Wkażdym doświadczeniu losowym można wyróżnić

Transkrypt

1 Wkażdym doświadczeniu losowym można wyróżnić pewne najprostsze, elementarne wyniki(zdarzenia), charakteryzujące się tym, że każde powtórzenie doświadczenia kończy się jednym i tylko jednym z nich. Oprócz zdarzeń elementarnych można rozpatrywać również inne zdarzenia złożone. Niech Ω będzie dowolną przestrzenią lub zbiorem punktów ω. Przestrzeń Ω nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy ω nazywają się zdarzeniami elementarnymi. Są to pojęcia pierwotne. Zdarzeniem losowym(zdarzeniem) nazywamy każdy podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω.

2 Będziemy mówili, że zaszło zdarzenie A, gdy w wyniku doświadczenia losowego wybrano w przestrzeni Ω element ω A. Zdarzenia losowe oznaczamy zawsze wielkimi literami, najczęściej z początkualfabetu: A,B,C,... Przykład(rzut monetą symetryczną) Możliwesądwazdarzeniaelementarne:O(ω 1 )ir(ω 2 ).Zatem Ω = {ω 1,ω 2 }. Przykład(rzut kością symetryczną) Wtymdoświadczeniu Ω = {ω 1,ω 2...,ω 6 }.Zdarzeniewypadła parzystaliczbaoczek(zdarzeniezłożone)to, A = {ω 2,ω 4,ω 6 }.

3 Będziemy mówili, że zaszło zdarzenie A, gdy w wyniku doświadczenia losowego wybrano w przestrzeni Ω element ω A. Zdarzenia losowe oznaczamy zawsze wielkimi literami, najczęściej z początkualfabetu: A,B,C,... Przykład(rzut monetą symetryczną) Możliwesądwazdarzeniaelementarne:O(ω 1 )ir(ω 2 ).Zatem Ω = {ω 1,ω 2 }. Przykład(rzut kością symetryczną) Wtymdoświadczeniu Ω = {ω 1,ω 2...,ω 6 }.Zdarzeniewypadła parzystaliczbaoczek(zdarzeniezłożone)to, A = {ω 2,ω 4,ω 6 }.

4 Będziemy mówili, że zaszło zdarzenie A, gdy w wyniku doświadczenia losowego wybrano w przestrzeni Ω element ω A. Zdarzenia losowe oznaczamy zawsze wielkimi literami, najczęściej z początkualfabetu: A,B,C,... Przykład(rzut monetą symetryczną) Możliwesądwazdarzeniaelementarne:O(ω 1 )ir(ω 2 ).Zatem Ω = {ω 1,ω 2 }. Przykład(rzut kością symetryczną) Wtymdoświadczeniu Ω = {ω 1,ω 2...,ω 6 }.Zdarzeniewypadła parzystaliczbaoczek(zdarzeniezłożone)to, A = {ω 2,ω 4,ω 6 }.

5 Przykład(n-krotny rzut monetą symetryczną) Każdemu wynikowi odpowiada n-elementowy ciąg np. OOORROO. Zatem zbiór Ω składa się ze wszystkich możliwych n-elementowych ciągówtejpostaci.oczywiścietakichciągówjest2 n. Przykład(praca centrali telefonicznej) Obserwujemy pracę centrali telefonicznej w pewnym ustalonym odcinku czasu i notujemy liczbę zgłoszeń. Oczywiście ta liczba jest skończona, ale nie wiemy jaka jest jej górna granica. W takiej sytuacji prościej jest przyjąć, że wynikami obserwacji mogą być wszystkieliczbynaturalne.zatem Ω = {0,1,2,...}.

6 Przykład(n-krotny rzut monetą symetryczną) Każdemu wynikowi odpowiada n-elementowy ciąg np. OOORROO. Zatem zbiór Ω składa się ze wszystkich możliwych n-elementowych ciągówtejpostaci.oczywiścietakichciągówjest2 n. Przykład(praca centrali telefonicznej) Obserwujemy pracę centrali telefonicznej w pewnym ustalonym odcinku czasu i notujemy liczbę zgłoszeń. Oczywiście ta liczba jest skończona, ale nie wiemy jaka jest jej górna granica. W takiej sytuacji prościej jest przyjąć, że wynikami obserwacji mogą być wszystkieliczbynaturalne.zatem Ω = {0,1,2,...}.

7 Przykład(strzelanie do tarczy) Strzelamy do tarczy prostokątnej w układzie współrzędnych i każdemu strzałowi przyporządkowujemy współrzędne na tarczy. Wówczas zbiór zdarzeń elementarnych stanowi cała płaszczyzna Ω = {(x,y) : < x <, < y < }, gdzie x, y są liczbami rzeczywistymi.

