MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska

Transkrypt

1 MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO Celina Otolińska

2 PLAN: 1. Rynek złota-krótka informacja. 2. Wartość zagrożona i dlaczego ona. 3. Badany szereg czasowy oraz jego własności. 4. Modele GARCH. 5. VaR

3 R Y N E K Z Ł O TA : Nikt tak naprawdę nie rozumie cen złota. Ja sam też nie będę udawał, że rozumiem Ben Bernanke Przewodniczący Systemu Rezerwy Federalnej Stanów Zjednoczonych w okresie:

4 R Y N E K Z Ł O TA : Żadna władza nie może złota dodrukować czy zmienić poprzez naciski polityczne jego kursu. Od tysięcy lat jego podaż jest stała (ok. 1 2% w skali roku), kształtowana czynnikami niepolitycznymi. Jest trwałą, niemal niezniszczalną i akceptowalną w każdej epoce i miejscu formą kapitału.

5 R Y N E K Z Ł O TA : Cenę złota ustala pięć największych instytucji handlujących tym kruszcem podczas London Gold Fixing. Obecnie są to: ScotiaMocatta, Barclays Capital, Deutsche Bank, HSBC i Société Générale Złoto jest przedmiotem ryzyka rynkowego w taki sam sposób, jak inne waluty i towary. Zwykle cenę złota cechuje mniejsza zmienność niż w przypadku innych walut. Jednak w ciągu ostatnich kilku lat cena złota znacznie się wahała.

6 R Y N E K Z Ł O TA : Cena złota Cena złota jest określana na podstawie jego wagi. Pokazuje, ile kosztuje jedna uncja złota w dolarach amerykańskich. Na rynku kamieni i metali szlachetnych istnieje kilka metod pomiaru wagi. Najpopularniejszą jest uncja trojańska, która równa się około 31,1 gramów.

7 POMIAR RYZYKA: WARTOŚĆ ZAGROŻONA: Wartość zagrożona-value at Risk (VaR)- obecnie to standardowa miara za pomocą której analitycy finansowi kwantyfikują ryzyko rynkowe. Jest to taka strata wartości (rynkowej instrumentu lub portfela finansowego), że prawdopodobieństwo jej osiągnięcia lub przekroczenia w zadanym okresie czasowym jest równe pewnemu zadanemu poziomowi tolerancji.

8 WARTOŚĆ ZAGROŻONA: Popularność jaką VaR zdobył wśród praktyków finansowych wynika z prostoty koncepcji: instrument ten sprowadza ocenę ryzyka rynkowego do wyznaczenia jednej liczby- straty zagrażającej z danym prawdopodobieństwem. Określenie wartości zagrożonej można opisać w postaci wzoru: P W t W 0 VaR = α Gdzie W t jest wartością analizowanego instrumentu finansowego w chwili t, czyli na końcu okresu, α to nasz poziom tolerancji (liczba bliska zeru)

9 OCENA PROGNOZ VAR: W badaniach empirycznych, w celu porównania jakości prognoz VaR, wykorzystujemy test Kupca, który jest oparty na statystyce ilorazu wiarygodności.

10 MOJE ZŁOTO -CZYLI WYBRANY SZEREG CZASOWY CEN ZŁOTA Dzienne ceny złota notowane na giełdzie londyńskiej wyrażone w dolarach amerykańskich za uncje. Przedział czasowy:

11 KSZTAŁTOWANIE SIĘ CEN ZŁOTA , cena ,25 0

12 Do szacowania odpowiedniego modelu klasy GARCH zostaną użyte logarytmiczne stopy zwrotu w pełnych punktach procentowych, łącznie 3000 obserwacji. Na wykresie można zaobserwować okresy o podwyższonej zmienności cen złota oraz efekt grupowania się wariancji tak charakterystyczny dla finansowych szeregów czasowych.

13 KSZTAŁTOWANIE SIĘ LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU CEN ZŁOTA stopy zwrotu -10

14 GŁÓWNE CHARAKTERYSTYKI:

15 Analizując przedstawione charakterystyki możemy zauważyć: Patrząc na wielkość współczynnika asymetrii stwierdzamy, że empiryczny rozkład stóp zwrotu jest lewostronnie asymetryczny. Kurtoza na poziomie 5,0285 świadczy o tym, że występuje zjawisko lepkokurtozy, rozkład jest bardziej spiczasty i posiada grubsze ogony niż rozkład normalny, którego kurtoza wynosi 0. Powyższe charakterystyki widoczne są również na przedstawionym histogramie.

