9. Stabilność liniowych układów regulacji
|
|
|
- Marcin Wierzbicki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 7 9. Stblość lowych ukłdów regulcj Pojęce tblośc bde tblośc zwąze jet z oceą rodzju zchow ę ukłdu dymczego wytrącoego ze tu rówowg, o zku oddzływ wymuze, które te ukłd ze tu rówowg wytrącło. Możlwe ą trzy rodzje zchowń ukłdów: - ukłd owrc do tu rówowg w ukce rcy zjmowym rzed wytrąceem go ze tu rówowg, - ukłd oąg t rówowg w ym ukce rcy ż oczątkowy, - ukłd e oąg tu rówowg; zczególym rzydkem tkego zchow jet wykoywe rzez ukłd ocylcj o tłej mltudze. W rzydku ukłdów lowych, zchowe ę ukłdu o zku oddzływ, które wytrącło go ze tu rówowg, jet cechą chrkterytyczą dego ukłdu e zleży od rzebegu oddzływ rzed jego zkem. Ukłd lowy owrcjący o zku wymuze do tu rówowg w ukce rówowg zjmowym rzed wytrąceem go ze tu rówowg, zywy jet ukłdem tblym ymtotycze. Ukłd lowy oągjący o zku wymuze t rówowg w ym ukce rówowg ż oczątkowy, zywy jet ukłdem tblym eymtotycze. O lowym ukłdze, w którym o zku wymuze owtą drg egące o tłej mltudze, mów ę, że zjduje ę o grcy tblośc; w ozotłych rzydkch e oąg tu rówowg ukłd jet określy jko etbly. Ze względu odtwowe zde ukłdu regulcj jkm jet dążee do oągęc określoego rzez wrtość zdą uktu rcy, ukłd regulcj mu być ukłdem tblym ymtotycze. Procey oąg tów rówowg rzez ukłdy tble mogą rzyberć róże formy. Do chrkteryzcj ocey tych roceów odo ę ojęce jkość ukłdów regulcj. W rzydku ukłdów elowych, ch zchowe od wływem wymuzeń o ch zku może zleżeć od uktu rcy ukłdu orz od rodzju welkośc wymuzeń. Dltego oce ukłdów elowych od względem tblośc jet rwą zcze brdzej złożoą ż w rzydku ukłdów lowych.
2 7 9.. Ogóle wruk tblośc lowych ukłdów regulcj Poewż tblość ukłdów lowych e zleży od rzebegu wymuze wytrącjącego te ukłd z rówowg rzed jego zkem, tblość tych ukłdów moż oceć odtwe ch odowedz mulowych. Zbdjmy wływ rmetrów lowego ukłdu regulcj wg ry. 9. otć jego odowedz mulowej. Ry. 9.. Schemt blokowy ukłdu utomtyczej regulcj Trmtcj oertorow ukłdu względem zkłóce m otć... L M L z y r ob ob z, 9. względem wrtośc zdej... L M L w y r ob ob r 9. Poewż trmtcje mją jedkowe mowk, chrkterytyk mulowe wyzczoe ch odtwe będą meć jedkową otć; różć ę będą tylko wrtoścm wółczyków. Ztem, ukłd o trukturze jk ry. 9., zchowujący ę w rzydku oddzływ zkłóceń jk ukłd tbly, jet tblym tkże w rzydku logczych zm wrtośc zdej. Roztrzmy wływ erwtków mogą być ojedycze lub welokrote, rzeczywte zerowe lub ezerowe orz zeoloe rzężoe rów chrkterytyczego ukłdu otć jego chrkterytyk mulowej. Przydek : Rówe chrkterytycze m tylko ezerowe ojedycze erwtk rzeczywte,,.... Wtedy C C C L......, 9. gdze: C, C,... C - wółczyk tłe. Chrkterytyk mulow m otć
3 7 t t g t L [ ] C e C e... C t e 9.5 Aby lm g t t, wzytke erwtk,,... muzą być ujeme; kżdy erwtek dodt owoduje owte kłdk dążącego do ekończoośc. Przydek : Rówe chrkterytycze m odwójy erwtek ezerowe ojedycze erwtk rzeczywte,.... Wtedy L C C C C Chrkterytyk mulow m otć t g t L [ ] C e C t e C e... C t t t e, t Jeżel wzytke erwtk,,... ą ujeme, to oewż lm C t e rzy fukcj wykłdcz t e mleje zybcej ż rośe zme t, tkże lm g t. t Alogcze jet w rzydku erwtków o wyżzych krotoścch. Przydek : Rówe chrkterytycze m jede erwtek ezerowe ojedycze erwtk rzeczywte,.... Wtedy t L C C C......, 9.8 t g t L [ ] C C e... C t e 9.9 Jeżel wzytke erwtk ezerowe ą ujeme, chrkterytyk mulow dąży do wrtośc tłej lm g t C ; w rzecwym rze lm g t. t t Przydek : Rówe chrkterytycze m dw lub węcej erwtk zerowe ezerowe ojedycze erwtk rzeczywte,.... Wtedy L C C C C t g t L [ ] C C t C e... C t e 9. Ze względu kłdk erwtków zerowych. C t, lm g t t ; odobe w rzydku wękzej lczby Przydek 5: Rówe chrkterytycze m erwtk zeoloe rzężoe x jb x jb orz ezerowe ojedycze erwtk rzeczywte,....
