8.1. Przepływy przez przewody o niekołowym przekroju poprzecznym.

Transkrypt

1 8. Wybrane zagadnena obczana rurocągów Równane Bernouego, mmo swych ogranczeń jest podstawowym narzędzem obczeń nżynerskch, główne ze wzgędu na swoją prostotę. Szczegóne popuarnym obszarem zastosowań tego równana są obczena ustaonych przepływów w rurocągach, w których ze wzgędu na jednowymarowy charakter ruchu łatwej jest spełnć podstawowe założene dotyczące ogranczena rozważań do przepływu wzdłuż jednej n prądu. Obczena przepływów przez rurocąg wymagają jednak stosowana dodatkowych założeń z tego powodu w nnejszym rozdzae podane zostaną podstawowe wadomośc o stosowanych sposobach obczeń. 8.. Przepływy przez przewody o nekołowym przekroju poprzecznym. Dotychczas przeprowadzona anaza dotyczyła przepływów przez rury o kołowym przekroju poprzecznym, co uzasadnone jest zresztą najszerszym ch stosowanem w praktyce. Straty energ wskutek epkośc płynu są w przepływe przez rurocąg wywołane tarcem o ścany z tego powodu najkorzystnejszym są przewody kołowe, które przy zadanym pou przekroju charakteryzują sę najmnejszym obwodem a węc najmnejszą powerzchną ścan. W nektórych zastosowanach (np. w wentyacj) konecznym jest stosowane przewodów o nnych nż kołowe przekrojach poprzecznych wówczas powstaje koneczność okreśena współczynnków tarca da takch przewodów. Zajmjmy sę w perwszej koejnośc współczynnkam strat tarca, które w sposób oczywsty zaeżeć wnny od stosunku poa powerzchn ścan, decydującego o wekośc sł tarca do poa przekroju poprzecznego, który okreśa wydatek transportowanego płynu. W przepływe ceczy przez przewody ne zawsze cały przekrój poprzeczny mus być wypełnony płynem datego też wprowadzć tu naeży pojęce powerzchn zwżonej, tzn. tej, która ma bezpośredn kontakt z płynem. Najwygodnej jest tu operować wekoścam odnesonym do przekroju poprzecznego datego też w mechance płynów wprowadzono pojęce promena hydraucznego defnowanego jako oraz poa przekroju poprzecznego przewodu S do obwodu zwżonego L z, co zapsać można: S r h (8.) Lz gdze r h jest promenem hydraucznym. a) b) b b a F a' F Rys.8.. Sposób obczana obwodu zwżonego da przewodu wypełnonego całkowce a) częścowo b) płynem. Sposób obczana promena hydraucznego zustrowano na rys. 8., skąd wynka, że da przypadku z rys. 8.a wynos on: a b r h a + b 9 ( )

2 natomast da kanału wypełnonego częścowo (rys. 8.b) promeń hydrauczny jest równy: a' b r h a' + b Intucyjne można oczekwać, że charakterystycznym wymarem nowym da kanałów o nekołowym przekroju poprzecznym wnna być podwojona wartość promena hydraucznego, gdyż da przewodów kołowych wymarem charakterystycznym jest przeceż średnca. Jednak zastosowane wz. (8.) da przewodu kołowego wypełnonego całkowce płynem daje wynk: πd 4 d rh πd 4 który sugeruje, że wymarem charakterystycznym jest czterokrotna długość promena hydraucznego. Jeże zatem czbą podobeństwa da zjawsk oporu tarca jest czba Reynodsa (patrz wykres Nkuradse wzory empryczne) oznacza to, że wartość współczynnka tarca λ obczona z wzorów emprycznych, ub odczytana z wykresu da czby Reynodsa: U 4rh Re (8.) ν wnna dać nam w marę dokładne oszacowane wartośc strat: U λ (8.3) 4rh g Korzystając z wzorów emprycznych podstawamy wartość czby Reynodsa obczoną ze wz. (8.) oraz jako zastępczą średncę kanału: d h 4 r h (8.4) która nazywana jest często średncą hydrauczną. Metodyka powyższa ne może być jednak stosowana do wyznaczana współczynnków strat okanych ξ, które muszą być wyznaczone z wcześnejszych badań dośwadczanych. Poradnk projektantów nstaacj hydraucznych wentyacyjnych czy pneumatycznych podają jednak z reguły bogate zestawy danych emprycznych, z których zaczerpnąć można potrzebne nformacje. 8.. Iteracyjna metoda obczana przepływu przez rurocąg. Poszukując wartośc współczynnków strat tarca λ strat okanych ξ zakładaśmy, że znana jest wartość czby Re, której funkcją są obydwa poszukwane współczynnk strat. Do wyznaczena wartośc Re potrzebna jest znajomość prędkośc U, która jest poszukwanym rozwązanem, co można zapsać następująco: λ f ( Re) f ( U) (8.4) ξ f ( Re) f ( U) Zadane take naeży rozwązać metodą koejnych przybżeń, czy metodą teracyjną, przyjmując (np. z rozwązana da płynu neepkego) perwsze przybżene prędkośc, co pozwaa wyczyć da -tego przekroju: λ f ( Re ) f ( U ) ξ f ( Re ) f ( U ) gdze górny ndeks oznacza numer koejnego przybżena. Uzyskane w ten sposób wartośc współczynnków strat pozwaają wyczyć wysokość strat: h str ( U ) ( U ) λ + ξ (8.) d g g 30