16 HISTOGRAM Z DOPASOWANYM ROZKŁADEM NORMALNYM

17 TESTY NORMALNOŚCI BEZWARUNKOWEGO ROZKŁADU STÓP ZWROTU CEN ZŁOTA. Test Wartość statystyki testowej p-value Doornika-Hansena 1065,79 3,6826e-232 Shapiro-Wilka 0, ,84113e-030 Lillieforsa 0, Jarque'a-Bera 3236,9 0

18 Z przedstawionych wyników, patrząc na wartość p-value wnioskujemy, że dla każdego z testów na poziomie istotności 0,05 lub 0,01 należy odrzucić hipotezę zerową mowiącą o tym, że rozkład ten jest normalny. Graficznie możemy zauważyć to analizując wykres kwantylkwantyl, na którym porównane są kwantyle empiryczne rozkładu stóp zwrotu cen złota oraz kwantyle teoretyczne rozkładu normalnego. Zobaczymy znacznie odchylone kwantyle empiryczne od prostej.

19 WYKRES KWANTYL-KWANTYL DZIENNYCH STÓP ZWROTU CEN ZŁOTA

20 AUTOKORELACJA DLA STÓP ZWROTU

21 AUTOKORELACJA CZĘSCIOWA DLA STÓP ZWROTU

22 AUTOKORELACJA DLA KWADRATÓW STÓP ZWROTU

23 AUTOKORELACJA CZĘŚCIOWA DLA KWADRATÓW STÓP ZWROTU

24 Patrząc na wykresy autokorelacji i autokorelacji częściowej wnioskujemy, że zjawisko autokorelacji prawie nie występuje dla szeregów stóp zwrotu, lecz zaobserwować możemy je bardzo silne w przypadku ich kwadratów.

25 SZEREGI CZASOWE- TESTOWANIE EFEKTU ARCH: Wiemy, że dzienne stopy zwrotu instrumentów finansowych przejawiają zjawisko heteroskedastyczności warunkowej, czyli skupianie się zmienności w poszczególnych okresach. Aby sprawdzić czy zwroty z danego instrumentu mają własność grupowania wariancji, stosujemy test Engle a efektu ARCH.

26 SZEREGI CZASOWE- TESTOWANIE EFEKTU ARCH: H0: mówi o braku występowania efektu ARCH H1: badany efekt występuje Efekt ARCH Statystyka p-value Statystyka p-value Statystyka p-value 73,6039 2,2E ,5796 2,2E ,1944 2,2E-16 Wniosek z przeprowadzonego testu: w szeregu stóp zwrotu występuje zjawisko grupowania się zmienności.

27 Dane zachowują się tak jak trzeba. Dobre dane

28 PARAMETRYCZNA METODA SZACOWANIA VAR-U: MODELE ARCH I GARCH Jedną z cech typowych dla finansowych szeregów czasowych jest tzw. grupowane wariancji. W celu wykorzystania tego zjawiska w modelowaniu zmiennych finansowych skonstruowano modele ARCH, później GARCH. Autorem modeli typu ARCH jest Robert F. Engle

29 MODELE GARCH Model GARCH, wprowadzony przez Bollersleva [1986]. z t = ε t h t Funkcja wariancji warunkowej ma postać: h t = α 0 + S i=1 2 α i z t i Q + γ j h t j j=1 Zakłada się, że wyraz wolny jest dodatni, a pozostałe parametry nieujemne. W szczególności model GARCH(1,1) ma postać: 2 h t = α 0 + α 1 z t 1 + γ 1 h t 1

30 MODEL GJRGARCH q h t = α 0 + [α i I,0 z t i + α + 2 i I 0,+ z t i ]z t i i=1 Co można również zapisać w postaci innej parametryzacji: q h t = α 0 + [α 2 i I,0 z t i + α i ]z t i i=1 (Glosten-Jagannathan-Runkle) p + γ j j=1 p + γ j j=1 h t j Wówczas parametr α i świadczy o większej zmienności w przypadku zwrotów ujemnych. W szczególności model GJRGARCH(1,1) ma postać: h t j h t = α 0 + α 1 I,0 2 2 z t 1 z t 1 + α 1 z t 1 + γ 1 h t 1

