AERODYNAMIKA I WYKŁAD 4 ELEMENTY TEORII WARSTWY PRZYŚCIENNEJ CZĘŚĆ 1

Transkrypt

1 WYKŁAD 4 ELEMENTY TEORII WARSTWY PRZYŚCIENNEJ CZĘŚĆ 1

2 Pojęcie warstwy przyściennej w płynie. Równania Prandtla Warstwa przyścienna (WP) warstwa płynu przylegająca do powierzchni opływanego ciała, charakteryzującą się wielkimi wartościami poprzecznego gradientu prędkości. W obszarze warstwy przyściennej dynamiczne efekty związane z lepkością są tego samego rzędu do efekty bezwładności płynu. Generalne założenie - WP jest cienka (w porównaniu z charakterystycznym rozmiarem ciała w kierunku głównego przepływu), czyli L lub 1 L Przedstawimy teorię WP zaproponowaną na początku ubiegłego stulecia przez Prandtla. Idea opisu matematycznego w WP polega na uproszczeniu ogólnych równań dla (nieściśliwego) płynu lepkiego..

3 Zapiszmy równania opisujące dwuwymiarowy stacjonarny przepływ cieczy newtonowskiej 1 u u yu p ( u yyu) u 1 ( ) y y p yy u Ruch z warstwie przyściennej jest prawie równoległy. Generalnie, oczekujemy, że składowa prędkości równoległa do ściany jest dużo większa niż składowa normalna. Oznaczmy U U( ) przebieg prędkości równoległej do ściany na zewnętrznej granicy WP (czytaj: na tyle daleko, że można uznać U za prędkość zewnętrznego strumienia płynu). Możemy przyjąć, że w opływach powierzchni nośnych mamy typowo U U, gdzie U to prędkość płynu w strumieniu niezaburzonym (daleko od ciała) Wyskalujmy wielkości występujące w równaniu ruchu dla kierunku U U U L u U, u, yu u L L Z równania ciągłości mamy y y y U u U U L L

4 Wobec tego, oszacowanie wielkości różnych składników w równaniu ruchu na kierunek przedstawia się następująco u u u 1 p ( u u) y yy U U U U U U L L L L Zauważmy, że pierwszy ze składników w członie lepki jest zaniedbywalnie mały w porównaniu z drugim u ( ) u u L yy yy W obszarze WP, dominujący składnik lepki musi być tego samego rzędu co składniki w pochodnej konwekcyjnej (bezwładnościowe). Mamy zatem U U U yyu ~ L L L U L

5 Wynika stąd, że względna grubość (średnia) WP jest związana z liczbą Reynoldsa L 1 1 UL Re L Przykład: Oszacujmy (średnią) grubość WP dla L m U 5 m m.5, 5, 1. s s Re.51 L.63 mm (!) Otrzymujemy: 5 6 Jak widzimy, oczekiwana grubość WP jest naprawdę mała! Rozważmy r-nie ruchu w kierunku poprzecznym y. Łatwo zauważyć, że wszystkie składniki są mniejsze niż analogiczne w równaniu na kierunek o czynnik L 1, tj. u u u p u, 1 y yy u p, 1 y y yy U O ( ) L U O( ) L L

6 Skoro wszystkie składniki kinematyczne w równaniu dla kierunku y są małe to poprzeczny gradient ciśnienia, tj. ciśnienie w poprzek WP jest w zasadzie niezmienne i równe y p wartości na zewnętrznej granicy WP. Poza WP przepływ może być uznany za potencjalny (bo efekty lepkie poza WP mają pomijalne znaczenie). Wobec tego do wyznaczenia rozkładu ciśnienia wzdłuż zewnętrznej granicy WP można wykorzystać równanie Bernoulliego, a mianowicie Po zróżniczkowaniu względem otrzymujemy p U p( ) U ( ) p( ) U ( ) U( ) Po podstawieniu do (uproszczonego)równania ruchu w kierunku otrzymujemy Równanie Prandtla dla warstwy przyściennej (laminarnej) Dołączamy do opisu również r-nie ciągłości u u u U( ) U ( ) u y yy u y

