Jacek Gruszka Lech Kaczmarek. Elementy matematyki wyższej

Transkrypt

1 elemetidd 9--8 ::9

2 Jcek Gruszk Lech Kczmrek Elemet mtemtki ższej Wdicto Wższej Szkoł Komuikcji i Zrządzi Pozń

3 Autorz: dr Jcek Gruszk dr Lech Kczmrek Recezet: prof dr hb Rszrd Płucieik Korekt: Aleksdr Spriger Oprcoie redkcje: Robert Leśkó Projekt okłdki: J Ślusrski Kopioie i poielie jkiejkoliek formie mg pisemej zgod Wdc Copright b Wdicto Wższej Szkoł Komuikcji i Zrządzi Pozń ISBN Wdicto Wższej Szkoł Komuikcji i Zrządzi 6-77 Pozń ul Róż 7 (6) 8 9 f 8 9 skizpozpl e-mil: dicto@skizpozpl Pozń

4 Spis treści Wstęp 7 Logik i teori mogości Logik mtemtcz Rchuek zdń Formle krteri poprości ioskoń Reguł ioskoi Rchuek fukcj (ktfiktoro) 6 Elemet teorii mogości 9 Dziłi zbiorch 9 Ilocz krtezjński zbioró Pojęcie relcji Rodzje relcji Przegląd jżiejszch relcji Rchuek mcierzo Mcierze Określeie mcierz Dziłi mcierzch Mcierz odrot 7 Roziązie elemetrch róń mcierzoch Zstosoie rchuku mcierzoego 7 Wzcziki 6 Wzczik mcierz kdrtoej i jego łsości 6 Mior mcierz Dopełieie lgebricze 6 Roziięcie Lplce 6 Osobliość i ieosobliość mcierz Rząd mcierz 67 Ukłd róń liioch 7 Ukłd Crmer Wzor Crmer 7 Mcierz uzupełio ukłdu róń Tierdzeie Kroecker-Cpellego Liczb roziązń ukłdu róń liioch 7 Roziązie ukłdu róń liioch metodą elimicji Guss 7 Rchuek ektoro 79

5 Elemet mtemtki ższej Rchuek różiczko fukcji jedej zmieej 9 Przpomieie idomości o fukcjch 9 Przegląd fukcji rzeczistch 9 Fukcje ielomioe 9 Fukcj kłdicz 9 Fukcj logrtmicz 9 Fukcje trgoometrcze 96 Fukcje kołoe (cklometrcze) 6 Ugi o przeksztłciu kresu fukcji Gric i ciągłość fukcji 8 Pochod fukcji Pochod jko fukcj Pochod fukcji złożoej 8 Obliczie pochodch fukcji postci ( ) g( ) f 6 Podstoe tierdzei dotczące rchuku różiczkoego fukcji jedej zmieej 6 Tierdzei o rtości średiej 6 Reguł de l Hospitl 6 7 Niektóre zstosoi pochodej 8 Asmptot kresu fukcji 9 Mootoiczość fukcji Ekstremum fukcji 7 Bdie fukcji Wrtość jiększ i rtość jmiejsz fukcji ciągłej Cłki Cłk ieozczo Określeie i podstoe łsości cłki ieozczoej Podstoe metod cłkoi 6 Cłkoie fukcji mierch Rozkłd ułmki proste 6 Cłkoie fukcji iemierch Podstiei Euler 6 Cłkoie fukcji zierjącch rżei trgoometrcze 66

6 Spis treści Cłk ozczo 68 Cłk Riem 7 Fukcje ielu zmiech 7 Pojęci podstoe 7 Gric fukcji dóch zmiech 76 Pochode cząstkoe fukcji dóch zmiech 77 Pochode cząstkoe ższch rzędó 8 Pochode cząstkoe pukcie 8 6 Różiczk zupeł 86 7 Zstosoie różiczki zupełej 88 8 Ekstremum fukcji dóch zmiech 6 Szeregi 6 Szeregi liczboe 6 Widomości podstoe 6 Określeie szeregu liczboego i jego sum orz zbieżość i rozbieżość szeregu 6 6 Szeregi liczboe o rzch dodtich 8 6 Szeregi liczboe przemiee 6 Szeregi potęgoe 6 Szereg Tlor 6 Rozijie szereg Mcluri pech tpó fukcji mierch 9 6 Zstosoie szeregó Tlor proksmcji 7 Bibliogrfi

7 6 Elemet mtemtki ższej

8 Wstęp Książk Elemet mtemtki ższej jest podręczikiem ięc zier mterił któr leż opoć i (zzczj) zdć z iego egzmi Adrestmi podręczik są przede szstkim studeci ższch szkół ekoomiczch i techiczch Przedmiot którm się zjmujem to mtemtk postrzeg przez iększość jko rzecz trud i skompliko przez miejszość jko prost i łt Autorz ie mją zmiru burzć żdego z tch miemń chociż smi użją że mtemtk b prost i skompliko łt i trud le zsze jest pięk Mterił łożo tej książce ie jest brdzo obszer le zier zgdiei które studeci są zoboiązi opoć b śidomie uczesticzć dlszm procesie ksztłcei Z ugi prktcz chrkter iedz mtemtczej użej dlszm toku studió kłd m chrkter zięzł jest zilustro ielom przkłdmi i uzupełio zestmi zdń do smodzielego roziązi Książkę podzieloo sześć rozdziłó o różej objętości W rozdzile omóioo podst logiki i teorii mogości Obejmują oe z części studetó (ze szkoł średiej) rchuek zdń uzupełio rchukiem ktfiktorom orz budoę pridłoch reguł ioskoi tkże elemet teorii mogości dziłi zbiorch orz elemet teorii relcji Rozdził pośięco jest mcierzom i pem spektom ich zstosoi Określoo tm rodzje mcierz i opiso dziłi mcierzch metodę obliczi mcierz odrotch obliczie zczikó orz ukłd róń liioch Cłość kończ obszer podrozdził dotcząc rchuku ektoroego Rozdził jest jdłuższ trktuje o rchuku różiczkom fukcji jedej zmieej Niektóre zgdiei są ze iększości studetó ze szkoł średiej le ie szstkie Omóioo zgdieie fukcji odrotej dokoo przeglądu fukcji elemetrch określoo pochodą i sposob obliczi iektórch pochodch prztoczoo że tierdzei rchuku różiczkoego międz imi regułę de L Hospitl Poruszoo (skuteczie) problem mootoiczości i rtości ekstremlch fukcji różiczkolch N końcu pokzo sposob bdi fukcji z zstosoimi

9 8 Elemet mtemtki ższej Temtem rozdziłu są cłki Większą część rozdziłu pośięcoo cłce ieozczoej i metodom cłkoi Nstępie omóioo cłkę ozczoą i cłkę Riem ich ziązek orz ikjące z iego iektóre zstosoi Rozdził osi ttuł Fukcje ielu zmiech le iększości pośięco jest fukcjom dóch zmiech Zdefiioo im pochode cząstkoe pokzo przkłd ich obliczi tkże zstosoie Dużą część tego rozdziłu zjmują zstosoi różiczki zupełej obejmujące obliczei przbliżoe rtości fukcji szcoie błędu przbliżeń tkże co ie jest często spotke zstosoie różiczki zupełej do przbliżoego roziązi ukłdó róń ieliioch N zkończeie omóioo obliczie ekstremum fukcji dóch zmiech W rozdzile 6 omóioo szeregi ieskończoe Po krótkim stępie przpomijącm idomości o ciągch liczboch określoo szereg ieskończo i sumę szeregu orz podo podstoe krteri zbieżości szeregó liczboch o rzch dodtich i szeregu przemieego Nstępie określoo szereg fukcj i jego promień zbieżości Po przpomieiu tierdzei Tlor z rozdziłu omóioo roziięcie fukcji ieskończo szereg Tlor i Mcluri po czm pokzo jk pee fukcje moż roziąć szereg Mcluri bez obliczi pochodch N zkończeie pokzo zstosoie szeregu Tlor przbliżoch obliczeich pech cłek ozczoch Wróżiomi elemetmi tekście są defiicje tierdzei ugi przkłd zdi rsuki i zor Są też oe odpoiedio ozcze et moż poiedzieć kodoe I tk defiicje tierdzei ugi przkłd i zdi są ozcze edług reguł: umer rozdziłu rodzj elemetu umer elemetu tm rozdzile Środko część ozczei jest literą pozostłe cfrmi Oto przkłd: d piąt defiicj drugim rozdzile; 6t drugie tierdzeie szóstm rozdzile; u piąt ug drugim rozdzile; p piersz przkłd trzecim rozdzile; z trzecie zdie pierszm rozdzile Wżiejsze zor są ozcze diem cfrmi (umer rozdziłu umer zoru) przkłd () ozcz dust zór trzecim rozdzile Rsuki są umeroe podobie le bez isó Dziękujem Recezetoi Pu Profesoroi dr hb Rszrdoi Płucieikoi którego krtcze iklie i żczlie ugi spoodoł usuięcie błędó i usterek muskrpcie