3 co z koe pozwaa rozwązać układ równań Bernouego cągłośc, czego wynkem jest nowa wartość prędkośc, którą traktujemy jako druge jej przybżene: U Podstawene tej wartośc do wz. (8.4) wyczene wysokośc strat z za. (8.) pozwaa uzyskać koejne rozwązane, przy czym da rozwązana zbeżnego każde koejne rozwązane pownno być epszym przybżenem wartośc poszukwanej (rzeczywstej). Jeże różnca koejnych rozwązań: j j U U < ε (8.6) jest mnejsza od założonego błędu obczeń ε, wówczas wynk: j U jest poszukwanym rozwązanem, w przecwnym przypadku procedurę naeży powtarzać do chw, gdy spełnony będze warunek (8.6). Czasochłonność procedury rozwązana zaeży główne od dwóch czynnków: - prawdłowego przyjęca perwszego przybżena - założonego błędu obczeń. Perwsze przybżene rozwązana jest w stoce oszacowanem spodzewanego wynku, w czym pomocna być może ntucja dośwadczene. Jeże jednak wartość oszacowana jest bższa ostatecznemu wynkow, wówczas mnej teracj będze potrzebne do uzyskana rozwązana. Bardzo stotna jest równeż roa założonego błędu obczeń, przy czym przyjęce mnejszej toerancj błędu wymaga z reguły wększej ośc teracj. Błędu tego ne naeży jednak myć z dokładnoścą rozwązana rozumaną jako różnca mędzy wartoścą wyczoną rzeczywstą. Przykładowo, jeże dokładność wykresu Moody ego jest rzędu ± %, to błąd ε występujący we wz. (8.6) mus być weokrotne mnejszy, gdyż jest to błąd numeryczny, którego wartość sumować sę może z błędem systematycznym metody. Jako przybżoną wskazówkę przyjąć można, ż błąd numeryczny ε wnen być przynajmnej o rząd mnejszy od spodzewanej dokładnośc metody Obczena przepływu płynu epkego przez przewody długe. W wększośc zastosowań praktycznych straty tarca o ścany przewodu są weokrotne wększe od strat okanych, o czym przekonać może anaza przykładowej nstaacj z rys. 8.. Załóżmy, że średnca rurocągu wynos d 0.0 [m], jego długość 00 [m] a wartość współczynnka strat tarca wynos: λ 0.0. ξw U ξz T d Rys. 8.. Przepływ płynu epkego przez przewód dług. W nstaacj występują dwe straty okane, tzn. strata wotowa ξ w oraz strata zaworu ξ z równa odpowedno: ξ.0 ; ξ. w z 3