31 MODELE GARCH Równanie warunkowej wariancji uzależnia zmienność od jej wartości z przeszłości oraz od wartości zaobserwowanych kwadratów stóp zwrotu. Parametry γ i decydują o tym, jaki wpływ na zmienność mają nowe napływające informacje zawarte w kwadratach z 2 t i. Parametry δ charakteryzują tę część dynamiki, która obrazuje oczekiwania rynku dotyczące tego, że proces zmienności będzie przebiegał w przyszłości podobnie jak dotychczas.

32 MODELE ARCH I GARCH Estymacji parametrów modeli ARCH i GARCH dokonuje się najczęściej metodą największej wiarygodności. Przystępując do estymacji MNW należy założyć rozkład składnika losowego. Najczęściej przyjmuje się, ze ma on rozkład normalny lub t-studenta (symetryczny lub skośny).

33 ESTYMACJA MODELI Początkowo oszacowanych zostało 8 modeli: AR(1)-GARCH(1,1) oraz AR(1)-GJRGARCH(1,1), każdy z 4 rozkładami warunkowymi: Normalnym T-studenta Skośnym normalnym Skośnym t-studenta

34 Opis: WYNIKI ESTYMACJI MODELI Stóp zwrotu jest 3000, VaR chcę estymować 1500 razy, zatem: Pierwsza estymacja modelu po 1500 obserwacjach Po każdej nowej obserwacji (stopie zwrotu) estymuję model jeszcze raz i na podstawie nowego modelu obliczam kolejny VaR Działania przeprowadzone dla każdego z 8 modeli. (wykonanie za pomocą kodu napisanego w programie R) Przedstawione wyniki estymacji są to rezultaty otrzymane po pierwszych 1500 obserwacjach.

35 WYSTĘPOWANIE EFEKTU DZWIGNI Modelem który sprawdza efekt dźwigni jest model GJRGARCH. Kształtowanie się wyników estymacji dla poszczególnych specyfikacji modelu: Rodzaj rozkładu warunkowego: estymacja błąd estymacji wartość statystyki p-value normalny -0,0499 0,0103-4,8349 0, studenta -0,0557 0,0124-4,4789 0, skośny normalny -0,0476 0,0101-4,7026 0, skośny studenta -0,0531 0,0121-4,3912 0, Patrząc na p-value stwierdzamy, że występowanie efektu dzwigni, gdyż w każdym z przypadków parametr za niego odpowiedzialny jest istotnie różny od zera.

36 PORÓWNANIE MODELI/WYBÓR MODELU: Chcąc wybrać model, na którego podstawie będziemy liczyli VaR, kierujemy się kryteriami informacyjnymi: Akaike i Schwarza. Im niższa wartość danego kryterium, tym model lepiej dopasowany do danych. Najpierw sprawdżmy wartość poszczególnych kryteriów dla pierwszej estymacji. Model AIC SCHWARZ GARCH, normalny 2,8795 2,8973 GARCH, studenta 2,8548 2,876 GARCH, sk. norm 2,8718 2,893 GARCH, sk. std 2,8515 2,8763 GJRGARCH, normalny 2,8678 2,8891 GJRGARCH, studenta 2,8436 2,8684 GJRGARCH, sk. norm 2,8608 2,8856 GJRGARCH, sk. std 2,8408 2,8692

37 PORÓWNANIE MODELI/WYBÓR MODELU: Wybór modelu na podstawie tylko pierwszej estymacji, w sytuacji gdy dysponujemy 1500 estymacjami wydaje się nie być najlepszym wyborem. Sprawdziłam zatem, który z modeli najczęściej okazywał się być tym o najniższej wartości poszczególnych kryteriów. Wyniki zaprezentowane zostaną za pomocą wykresów. Wszystkie modele podzieliłam na 2 grupy: 1. Modele AR(1)-GARCH(1,1) 2. Modele AR(1)-GJRGARCH(1,1)