4 7 Wtedy C C b C L b... C... Chrkterytyk mulow m otć odtwe tblcy. t C C t t g t L [ ] Ce cobt e bt Ce... C b t e Aby lm g t, wzytke erwtk rzeczywte muzą być ujeme orz część t rzeczywt erwtków zeoloych mu być ujem dzęk temu kłdowe uodle mją gące mltudy. Przydek 6: Rówe chrkterytycze m erwtk zeoloe rzężoe o zerowych częścch rzeczywtych erwtk rzeczywte,.... Wtedy L C C C... x jb x jb orz ezerowe ojedycze 9. b... b Chrkterytyk mulow m otć C t g t L [ ] C cobt bt Ce... C b t e C 9.5 W tym rzydku, jeżel erwtk rzeczywte ą ujeme, to o okree rzejścowym wytąą drg egące. Reumując moż twerdzć, że - ukłd jet tbly ymtotycze, jeżel jego rówe chrkterytycze ukłdu m erwtk rzeczywte ujeme lub zeoloe o ujemych częścch rzeczywtych, - jeżel rówe chrkterytycze ukłdu orócz erwtków ujemych lub o ujemych częścch rzeczywtych m jede erwtek zerowy, to ukłd te jet tbly eymtotycze, - jeżel rówe chrkterytycze ukłdu m węcej ż jede erwtek zerowy lub erwtk dodte lub zeoloe o dodtch częścch rzeczywtych, to ukłd te jet etbly, - jeżel rówe chrkterytycze ukłdu e m węcej ż jedego erwtk zerowego e m erwtków dodtch lub zeoloych o dodtch częścch rzeczywtych, tomt m erwtk zeoloe o zerowych częścch
5 7 rzeczywtych, to ukłd te geeruje drg egące jet grcy tblośc. Przykłdy odowedz mulowych ukłdów tblych etblych rzedtw ry. 9.. Ry. 9.. Przykłdowe odowedz mulowe ukłdów:, tblych eymtotycze,, - tblych ymtotycze, 5, 6 etblych, 7 ukłd grcy tblośc drg egące Do ocey tblośc ukłdów lowych wytrczy ztem zjomość rozkłdu erwtków rów chrkterytyczego ukłdu łzczyźe zmeej zeoloej. Poewż oblcze erwtków rówń wyżzych rzędów e jet łtwe e zwze ze jet rówe chrkterytycze ukłdu, orcowo metody określ tblośc tzw. kryter tblośc, bez koeczośc wyzcz wrtośc erwtków rów chrkterytyczego. Kryter tblośc moż odzelć gruy: - kryter ltycze Hurwtz, Routh, - kryter grfcze kryterum Mchjłow, metod Ev, - kryter grfczo ltycze kryterum Nyqut, metod rozkłdu D. Przykłd 9. Określ tblość elemetów o trmtcjch oertorowych :, b, c k T Rozwąze Rówe chrkterytycze elemetu m otć: Rówe to od jede erwtek rzeczywty ujemy, 5, ztem jet to elemet tbly ymtotycze.
6 75 b Rówe chrkterytycze elemetu m otć: Rówe to od jede erwtek rzeczywty dodt, 5, ztem jet to elemet etbly. c Po rzekztłceu trmtcj oertorowej otrzymuje ę: k T T Rówe chrkterytycze elemetu T m jede erwtek zerowy. Jet to ztem elemet tbly eymtotycze. Czytelkow olec ę ryowć odowedz mulowe wymeoych elemetów otwerdzjące wyk rozwąz. Przykłd 9. Określć tblość ukłdu - ry. 9.. Ry. 9.. Schemt blokowy do rzykłdu 9. Rozwąze N odtwe trmtcj oertorowej ukłdu y z otrzymuje ę jego rówe chrkterytycze M oo jede erwtek rzeczywty ujemy, ztem ukłd jet tbly ymtotycze. Kometrz Ukłd otwrty bez rzęże zwrotego jet etbly trz rzykł. 9., ukłd zmkęty dołączee rzęże zwrotego ujemego tł ę tbly.