4 Załóżmy, że straty okane zastąpmy dodatkowym odcnkem rurocągu o długośc r, który da dentyczną wysokość strat. Długość taka nazywana jest równoważną długoścą oporu okanego obczyć ją można z zaeżnośc: r U U λ ξ d g g skąd obczyć można: ξ r d (8.7) λ Da danych z nnejszego przykładu otrzymujemy ekwwaentną długość straty wotowej: ( r ) w 0d [ m] oraz ekwwaentną długość straty zaworu: ( r ) z 30d. [ m] Oznacza to, że w nstaacj pokazanej na rys. 8. straty okane stanową zaedwe.% strat wywołanych tarcem płynu o ścany przewodu są porównywane z typowym da omawanego zagadnena błędem obczeń (numerycznym). Przykład ten jest typowym da obczeń rurocągów pozwaa stwerdzć, że w obczenach przepływów długch straty okane jako znaczne mnejsze od strat tarca o ścany przewodu mogą być pomnęte. Wracając do przykładu z rys. 8. oznacza to, że cała wysokość strat jest równa wysokośc traconej wskutek tarca, tzn.: U λ d g Zgodne z metodyką podaną w rozdzae poprzednm rozwązane tego zagadnena można uzyskać stosując koejne przybżena, z których perwsze może być oparte o założene przepływu neepkego, skąd wynka: U g Wyczając na podstawe tego przybżena wartość Re następne współczynnk tarca o ścany przewodu (a właścwe jego perwsze przybżene λ ) zakładając, ze cała dyspozycyjna wysokość zostaje zużyta na pokonane oporów tarca (założene przewodów długch) otrzymujemy: g d ( U) λ (uwaga po ewej strone występuje numer przybżena a ne wykładnk potęg). Koejne przybżene prędkośc pozwo wyczyć następne przybżene współczynnka strat tarca, a poneważ λ występuje pod perwastkem, stąd można sę spodzewać, że różnce w koejnych przybżenach prędkośc będą coraz mnejsze, czy że proces teracyjny będze zbeżny Dobór właścwej średncy rurocągu da osągnęca zadanego wydatku. Omówone zagadnene wykracza poza zakres mechank płynów, gdyż w rzeczywstośc wnno być ono przedmotem anazy optymazacyjnej uwzgędnającej zarówno zagadnena technczne (mnmazacja zużyca energ) jak ekonomczne (mnmazacja kosztów nwestycyjnych). W nnejszej anaze skupmy sę na zagadnenach ścśe techncznych, które dotyczyć będą zagadnena pokazanego na rys. 8.3, w którym zadanem projektowym jest dobór właścwej średncy przewodu d, którym na odegłość mamy przetłoczyć wydatek Q p, pokonując przy tym różncę wysokośc nweacyjnych p. Ceem naszej anazy będze znaezene takej średncy rurocągu, która zapewn, że parametry pracy całej nstaacj będą możwe bske założenom projektowym, przy mnmanym możwym zużycu energ (aspekt kosztów nwestycyjnych pomjamy). Średnce rurocągów dostępnych w handu ne są rzecz jasna dowone, gdyż okreśone są one 3

5 typowym szeregem wymarów, które da rur staowych oparte są na wymarach caowych, natomast w przypadku rur mosężnych, medzanych pastkowych na szeregu wymarów metrycznych. Ułatwa to w pewnym stopnu anazę, ogranczając ość możwych warantów do tych, które znaeźć można w kataogach poszczegónych wyrobów wytwórców. Qp d? p Rys Dobór średncy przewodu da osągnęca zadanego wydatku. Dośwadczene wnno nam zasugerować wybór zakresu średnc rurocągu, które mogą być rozwązanem optymanym wyberając perwszą z możwych średnc rurocągów równą d przeprowadzamy obczena da założonego wydatku Q p w sposób omówony w rozdzałach poprzednch. Poneważ punkt pracy ne mus pokrywać sę z parametram projektowym, zmenamy wydatek wokół Q p sporządzając w ten sposób charakterystykę strat rurocągu o średncy d, tzn.: h f Q d ( ) ( ) str d d d p Q p Q Rys Charakterystyka hydrauczna rurocągów o założonych wstępne średncach. Nakładając wykres strat wysokość nweacyjną p otrzymujemy charakterystykę hydrauczną rurocągu pokazana na rys. 8.4 a sporządzoną w układze: f ( Q) \ gdze jest wysokoścą sumaryczną cśnena. Następne wyberamy koejne średnce rurocągu d d 3 powtarzamy cały tok obczeń uzyskując kompet charakterystyk hydraucznych rurocągów pokazany na rys. 8.4, na którym zaznaczono na os odcętych wydatek projektowy Q p. Punkt pracy rurocągu, czy rzeczywsta wartość wydatku wysokośc podnoszena powstaje jako wynk przecęca charakterystyk odboru (czy rurocągu) źródła, czy pompy. Na rys. 8. przedstawono fragmenty przebegów charakterystyk hydraucznych z rys. 8.4 nałożone na charakterystyk dwóch pomp, które w 33