10 Wstęp 9 Obj utorz rżją szczególe podziękoi soim Żoom które dużm stopiu poosił trud ziąze z postiem tej książki złszcz eeked i popołudi i bez którch cierpliości książk postłb jeszcze dłużej Jcek Gruszk Lech Kczmrek

11 Elemet mtemtki ższej

12 Logik i teori mogości W rozdzile tm omóioo podst mtemtki: logikę mtemtczą i teorię zbioró (teorię mogości) W progrmie miimum szkoł średiej ie m obecie logiki mtemtczej (kiedś bł) czego smutch skutkó dośidczm politce ekoomii mss medich orz żciu codziem O tm jk ieirgodie dleko od logiczego mślei może odejść człoiek przekoujem się cztjąc opiie i kometrze iterutó pod rtkułmi itrch iteretoch lbo słuchjąc stąpień iektórch uczestikó żci publiczego Logik mtemtcz Logik mtemtcz jest uką której zdiem jest bdie rozumoń stosoch mtemtce i ustlie krterió ich poprości Tk z logik klscz dzieli się rchuek zdń i rchuek fukcj (ktfiktoro) Rchuek zdń Przedmiotem rchuku zdń są ziązki międz zdimi Defiicj d Zdiem zm logice poiedź ozjmującą i sesoą to zcz tką której rmch dej uki możem przpisć oceę prdziości lbo fłszu i tlko jedą z tch oce Zdi zm róież formułmi tomomi Poji się tu problem prdziości lbo fłszu zdi O ile z pojęciem fłszu moż sobie pordzić łto móiąc: to jest fłszem co ie jest prdą o tle z prdą pordzić sobie te sposób ie możem bo pdiem błęde koło Istieją róże defiicje prd (ie musi to przeczć obiegoemu stierdzeiu że prd jest tlko jed ) le są oe dość długie i skomplikoe Autorz sądzą że zrozumiłe i strczjące będzie stierdzeie: prdzie jest to zdie które zgodie z rzeczistością orzek o przedmiocie do którego się odosi

13 Elemet mtemtki ższej Istieją zdi ozjmujące bez ątpiei prdzie (lbo fłsze) którm ie możem przpisć oce prd lub fłszu Zdie: Archimedes urodził się stcziu jest lbo prdzie lbo ieprdzie le ie możem tego stierdzić gdż ie zm (i zpee igd ie pozm) dokłdej dt urodzi Archimedes Dltego że żej podej defiicji jest sformułoie: rmch dej uki Im rodzjem zdń ozjmującch o którch prdziości lub ieprdziości trudo rozstrzgąć jest zdie tpu: Albert jest dość tęgi Może to bć boiem prdą grupie skoczkó rcirskich i ieprdą grupie zodikó sumo A Albert cł czs te sm Ustlm że szch rozżich zdie będzie jedozczie prdzie lbo jedozczie fłsze Istieją sstem logik ielortościoch le ie będziem się tu imi zjmoć Zdi czli formuł tomoe łączm formuł zdioe z pomocą spójikó logiczch zch róież fuktormi zdiotórczmi Prdziość formuł zdioej zleż zróo od prdziości formuł tomoch jk i od jej struktur to zcz sposobu jki zostł zbudo Cztelik przeko się krótce że moż zbudoć formułę (poiedź) złożoą z smch zdń fłszch mimo to prdzią Moż też zrobić odrotie Spójiki które zostą terz mieioe to ie szstkie fuktor stosoe logice le zupełości ( et z dżką) strczą do skostruoi szstkich pozostłch Będziem ięc stosoć stępujące spójiki logicze: Jedorgumeto fuktor egcji (zprzeczei): ieprd że ; p egcją zdi: Jerz bł czorj kiie jest: Nieprd że Jerz bł czorj kiie (moż też: Jerz ie bł czorj kiie) Fuktor durgumetoe (spójiki łączące die formuł): Fuktor koiukcji (iloczu logiczego): i ; p koiukcją dóch zdń jest formuł: Zjdłem obid i szedłem spcer Zużm że z poiedzi tej ie ik któr czość stąpił cześiej Fuktor ltert (sum logiczej): lub ; p ltertą dóch zdń jest formuł: Będę się dziś uczł lub pójdę do ki Zużm że możlie są: piersz czość drug czość lub obie czości Fuktor implikcji (iki): Jeżeli to ( Z tego że ik ); p implikcją dóch zdń jest formuł Jeżeli się dobrze uczę to zdm egzmi W implikcji rol kżdej z dóch formuł jest i i kolejość tch formuł jest istot ( ltertie i koiukcji kolejość formuł ie m zczei) Jest to jse et ituicjie czli podstie dośidczeń z żci codzieego Części skłdoe implikcji mją soje z Pierszą formułę implikcji zm poprzedikiem

14 Logik i teori mogości drugą stępikiem Wiele sformułoń złszcz ukoch m formę implikcji Z tego zględu pierszą formułę implikcji zm często złożeiem drugą tezą I reszcie jeżeli cł implikcj jest prdzi to implikcj odrot prdzi bć ie musi Możem uierzć że prdzi jest poższ formuł: Jeżeli się dobrze uczłem to zdm egzmi le implikcj odrot: Jeżeli zdm egzmi to się dobrze uczłem ie musi bć prdą Moż sobie obrzić stucję że studet mjąc do oprcoi zgdień uczł się tlko trzech i te łśie bł egzmiie Mił sporo szczęści egzmi zdł le z tego ie ik że się dobrze uczł Wróćm ztem do prdziej (jk się zdje) implikcji Jeżeli się dobrze uczłem to zdm egzmi Tezę (stępik) zm rukiem koieczm złożei (poprzedik) Ozcz to że fkt zdi egzmiu jest koiecz b moż bło stierdzić że się dobrze uczłem (łtiej to zrozumieć przkłdzie z zprzeczeimi: Jeżeli ie zdłem egzmiu to zcz że się dobrze ie uczłem) Z drugiej stro złożeie (poprzedik) zm rukiem dostteczm lub strczjącm tez (stępik) Ozcz to że prdziej implikcji strcz prdziość złożei b tez bł prdzi W szej przkłdoej i jk sądzim prdziej implikcji strcz się dobrze uczć b zdć egzmi (leż m się rozumieć do egzmiu przstąpić ie zchoroć ) Fuktor róożości (idetczości logiczej): ted i tlko ted gd ; p róożością jest formuł: Liczb turl jest podziel przez d ted i tlko ted gd liczb jedości jej przedstiei sstemie dziesiętm jest przst (dodie: sstemie dziesiętm jest istote bo przkłd liczb czter sstemie trójkom m postć: ) Kolejość formuł połączoch spójikiem róożości ie m zczei Formuł zdioe będziem zpisli z pomocą schemtó Formuł tomoe będziem ozczć młmi litermi lfbetu łcińskiego i zć zmiemi zdiomi formuł złożoe litermi lfbetu greckiego spójiki logicze stępującmi smbolmi: ~ smbol egcji (spotk się też ) smbol koiukcji (spotk się też &) smbol ltert smbol implikcji (spotk się też ) smbol róożości (spotk się też )

15 Elemet mtemtki ższej W śietle poższch rozżń zrozumił stie się poiższ defiicj Defiicj d Idukcj defiicj zbioru formuł Alfbet p q r s b zmiee zdioe (formuł tomoe) ~ fuktor zdiotórcze (lub spójiki logicze) ( ) [ ] ; : itp zki techicze Grmtk (czli reguł budoi formuł) Reguł I: Kżd zmie jest formułą Reguł II: Jeśli φ i ψ są formułmi to: ~ ( φ) ( φ ψ) ( φ ψ) ( ψ) ( φ ψ) są też formułmi φ Reguł III: Kżd formuł jest zbudo z formuł tomoch przez stosoie skończoą liczbę rz opercji łączei fuktormi tk jk to pokzo regule II Formuł są schemtmi poiedzi Kolejość dziłi fuktoró zdiotórczch: ~ egcj koiukcj ltert implikcj róożość Autorz szczerze zchęcją jedk do stosoi isó b uikąć iejedozczości Przkłdem formuł zdioej jest: ( ~ q r) ] ( ~ r q) } ( p r) {[ p ~ Poższe rozżi doprodził s do umiejętości zpisi formuł zdioch i ich klsfikcji ze zględu budoę Osobm i brdzo żm problemem jest kesti prdziości formuł zdioch Logik ie poid się sprie prdziości formuł tomoch tomist rozstrzg o prdziości formuł złożoch prz złożoej (zdej) prdziości (lub ieprdziości) formuł tomoch Nrzędziem do tkich rozstrzgięć jest rtościoie logicze Zdiu prdziemu przpis zostie rtość zdiu fłszemu rtość (cfr i ie pełią tu fukcji zpisu liczb lecz smboli fłszu i prd) Jest to tk z zero-jedko sstem rtościoi le literturze ze są przkłd ich ozczeń (p sstem T F od słó true i flse) Koseketie formule prdziej przpiszem rtość formule fłszej rtość Zleżość prdziości formuł od prdziości ich części skłdoch przedstiją poiższe tbelki