7 Kryterum Hurwtz W roku 895 A. Hurwtz formułowł mtemtycze kryterum umożlwjące rwdzee, czy rówe lgebrcze dowolego to m wyłącze erwtk ujeme lub o częścch rzeczywtych ujemych. Ztoowe tego kryterum do bd tblośc ukłdów utomtyk ogrczoe jet do lowych ukłdów o rmetrch kuoych, trmtcj dej w otc ltyczej. Oerjąc ę m moż bdć tblość zrówo ukłdów otwrtych jk zmkętych ze rzężeem zwrotym. Kryterum to zote ode bez formlego dowodu łuzośc, który moż zleźć w rcch [6, ]. Zgode z tym kryterum, rówe lgebrcze to o tłych rzeczywtych wółczykch m wzytke erwtk ujeme lub o ujemych częścch rzeczywtych, jeżel ełoe ą dw wruk zwe wrukm Hurwtz:. wzytke wółczyk,,..., tego rów ą róże od zer ą jedkowego zku; jet to wruek koeczy le e wytrczjący,. wzytke odwyzczk główe tzw. wyzczk Hurwtz ą wękze od zer. Wyzczk Hurwtz utworzoy ze wółczyków rów 9.6 m werzy kolum : x Przykłdowo formułujmy wyzczk Hurwtz dl rów czwrtego to
8 N o główej wyzczk umezcz ę koleje wółczyk od do trz trzłk; werze uzueł ę kolejym wółczykm. Jego odwyzczkm główym ą: orz 9.9 Ze względu włścwość wyzczków moż je odwrcć względem o główej e owodując zmy jego wrtośc, wyzczk może być tkże zy w otc 9. Jego odwyzczkm główym ą: orz 9. Kryterum Hurwtz umożlw twerdzee tblośc ymtotyczej tkże tblośc eytotyczej. Możlwość wytąe tblośc eymtotyczej zchodz gdy w rówu chrkterytyczym to wółczyk rówe m jede erwtek zerowy. tomt ozotłe wółczyk ą wękze od zer ą jedkowego zku. Po odzeleu tro rów rzez, otrzymuje ę rówe to, w odeeu do którego leży ztoowć kryterum Hurwtz, w celu rwdze zku ozotłych erwtków. Jeżel rówe to eł wruk Hurwtz to ozczć będze, że ukłd od jede erwtek zerowy ozotłe erwtk ą ujeme lub mją częśc rzeczywte ujeme rwdzy ukłd jet tbly eymtotycze. Kryterum Hurwtz e umożlw bd tblośc ukłdów zwerjących człoy oóźjące.
9 78 Przykłd 9. Wyzczyć zkre wrtośc wzmoce k regultor P, zewjący tblą rcę ukłdu regulcj rzedtwoego ry. 9.. Rozwąze Ry. 9.. Schemt blokowy ukłdu do rzykłdu 9. N odtwe trmtcj oertorowej ukłdu T T k T k wyzcz ę jego rówe chrkterytycze T k, T T 6T T k, gdze: k, T, 6T, T, T. Poewż tł czow T jet wrtoścą dodtą, ełee erwzego wruku Hurwtz wymg wrowdze ogrcze k, czyl k. Srwdzee drugego wruku Hurwtz wymg zbd odwyzczków główych wyzczk wzory 9.9. T T T T T T 6T - odwyzczk jet dodt T T T 6T T 96T 6T 6T k 6T 6T 6 k T Podwyzczk będze też wękzy od zer jeżel k. Z erwzego drugego wruku Hurwtz wyk zkre zm wzmoce k regultor zewjący tblą rcę ukłdu regulcj k. T 6 k
10 79 Poewż wzmocee jet wrtoścą dodtą, leży rozumeć, że w rzydku ujemego rzęże zwrotego jk ry. 9. ukłd będze tbly rzy k tkże w rzydku dodtego rzęże zwrotego rzy k. Dodtkowo wrto zuwżyć, że tblość tego ukłdu e zleży od wrtośc tłej czowej obektu, jedye od wzmoce regultor. Przykłd 9. Określć zkre zm tw k T regultor PI, zewjący tblą rcę ukłdu regulcj jk ry Stł czow obektu regulcj T ek. Rozwąze Ry Schemt blokowy ukłdu regulcj do rzykłdu 9. Trmtcj oertorow ukłdu m otć k T T kąd rówe chrkterytycze T T T k k, gdze: T T k, T k, T k, T, T. Poewż cz zdwoje T regultor wzmocee k ą welkoścm dodtm, erwzy wruek Hurwtz jet ełoy dl dowolej wrtośc T k. Drug wruek Hurwtz wymg zewe dodtej wrtośc odwyzczk wyzczk
11 8 T T T k k T k T k kąd wyk wruek tblośc ukłdu 5k T k Przykłd 9.5. Wyzczyć obzr wrtośc wółczyków k T, zewjący tblą rcę ukłdu o rówu dymk d y t d y t d y t dy t dx t 5 T k y t x t dt dt dt dt dt Rozwąze Poddjąc rówe dymk rzekztłceu Llce rzy zerowych wrukch oczątkowych, wyzcz ę trmtcję oertorową, kąd wyk rówe chrkterytycze ukłdu 5 T k, gdze: k, T,, 5,. Z erwzego wruku Hurwtz wykją ogrcze: T orz k. Z drugego wruku wykją dlze ogrcze: 5 T, kąd T, T orz 5 T 5 T 5k T k T kąd, uwzględjąc, że T z erwzego wruku, otrzymuje ę kolejy wruek k T 5 T 5 Ry. 9.6 rzedtw wykreśloe łzczyźe T, k grce odzłu tej łzczyzy, obzry rmetrów ełjące ozczególe wruk. Wzytke wruk ełoe ą jedocześe tylko w obzrze zceowym. Aby ukłd był tbly leży doberć wrtośc k T, odowdjące wółrzędym uktów z tego obzru.,
12 8 Ry Obzry tblośc ukłdu do rzykłdu 9.5. Ćwczee 9. Dl jkch wrtośc wółczyk k ukłd o chemce rzedtwoym ry. 9.7 będze tbly? Od.: Dl < k < 5. Ry Ryuek do ćwcze 9.. Ćwczee 9. Dl jkch wrtośc wółczyk k ukłd o rówu dymk d y t d y t d y t dy t k 5 y t x t dt dt dt dt będze tbly? Od.: Dl 5 < k <. Ćwczee 9. Wyzczyć obzry wrtośc wółczyków k T, zewjące tblą rcę ukłdu jk ry. 9.8.