7 Dla powyższych równań formułujemy następujące warunki brzegowe na brzegu opływanego ciała i w dalekim polu u, u, (,), limu(, y) U ( ) sciana Z matematycznego punktu widzenia, równanie Prandtla jest równaniem różniczkowym cząstkowym typu parabolicznego (tak jak np. równanie przewodnictwa ciepła). W roli pseudo-czasu występuje tu współrzędna. Wynika stąd konieczność zdefiniowania warunku początkowego, czyli określenia profilu prędkości w początkowym przekroju warstwy przyściennej, odpowiadającym pewnej wartości y u(, y) u ( y) Rozwiązanie problemu początkowo/brzegowego dla układu złożonego z r-nia Prandtla i r-nia ciągłości zwykle otrzymywane na drodze obliczeń numerycznych polega zatem na wyznaczeniu rozkładu prędkości w obszarze położonym niżej z prądem czyli dla. Zauważmy, że numerycznej rekonstrukcji przepływu w WP nie można rozpocząć od faktycznego jej początku (przedni punkt spiętrzenia), bowiem początkowa grubość WP jest równa zero i profil u ( ) y jest nieokreślony. Okazuje się jednak, że w bliskim otoczeniu tego punktu można posłużyć się przybliżonym rozwiązaniem analitycznym (pomijamy szczegóły).

8 Samopodobne rozwiązania równania Prandtla Dla szczególnych przypadków przebiegu funkcji U U( ) równanie Prandtla posiada tzw. rozwiązania samopodobne. Rozwiązanie r-nia Prandtla nazywamy samopodobnym jeśli rozkład prędkości w WP może być wyrażony przez funkcję tylko jednej, specjalnie dobranej zmiennej y ( ). Ponieważ rozważany przepływ jest dwuwymiarowy, wygodnie jest użyć funkcji prądu. Załóżmy, że funkcja ta ma postać y ( ) (, y ) U ( ) ( ) f [ ] U ( ) ( ) f [ (, y )] Obliczmy wynikające stąd składowe pola prędkości: u(, y) (, y) U ( ) ( ) f [ (, y)] (, y) y 1 U ( ) ( ) f [ (, y)] U ( ) f [ (, y)] ( ) y

9 (, y) (, y) U ( ) ( ) f [ (, y)] U ( ) ( ) f [ (, y)] y ( ) U ( ) ( ) f [ (, y)] ( ) Obliczmy dalej odpowiednie pochodne y ( ) u(, y) U( ) f [ (, y)] U ( ) f [ (, y)] ( ) U ( ) U ( ) yu(, y) f [ (, y)], yyu(, y) f [ (, y)] ( ) ( ) Po podstawieniu do lewej strony równania Prandtla otrzymamy u u yu U ( ) U ( ) f [ (, y)] ( ) U U f y f y U f y f y ( ) ( ) ( ) [ (, )] [ (, )] ( ) [ (, )] [ (, )]

10 Prawa strona tego równania przyjmie natomiast następującą postać Przyrównując i otrzymujemy równanie U( ) U ( ) U( ) f [ (, y)] ( ) U U f y U U f y f y ( ) ( ) [ (, )] ( ) ( ) [ (, )] [ (, )] ( ) U ( ) U ( ) f [ (, y)] f [ (, y)] U ( ) U ( ) f [ (, y)] ( ) ( ) Po podzieleniu przez do postaci U( ) ( ) i prostych przekształceniach, powyższe równanie sprowadza się U U f f f f f f ( 1)

11 W tym momencie, lewa strona równania zależy zarówno od jak i. Rozwiązanie samopodobne może istnieć wyłącznie wtedy, gdy pozbędziemy się jawnej zależności od zmiennej, co jest możliwe tylko dla pewnych funkcji U U ( ). Falkner and Skan zauważyli, że rozwiązania samopodobne istnieją dla przy dowolnym m R. L U ( ) ( ) m U Wówczas U( ) U m m1 L m Załóżmy, że funkcja grubości WP ma postać ( ) C( ) L, gdzie stałe C i należy L wyznaczyć. Współczynniki przy pochodnych funkcji f są wtedy równe 1 ( U C UL m U C U L m L), ( L) m1

12 Widzimy, że zależność tych współczynników od zmiennej znika wtedy i tylko wtedy, gdy W efekcie, mamy U C U L m 1 m 1 m U C U L 1 mc U L, Po podstawieniu, otrzymujemy dla funkcji f nieliniowe równanie różniczkowe zwyczajne 3-ego rzędu Po przekształceniach C U L 1 ( 1) C U L m m f f f f f f C U L 1 ( 1) C U L m m f f f f

13 Stałą C dobieramy zgodnie z warunkiem normalizacji C UL 1 m 1 C m 1 U L Implikowana tym wyborem formuła dla funkcji ( ) to L m m m 1 ( L L m L UL 1 1 ( ) C( ) L C L ) L L 1 ( L m ) m L U L m 1 U ( ) Drugi współczynnik w równaniu dla funkcji f przyjmuje wartość C U L m m 1 m co prowadzi do ostatecznej formy równania różniczkowego (Falknera-Skan)