16 Logik i teori mogości Negcj p ~p Jeżeli formuł jest fłsz to jej zprzeczeie jest prdzie i odrotie Koiukcj p q p q Koiukcj dóch formuł jest prdzi tlko ted gd obie formuł są prdzie Altert p q p q Altert dóch formuł jest prdzi jeśli choć jed z ich jest prdzi Implikcj p q p q Implikcj dóch formuł jest fłsz jeśli poprzedik jest prdzi stępik fłsz Jest to brdzo ieituicje rtościoie gdż możem zkceptoć prdziość rozumoi którm z prd ik prd z fłszu ik fłsz orz ieprdziość rozumoi którm z prd ik fłsz Ntomist z trudem kceptujem poprość ioskoi którm z fłszu ik prd

17 6 Elemet mtemtki ższej Róożość p q p q Róożość dóch formuł jest prdzi jeśli obie mją tę smą rtość logiczą; przecim rzie róożość jest fłsz Ug u Istieje szesście sposobó łączei dóch formuł zdioch fuktormi (pożej przedstioo tlko czter) Do częściej spotkch leżą: łącz ltert (eclusivel or ) dsjukcj (kresk Sheffer) orz fuktor jedoczesego zprzeczei Nie będziem ich użć tej książce choć łączej ltert uż iele jęzkó progrmoi (czt się: lbo i jest prdzi jeżeli dokłdie jedo z dóch zdń jest prdzie) Istieją róże techiki bdi rtości logiczej formuł zdioch Jedą z ich jest metod tbelko któr poleg rozłożeiu formuł formuł tomoe stępie poszczególe formuł skłdoe ż do postci pierotej i pełm przeglądzie prdziości formuł prz kżdej kofigurcji rtości logiczch formuł tomoch Uzględim ocziście zsd zrte tbelkch zpisch pożej Przkłd p Zbdć rtość logiczą formuł: ) ~ ( p ~ q) ( p ~ q) ; b) ( p q) ~ ( ~ p ~ q) ; c) ( p q) ( ~ p ~ q) ; d) ( p q) r] ( p r) Roziązi ) ~ ( p ~ q) ( ~ p q) p q ~q p ~ q ( p ~ q) [ ~ p ~ q ~ ( p ~ q) ( p ~ q) Odpoiedź: Formuł ~ ( p ~ q) ( p ~ q) jest fłsz tlko ted gd obie formuł tomoe są prdzie pozostłch przpdkch formuł jest prdzi

18 Logik i teori mogości 7 b) ( p q) ~ ( ~ p ~ q) p q ~p ~q p ~ q Odpoiedź: Formuł ( p q) ~ ( ~ p ~ q) od rtościoi formuł tomoch c) ( p q) ( ~ p ~ q) jest zsze prdzi iezleżie p q ~p ~q p q p ~ q ~ ( p q) ( ~ p ~ q) Odpoiedź: Formuł ( p q) ( ~ p ~ q) rtościoi formuł tomoch d) [( p q) r] ( p r) ~ ( ~ p ~ q) jest zsze fłsz iezleżie od p q r p q ( p q) r r p [( p q) r] ( p r) Odpoiedź: Formuł ( p q) r] ( p r) ~ q p ( p q) ~ ( ~ p ~ q) [ jest fłsz tlko ted gd zdi p i q są prdzie zdie r jest fłsze W pozostłch przpdkch formuł t jest prdzi

19 8 Elemet mtemtki ższej Szczególą rolę logice odgrją formuł zsze prdzie Defiicj d Formuł zdio któr iezleżie od rtościoi formuł tomoch jest prdzi osi zę tutologii lbo pr logiczego W przkłdzie p tutologią jest formuł z puktu (b) pozostłe formuł ie są tutologimi Tierdzeie t Przegląd żiejszch tutologii Pro łączoego środk () p ~ p (prdzie jest zdie lub jego zprzeczeie) Pro podójego przeczei () ~ ( ~ p) p (egcj egcji zdi m tką smą rtość logiczą jk to zdie) Pr De Morg () ~ ( p q) ( ~ p ~ q) (zprzeczeie koiukcji jest ltertą zprzeczeń) () ~ ( p q) ( ~ p ~ q) (zprzeczeie ltert jest koiukcją zprzeczeń) Zsd doodu ie prost () ( p q) ~ ( p ~ q) (implikcj jest róoż zprzeczeiu koiukcji: złożei i egcji tez) Pro trspozcji (6) ( p q) ( ~ q ~ p) Pr przemieości koiukcji i ltert (7) ( p q) ( q p) (8) ( p q) ( q p)

20 Logik i teori mogości 9 Pr łączości koiukcji i ltert (9) ( p ( q r) ) (( p q) r) () ( p ( q r) ) (( p q) r) Pro rozdzielości koiukcji zględem ltert () ( p ( q r) ) (( p q) ( p r) ) Pro rozdzielości ltert zględem koiukcji () ( p ( q r) ) (( p q) ( p r) ) Pro slogizmu rukoego () ( p q) [( q r) ( p r) ] Pro Clvius () ( p ~ p) ~ p (jeżeli iku pridłoo przeprodzoego rozumoi z złożei otrzmm jego egcję to łśie t egcj jest prdzi) Pro Dus Scotus () p ( ~ p q) (jeżeli zdie jest prdzie to z jego egcji ik kżde zdie); i postć: Pro smplifikcji ( p ~ p) q (6) p ( q p) (zdie prdzie może bć ioskiem kżdej implikcji) Pro Fregego (7) [ p ( q r) ] [( p q) ( p r) ]

21 Elemet mtemtki ższej Formle krteri poprości ioskoń Reguł ioskoi Defiicj d Schemtem ioskoi zm skończo ciąg formuł φ φ φ ψ lbo φ φ φ ψ gdzie φ φ φ zm przesłkmi ψ ioskiem lub kokluzją Przkłd p Schemtmi ioskoi są: Jeżeli ie będę dobrze prcoł to strcę prcę Jeżeli strcę prcę to będę mił czs pójść do ki Jeżeli będę dobrze prcoł to ie będę mił czsu pójść do ki Jeżeli ie będę dobrze prcoł to strcę prcę Jeżeli strcę prcę to będę mił czs pójść do ki Jeżeli ie będę dobrze prcoł to będę mił czs pójść do ki Zużm że te d schemt różią się choć ieiele (przesłki te sme iosek i) Jedk ituicj podpoid że piersz schemt chb ie jest prdzi bo przecim pdku do ki chodzilib tlko ludzie ie prcując dobrze (kto ie m czsu chodzić do ki te ie chodzi do ki) W przpdku drugiego schemtu możem się zgodzić że źle prcując strcą prcę i będą mieli czs iść do ki (co ie zcz że pójdą) le dobrze prcując zpee też będą mieli czs kio Ituicj podpoid ztem że piersz schemt rczej ie jest prdzi drugi jest Logik pozl tę kestię jedozczie rozstrzgąć Defiicj d Schemt ioskoi zm regułą doodzei (lub regułą ioskoi) ted i tlko ted gd prz kżdm ioskoiu edług tego schemtu prdzi jest iosek o ile tlko prdzie są szstkie przesłki

22 Logik i teori mogości Wioskoie logiczie popre jest to tkie ioskoie które odb się edług peej reguł doodzei Tierdzeie t Przegląd żiejszch reguł ioskoi: reguł odri (modus poes) (8) p p q q (jczęściej stoso jko model rozumoi dedukcjego); reguł odri dl róożości (9) p p q ; q reguł slogizmu rukoego () p q q r ; p r reguł doodu ie prost (jed z tz reguł pgogiczch) () dlemt kostrukcj ( p ~ q) ~ p q p ; () p q ~ q p q ; dlemt destrukcj (Orgees) () p q p ~ q ~ p oprt dość mkbrczm rozumoiu: (Jeżeli iesz że umrłeś) to (umrłeś) (Jeżeli iesz że umrłeś) to (ie umrłeś) Nie iesz że umrłeś