38 AR(1)-GARCH(1,1) PORÓWNANIE KRYTERIUM AKAIKE 3,35 3,3 3,25 3,2 3,15 3,1 3,05 3 2,95 2,9 norm skośny norm. studenta skośny st. 2,

39 AR(1)-GJRGARCH(1,1) PORÓWNANIE KRYTERIUM AKAIKE 3,35 3,3 3,25 3,2 3,15 3,1 3,05 3 2,95 norm skośny norm. studenta skośny st. 2,9 2,

40 AR(1)-GARCH(1,1) PORÓWNANIE KRYTERIUM SCHWARZA 3,35 3,3 3,25 3,2 3,15 3,1 3,05 3 2,95 norm skośny norm. studenta skośny st. 2,9 2,

41 AR(1)-GJRGARCH(1,1) PORÓWNANIE KRYTERIUM SCHWARZA 3,35 3,3 3,25 3,2 3,15 3,1 3,05 3 2,95 norm skośny norm. studenta skośny st. 2,9 2,

42 TABELA PODSUMOWUJĄCA KRYTERIA INFORMACYJNE Numery w tabeli oznaczają ile razy dany model był najlepiej dopasowany do danych. Model AIC SCHWARZ GARCH, normalny 0 0 GARCH, studenta GARCH, sk. norm 0 0 GARCH, sk. std GJRGARCH, normalny 0 0 GJRGARCH, studenta GJRGARCH, sk. norm 0 0 GJRGARCH, sk. std

43 KRYTERIA INFORMACYJNE- PODSUMOWANIE Kryterium Akaike jednoznacznie określa model GJRGARCH z warunkowym rozkładem skośnym studenta jako najlepiej dopasowany do danych. Kryterium Schwarza nie jest już tak jednoznaczne w ocenie, co prawda największą ilość razy najlepsza okazała się ta sama specyfikacja którą wybiera wyżej przedstawione kryterium, jednak model GARCH z warunkowym rozkładem skośnym studenta wybierany jest jako najlepszy podobną ilość razy. Z tego powodu do estymacji wartości zagrożonej wybrałam dwa modele z tym samym rozkładem warunkowym.

44 Jest, coś jest. Liczy się. Sprawdźmy dalej.

45 EFEKT ARCH Podobnie jak w przypadku kryteriów informacyjnych sprawdzimy występowanie efektu arch 2 etapowo: najpierw dla pierwszej estymacji po 1500 obserwacjach, następnie zobaczymy jak wartość p-value kształtowała się we wszystkich 1500 estymacjach.

46 EFEKT ARCH Wyniki po pierwszej estymacji: Model Efekt ARCH Statystyka p-value Statystyka p-value Statystyka p-value GARCH, sk. std 2,0140 0,3653 3,2600 0,6600 4,9530 0,8943 GJRGARCH, sk. std 2,3830 0,3038 3,3370 0,6482 5,6850 0,8410 Każdy z wybranych modeli zarówno na poziomie istotności 0,05 jak i 0,01 utrzymuje hipotezę zerową o braku występowania efektu ARCH 2, 5 oraz 10.

47 EFEKT ARCH Kształtowanie się p-value dla testowania efektu arch w przypadku wszystkich estymacji, dla 2 wybranych modeli, przedstawię za pomocą wykresów. Pamiętajmy, że małe wartości p-value działaja przeciw hipotezie zerowej, mówiącej o tym, że efekt arch nie występuje. W przypadku wyestymowanego modelu spodziewamy się braku występowania tego efektu.

48 1,00 EFEKT ARCH AR(1)-GARCH(1,1) Z WARUNKOWYM SKOŚNYM ROZKŁADEM T-STUDENTA 0,80 0,60 0,40 0,20 poziom istotnosci ARCH.2.p.value 0, ,00 0,80 0,60 0,40 0,20 poziom istotnosci ARCH.5.p.value 0,

49 EFEKT ARCH AR(1)-GARCH(1,1) Z WARUNKOWYM SKOŚNYM ROZKŁADEM T-STUDENTA 1,10 0,90 0,70 poziom istotnosci ARCH.10.p.value 0,50 0,30 0,10-0,

50 EFEKT ARCH AR(1)-GJRGARCH(1,1) Z WARUNKOWYM SKOŚNYM ROZKŁADEM T-STUDENTA 1,00 0,80 0,60 poziom istotnosci ARCH.2.p.value 0,40 0,20 0, ,00 0,80 0,60 poziom istotnosci ARCH.5.p.value 0,40 0,20 0,