14 gdzie f f f f f (1 ) y y f( ), ( ) m 1 U( ) Wprowadzony wyżej parametr może być wyrażony przez liczbę m, a mianowicie m 1 m m m 1 Wobec tego, samopodobna współrzędna może być przedstawiona wzorem y U( ) ( ) Warunki brzegowe stawiane dla równania Falknera-Skan mają następująca postać u f (), f () sciana sciana u U ( ) lim f ( ) 1 y

15 Interpretacja rozwiązań samopodobnych Falknera-Skan Objaśnimy fizykalne znaczenie rozwiązań samopodobnych FS. W tym celu zapiszmy równanie Laplace a dla funkcji prądu we współrzędnych biegunowych, a mianowicie ( r ) 1 1 r r r r Szczególnym rozwiązaniem tego równania jest funkcja postaci Istotnie, mamy r r 1 r r r 1 r m 1 ( r, ) Kr sin[( m 1) ]. m K( m 1) r sin[( m 1) ] r K m r m r r m1 ( 1) sin[( 1) ] r K m r m m ( 1) sin[( 1) ] r K m r m m1 ( 1) sin[( 1) ] m1 K( m 1) r sin[( m 1) ]

16 Odpowiadające tej funkcji prądu biegunowe składowe pola prędkości wyrażają się wzorami Które linie o równaniu składowa obwodowa ( r, ) Załóżmy, że 1 m r r K( m 1) r cos[( m 1) ] m r K( m 1) r sin[( m 1) ] const są liniami prądu? To oczywiście te linie, wzdłuż których, czyli linie takie, że sin[( m 1) ],1 m. Wówczas [,) 1 1 1,, 1. Zachodzą związki 1 1 m, Promieniowa składowa pola prędkości wzdłuż linii,1 jest równa m m r( r, ) K( m 1) r U( L), m m U L m m

17 Otrzymaliśmy przepływ zewnętrzny odpowiadający samopodobnej warstwie przyściennej Falknera-Skan, czyli U ( ) (,) U ( L) m r Jest to przepływ potencjalny w pobliżu ściany płaskiej załamanej pod kątem równym na rysunku., jak Przypadek odpowiada warstwie przyściennej na płaskiej płytce ustawionej równolegle do kierunku strumienia w nieskończoności (czyli pod zerowym kątem natarcia). m i U ( ) Wówczas Skan redukuje się do równania Blasiusa U (zerowy gradient ciśnienia wzdłuż WP). Równanie Falknera- f f f Bezwymiarowa samopodobna współrzędna w poprzek warstwy ma postać y U.

18 Podsumowowanie Opływ płaskiej płytki pod ujemnym kątem natarcia m, (,), U ( ) U( L) U ( ) i p ( ) m Opływ płaskiej płytki pod dodatnim kątem natarcia 1 m, [,), U ( ) U( L) U ( ) i p ( ) m

19 Profile prędkości w samopodobnej warstwie Falknera-Skan Profil prędkości w warstwie laminarnej w warstwie przyściennej Blasiusa ( ) porównanie teorii z eksperymentem (Schlichting, 3)

20 Profile prędkości w samopodobnej warstwie Falknera-Skan Graniczny kąt natarcia ok. 18. Powyżej oderwanie laminarnej WP na całej płytce!

21 Zjawisko oderwania WP W pewnych warunkach WP może ulec oderwaniu od powierzchni ciała (profilu). Oderwanie oznacza tyle, że poza pewnym punktem (w 3D linią) pojawia się przy ścianie rejon przepływy wstecznego (recyrkulacji). Rejon oderwania może rozciągać się do krawędzi spływu powiększając systematycznie swoją grubość, lub może mieć ograniczony zasięg, tj. poza pewnym miejscem położonym dalej z prądem następuje powtórne przylepienie WP (ang. re-attachment). W tym ostatnim przypadku mówimy o oderwaniu lokalnym (powstaje tzw. bąbel oderwania WP). Z aerodynamicznego punktu widzenia oderwanie laminarnej WP jest niekorzystne, powoduje bowiem gwałtowną zwykle utratę znacznej części siły nośnej i jednoczesny wzrost oporu aerodynamicznego.