23 Elemet mtemtki ższej Reguł ioskoi jest ieskończeie iele Problem zsdicz rozstrzgięcie któr schemt ioskoi jest regułą ioskoi któr tką regułą ie jest roziązuje poiższe tierdzeie Tierdzeie t O rozstrzglości poprości ioskoi Schemt ioskoi φ φ φ ψ jest regułą ioskoi ted i tlko ted gd formuł jest tutologią ( φ φ φ ) ψ Przkłd p Sprdzim terz któr ze schemtó ioskoi prztoczoch przkłdzie p (o prc i kiie) jest regułą ioskoi (przpomim kżd sposób rozumoi jest schemtem ioskoi le tlko popr schemt jest regułą ioskoi czli regułą doodzei) Ozczm: p Będę dobrze prcoł q Strcę prcę r Będę mił czs pójść do ki Piersz schemt ioskoi jest ztem stępując: ~ p q q r p ~ r Zgodie z tierdzeiem t sprdzm cz formuł ~ p q q r p ~ r jest tutologią [( ) ( )] ( ) p q r ~ p ~ r ~p q ( ~ p q ) q r q r ( ) p ~ r [( ~p q) ( q r) ] ( p ~ r)

24 Logik i teori mogości Poższ formuł ie jest ztem tutologią Jest fłsz o ile tlko róocześie prdzie są zdi p i r Odpoiedź: Piersz z prztoczoch schemtó ioskoi ie jest regułą ioskoi Prz tch smch ozczeich drugi schemt ioskoi jest stępując: ~ p q q r ~ p r musim ztem sprdzić cz tutologią jest formuł [( p q) ( q r) ] ( ~ p r) ~ p q r ~ p ~ r ~p q q r ( ~ p q) ( q r) ~ p r [( ~ p q) ( q r) ] ( ~ p r) Odpoiedź: Poższ formuł jest tutologią ięc bd schemt ioskoi jest regułą ioskoi Przkłd p Poiższ schemt moż zć: Ftle skutki ieuct egzmiie komisjm Autorz ie żczą ikomu tkiego egzmiu tm brdziej że skutkiem iezdi egzmiu komisjego jest skreśleie z list studetó Schemt jest stępując: Jeżeli ie ściągę to obleję egzmi Jeżeli obleję egzmi to lecę ze szkoł Jeżeli ściągę to będę oszustem Wlecę ze szkoł lub będę oszustem

25 Elemet mtemtki ższej Ozczm: p Ściągę (stępuje tu podmiot domśl) q Obleję egzmi r Wlecę ze szkoł s Będę oszustem (utorz użją kolokilizmó z premedtcją) Prz tk dobrch ozczeich schemt ioskoi m stępującą postć: ~ p q q r r s p s Sprdzim cz te schemt jest regułą ioskoi Jest tk ted gd ~ p q q r p s r s jest tutologią Włściie formuł [( ) ( ) ( )] ( ) leżłob zpisć ją postci [( p q) (( q r) ( p s) )] ( r s) ~ le moc pr łączości koiukcji (tierdzeie t ()) osim że koiukcj trzech formuł jest prdzi ted i tlko ted gd szstkie trz są prdzie Mm tu do cziei z czterem formułmi tomomi (zdimi) Gdbśm sporządzili odpoiedią tbelę zero-jedkoą to miłb o 6 iersz Mjąc jedk udze specficzą budoę sprdzej formuł zdioej korzstm ią metodę Pokżem że formuł jest tutologią stosując doód ie prost (reductio d bsurdum) Złożm mioicie że istieje tkie rtościoie formuł tomoch które pooduje fłszość cłej formuł Jeżeli kżem że jest to iemożlie (z kżdm rzem otrzmm sprzeczość) to formuł jest tutologią Jeżeli jedk m się to ud to formuł ie jest tutologią Móiąc ieco przerotie sukces jest porżką Złóżm ztem że istieje tkie rtościoie iż formuł: [( ~ p q) ( q r) ( p s) ] ( r s) jest fłsz Formuł t jest implikcją ztem jej poprzedik [( ~ p q) ( q r) ( p s) ] musi bć prdzi stępik ( r s) musi bć fłsz (tlko ted implikcj jest fłsz) Nstępik jest ltertą ztem ob zdi r orz s muszą bć fłsze (tlko ted ltert jest fłsz) Wrtości logicze zdń r orz s są róe Poprzedik jest koiukcją ztem szstkie trz skłdiki muszą bć prdzie Skłdiki te są implikcjmi: ~ p q q r orz p s Die osttie z ich mją stępiki fłsze (rtości logicze zdń r orz s są przecież róe ) ięc b bł prdzie muszą mieć fłsze róież poprzediki Stąd

26 Logik i teori mogości zdi p i q są fłsze; ztem zdie ~ p jest prdzie Piersz z implikcji: ~ p q jest ztem fłsz (z prd ik fłsz) przed chilą ustliliśm że (podobie jk die pozostłe) jest prdzi Jest to sprzeczość Złożeie o istieiu rtościoi formuł tomoch prz którm sz formuł jest ieprdzi doprodziło do sprzeczości (bsurdu) Odpoiedź: Poższ formuł jest tutologią przedstio żej schemt regułą ioskoi (doodzei) Co djem Cztelikoi pod rozgę Tierdzeie t Tierdzeie o zmkiętości zbioru tutologii Zbiór tutologii jest zmkięt ze zględu reguł doodzei tz jeśli jest regułą doodzei orz gd tutologią φ φ φ ψ φ φ φ są tutologimi to ψ jest róież Tierdzeie t Reguł podstii Jeżeli z zmiee tutologii kżdm miejscu gdzie oe stępują podstim odpoiedio ustloe formuł to otrzm formuł też jest tutologią Tierdzeie t6 Reguł odri dl tutologii Jeżeli implikcj orz poprzedik implikcji są tutologimi to stępik implikcji też jest tutologią Kdrt logicz Niech będzie d implikcj φ ψ ; zijm ją implikcją prostą Implikcją odrotą ziem: ψ φ przecią: ~ φ ~ ψ przecistą: ~ ψ ~φ Ziązek międz tmi implikcjmi jlepiej przedstić digrmie formie kdrtu (rs ) Ab kzć prdziość szstkich implikcji strcz kzć prdziość dóch z ich leżącch jedm doolm boku kdrtu Wik stąd że die implikcje zjdujące się doolej ustloej przekątej kdrtu są róoże

27 6 Elemet mtemtki ższej Rsuek Rchuek fukcj (ktfiktoro) Fukcje zdioe Rozżm kilk zdń: 8 jest liczbą przstą jest liczbą przstą 78 jest liczbą przstą Piersze z ich jest prdzie (ocziście korzstm z dziesiętego ukłdu liczboego) drugie jest ieprdzie trzecie ie m sesu Zużm że kżde z trzech zdń jest poiedzią o przstości peej kokretej liczb Możem otrzmć ięcej tkich zdń gd z kżdm rzem odpoiedie miejsce stim peą liczbę Wszstkie te zdi będą mił prie idetczą postć którą moż uogólić przjmując miejsce liczb ieidomą (p ) Formą dl tkich zdń jest: jest liczbą przstą W tm momecie część Cztelikó zpee zprotestuje tierdząc że trzecie zdie m ses le jest ieprdzie Zdjm sobie jedk ptie o istotę przstości i ieprzstości Pojęcie przstości łącz się z podzielością liczb przez d tkim zbiorze liczbom którm dzieleie ie zsze jest kole Ztem liczb przst to tk któr prz dzieleiu przez d dje resztę zero odpoiedio liczb ieprzst prz dzieleiu przez d dje resztę jede Ztem 8 jest liczbą przstą ieprzstą zbiorze (lub pem podzbiorze) liczb cłkoitch Iczej mją się spr zbiorze liczb mierch lub rzeczistch Tu dzieleie przez d (i kżdą różą od zer liczbę) jest kole i pojęcie dzielei z resztą trci ses ztem pojęcie przstości róież Moż (eetulie) zczć podził zbioru liczb rzeczistch (lub mierch) : przste ieprzste i i przste i ieprzste le jest to kostrukcj sztucz i iele elegckich tierdzeń o liczbch przbrłob ted dziczą i ieelegcką formę