51 EFEKT ARCH AR(1)-GJRGARCH(1,1) Z WARUNKOWYM SKOŚNYM ROZKŁADEM T-STUDENTA 1,10 0,90 0,70 0,50 poziom istotnosci ARCH.10.p.value 0,30 0,10-0,

52 No nie, jak to tak Więc sprawdzałam czy nie powstał gdzieś błąd, czy może pomyliłam się w którymś miejscu. Ale nie

53 MOŻE WYŻSZY STOPIEŃ MODELU? GARCH(1,2), MOŻE GARCH(2,1)? Sprawdzałam na początku te modele, które wg kryteriów informacyjnych były najlepiej dopasowane do danych. We wszystkich przypadkach wybierane były GARCH i GJRGARCH z warunkowym rozkładem skośnym studenta.

54 MOŻE WYŻSZY STOPIEŃ MODELU? GARCH(1,2), MOŻE GARCH(2,1)? Dla każdego z badanych przypadków wykres badający występowanie efektu ARCH wyglądał podobnie, w tym samym miejscu zawsze zaczyna się występowanie nieporządanego efektu. 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,

55 SPRAWDZENIE WSZYSTKICH 24 MODELI? Sprawdziłam, po kolei w każdym ze stopni dla GARCH i GJRGARCH, ze wszystkimi rozkładami warunkowymi. Co się okazało?

56 Modele z warunkowym rozkładem normalnym lub skośnym normalnym wykazywały brak efektu ARCH lub był on obecny tylko w kilku obserwacjach. Dla każdego z poziomów GARCH i GJRGARCH ( (1,1), (1,2), (2,1)), wykresy wyglądały praktycznie identycznie. 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, poziom istotnosci ARCH.2.p.value

57 1,20 1,00 0,80 0,60 poziom istotnosci ARCH.5.p.value 0,40 0,20 0, ,20 1,00 0,80 poziom istotnosci ARCH.10.p.value 0,60 0,40 0,20 0,

58 Nie możemy wnioskować na podstawie modeli, które, wg kryteriów informacyjnych oceniających nam jakość dopasowania modelu do danych, są złe. Spróbujmy zatem wyjaśnić czemu estymowane modele nie wyeliminowały efektu arch.

59 EFEKT ARCH Jak widzimy tylko końcowe estymacje wykazują jego występowanie. Jest to sytuacja dość nietypowa, ponieważ badamy tylko jeden szereg cen, dokładniej stóp zwrotu, tylko jednego waloru. W takich przypadkach modele AR(1)-GARCH(1,1) z odpowiednio dobranym rozkładem warunkowym, zazwyczaj dobrze radzą sobie z eliminacją efektu arch. Model zaczyna wykazywać występowanie efektu ARCH od r. Warto zwrócić uwagę na to, jak wówczas kształtowały się ceny złota: ,28 0, ,8-5, ,91-9, ,64 1, ,17 0,621312

60 ,28 0, ,8-5, ,91-9, ,64 1, ,17 0, Widać, że logarytmiczna stopa zwrotu w pełnych punktach procentowych wyliczona na roku jest wyjątkowo niska, jest to jednocześnie minimum z całego szeregu stóp zwrotu. Obserwowaliśmy bardzo duże, największe w całym badanym okresie, spadki cen od do Pamiętajmy, że szacujemy model na biorąc za podstawę estymacji 1500 stóp zwrotu do

61 Warto zwrócić uwagę na fakt, że w końcowej części obserwowanego szeregu cen złota, wykres zmienia trend: z rosnącego na malejący , ,34 cena

62 EFEKT ARCH-CZEMU ON JEST? Opisane przyczyny, mianowicie: bardzo duży spadek cen w okresie przed r oraz to, że od tego momentu trend kształtowania się cen zmienia swój kierunek z rosnącego na malejący, mogą być przyczynami występowania efektu arch w końcowej części obserwacji. Oznacza to również, że nasze modele nie wyjaśniają całej zmienności kształtowania się stóp zwrotu. Prawdopodobnie należałoby użyć modeli z dodatkową zmienną ukrytą. W trakcie ostatniego kryzysu w 2008 roku, złoto miało się dobrze, w czasie odradzania się, w sytuacji w miarę stabilnej an rynku, obserwujemy spadki.