6 efekce dają aż sześć możwych punktów pracy położonych w różnej odegłośc od wydatku projektowego Q p. N η f(q) da pompy f(q) da pompy pr d d pr3 d3 N f(q) pompa N pr pr3 N f(q) pompa Q p Q Rys. 8.. Wyznaczane punktu pracy nstaacj hydraucznej. Najbżej punktu projektowego położone są nstaacje złożone z pompy nr oraz rurocągu o średncy d (punkt p r ) oraz pompy nr rurocągu o średncy d 3 (punkt p r3). Na wykrese nanesono równeż przebeg zapotrzebowana mocy N obydwu pomp z zaznaczonym punktam pracy poszczegónych konfguracj pompa-rurocąg. Mmo ż punkty p r oraz p r3 dają bardzo zbżony wydatek, to jednak porównane zapotrzebowana mocy obydwu tych konfguracj wskazuje, że nstaacja złożona z pompy nr rurocągu o średncy d 3 daje wyraźne zmnejszene zapotrzebowana mocy pokazane na wykrese jako N. Na rys. 8. nanesono równeż przebeg sprawnośc pompy defnowanej jako: Eef η (8.8) Edost gdze: E dost - energa dostarczona do pompy E ef - energa zużyta w sposób efektywny (przekazana płynow). Na krzywej sprawnośc wybrany punkt pracy eży bardzo bsko maksmum, co pozwaa oczekwać, że wybrana konfguracja ne tyko spełnać będze wymog projektowe, ecz także będze efektywna pod wzgędem zużyca energ. 8.. Obczane przepływu przez przewody rozgałęzone. Anazowane dotychczas nstaacje składały sę z pojedynczych przewodów połączonych ze zbornkem ub pompą. Instaacje rzeczywste są znaczne bardzej złożone, chocaż da ceów obczenowych można je rozłożyć na dwa zasadncze eementy, którym są: - proste odcnk przewodów - rozgałęzena. Jeże przyjmemy założene, że rozpatrywać będzemy jedyne przewody długe, w których pomjać będzemy straty okane, wówczas najbardzej złożoną nstaację przedstawć będzemy mog jako superpozycję odcnków prostych rozgałęzeń. Przykład takego 34

7 rozgałęzena pokazano na rys. 8.6, gdze przewód o średncy d długośc rozgałęza sę na dwa przewody o średncach długoścach wynoszących odpowedno d oraz d 3 3. d U U d 3 d3 3 U3 3 Rys Schemat obczenowy przewodu rozgałęzonego. Newadomym są tutaj prędkośc przepływu U w przewodze zborczym oraz U U 3 w przewodach rozgałęzonych co oznacza, że da uzyskana rozwązana nezbędnym będze stworzene układu trzech równań. Jeże współczynnk strat tarca wynoszą λ, λ, λ3, wówczas wysokośc strat będą równe: U U λ + λ (8.8) d g d g U 3 U3 3 λ + λ3 (8.9) d g d3 g gdyż w rurocągu o średncy d straty są dentyczne da obydwu strug. Trzece, zamykające równane otrzymamy z warunku cągłośc: πd πd πd3 U U U3 (8.0) wówczas rozwązane układu (8.8), (8.9) (8.0) pozwo nam wyczyć newadome prędkośc U, U, U3, które rzecz jasna będą jedyne perwszym przybżenam wynków rzeczywstych. Układając powyższe równana założyśmy bowem, że znane są wartośc współczynnków strat λ, λ, λ3, podczas gdy do ch wyznaczena koneczna jest przeceż znajomość czby Re (czy prędkośc). Oznacza to, że także w tym przypadku występuje koneczność zastosowana metody teracyjnej, omówonej w rozdz. 8.. W przepływach przez przewody rozgałęzone naeży pamętać, że ch własnośc przypomnają w pewnym stopnu znaną z eektrotechnk dynamkę połączeń równoegłych. Przykładowo, jeże cśnene wyotowe w płaszczyznach 3 3 przewodów równoegłych z rys. 8.6 jest jednakowe wynos np. p a, wówczas wysokość strat w odcnkach 3 mus być dentyczna, gdyż tyko w tym przypadku może ustać sę równowaga energetyczna mędzy obydwoma przewodam. Z warunku tego wynka następująca zaeżność: U 3 U3 λ λ3 d g d3 g skąd po przekształcenach otrzymujemy wyrażene na stosunek prędkośc w obydwu gałęzach: U λ3 3 d (8.) U3 λ d3 oraz ch wydatków przepływających przez przekroje oraz 3 3: 3