28 Logik i teori mogości 7 Defiicj d6 Wrżeie φ ( ) którm stępuje zmie i które stje się zdiem prdzim lub fłszm gd miejsce zmieej stim dool elemet iepustego zbioru A zm fukcją zdioą zmieej ; zbiór A zm zkresem fukcji φ ( ) Często zpisujem: φ ( ) A Defiicj d7 Zbiór zierjąc szstkie elemet zkresu A fukcji zdioej φ ( ) które po stieiu miejsce zmieej torzą zdie prdzie A: φ zm dziedzią fukcji zdioej i ozczm D φ Zpis: D φ { ( )} Przkłd p Ozczm przez Z zbiór liczb cłkoitch (to stdrdoe ozczeie które będzie od tej chili oboiązć) Wrżeie: Z jest fukcją zdioą zmieej której zkresem jest zbiór szstkich liczb cłkoitch Z ( φ ( ) : treścią tej fukcji zdioej óczs okże się że D φ { } dziedzi zier tlko trz elemet ) Gd jedk roziążem ieróość będącą ztem Alogiczie prodz się pojęcie fukcji zdioej dóch zmiech φ Nieco kłopotu może przsporzć defiioie zkresu i dziedzi le te ( ) trudości ziką po zdefiioiu iloczu krtezjńskiego Podobie jk egcje ltert koiukcje implikcje orz róożości formuł zdioch istieją egcje ltert koiukcje implikcje orz róożości fukcji zdioch Tierdzeie: Jeśli kdrt liczb rzeczistej jest ró to liczbą tą jest lub moż zpisć: ( ) ( ) ( ) [ ] R Ntomist sformułoie: Liczb mier lub przst ielokrotość zpisujem: ( Q) [( k ) k Z] gdzie przez Q ozczm zbiór liczb mierch Ktfiktor Wrżeie: dl kżdego zm ktfiktorem ogólm (lbo dużm) i ozczm: lbo (e spółczesej mtemtce częściej stosuje się smbol ) Wrżeie: istieje tki że zm ktfiktorem szczegółom (lbo młm) i ozczm: lbo (e spółczesej mtemtce częściej stosuje się smbol )

29 8 Elemet mtemtki ższej W tej książce uż będzie spółczes otcj ktfiktoró ( i ) Przkłd p6 Zdie: Kdrt kżdej liczb rzeczistej jest liczbą ieujemą zpisujem: ( ) R : zdie: Istieje liczb rzeczist iększ od i miejsz od 7 zpisujem: R : < < 7 Jeżeli ktfiktor odosi się do fukcji zdioej φ ( ) której zkresem jest zbiór A to zpisujem odpoiedio: A: φ( ) orz A: φ( ) Jeżeli tomist z cześiejszch rozżń ik bez ątpliości jki zbiór jest : φ : φ zkresem zmieej to zpisujem odpoiedio: ( ) orz ( ) Tierdzeie t7 Pr rchuku ktfiktoroego Rozdzielość zględem ltert i koiukcji: () : ( φ( ) ψ( ) ) [ : φ( ) : ψ( ) ] : ( φ( ) ψ( ) ) [ : φ( ) : ψ( ) ]; () : ( φ( ) ψ( ) ) [ : φ( ) : ψ( ) ] ( φ( ) ψ( ) ) [ : φ( ) ψ( ) ] : : Negcj (pr De Morg dl rchuku ktfiktoroego) Zprzeczeie zdi z ktfiktorem poleg zmiie ktfiktor (z ogólego szczegóło lbo odrotie) i zprzeczeiu fukcji zdioej (6) ~ ( : φ ( ) ) ( : ~ φ( ) ) orz ~ ( : φ( ) ) ( : ~ φ( ) ) Wioskmi z poższego tierdzei są stępujące zleżości: (7) ~ [ : ( φ( ) ψ( ) )] : [( ~ φ( ) ) ( ~ ψ( ) )] (8) ~ [ : ( φ( ) ψ( ) )] : [( ~ φ( ) ) ( ~ ψ( ) )] (9) ~ [ : ( φ( ) ψ( ) )] : [( ~ φ( ) ) ( ~ ψ( ) )]

30 Logik i teori mogości 9 () ~ [ : ( φ( ) ψ( ) )] : [( ~ φ( ) ) ( ~ ψ( ) )] Pr przestii ktfiktoró Jeżeli fukcji zdioej zierjącej co jmiej die zmiee są d ktfiktor to przestijąc je otrzmm fukcję róożą z jątkiem stucji gd ktfiktor ogól stępuje przed ktfiktorem szczegółom Tierdzeie t8 Pr przestii ktfiktoró () ( : φ( ) ) ( : φ( ) ) () ( : φ( ) ) ( : φ( ) ) () ( : φ( ) ) ( : φ( ) ) Przkłd p7 Zpis stierdzei Liczb cłkoit jest przst: ( k Z : k) Z Zpis tierdzei Kdrt kżdej liczb rzeczistej jest ieujem: R : Zpis tierdzei Nie m jiększej liczb turlej: ( m ) N m N : > Elemet teorii mogości Dziłi zbiorch W teorii mogości pojęciem pierotm (ie defiiom) jest pojęcie zbioru tomist pierotm smbolem predktm jest smbol przleżości do zbioru (z zpee szstkim Cztelikom smbol ) Zbior będziem ozczć zzczj ielkimi litermi lfbetu łcińskiego Zbior którch elemetmi są zbior zć będziem czsem klsmi zbioró i ozczć młmi litermi lfbetu greckiego (le ie zsze) Elemet zbioru ie potrzją się Zbiór pust to zbiór ie zierjąc żdego elemetu (ozczm go: ) Istieje tlko

31 Elemet mtemtki ższej jede zbiór pust Jeżeli elemet ie leż do zbioru to zmist pisć: ~ ( A) będziem zpisć: A Róość zbioró: A B [ A B] : Ikluzj zbioró (zierie): A B ( A B) : (zbiór A zm podzbiorem zbioru B zbiór B zm dzbiorem zbioru A) Sum zbioró (sum mogościo): A B { A B} : Ilocz zbioró (przekrój): A B { A B} : \ Różic zbioró: A B { : A B} Jeżeli szstkie zbior będziem rozptrć peej ustloej przestrzei (czli ie jko zbior ogóle le jko zbior p prostej płszczźie zbior liczboe zbiór ludzi itp) to możem zdefiioć dopełieie zbioru jko zbiór tch szstkich elemetó przestrzei które do dego zbioru ie leżą Ozczm przez X przestrzeń której są zrte rozże przez s zbior : Dopełieie zbioru: A { X A} Korzstjąc z defiicji różic zbioró stierdzm: A X \ A Tierdzeie t9 Włsości dziłń zbiorch Przemieość sum i przemieość iloczu: () A B B A A B B A Łączość sum i łączość iloczu: () ( A B) C A ( B C) ( A B) C A ( B C) Rozdzielość iloczu zględem sum i rozdzielość sum zględem iloczu: (6) A ( B C) ( A B) ( A C) Pr bsorpcji: ( B C) ( A B) ( A C) A (7) A ( A B) A A ( A B) A Ziązki międz ikluzją i sumą zbioró orz ikluzją i iloczem zbioró: (8) A B A B B A B A B A

32 Logik i teori mogości (9) [( A B) ( C D) ] [( A C) ( B D) ] [( A B) ( C D) ] [( A C) ( B D) ] Ziązki międz ikluzją i różicą zbioró: () [( A B) ( C D) ] [( A \ D) ( B \ C) ] Pr De Morg dl różic zbioró: () A \ ( B C) ( A \ B) ( A \ C) ( B C) ( A \ B) ( A C) A \ \ Ziązki międz zbiormi i ich dopełieimi: () X X () A A X A Pr De Morg dl dopełień zbioró: A A ( A B) ( B A ) () ( B) A B ( B) A B A Ilocz krtezjński zbioró Pr ieuporządko Prą ieuporządkoą zm zbiór duele- b Zużm że elemet pr ieuporządkoej muszą się meto { } różić poież { } { } ztem jeżeli się ie różią to mm zbiór jedoelemeto Nleż zzczć że zbiór jedoelemeto { } ie jest tożsm z elemetem (czm im jest bć zbiorem czm im leżeć do zbioru ) Pr uporządko Istieją róże sposob zdefiioi pr uporządkoej Oto jede z ich: Prą uporządkoą zm zbiór duelemeto którm różio jest jede z elemetó z elemetem pierszm (elemet któr ie jest elemetem pierszm będziem zć b Die pr uporządkoe drugim) Prę uporządkoą ozczm ( ) są róe jeśli mją te sme elemet tej smej kolejości Ztem: ( b) ( c d ) ( c b d )

33 Elemet mtemtki ższej W odróżieiu od pr ieuporządkoej pr uporządko może zierć d idetcze elemet ztem istieją pr uporządkoe postci Odotujm że jeśli b b b ( ) to ( ) ( ) Defiicj d8 Niech będą de d iepuste zbior A i B Iloczem krtezjńskim A B tch zbioró zm zbiór szstkich pr uporządkoch którch piersz elemet leż do zbioru A tomist drugi do zbioru B Jeśli {( b) A b B} A B : A B to A A możem ozczć A i óczs: {( b) : b A} A A A Alogiczie możem zdefiioć trójkę uporządkoą -tkę uporządkoą ( ukch iformtczch oszą oe zę krotki) Pojęcie relcji Jedm z jżiejszch pojęć mtemtki jest pojęcie relcji Defiicj relcji jest zdziijąco prost jedocześie iezkle głębok W tej książce ogriczm się do relcji durgumetoch choć prtur pojęcio prodzo pożej upożi do prodzei relcji trój- i ięcej rgumetoch Defiicj d9 Niech będą de iepuste zbior A i B Relcją zm kżd podzbiór iloczu krtezjńskiego A B Przkłd p8 Niech będzie d zbiór A { 9 } krtezjński: A A { Ze zbioru ( ) ( ) ( ) ( 9) ( ) ( )( ) ( 9) ( ) ( ) ( ) ( 9) ( 9) ( 9 ) ( 9) ( 99)} A A bierzm peie podzbiór (relcję) p: {( ) ( ) ( 9) ( ) ( 9) ( 9) } M Możem to zpisć iej formie: Utórzm ilocz ( ) M ( ) M ( 9) M ( ) M ( 9) M ( 9) M