13 8 Ry Ryuek do ćwcze Kryterum tblośc Nyqut. Zy tblośc Kryterum Nyqut ozwl bdć tblość tylko ukłdów z ujemym rzężeem zwrotym. Obwód ze rzężeem zwrotym ujemym zyw ę ukłdem zmkętym ry. 9., jego trmtcj oertorow określo jet wzorem 9.5 Ry. 9.. Schemt blokowy ukłdu z ujemym rzężeem zwrotym Szeregowe ołączee elemetów, wytęujących w obwodze zmkętym zyw ę ukłdem otwrtym. Ukłd otwrty owtje rzez rzerwe ętl rzęże zwrotego; jego trmtcj oertorow m otć 9.6 Kryterum Nyqut umożlw oceę tblośc ukłdu zmkętego odtwe chrkterytyk czętotlwoścowych ukłdu otwrtego. Ogrczee możlwośc toow kryterum Nyqut do ukłdów z ujemym rzężeem zwrotym, w rzydku bd tblośc ukłdów regulcj, e m zcze gdyż kżdy ukłd regulcj jet obwodem z ujemym rzężeem zwrotym. Zczee kryterum Nyqut oleg tym, że: chrkterytyk czętotlwoścow ukłdu otwrtego, odtwe której
14 8 określ jet tblość ukłdu zmkętego, może być łtwo wyzcz ltycze lub dośwdczle, kryterum umożlw e tylko twerdzee fktu tblośc, lecz tkże umożlw rojektowe ukłdu o określoych włścwoścch dymczych, kryterum umożlw bde tblośc ukłdów zwerjących elemety oóźjące. Kyterum Nyqut formułowe jet oddzele dl dwóch rzydków: o kedy rówe chrkterytycze ukłdu otwrtego e m erwtków dodtch lub o dodtch częścch rzeczywtych może meć dowolą lczbę erwtków zerowych, o kedy rówe chrkterytycze ukłdu otwrtego, orócz ujemych lub zerowych, m tkże erwtk dodte lub o dodtch częścch rzeczywtych. Ogrczmy ę do omówe erwzego rzydku - dotyczy o zczej wękzośc ukłdów. Kryterum odozące ę do tego tylko rzydku zywe jet kryterum urozczoym. b c d e f Ry. 9.. Przykłdy chrkterytyk mltudowo fzowych ukłdów otwrtych, odowdjących:, b, c tblym ukłdom zmkętym, d, e, f etblym ukłdom zmkętym
15 8 Urozczoe kryterum Nyqut moż formułowć tęująco. W rzydku kedy rówe chrkterytycze ukłdu otwrtego e m erwtków dodtch lub o dodtch częścch rzeczywtych, ukłd zmkęty jet tbly, jeżel chrkterytyk mltudowo fzow ukłdu otwrtego e obejmuje uktu o wółrzędych, j. Ne obejmuje ozcz, że rzy rzeuwu ę wzdłuż chrkterytyk w keruku wzrtjących ulcj, ukt, j ozotje o lewej troe chrkterytyk, jk to rzedtw ry. 9.. N ry. 9. rzedtwoo chrkterytyk mltudowo fzowe odowdjące m chrkterytyk logrytmcze dwóch ukłdów otwrtych, odlegjących urozczoemu kryterum Nyqut. Chrkterytyk ozczoe jko, odowdją ukłdow o zmkęcu tblemu, chrkterytyk - ukłdow o zmkęcu etblemu. b Ry. 9.. Chrkterytyk czętotlwoścowe ukłdów otwrtych: chrkterytyk mltudowo fzowe, b chrkterytyk logrytmcze mltudowe fzowe. chrkterytyk ukłdu o zmkęcu tblego, - chrkterytyk ukłdu o zmkęcu etblego
16 85 N odtwe ry. 9. moż formułowć wruk, które mu ełć ukłd otwrty, by o zmkęcu był tbly: M gdze : jet ulcją, rzy której moduł trmtcj wdmowej ukłdu otwrtego jet rówy jedośc, tz. M, jet ulcją, rzy której rgumet trmtcj wdmowej ukłdu otwrtego jet rówy, tz.. W rzydku ukłdów otwrtych zwerjących zczą lość elemetów dymczych, wyzcze chrkterytyk mltudowo-fzowych jet ze względów oblczeowych kłootlwe; do ocey tblośc tkch ukłdów wykorzytuje ę chrkterytyk logrytmcze. Ukłd otwrty