8 Q Q λ3 3 d d (8.) λ 3 3 Wzory powyższe wykazują, że prędkośc wydatk płynu przepływającego przez poszczegóne rozgałęzena są proporcjonane do średnc przewodów (choć w różnych potęgach) oraz odwrotne proporcjonane do współczynnków tarca długośc przewodów. Specjanym przypadkem przewodów rozgałęzonych są układy przewodów równoegłych, da których stosuje sę także zaeżnośc (8.) (8.). Jednak w obczenach przepływu przez przewody równoegłe stosuje sę często pojęce przewodu zastępczego, który przy dentycznej wysokośc strat jak w przewodach rozgałęzonych transportuje wydatek będący sumą wydatków cząstkowych przepływających przez poszczegóne rozgałęzena. d d p Rys Instaacja hydrauczna zawerająca układ przewodów równoegłych. Zastosowane tej metody pokażemy na przykładze nstaacj z rys. 8.7, w której pompa zasa układ dentycznej długośc przewodów równoegłych o średncach wynoszących odpowedno: d, d,.... d Przewody te transportować mają sumaryczny wydatek Q p na wysokość p, przy czym zgodne z wynkam poprzednch rozważań wysokość strat w każdym z przewodów mus być dentyczna: U U U λ λ... λ d g d g d g Jeże wysokość podnoszena pompy wynos, wówczas prędkość przepływu w -tym przewodze wynos: g ( p ) U (8.3) + λ d ub po przekształcenu: g ( p )d U (8.3a) d + λ Przez każdy z przewodów przepływa wydatek: π d Q U 4 co po uwzgędnenu wz. (8.3) daje π g ( p )d Q 4 d + λ Wyrażene w manownku można uproścć uwzgędnając: 36

9 d << co pozwaa zapsać: π g ( p )d Q 4 λ Wydatek sumaryczny transportowany przez wszystke przewody wynos: π g ( p )d Q Q 4 λ a po wyłączenu przed znak sumy wekośc stałych otrzymujemy: π g ( p ) d Q (8.4) 4 λ Ten sam wydatek płynu ma być transportowany przewodem zastępczym o średncy D przy tej samej wartośc strat, co pozwaa zapsać: π g ( p ) D Q (8.) 4 λ a porównując (8.4) (8.) otrzymujemy następujące wyrażene na średncę przewodu zastępczego: D λ d λ (8.6) Dzęk wprowadzenu pojęca przewodu zastępczego możemy zatem uproścć rozwązywane zagadnene sprowadzając je do obczena przepływu przez pojedynczy przewód zastępczy. Jeże dodatkowo założymy: λ λ... λ λ wówczas za. (8.6) sprowadz sę do wyjątkowo prostej postac: D d (8.7) Wyznaczene punktu pracy nstaacj składającej sę z weu przewodów równoegłych wymagałoby obczena charakterystyk hydraucznych każdego z przewodów, natomast po wprowadzenu przewodu zastępczego zagadnene redukuje sę do obczena jednej tyko charakterystyk hydraucznej przewodu zastępczego. Jeże nstaacja składa sę z neweu równoegłych przewodów, wówczas można zastosować grafczną metodę wyznaczana charakterystyk hydraucznej przewodu zastępczego, co pokazano na rys * Q ; * Q * ; * char.qf() daprzewoduośredncy d * char. Q f() da przewodu o średncy d char. Q f() przewodu zastępczego dem char. Q f() pompy p Q Q Q +Q Q* Q Rys.8.8. grafczną. Wyznaczane charakterystyk hydraucznej przewodu zastępczego metodą 37

10 Da nstaacj składającej sę z dwóch przewodów równoegłych o średncach d d sporządzamy charakterystyk hydrauczne w sposób omówony w rozdz Poneważ wysokość strat w każdym z przewodów mus być dentyczna, stąd też charakterystykę hydrauczną przewodu zastępczego sporządzamy odkładając na każdej n dem punkt będący sumą wydatków transportowanych przez poszczegóne przewody, tzn.: Q Q + Q Powstała w ten sposób na jest charakterystyką hydrauczną przewodu zastępczego po nałożenu charakterystyk pompy otrzymujemy wówczas punkt pracy nstaacj, którego współrzędne wynoszą: * * Q ; Wydatk transportowane przez poszczegóne przewody równoegłe znajdujemy jako punkty przecęca n: * dem z charakterystykam hydraucznym przewodów, otrzymując w ten sposób dwa punkty pracy o współrzędnych: * * * * Q ; Q ; pokazane na rys Warto zauważyć, że rzeczywste punkty pracy obydwu przewodów otrzymaśmy w wynku nałożena na charakterystykę pompy (rzeczywstą) n charakterystyk hydraucznej przewodu zastępczego, która jest ną całkowce fkcyjną. 38