34 Logik i teori mogości Zużm że t form zpisu jest dość prcochło; mg użci z kżdm rzem leego isu prego isu przecik i smbolu przleżości Zpis jest iczm ięcej jk umoą peą zrozumiłą dl szstkich (ob!) koecją Ab rzecz cłą uprościć zpiszm: M M M 9 M M 9 M 9 Zpis p 9 M będziem cztli: pr ( 9) leż do relcji M Wdje się sesoe ptie: Dlczego tę relcję zliśm łśie M? No łśie może b ją zć iczej? Relcj jest zbiorem; umóiliśm się że zbior będziem ozczć zzczj ielkimi litermi lfbetu łcińskiego Zzczj ie ozcz zsze Po ozczeiu poższej relcji zkiem < zpis gląd tk: < < < 9 < < 9 < 9 Od form {( ) ( ) ( 9) ( ) ( 9) ( 9) } M do postci < < < 9 < < 9 < 9 ic oprócz koecji zpisu się ie zmieiło Jedk Cztelik zpee iczej czt obie postcie Jeżeli terz ziem relcję M relcją miejszości zbiorze A to będzie jse jk zć p E 99 relcję {( ) ( ) ( ) ( )} Żeb jedk ie bło ątpliości potórzm: kżd podzbiór iloczu krtezjńskiego jest relcją Defiicj d Niech będzie d relcj relcję R Y X tką że R {( ) : Y X ( ) R} R X Y Relcją odrotą zm Defiicj d Niech będą de relcje: R X Y orz S Y Z Złożeiem relcji (lbo: kompozcją) zm relcję: {( z) : X z Z Y : [( ) R ( z) S] } R S Rodzje relcji Relcj zrot Relcję R X X zm zrotą jeśli ( ) R X : Przkłdem tkiej relcji zbiorze liczb turlch może bć relcj po- R k dl peego k N Widomo że dzielości czli ( )

35 Elemet mtemtki ższej kżd liczb turl jest podziel (międz imi) przez smą siebie Nie musim się ogriczć do zbioró liczboch W grupie ludzi ustóm relcję: Kżd elemet jest relcji z tmi szstkimi którch lubi Moż przjąć że kżd lubi siebie (miejm dzieję że oprócz tego jeszcze kogoś) ztem tk określo relcj jest zrot Relcj przechodi Relcję R X X zm przechodią jeśli R R R to zcz z X : [( ) R ( z) R] ( z) R ( skrócie: ( R Rz) Rz ) Tką relcją jest relcj miejszości zbiorze liczb rzeczistch ( ( < b b < c) < c ) ią relcj podzielości (jeśli jest podziele przez b i b jest podziele przez c to jest podziele przez c) zbiorze liczb turlch Ocziście ie szstkie relcje są przechodie Jeśli p A bił ząb pu B p B bił ząb pu C to przecież ie ik stąd że p A bił ząb pu C A relcj określo bijiem zębó tm trójelemetom zbiorze zostł określo Relcj smetrcz Relcję R X X zm smetrczą jeśli R R to zcz X :( ) R ( ) R ( skrócie: R R ) Określm przkłd relcję R zbiorze liczb cłkoitch Z: R k dl peego k Z Jeśli ruek te jest spełio to ( k) przecież: k Z ztem R W zbiorze ludzi smetrcz jest relcj bci ziązku młżeńskim z Jeśli A jest ziązku młżeńskim z B to B jest ziązku młżeńskim z A (relcj ie klucz poligmii i polidrii) Pod relcj ie jest zrot i przechodi ( szczęście) le ogóle relcj smetrcz może bć zrot lub przechodi Relcj słbo tsmetrcz Relcję R X X zm słbo tsmetrczą jeśli [( ) R ( ) R] ( skrócie: ( R R) ) W zbiorze liczb rzeczistch tką relcją jest Istotie: jeśli i to Podobie zbiorze liczb turlch jeśli jest

36 Logik i teori mogości podziele przez b i b jest podziele przez to b W meczu piłki ożej jeśli druż A ie strzelił ięcej brmek iż druż B druż B ie strzelił ięcej brmek iż druż A to obie druż strzelił tle smo brmek (remis) Relcj tsmetrcz lub silie tsmetrcz Relcję R X X zm silie tsmetrczą jeśli R R czli X :( ) R ( ) R ( skrócie: R ~ ( R) ) Tką relcją zbiorze liczb rzeczistch jest relcj < (jeśli < b to ~ b < ) W meczch teis lub sitkóki (ie m remisó) relcj: ( ) druż A grł z drużą B jest silie tsmetrcz 6 Relcj spój Relcję R X X zm spóją jeśli [( ) R ( ) R] X : ( skrócie: X : ( R R) ) Przkłdem relcji spójej zbiorze liczb rzeczistch jest relcj tomist relcj < ie jest spój Nie leż stąd osić że relcj słbo tsmetrcz jest spój silie tsmetrcz tk ie jest W zbiorze liczb turlch relcj podzielości ( b) R jeśli jest dzielikiem b jest słbo tsmetrcz le ie jest spój ( ( ) R i ( ) R ) Zpis ikó spotkń fz grupoej jedej grupie mistrzost śit sitkóce (sstem kżd z kżdm ) jest spóją relcją silie tsmetrczą Przegląd jżiejszch relcji Relcj róożości Z chilą rozpoczęci roku kdemickiego zczją się kłd i ćiczei Ocziście odbją się oe edług peego plu Tk się skłd że iększość studetó trfi bezbłędie o określoej godziie do określoej sli b słuchć kłdu Wiedzę o tm gdzie i kied odbędzie się kłd czerpią z opublikoego ( tblic ogłoszeń lub Iterecie) plu zjęć Z ogłoszeń doidują się też o zmich plu itd Jk to się jedk dzieje że studetoi udje się trfić odpoiedie miejsce o ozczoej (poiedzm) godziie jeśli om plie

37 6 Elemet mtemtki ższej zjęć ie m zisk żdego studet? (zisko kłdoc zzczj jest) Są tm pee z (p If I sem) le co oe ozczją? Odpoiedź jest prost są to z grup kłdoch Zstóm się jkie cech śidczą o przleżości do grup kłdoej (z dego przedmiotu) Pierszą tką cechą jest zrotość: leżę do tej łśie grup do której leżę ( ie do iej) istotie trudo się rozdoić Drugą cechą jest smetri: jeśli j leżę do tej smej grup co t to t leższ do tej smej grup co j Wreszcie trzecią cechą jest przechodiość: jeśli j leżę do tej smej grup co t t leższ do tej smej grup co o to j leżę do tej smej grup co o I to szstko te trz cech relcji międzludzkich pozlją jedozcz podził grup kłdoe R A A z- Defiicj d Niech będzie d iepust zbiór A Relcję m relcją róożości jeśli jest: zrot smetrcz przechodi Jeżeli elemet i b leżące do zbioru A są tkie że ( b) R to móim że są oe róoże ( sesie relcji R) Czsmi relcję róożości ozcz się smbolem (czli Rb) róożości R ( ( ) Tierdzeie t Zsd bstrkcji Jeżeli zbiorze A zostł określo relcj R A A ) to dzieli o zbiór A kls elemetó róożch te sposób że kżd elemet zbioru A leż do jedej i tlko jedej kls Kls te zm klsmi bstrkcji Zbiór kls bstrkcji zm zbiorem ilorzom i ozczm Klsę bstrkcji elemetu ozczm [ ] R A R Przkłd p9 W zbiorze liczb cłkoitch Z określm relcję tki sposób że pr liczb leż do relcji jeśli mją tką smą resztę prz dzieleiu przez Resztą z dzielei przez może bć tlko liczb ieujem p : r : r : r : r Łto zużć że die liczb cłkoite mją tę smą resztę dzielei przez ted i tlko ted gd różic tch liczb jest podziel przez (bez reszt) Ztem b k Z : ( b) k Zdefiio pożej relcj m stępujące łsości: zrotość: poież ztem szuką liczbą k jest ; smetri: jeśli b czli istieje liczb cłkoit k tk że b k to b k k k jest ocziście cłkoit przecież ( ) liczb ( ) ztem b ;