jet zeregowym ołączeem elemetów tworzących ukłd zmkęty chrkterytyk logrytmcze ukłdu otwrtego otrzymuje ę węc rzez rote umowe chrkterytyk elemetów kłdowych. Jeżel chrkterytyk czętotlwoścow ukłdu otwrtego od jet w otc chrkterytyk logrytmczych, to wruk tblośc moż ztąć wrukm rówowżym L lg M 9.9, L 9. W rzydkch brdzej złożoych, gdy chrkterytyk fzow ukłdu otwrtego rzec welokrote oś, ukłd zmkęty będze tbly jeżel w zkree ulcj, dl których lg M, logrytmcz chrkterytyk fzow ukłdu otwrtego rzec oś ry.9.. rzytą lość rzy
17 86 Ry. 9.. Logrytmcze chrkterytyk ukłdu otwrtego tblego o zmkęcu Jeżel chrkterytyk mltudowo fzow ukłdu otwrtego rzechodz brdzo blko uktu, j, to zchodz ebezeczeńtwo utrty tblośc ukłdu zmkętego, w wyku wet ewelkch zm rmetrów ukłdu. Zletą kryterum Nyqut jet to, że umożlw oo oceę oddle ukłdu od grcy tblośc. Jko mry tego oddle rzyjmuje ę tzw. z tblośc, wyrżoy w otc dwóch welkośc: zu modułu zy fzy. Z modułu w kl bezwzględej ozcz ę ymbolem tęująco: M defuje ę M 9. M W rzydku chrkterytyk logrytmczych, gdy moduł wyrżoy jet w decybelch, tzw. logrytmczy z modułu określ ę jko L lg M lg M 9. Z fzy ozcz ę ymbolem defuje ę tęująco:. 9. Zy tblośc ą welkoścm dodtm. Soób wyzcz zów tblośc odtwe chrkterytyk mltudowo fzowej lub odtwe chrkterytyk logrytmczych rzedtwoo ry. 9.. W rktyce rzemyłowej rzyjmuje ę tęujące wrtośc zów tblośc: 6 ; M ; 6 db L db. Stwerdz ę zwązek omędzy wrtoścm zów tblośc jkoścą roceów
18 87 rzejścowych w ukłdch regulcj. Przykłd 9.6 Stoując kryterum Nyqut zbdć tblość ukłdu o chemce blokowym jk ry Jeżel ukłd okże ę tbly, określć jego z modułu. Ry Schemt blokowy do rzykłdu 9.6 Rozwąze Trmtcj ukłdu otwrtego m otć. Srwdzmy wrtośc erwtków rów chrkterytyczego ukłdu otwrtego, korzytjąc z kryterum Hurwtz. Poewż obydw wruk Hurwtz ą ełoe: - wzytke wółczyk rów ą dodte - odwyzczk ztem rówe chrkterytycze ukłdu otwrtego m tylko erwtk ujeme lub o ujemych częścch rzeczywtych ukłd otwrty jet tbly ymtotycze; moż węc do bd tblośc ukłdu zmkętego wykorzytć urozczoe kryterum Nyqut. Wyzczmy trmtcję wdmową ukłdu otwrtego, j j j j j j j kąd. ; Q P
19 88 Aby twerdzć fkt obejmow lub eobejmow rzez chrkterytykę mltudowo- fzową ukłdu otwrtego uktu -, j, wytrczy wyzczyć wółrzęde oczątku końc chrkterytyk orz wółrzęde uktów jej rzecęć z om. Przyrówując częśc rzeczywtą P urojoą Q do zer otrzymuje ę ulcje, rzy których chrkterytyk rzec oe wółrzędych. Pulcjm tym ą:,,,. Dl tych ulcj wyzczoo wrtośc częśc rzeczywtej urojoej trmtcj wdmowej. Otrzyme wyk rzedtwoo w tblcy 9.; rzebeg wykreśloej odtwe tych wyków chrkterytyk mltudowo fzowej rzedtw ry Ry Chrkterytyk mltudowo fzow ukłdu otwrtego do rzykłdu 9.6 Tblc 9. [ rd / ] P -.5 Q -.6 Poewż chrkterytyk mltudowo fzow ukłdu otwrtego ry. 9.6 e obejmuje uktu -, j, rozwży ukłd zmkęty jet tbly. Z ry. 9.6 wyk, że M, 5, ztem M orz L lg M 6dB. M Przykłd 9.7