63 WYBÓR MODELU Z 24 WYESTYMOWANYCH Celem jest wyliczenie wartości zagrożonej, dostępne mam nieidealnie dopasowane modele. Sprawdźmy zatem, czy uda się szacowanie VaRu na tym co mam. Kryterium Schwarza przy porównywaniu wszystkich modeli wybrało 2 modele, GARCH(1,1) i GJRGARCH(1,1) z warunkowymi rozkładami skośnymi studenta. Co ciekawe, ani razu za najlepszy nie uznało modelu wyższego rzędu.

64 KRYTERIUM SCHWARZA Model GARCH(1,1) norm 0 GARCH(1,1) std 147 GARCH(1,1) snorm 0 GARCH(1,1) std 539 GJRGARCH(1,1) norm 0 GJRGARCH(1,1) std 229 GJRGARCH(1,1) snorm 0 GJRGARCH(1,1) std 585 GARCH(1,2) norm 0 GARCH(1,2) std 0 GARCH(1,2) snorm 0 GARCH(1,2) std 0 GJRGARCH(1,2) norm 0 GJRGARCH(1,2) std 0 GJRGARCH(1,2) snorm 0 GJRGARCH(1,2) std 0

65 Aha, więc 16 nowych modeli tylko po to żeby wrócić do punktu wyjścia?

66 KRYTERIUM AKAIKE Za najlepsze, jednoznacznie, we wszystkich 1500 przypadkach, uznany został model GJRGARCH(2,1) z warunkowym skośnym rozkładem studenta.

67 VaR Sprawdzimy kształtowanie się wartości zagrożonej dla 3 modeli: AR(1)-GARCH(1,1) z warunkowym rozkładem skośnym studenta AR(1)-GJRGARCH(1,1) z warunkowym rozkładem skośnym studenta AR(1)-GJRGARCH(2,1) z warunkowym rozkładem skośnym studenta

68 12 VaR-WARTOŚĆ ZAGROŻONA. MODEL AR(1)-GARCH(1,1), r. skośny t-studenta stopy zwrotu VaR 0,01 VaR 0,

69 VaR-WARTOŚĆ ZAGROŻONA. MODEL AR(1)-GJRGARCH(1,1), r. skośny t-studenta Stopy zwrotu VaR 0,01 VaR 0,

70 VaR-WARTOŚĆ ZAGROŻONA. MODEL AR(1)-GJRGARCH(2,1), r. skośny t-studenta Stopy zwrotu VaR 0,01 VaR 0,

71 0,5-0,5-1, VaR 0,01-2,5-3,5-4,5-5,5-6,5-7,5 GARCH(1,1) GJRGARCH(1,1) GJRGARCH(2,1) -8,5

72 VaR 0, GARCH(1,1) GJRGARCH(1,1) GJRGARCH(2,1) -6

73 VaR-WARTOŚĆ ZAGROŻONA. TEST KUPCA H0: Frakcja liczby przekroczeń jest równa zakładanemu poziomowi alfa. H1: Frakcja liczby przekroczeń nie jest równa zakładanemu poziomowi alfa. Oczekiwana liczba przekroczeń: α=0,01: 15 α=0,05: 75 Model AR(1)- GARCH(1,1), r.skośny t-student AR(1)- GJRGARCH(1,1), r.skośny t-student AR(1)- GJRGARCH(2,1), r.skośny t-student Poziom tolerancji α Liczba przekroczeń Frakcja przekroczeń Statystyka Test Kupca p-value 0, , , ,0540 0,4930 0,4826 0, ,0107 0,0659 0,7974 0, ,0607 3,3739 0,0662 0, ,0107 0,5696 0,4504 0, ,0607 3,3739 0,0662

74 VaR-WARTOŚĆ ZAGROŻONA. TEST KUPCA Patrząc na wartości p-value dla testu Kupca widzimy, że wszystkie z wybranych modeli nadają się do szacowania wartości zagrożonej.

75 NIKT TAK NAPRAWDĘ NIE ROZUMIE CEN ZŁOTA Dziękuję za uwagę!

76