38 Logik i teori mogości 7 przechodiość: jeśli b i b c to istieją tkie liczb k i m że b k i b c m ztem ( b) ( b c) k m stąd ( k m) b b c czli c p p ięc ostteczie c Pokzliśm że relcj t jest relcją róożości Poież resztą z dzielei przez może bć lub to klsmi bstrkcji będą: [ ] { } [ ] { 8 7 } [ ] { 7 8 } Łto zużć że kżd liczb cłkoit leż do jedej i tlko jedej kls bstrkcji Zbiorem ilorzom zbioru liczb cłkoitch przez poższą relcję jest {}; podobie moż określić dodie liczb z kżdej pr kls (iekoieczie różch) p ( k ) ( m ) ( k m) ( k m ) W te sposób możem ułożć tbelę dziłń zbiorze ilorzom Określoe pożej dziłie zm dodiem modulo Łto będzie też ułożć tbelę możei zbiorze ilorzom: N przkłd: ( k ) ( m ) 9km 6k 6m ( km k m ) (stąd ) Relcj częścioego porządku Defiicj d Niech będzie d iepust zbiór A Relcję relcją częścioego porządku jeśli jest: S A A zm

39 8 Elemet mtemtki ższej zrot słbo tsmetrcz przechodi Relcję częścioo porządkującą ozczm często smbolem Przkłd p W zbiorze liczb turlch N określm relcję p ( ( N N ) stępując sposób: b ( k N : k b) p ) p (b jest podziele przez ) Cztelik z łtością sm sprdzi że jest to relcj częścioego porządku Fukcje Defiicj d Niech będą de iepuste zbior X i Y Relcję spełijącą ruki: () X Y ( ) f : orz (b) [ X Y : ( ) f ( ) f ] ( ) zm fukcją Zbiór X zm dziedzią lbo zbiorem rgumetó fukcji f Zbiór Y zm przecidziedzią lbo zbiorem rtości fukcji f O fukcji f móim że jest odzoroiem zbioru X zbiór Y i zpisuje- f : X Y m: Zmist ( ) f stosujem zpis f ( ) f X Y Jeżeli oprócz rukó określoch defiicji d spełio jest ruek: (c) Y X ( ) f : to f zm fukcją lbo surjekcją Jeżeli oprócz rukó określoch defiicji d spełio jest ruek: (d) [ X Y :( ) f ( ) f ] ( ) to f zm fukcją różortościoą lub iiekcją Jeżeli spełioe są szstkie ruki () (b) (c) (d) to fukcję f zm zjemie jedozczą lbo bijekcją Jeśli de są die fukcje: f o g zm fukcję: f : X Y orz g : Y Z to złożeiem fukcji [(( z) f g) Y :( ) f ( z) g] f o g : X Z o

40 Możem ztem stierdzić że ( f g)( ) g( f ( ) ) Logik i teori mogości 9 o Przkłd p Jeżeli g( ) log f ( ) si to ( f o g)( ) log ( si ) tomist ( g f )( ) si( log ) o Zdi Zdie z Sprdzić cz stępujące rżei są tutologimi: ) [( p q) p] p ; b) p ( p q) ; c) p [( ~ p) q] ; d) [( p q) ~ q] ~ p ; e) [( p q) ( p q) ] ( q p) ; f) [( p q) p] q ; g) [( p q) ( q p) ] ( p q) h) ( p ~ p) ; ~ ; i) [ ( p q) ( ~ p q) ] ( p q) ~ ; j) [ ( p q) q] ( p q) ~ ; k) [( p q) ( p q) ] [ p ( p q) ] ; l) { p [ ~ ( p q) ( p q) ]} ( ~ p) ; m) {( p q) [ q ( ~ p q) ]} [ p ( ~ p q) ] ~ ; ) [ p ( ~ q p) ] { ~ q [( p q) q] } ~

41 Elemet mtemtki ższej Zdie z Sprdzić cz stępujące schemt ioskoi są regułmi doodzei: ) b) Jeśli dłem dużo pieiędz to jestem zmoż Jeśli dłem dużo pieiędz to ie jestem zmoż Nie jestem zmoż Jeśli dłem dużo pieiędz to jestem zmoż Jeśli ie dłem dużo pieiędz to jestem zmoż Jestem zmoż Zdie z Sprdzić któr z poiższch relcji jest relcją róożości: ( b) R ( N { } ) ) R N N b ; ( b) S ( N { } ) b) S N N Odpoiedzi b z ) tk; b) tk; c) ie; d) tk; e) ie; f) tk; g) ie; h) tk; i) tk; j) ie; k) tk; l) ie; m) ie; ) tk z ) ie; b) tk z ) tk; b) ie

42 Rchuek mcierzo Mcierze Określeie mcierz Dziłi mcierzch Wprodzeie Ozczm przez M skończo zbiór kolejch początkoch liczb turlch: M {m} przez N zbiór: N {} Iloczem krtezjńskim M N jest zbiór szstkich pr uporządkoch którch piersz elemet leż do zbioru M drugi do zbioru N Defiicj d Mcierzą prostokątą A o m ierszch i kolumch orz elemetch z iepustego zbioru P zm kżdą fukcję A : ( M N) P Njczęściej zbiór P jest zbiorem liczbom i tlko tkie mcierze będą przedmiotem szch rozżń A lub A [ ] Zmist A(i j) będziem pisli Ztem [ ] ij ij i m; j ij m Njgodiejszą postcią zpisu mcierz jest tblic prostokąt z pismi szstkimi rtościmi p: M {} N {} P Z zbiór liczb cłkoitch A tutj p 7 W kżdej mcierz różim iersze i kolum Liczb: torzą drugi iersz liczb trzecią kolumę Liczb z którch zbudo jest mcierz zm jej elemetmi Elemet ij zjduje się i-tm ierszu i j-tej kolumie mcierz W poższej

43 Elemet mtemtki ższej mcierz A elemet zjduje się trzecim ierszu i trzeciej kolumie ztem Wmirem mcierz zm ilocz liczb jej iersz i kolum prz czm możei się ie kouje Mcierz A jest ięc miru (czt się: trz czter ie: ) mcierz pod defiicji jest miru m Mcierze będziem zzczj ozczli dużmi litermi lfbetu łcińskiego: A B C Z poższch rozżń ik że sposób ogól zpisi mcierz: moż zstąpić postcią: Będziem użć obu tch postci A [ ij ] i m; j (lub A [ ij ] m ) A m m m Die mcierze są róe jeśli mją róe szstkie odpoiedie elemet: [ ij ] i m; j [ bij ] i m; j i m; j : ij bij Klsfikcj mcierz Mcierzą ierszoą lub ektorem ierszom zm mcierz skłdjącą się tlko z jedego iersz Mcierzą kolumoą lub ektorem kolumom zm mcierz skłdjącą się tlko z jedej kolum A zm kdrtoą gd m p Mcierz [ ij ] i m; j Przekątą głóą mcierz kdrtoej zm ciąg kolejch elemetó postci ii i W poższej mcierz przekątą głóą torzą elemet:

44 Rchuek mcierzo Mcierz kdrtoą [ ij ] i j A zm smetrczą gd ij ji p: W mcierz smetrczej głó przekąt jest osią smetrii elemetó mcierz Mcierz kdrtoą [ ij ] i j A smetrczą gd ij ji p: zm tsmetrczą lub ukośie Ug u W mcierz tsmetrczej głó przekąt skłd się z smch zer Mcierz kdrtoą [ ij ] i j A zm górotrójkątą gd ij dl i > j (pod głóą przekątą zjdują się sme zer) orz dolotrójkątą gd ij dl i < j (d głóą przekątą zjdują się sme zer) Mcierz kdrtoą [ ij ] i j A zm digolą gd ij dl i j (elemet róże od zer mogą stępoć tlko głóej przekątej) A zm jedostkoą gd Mcierz digolą [ ij ] i j i : Mcierz jedostkoą ozcz się przez E lub I ( tej ii książce będziem użć ozczei E) lub b zzczć mir E p E [ ] E E 6 Mcierzą trspooą mcierz prostokątej [ ij ] i m j A zm mcierz prostokątą [ ji ] i m j A T ; ; której pierszą kolumą jest piersz iersz mcierz A drugą kolumą drugi iersz mcierz A itd