20 89 Zbdć tblość ukłdu o chemce blokowym rzedtwoym ry Wyzczyć zy tblośc tego ukłdu. Ry Schemt blokowy do rzykłdu 9.7 Rozwąze Trmtcj ukłdu otwrtego m otć.... Jk wdć z otc trmtcj, rówe chrkterytycze ukłdu otwrtego e m erwtków dodtch, ztem do bd tblośc moż ztoowć urozczoe kryterum Nyqut. Ukłd otwrty tow zeregowe ołączee czterech człoów dymczych:.... roorcjolego, dwóch człoów ercyjych cłkującego. Ry. 9.8 rzedtw chrkterytyk logrytmcze ozczególych elemetów ukłdu otwrtego orz chrkterytyk logrytmcze mltudową fzową ukłdu otwrtego, wyzczoe w wyku umow chrkterytyk elemetów kłdowych. Dl człoów ercyjych wykreśloo ymtotycze chrkterytyk mltudowe orz trójodckowe chrkterytyk fzowe wg rokymcj metodą eczej. Dl człoów cłkującego roorcjolego wykreśloo chrkterytyk rzeczywte. Z wykreu wyk, że bdy ukłd jet tbly: z zem fzy 9 8, rd =,5 z zem modułu L 9 db.
21 9 Ry Logrytmcze chrkterytyk mltudowe fzowe ukłdu otwrtego do rzykłdu 9.7
WYBRANE ZAGADNIENIA Z DYNAMIKI GAZÓW
JB emetr II / WYBNE ZGDNIENI Z DYNIKI GZÓW Porzedno omwlśmy zgdnen rzeływu łynów neścślwych, które dorowdzły n do równń Ner- Stoke oujące ruch łynu ścślwego neścślwego orz nne dl tłej gętośc: Euler, Bernoull
Rozkłady prawdopodobieństwa 1
Rozkłdy rwdoodoeństw Rozkłdy rwdoodoeństw. Rozkłdy dyskrete cągłe. W rzydku rozkłdu dyskretego określmy wrtośc rwdoodoeństw dl rzelczlej skończoej lu eskończoej lczy wrtośc zmeej losowej. N.... wszystke
PODSTAWY AUTOMATYKI 7. Stabilność
Poliechik Wrzwk Iyu Auomyki i Roboyki Prof. dr hb. iż. J Mciej Kościely PODSTAWY AUTOMATYKI 7. Sbilość Sbilość Sbilość je cechą ukłdu, polegjącą powrciu do u rówowgi łej po uiu dziłi zkłócei, kóre wyrąciło
MACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.
CIERZE I ZIŁNI N CIERZCH Nech usloe będze cło dwe lczby urle, cerzą o wyrzch z cł wymrch zywmy kżdą fukcję cerz ką zpsujemy w posc belk ) cerz zpsujemy róweż wele ych sposobów, w zleżośc od ego jką jej
PODSTAWY AUTOMATYKI 8. Stabilność
Poliechik Wrzwk Iyu Auomyki i Roboyki Prof. dr hb. iż. J Mciej Kościely PODSTAWY AUTOMATYKI 8. Sbilość Sbilość Sbilość je cechą ukłdu, polegjącą powrciu do u rówowgi łej po uiu dziłi zkłócei, kóre wyrąciło
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr.........
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI prowdząc(y)... grup... podgrup... zespół... seestr... roku kdeckego... studet(k)... SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ r......... pory wykoo
Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19
Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Sposoby wyznaczenia błędu bezwzględnego. Pomiar bezpośredni. Pomiar pośredni. f x. f x. f x. f x. x n = =
Pomr jego dokłdość. Kżdy pomr dje m wyk z pewą ylko dokłdoścą, węc obcążoy je epewoścą pomrową (błędem pomrowym). Pomry fzycze dzelmy : bezpośrede pośrede. Pomrm bezpośredm zywmy ke, kórych wrość lczbową
Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.
Wykłd 6 Cłk ozczo: olcze pól oszrów płskch. Cłk ewłścwe. Wprowdźmy jperw ocję sumow: Dl dego zoru lcz {,,..., } symol ozcz ch sumę, z.... Cłk ozczo zosł wprowdzo w celu wyzcz pól rpezów krzywolowych (rys.
Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.
terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest
Zastosowanie działań na hipersześcianach binarnych w diagnostyce sieci komputerowych
toowe dłń hpereścch brych w dgotyce ec komputerowych Formle, -wymrowym hpereścem brym ywmy grf wykły o węłch których kżdy opy jet ym wektorem brym (,..., ),( {, }, ) or o krwędch, łącących te węły, których
11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów
. Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc
J. FORMALISTYKA OPISU UKŁADÓW WIELOSKŁADNIKOWYCH
. Hm Wykłdy z ermdymk techcze chemcze Wydzł Chemczy PW keruek: echl chemcz em.3 215/216 WYKŁAD 7-8. J. Frmltyk u ukłdów welkłdkwych K. ermdymk ukłdów reuących J. FOMALISYKA OPISU UKŁADÓW WIELOSKŁADNIKOWYCH
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
![MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic](/thumbs/26/7422983.jpg "MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic")
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)
Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe
3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
![I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.](/thumbs/91/106925407.jpg "I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.")
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
instrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego
5.Bde wocze pręt śckego UT-H Rdom Ittut Mechk Stoowej Eergetk Lortorum Wtrzmłośc Mterłów trukcj do ćwcze 5. Bde wocze pręt śckego I ) C E L Ć W I C Z E N I A Celem ćwcze jet dośwdczle wzczee metodą Southwell
data utworzenia: styczeń 2006, data modyfikacji: styczeń 2011 WSTĘP DO METOD NUMERYCZNYCH
Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń WSTĘP DO METOD NUMERYCZNYCH Metodą umeryczą zyw sę kżdą metodę oblczeową sprowdzlą do opercj rytmetyczych dodw, odejmow,
Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
Macierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Automatyka i sterowanie w gazownictwie. Wymagania stawiane układom regulacji
Automtyk i terowie w gzowictwie Wymgi twie ukłdom regulcji Wykłdowc : dr iż. Iwo Oprzędkiewicz Nzw wydziłu: WIMiR Nzw ktedry: Ktedr Automtyzcji Proceów AGH Wymgi twie ukłdom regulcji Sterowlość ytemu Oberwowlość
a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy
04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn
- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania
Kryterium stbilości Stbilość liiowych ukłdów sterowi Ukłd zmkięty liiowy i stcjory opisy rówiem () jest stbily, jeŝeli dl skończoej wrtości zkłócei przy dowolych wrtościch początkowych jego odpowiedź ustlo
PRZEPŁYWY MIĘDZYGAŁĘZIOWE. tablica przepływów międzygałęziowych
PRZEPŁYWY IĘDZYGŁĘZIOWE. [] Jeą z meto lzy zleŝośc wystęuących w rocesch tworze ozłu roukc mterle są metoy rzeływów męzygłezowych (lzy kłów wyków, lzy utoutut). zł Elemetrym osem ukłu est tut tzw. tlc
POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
PROGRAMOWANIE LINIOWE.
Wykłd 6 Progrowe lowe. Zstosow ekoocze. PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rchuek ekooczy - porówe
Ż Ę ć Ć ć ć Ą
Ś Ł Ż Ą Ż Ę ć Ć ć ć Ą ŚĘ Ż ź Ś Ż Ś Ś Ń Ę Ą Ś Ł Ś Ł Ż Ż ź ż Ą Ś Ż Ż Ś Ł Ą Ą Ó Ż Ż ż ć Ż ż ć ż Ó Ż ż ć ż ć ż Ą Ę ż Ó Ó ż ż Ó ć Ż ć Ż ć ć ź Ę Ę Ę ć Ż Ź Ż ż ć ż Ź Ę Ż ż ć Ś ć Ż Ę ż Ę ż ż ż Ż ż ż ż ż ĘŁ ż ż
Proces decyzyjny: 1. Sformułuj jasno problem decyzyjny. 2. Wylicz wszystkie możliwe decyzje. 3. Zidentyfikuj wszystkie możliwe stany natury.
Proces decyzyny: 1. Sformułu sno problem decyzyny. 2. Wylcz wszyste możlwe decyze. 3. Zdentyfu wszyste możlwe stny ntury. 4. Oreśl wypłtę dl wszystch możlwych sytuc, ( tzn. ombnc decyz / stn ntury ). 5.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Woskowe sttstcze - egesj koelcj teść Wpowdzee Regesj koelcj low dwóch zmech Regesj koelcj elow - tsfomcj zmech Regesj koelcj welokot Wpowdzee Jedostk zoowośc sttstczej mogą ć chktezowe
PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka
lgebr mcerzow e te (rót prowzorycz powtór (uwg: tutj jest ezupełe osewet otcj tj. mcerze czsem są pogruboe czsem ursywe (tlcs) proszę sę e przejmowć t po prostu wyszło) PEWNE WZNE OPERCJE MCIERZOWE ozcz
Charakterystyki geometryczne przekrojów poprzecznych prętów
Chrkterystyk geometrycze przekrojów poprzeczych prętów Zgode z złożem mechk ukłdów prętowych rzeczywste trójwymrowe cło odksztłcle modelowć będzemy ukłdem jedowymrowym, w którym formcje dotyczące wymrów
Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n
lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.
