametrów o 10% zostały porównane z wartoścam otrzymanym za pomocą vertex method (patrz. Tab. 2). Przedstawona metoda wymaga oblczena tylo 2m ombnac e oszt oblczenowy est znaczne mneszy nż zastosowane vertex method, wymagaące oblczena 2 m ombnac dolnych górnych wartośc parametrów proetowych. Zarówno w przypadu vertex method a przy zastosowanu metody nterwałowe dolna górna granca została znalezona dla tae same ombnac parametrów tłumów. Kombnace te są następuące: c 11 c12 c c 11 c12 c dla dolne górne grancy częstośc drgań swobodnych oraz c 11 c12 c c 11 c12 c dla dolne górne grancy bezwymarowego współczynna tłumena. W podobny sposób można oblczyć równeż nne charaterysty dynamczne onstruc z nedoładne oreślonym parametram. Przedstawony przyład poazue, że nawet przy dużych zmanach parametrów proetowych zastosowane analzy nterwałowe z dobrym przyblżenem pozwala oszacować zares zmennośc func odpowedz onstruc.

7 Analza dynamczna onstruc z tłumam z nedoładne oreślonym 445 Tabela 2. Wartośc charaterysty dynamcznych przy zmane parametrów tłumów Table 2. Value of dynamc characterstcs when dampers parameters change Analza nterwałowa Vertex method Różnca Błąd Dolna granca ω 3,4144 rad/s 3,4063 0,24% Górna granca ω 3,4616 rad/s 3,4536 0,23% Dolna granca γ 0,0334 rad/s 0,0337 0,89% Górna granca γ 0,0475 rad/s 0,0478 0,63% 5. Uwag ońcowe W pracy przedstawono metodę wyznaczana charaterysty dynamcznych ram z tłumam drgań, tórych parametry proetowe są nedoładne oreślone. Zastosowano analzę nterwałową załadaąc, że wartośc tych parametrów mogą sę zmenać, a zares ch zmennośc est znany. Dolna górna granca wartośc func opsuące charaterysty dynamczne została rozwnęta w szereg Taylora w otoczenu wartośc centralnych parametrów proetowych. Otrzymane wyn są blse rezultatom oblczonym za pomocą tzw. vertex method. Przedstawona metoda może meć zastosowane w procese proetowana do oceny zaresu zmennośc omawanych w pracy charaterysty dynamcznych, wynaących z nedoładnośc w oreślenu parametrów proetowych. Podzęowana Badana zostały sfnansowane częścowo przez Narodowe entrum Nau, ao część proetu No. DE/2013/09/B/ST8/01733 prowadzonego w latach oraz częścowo przez Poltechnę Poznańsą ao część proetu No. 01/11/DSPB/606. Lteratura [1] hen S.H., Lan H.D., Yang X.W.: Interval egenvalue analyss for structures wth nterval parameters, Fnte Elements n Analyss and Desgn, 39, 2003, pp [2] hen S.H., Ma L., Meng G.W., Guo R.: An effcent method for evaluatng the natural frequences of structures wth uncertan-but-bounded parameters, omputers and Structures, 87, 2009, pp [3] Dessombz O., Thouveres F., Lane J.P., Jezequel L.: Analyss of mechancal systems usng nterval computatons appled to fnte element methods, Journal of Sound and Vbraton, 239, 2001, pp [4] Futa K., Taewa I.: An effcent methodology for robustness evaluaton by advanced nterval analyss usng updated second-order Taylor seres expanson, Engneerng Structures, 33, 2011, pp [5] Lewandows R., Łaseca-Plura M.: Desgn senstvty analyss of structures wth vscoelastc dampers, omputers and Structures, 164, 2016, pp [6] Moore R.E.: Interval analyss, Englewood lffs, New Yor Prentce Hall, 1966.

8 446 M. Łaseca-Plura, R. Lewandows [7] Rbaov Y., Agranovch G.: A method for effcent placement of actve dampers In sesmcally excted structures, Structural ontrol and Health Montorng, 17, 2010, pp [8] Sm J.S., Qu Z., Wang X.: Modal analyss of structures wth uncertan-but-bounded parameters va nterval analyss, Journal of Sound and Vbraton, 303, 2007, pp [9] Yaowen Y., Zhenhan., Yu L.: Interval analyss of frequency response functons of structures wth uncertan parameters, Mechancs Research ommuncatons, 47, 2013, pp DYNAMI ANALYSIS OF FRAME WITH DAMPERS WITH UNERTAIN DESIGN PARAMETERS S u m m a r y In the paper a method for determnng dynamc characterstcs of frame wth uncertan desgn parameters s descrbed. The structures wth bult-n passve dampers are consdered. The proposed method could be used when the parameters of structures or parameters of dampers are uncertan. The man dea s that values of desgn parameters could change wth respect to values adopted n the desgn process but the range of ther varaton s nown. The desgn parameters are expressed as nterval values what maes possble calculaton of dynamc characterstcs of structures by use of nterval analyss. In ths paper the lower and upper bounds of dynamc characterstcs are obtaned by use of Taylor seres expanson. At the end of the paper a smple numercal example s presented. The eght-storey frame wth three bays and three dampers mounted on t s consdered. Ths structure was desgned accordng to E8 Part 1. The dampers parameters are uncertan. The obtaned results are compared wth ones determned wth a help of the vertex method. Ths method assumes that t s necessary to calculate end-pont combnaton of uncertan desgn parameters. The presented method may be applcable n practce n order to predct the lmt values of chosen dynamc characterstcs of structures wth uncertan desgn parameters. Keywords: dynamc characterstcs, nterval analyss, models of dampers, passve dampng Przesłano do redac: r. Przyęto do druu: r. DOI: /rb