45 Elemet mtemtki ższej Istieje brdzo iele zstosoń opisu rzeczistości z pomocą mcierz Oto kilk brch jprostszch przkłdó Elemet mcierz określją dochód firm (iersze ozczją dził zkłdu dził I II kolum koleje miesiące) Elemet mcierz określją obrot sieci sklepó Prot i Geł (iersze określją kokret sklep prz ul Płomieistej Grutoej Głogoskiej Półiejskiej itd kolum poszczególe dził tch sklepó ogólospożcz mięso-ędliirski biło cz (o zgrozo!) lkoholo Kżd rkusz klkulcj (p Ecel) jest mcierzą Gr okręt poleg rozszfroiu mcierz przeciik (ie jest to mcierz liczbo) Sl kio przed sesem jest mcierzą której elemetmi są fotele umermi iersz umer rzędó umermi kolum umer foteli rzędzie (eetulą różicę liczbie foteli różch rzędch moż uzupełić o zer); czsie sesu elemetmi mcierz mogą bć idzoie (jeśli film jest kiepski to część elemetó mcierz stoią idzoie część przeżie iększą puste fotele) Tbel odległości międz żiejszmi mistmi jest mcierzą kdrtoą której umer iersz i kolum odpoidją zom mist (te sm umer iersz i kolum odpoid temu smemu mistu i jeśli i < j to ij jest długością połączei kolejoego jeśli i > j długością połączei drogoego Dziłi mcierzch Możeie mcierz przez liczbę poleg możeiu szstkich elemetó tej mcierz przez tę liczbę i odb się edług zoru: [ ij ] i m; j [ p ij ] i m; j p p 6 Możeie to moż iterpretoć jko p pomożeie przez spółczik liczb ztrudioch dej plcóce celu obliczei djości cłej sieci (tz g)

46 Rchuek mcierzo Dodie mcierz Ab dodć die mcierze muszą oe mieć te sm mir Dodie mcierz poleg dodiu odpoiedich elemetó tch mcierz g zoru: [ ij ] i [ ] [ ij ij ] m; j bij b i m; j i m; j p Dodie moż iterpretoć jko dodie dochodó przedsiębiorst (z uzględieiem dziłó i miesięc) z dóch filii lbo sumę obrotó sieci sklepó Prot i Geł dóch kolejch miesiącch Możeie mcierz przez mcierz ( sesie Cuch ego) Wruek kolości możei mcierz: Niech będą de die mcierze prostokąte A i B Możeie A B jest kole jeśli liczb kolum mcierz po leej stroie zku możei (mcierz A) jest ró liczbie iersz mcierz po prej stroie zku możei (mcierz B) Możeie mcierz kouje się edług stępującej reguł: [ ] [ b ] ij i m; j jk j ; k r A B gdzie c ik [ c ik ] i m; k r A B C i b k ibk ibk ijb jk j Iczej elemet c ik jest ikiem odpoiediego pomożei i-tego iersz mcierz A przez k-tą kolumę mcierz B odpoiediość poleg tm że moż się piersz elemet iersz przez piersz elemet kolum dodje się ilocz drugiego elemetu iersz i drugiego elemetu kolum itd Ug u Zk jest smbolem sumoi pozljącm skróco zpis dodi ielu elemetó stępując sposób: i 6 ( i ) ( ) ( ) ( ) p p p 6

47 Elemet mtemtki ższej 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k j k p p p p p p j Z poższch przkłdó ik że pod smbolem sum pod jest skźik edług którego sumujem i liczb początko sumoi d smbolem sum pod jest liczb końco sumoi Z zkiem sum zjduje się rżeie do którego podstim miejsce skźik edług którego sumujem koleje liczb sumoi od początkoej do końcoej Po kżdm podstieiu (z jątkiem osttiego) stim zk W trzecim z podch pożej przkłdó rżeiu z zkiem sum zjduje się kilk liter le podstiie stosuje się tlko do tej liter któr jest skz pod zkiem sum (tu jest to liter j); zm ją bieżącm ideksem sumoi Przkłd p Wkoć możeie mcierz: Włsości możei mcierz Łączość (A B)C A(B C) ocziście tlko ted gd moż możć sąsiedie mcierze Możeie mcierz ogół ie jest przemiee; A B B A Przkłd p A B 6 9 B A 7 6 A B B A poież

48 Mcierz odrot Rchuek mcierzo 7 że Złóżm że d jest mcierz kdrto A; zgodie z poższmi rozżimi kole jest możeie tej mcierz przez doolą mcierz kdrtoą B tego smego miru Postm stępując problem: Cz istieje tk mcierz B b po koiu tego możei otrzmć peą z gór określoą mcierz jeśli istieje to jki sposób ją zleźć? Problem rozptr zbiorch liczboch jest Cztelikoi doskole z Odpoiedikiem możei mcierz jest możeie liczb Jeśli mm die liczb p i 7 to zjąc regułę możei ułmkó zstosujem ją i stierdzim 7 Nieco iczej jest gd zm jede z czikó orz ik możei ie zm drugiego czik Ale i tu rdzim sobie ieźle gdż jeśli p to drugi czik otrzmm możąc ik dziłi przez odrotość zego czik: czli Jeśli uśidomim sobie ze fkt 9 mioicie: międz liczbą i jej odrotością jest tki ziązek że ; istieje liczb któr ie m odrotości jest to ; jedką możeiu mcierz jest mcierz jedostko E czli E A A E A to zobczm że problem sprodz się przede szstkim do zleziei odrotości orz że logicz problem możem postić rchuku mcierz Prodzi to s do żej defiicji Defiicj d Mcierz kdrtoą B zm mcierzą odrotą do mcierz kdrtoej A gd A B B A E Mcierz odrotą do mcierz A ozczm: A - Ug u Nie kżd mcierz kdrto m mcierz odrotą Mcierz któr m mcierz odrotą zm ieosoblią mcierz któr jej ie m osoblią Odrotość mcierz jest iolucją tz (A - ) - A (iolucją zm przeksztłceie które dukrotie kolejo koe tm smm elemecie porc do puktu jści; iolucją jest p przejście przez drzi; utorz serdeczie odrdzją sprdzeie cz przejście przez oko jest iolucją)

49 Elemet mtemtki ższej 8 Wzczie mcierz odrotej Omóim prostą metodę zczi mcierz odrotej którą zm metodą przeksztłceń elemetrch Niektórz utorz zją ją metodą Guss jeszcze ii metodą Guss-Jord Poież opercje będą koe łączie ierszch ięc określim przeksztłcei elemetre iersz mcierz W dlszej części (ie dotczącej obliczi mcierz odrotch) pojiją się róież dziłi kolumch Mcierz odrotą moż (pod rukiem odpoiediego zpisu) obliczć koując dziłi kolumch (le tlko kolumch) Dltego prz opisie dziłń isch pojią się odpoiedie zmieiki Przeksztłceiem elemetrm mcierz zm kżde z stępującch dziłń: Pomożeie szstkich elemetó iersz (kolum) przez liczbę różą od zer Zmi iersz (kolum) miejscmi (przestieie iersz (kolum)) Dodie do elemetó doolego iersz (kolum) odpoiedio elemetó iego iersz (kolum) pomożoch przez doolą ustloą liczbę Poższe przeksztłcei dokoe ierszch są róoże pomożeiu peej odpoiedio dobrej mcierz zej mcierzą przeksztłcei przez dą mcierz ( dziłi kolumch polegją pomożeiu dej mcierz przez mcierz przeksztłcei) Objśim to przkłdch (mcierz przeksztłcei jest po leej stroie zku możei) Przkłd p Pomożeie drugiego iersz mcierz przez liczbę : Zmi miejscmi iersz drugiego i trzeciego: Dodie do drugiego iersz elemetó trzeciego iersz pomożoch przez liczbę :

50 Rchuek mcierzo 9 Metod przeksztłceń elemetrch zjdoi mcierz odrotej jest kosekecją poiższego tierdzei Tierdzeie t Jeżeli mcierz jedostkoą E moż otrzmć z mcierz A przez peie ciąg opercji elemetrch mcierz A to mcierz A jest ieosobli zś mcierz odrot A - postje iku zstosoi tego smego ciągu opercji elemetrch mcierz E Opis metod Wpisujem mcierz złożoą z dóch blokó leą częścią jest mcierz A prą częścią mcierz E odpoiediego miru Obie części oddzielm piooą kreską ([A E]) Stosujem przeksztłcei elemetre opise stroie 8 puktch - Celem przeksztłceń jest doprodzeie mcierz do tkiej postci b po leej stroie kreski bł mcierz jedostko E Wóczs po prej stroie kreski będzie mcierz A - ([E A - ]) Ug u Jeśli po dokoiu przeksztłceń po leej stroie kreski poji się iersz złożo z smch zer to mcierz odrot ie istieje A jest mcierzą osoblią Jeśli po dokoiu przeksztłceń po prej stroie kreski poji się kolum złożo z smch zer to zostł popełio poż błąd (utorz rdzą zcząć liczeie od o bo dlej już ic ie będzie dobrze) Opis metod jest logoem metod obliczi liczb odrotej do dej liczb edług zsd: () piszem dą liczbę stępie kreskę piooą z kreską ( ); () możm dą liczbę i przez tką smą liczbę; () możeie koujem tk długo ż z leej stro kreski piooej poji się ; () óczs liczb z prej stro kreski piooej jest liczbą odrotą do dej liczb ( ) Wliczm p liczbę odrotą do :