Wykład 9. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Wkłd 9. Podejowie deczji w wrukch ieewości E L l E E F E F l S 0 0 ; R D D F F D i F() - wrtość zieej losowej - zbiór ciągł f - fukcj gęstości rozkłdu rwdoodobieństw zieej losowej Wówczs: d f E L l d
Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Szereg Fourer Przypomee. Rozwżmy przestrzeń eudesową VR, tórej eemetm (putm, wetorm )są eemetowe cąg cz rzeczywstych p.,..., ) y y,..., y ). W przestrze
GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
LABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN
LABORATORIUM DYNAMII MASZYN Ćwcz 5 IDENTYFIACJA OBIETU DYNAMICZNEO NA PODSTAWIE JEO LOARYTMICZNYCH CHARATERYSTY CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH. Cl ćwcz Orśl rów ruchu obtu dyczgo podtw go logrytczych chrtryty czętotlwoścowych,
Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Matematyka finansowa 25.01.2003 r.
Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),
Ć Ź ć Ę ć Ę Ć Ź Ź Ć
Ź Ć Ć Ź ć Ę ć Ę Ć Ź Ź Ć Ł Ą Ę Ć ć ćź ć Ź Ź Ź Ź Ą Ć ć Ł Ł Ł Ę ć ć Ź Ą ć Ę ć Ź Ź Ź Ź ć Ź Ź ć Ź ć Ł ć Ą Ć Ć Ć ć Ź Ą Ź ć Ź Ł Ł Ć Ź Ą ć Ć ć ć ć ć Ć Ć ć Ć ć ć Ł Ę Ź ć Ć ć Ź Ź Ć Ź Ź ć ć Ź ć Ź Ź Ź Ą Ę Ń Ź Ć Ą
Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak
Metod umerze Wkłd r 5: Aproksmj terpolj dr Potr Frozk Aproksmj terpolj Aproksmj rówem lowm Błąd dopsow E - Fukj dwóh zmeh Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę: E E Jest
CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Plan Rozwiązywanie układów równań liniowych
-4-4 METODY NUMERYCZNE Wykłd 6. Rozwązywe ukłdów rówń lowych dr h. ż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH Met.Numer. wykłd 6 Pl Metody dokłde Metod elmcj Guss Metod Guss-Sedl Rozkłd LU Metod Kryłow Metod LR QR Zdefowe
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Fizyka i astronomia Poziom rozszerzony
KRYTER OCENN ODPOWEDZ Próbn Mtur z OPERONEM Fizyk i tronoi Pozio rozzerzony Litopd 3 W niniejzy checie ocenini zdń otwrtych ą prezentowne przykłdowe poprwne odpowiedzi. W teo typu ch nleży również uznć
ć ć Ń Ę
ż ź ć ć Ń Ę ć Ś Ę Ś ć ć ż ć ż ż ż ć ć ć ż ź ć ż ż ż ż ć ż ż Ś ź ż ć Ą ż ż ż ż ż ż ź ć ż ć ż Ś ż ć ż ż Ą ż ż Ę ć Ż ż ć Ż ż ż ż ż ć ż ż ż ż ż ź ć ż ż ć ż ź Ś ż ż ć ż ż ż ż ć ćż ż ć ż ż ż ź ż ć ż ż ż Ś
STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej
wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH
BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH Ops ukłdu pomrowego Ukłd pomrow skłd sę z podstwowch częśc: dego geertor drgń relkscjch, zslcz geertor, geertor odese (drgń hrmoczch), oscloskopu. Pokz rsuku schemt deow geertor
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Potr Szczepńk Ktedr Chem Fzczej Fzkochem Polmeró ANALIZA REGRESJI REGRESJA LINIOWA. REGRESJA LINIOWA - metod jmejzch kdrtó. REGRESJA WAŻONA 3. ANALIZA RESZT 4. WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI,
6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""
Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Układy równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Sprawozdanie z zajęć laboratoryjnych z Miernictwa Elektronicznego
Sprwozde z zjęć lortoryjyh z Mertw Elektrozego Dt wyko pomru: 08.05.008 rowdząy: dr ż. J Juszkewz Sprwozde wykoł: Tomsz Wtk Sttystyz oe wyków pomrów rzyrząd pomrowy: Suwmrk z wyśwetlzem elektrozym; L =0,0mm
EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
ć ć ć Ś ć Ż
Ę ć ć ć Ś ć Ż Ę Ś ŚĆ Ś ć ć ć Ś ć ć ć ć ć ć Ś Ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ś ć Ś Ż Ś Ę ć ć Ż ŚĆ ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ć ć ć ź ć Ż ć ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć Ć ć ć Ę ć ź ć ć ć ć ć ć ć Ę ź Ę ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć ć
Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski
Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz
Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.
Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce
WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie
Metody numeryczne w przykładach
Metody umerycze w przyłdch Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl Recezet:
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