22 Schemat oderwania lokalnego z bąblem laminarnym (źródło E.L. Houghton at al., Aerodynamics for Engineering Students, 6E, Elsevier 13)

23 Posługując się teorią Prandtla można pokazać, że oderwanie WP może zachodzić jedynie w obszarze wzrostu ciśnienia wzdłuż WP (czyli tam gdzie dp / d ). Pokażemy, że dp / d (czyli równoważnie - U( ) ) jest warunkiem koniecznym pojawienia się oderwania WP (zakładamy poniżej, że y odpowiada ścianie). Ponieważ na ścianie prędkość przepływu jest równa zeru to r-nie Prandtla zapisane w granicy y redukuje się do równości U ( ) U( ) u(, y ) yy na scianie Zauważmy, że w otoczeniu punktu oderwania WP druga pochodna u yy na ścianie jest dodatnia. Z powyższego równania wynika, że wówczas U( ), czyli ma miejsce nierówność p( ). Do oderwania na gładkiej ścianie nie może dojść w obszarze, gdzie warstwa przyścienna przyspiesza, a ciśnienie wzdłuż ściany maleje. Powyższy fakt ma wielkie konsekwencje dla projektowania powierzchni nośnych, profili aerodynamicznych w szczególności. O tym przy innej okazji.

24 Całkowe charakterystyki przepływu w WP. Równanie Karmana Jednym z głównych zagadnień teorii WP jest zdefiniowanie obiektywnych miar jej grubości, a następnie określenie związków pomiędzy tymi wielkościami implikowanymi przez podstawowe zasady zachowania. Jak wynika z postaci poznanych wcześniej rozwiązań samopodobnych, odległość od ściany w jakiej prędkość w warstwie zrównuje się z prędkością przepływu zewnętrznego jest nieograniczona (grubość warstwy jest nieskończona). Z praktycznego punktu widzenia można posłużyć się umowną grubością 99 zdefiniowana jako taki dystans od ściany na którym składowa prędkości równoległa do ściany osiąga 99% wartości prędkości na brzegu warstwy (czyli U( )). Mamy zatem u(, y ) :.99 U ( ) 99 W szczególności, dla laminarnej WP Blasiusa (płaska płytka, zerowy gradient ciśnienia wzdłuż WP) otrzymamy wynik 99( ) ( ) U U Re

25 Przykład: Oblicz przybliżoną grubość laminarnej WP na płaskiej płytce opływanej równoległym do niej strumieniem powietrza (lepkość kinematyczna temperaturze ok. C) z prędkością U. 5 m s m s przy 99 ( ) U Wniosek: w odległości 1 m od początku WP jej grubość wynosi ok..7 mm.

26 Grubość straty wydatku (ang. displacement thickness) Inną, bardziej adekwatną miarą grubość warstwy można określić w następujący sposób. Rozważmy profil prędkości stycznej do ściany w wybranym przekroju (wsp. jest ustalona). Obliczmy wielkość całkową zdefiniowaną następująco ( - duża liczba) Q( ) [ U ( ) u(, y)] dy Formalnie, jest to różnica dwóch wydatków objętościowych przepływu płynu idealnego ze stałą prędkością U( ) i przepływu płynu lepkiego z prędkością u(, y ) - płynących przez wybrany przekrój poprzeczny WP rozciągający się od ściany do linii y. Grubością straty wydatku nazywamy wielkość (interpretacja rysunek) Q( ) u(, y) u ( ) : 1 dy 1 dy U ( ) U ( ) U

27 Wielkość ( ) mówi, o ile należy przesunąć ścianę opływanego ciała, aby otrzymać ekwiwalentną korektę (ujemną, a więc stratę) wydatku objętościowego związana ze zmniejszeniem prędkości przy ścianie. Zauważmy, że ma miejsce równość u(, y) dy [ U ( ) u(, y)] dy U ( ) dy u(, y) dy

28 Grubość straty pędu (ang. momentum thickness) Analogiczną miarę grubości można wprowadzić względem strat pędu. Ponownie, rozważmy warstwę płynu o grubości i obliczmy strumień składowej poziomej pędu przez przekrój określony współrzędną, dla dwóch przypadków: 1) przepływ idealny ze stałą prędkością U( ), odsunięty o od ściany P, id U ( ) dy U U ( ) dy U u(, y) dy u(, y) U ( ) dy ) przepływ płynu lepkiego w WP Różnica strumieni pędu wynosi P, WP u (, y) dy P u(, y) U ( ) dy u (, y) dy u(, y)[ U ( ) u(, y)] dy

29 W granicy. u u P U 1 dy U U U Pojawiła się wielkość zwana grubością straty pędu P u 1 u dy U U U Zauważmy, że zawsze (dlaczego?). Profil prędkości w warstwie charakteryzuje się również tzw. współczynnikiem kształtu H : 1

30 Przykład 1: Załóżmy, że dla ustalonego przekroju poprzecznego profil prędkości w WP można przybliżyć funkcją u( y) U (1 e y ) Wówczas (1 1 y lim e ) dy lim [ e e ] 1 1 y y y y lim (1 e ) e dy lim e dy lim e dy Hence, the shape factor is H Zadanie: Powtórz obliczenia dla u( y) U [1 (1 y) ], 1

31 Przykład : Wyznacz całkowe parametry (grubości) laminarnej WP Blasiusa W rozwiązaniu samopodobnym Blasiusa mamy: Zatem czyli Dalej czyli y ( y, ), u (, y ) f [ (, y )] U U U ( ) {1 f [ (, y)]} dy [1 f ( )] d 1.71 U ( ) U Re U ( ) f [ (, y)]{1 f [ (, y)]} dy f ( )[1 f ( )] d f ().664 U ( ) U H.59 Re U

32 Inne ważne parametry to: naprężenia na ścianie C f w u y y Uf () U w f (),664 (lokalny wsp. tarcia) U Re Re (globalny) współczynnik tarcia na odcinku płytki o długości L L L.664 1/ ( ) 1 ( ).664 ( ) 1.38 D L f L U L U f Re C L C d d L C L

33 Równanie von Karmana Wyprowadzimy ważne równanie von Karmana, które wiąże wprowadzone wyżej całkowe grubości WP. Punktem wyjścia jest równanie Prandtla u u u U ( ) U( ) u y yy Scałkujmy to równanie względem y w przedziale [, ]. Jak zwykle, y odpowiada ścianie. Otrzymujemy równość y u u u UU dy u dy Zajmijmy się najpierw prawą stroną tej równości L 1 yy y y y R u dy ( u u ) R yy y

34 W granicy otrzymujemy R lim R u 1 1 y sciana w Symbolem w oznaczyliśmy wartość naprężeń stycznych na ścianie. Posługując się równaniem ciągłości możemy następnie napisać równość Zatem dy y udy y y y y u dy ( u dy) u dy ( u dy) u u u dy y y przez częsci... u(, ) u dy u u dy [ u(, ) u u(, y) u] dy y

35 Podstawiamy otrzymane wyrażenie do lewej części równości i otrzymujemy ( ) [ u u UU u( ) u u u] dy L u u u UU dy ( u u UU ) dy [ u( ) u u u] dy [ u u UUu( ) u u u uuuu] dy { u ( U u) [ u( ) u] u} dy ( U u) Udy

36 Ale lim u( ) U, zatem L lim L { u ( U u) [ U u] u} dy ( U u) U dy d u( U u) dy U ( U u) dy d d d U u u u (1 ) dy U U (1 ) dy U U U Przyrównując L do R otrzymujemy równanie von Karmana d Postacie równoważne [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 w d U U U d d U w ( ), d U ( H ) U U d U C f

37 Metoda Thwaitesa (1949) Wprowadźmy parametr U Pomnóżmy r-nie Karmana przez czynnik Re U. Otrzymamy ( ) w w 1 1 U U H U Lewą stronę tego równania można zapisać w postaci d ) 1 d 1 ) ( H ) U U ( H) U U d ( ( H) U d ( U Załóżmy, że prawą stronę też można przedstawić jako pewna funkcję parametry S( ) w U

38 Otrzymaliśmy równanie różniczkowe dla parametru ( ) d ( d U U 1 ) [ S( ) ( H) ] F( ) Thwaites zebrał znane mu wyniki badan teoretycznych i eksperymentalnych i skonstruował w 1949 r. słynny wykres Wzór aproksymacyjny Thwaitesa F( ).45 6

39 Otrzymane równanie z podaną wyżej liniową funkcją F można rozwiązać analitycznie! (ćwiczenie: rozwiąż r-nie jednorodne otrzymane po odrzuceniu stałej.45 metodą rozdzielenia zmiennych, a następnie uzmiennij stałą całkowania). Rozwiązanie to można zapisać wzorem Dla otrzymujemy Zatem 6 5 ( ).45 U ( U d C) 6 6 ( ).45 U ( ) C C ( ) U ( ).45 ( ) U [.45 U d U ( )] W praktyce, gdy odpowiada początkowi warstwy, drugi składnik w nawiasie znika (dlaczego?). Otrzymujemy formułę Thwaitesa ().45 5 U 6 U d

40 Po obliczeniu wyznaczamy kolejno 1 ( ) U ( ) ( ) i Re ( ) C ( ) S [ ( )] Współczynnik oporu tarcia obliczmy ze wzoru. f Re ( ) U ( ) ( ). Thwaites podał zależności S S( ) i H H( ) w formie tabeli. Wygodniej korzysta się jednak ze wzorów aproksymacyjnych. Ich współczesna forma ma postać: 3.7 S( ) (.18) 3.56 H ( ) (.18)