8 Przykład(ruchy Browna) Obserwujemy pod mikroskopem ruch cząstki zawiesiny podlegającej dużej liczbie uderzeń przez cząsteczki ośrodka. Obserwację prowadzimy w przedziale czasu [0, T]. W wyniku uzyskujemy trajektorie ruchu cząstek. Jeśli teraz interesuje nas przemieszczanie się cząstki w zadanym kierunku, to jej położenie określonejestprzezwspółrzędną x(t) t [0,T].Wtakiejsytuacji przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem funkcji rzeczywistych określonych na przedziale [0, T] Ω = {x(t), t [0,T]}.

9 Zgodnie z definicją zdarzenia utożsamiamy ze zbiorami, zatem wszelkie wiadomości dotyczące zbiorów można przenieść na zdarzenia. W szczególności na zdarzeniach można wykonywać takie same działania jak na zbiorach. Zdarzeniem pewnym nazywamy całą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω. Zdarzeniem niemożliwym nazywamy podzbiór pusty przestrzeni Ω. Zdarzenie A jest zatem pewne jeśli zachodzi przy każdej realizacji rozpatrywanego doświadczenia. Natomiast jest niemożliwe, jeżeli nie zachodzi przy żadnej realizacji doświadczenia.

10 Mówimy, że zdarzenie A jest zawarte w zdarzeniu B, co zapisujemy A B, jeżeli każe zdarzenie elementarne należące do A należy także do B. Mówimy,żezdarzenia Aoraz Bsąrówne,jeżeli A Bi B A. Piszemy A = B.

11 Mówimy, że zdarzenie A jest zawarte w zdarzeniu B, co zapisujemy A B, jeżeli każe zdarzenie elementarne należące do A należy także do B. Mówimy,żezdarzenia Aoraz Bsąrówne,jeżeli A Bi B A. Piszemy A = B.

12 Zdarzenie A, zawierające wszystkie zdarzenia należące do ciągu zdarzeń A 1,A 2,...nazywamyalternatywą(sumą)zdarzeń A 1,A 2,...ioznaczmy A = A 1 A 2... = A i. Zdarzenie A, zawierające zdarzenia należące do każdego zdarzenia zciąguzdarzeń A 1,A 2,...nazywamykoniunkcją(iloczynem) zdarzeń A 1,A 2,...ioznaczmy A = A 1 A 2... = i=1 A i. i=1

13 Zdarzenie A, zawierające wszystkie zdarzenia należące do ciągu zdarzeń A 1,A 2,...nazywamyalternatywą(sumą)zdarzeń A 1,A 2,...ioznaczmy A = A 1 A 2... = A i. Zdarzenie A, zawierające zdarzenia należące do każdego zdarzenia zciąguzdarzeń A 1,A 2,...nazywamykoniunkcją(iloczynem) zdarzeń A 1,A 2,...ioznaczmy A = A 1 A 2... = i=1 A i. i=1

14 Zdarzenie A zawierające te i tylko te zdarzenia elementarne, które należądozdarzenia A 1,alenienależądozdarzenia A 2,nazywamy różnicązdarzeń A 1 i A 2.Piszemy: A = A 1 \A 2. Różnicę zdarzeń Ω\A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A(dopełnieniemzdarzenia A)ioznaczamy A (A C lub Ā).

15 Zdarzenie A zawierające te i tylko te zdarzenia elementarne, które należądozdarzenia A 1,alenienależądozdarzenia A 2,nazywamy różnicązdarzeń A 1 i A 2.Piszemy: A = A 1 \A 2. Różnicę zdarzeń Ω\A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A(dopełnieniemzdarzenia A)ioznaczamy A (A C lub Ā).

16 Mówimy, że zdarzenia A i B się wykluczają(wyłączają), jeżeli nie mają żadnego wspólnego elementu przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω,tzn.jeżeli A B = Mówimy,żezdarzenia A 1,A 2,...,A n tworząukładzupełny zdarzeń, jeżeli wykluczają się parami i ich suma jest zdarzeniem pewnym tj. n A i = Ω, i=1 A i A j =,dla i j, i,j =1,2,...,n.

17 Mówimy, że zdarzenia A i B się wykluczają(wyłączają), jeżeli nie mają żadnego wspólnego elementu przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω,tzn.jeżeli A B = Mówimy,żezdarzenia A 1,A 2,...,A n tworząukładzupełny zdarzeń, jeżeli wykluczają się parami i ich suma jest zdarzeniem pewnym tj. n A i = Ω, i=1 A i A j =,dla i j, i,j =1,2,...,n.

18 Rysunek: Zupełny układ zdarzeń.

19 Przykład(AZ1) Niech A,B,Cbędąpewnymizdarzeniamiwprzestrzeni Ω.Za pomocą działań na zbiorach wyrazić następujące zdarzenie D: a) zaszło tylko zdarzenie A, b)przeciwnedo niezaszłoani Aani B, c) zaszły dokładnie dwa ze zdarzeń, d) zaszły nie więcej niż dwa zdarzenia.

20 Przykład(AZ2) Czterechgraczy N,S,E,Wgrawbrydża.Oznaczmyprzez N k (k =1,2,3,4)zdarzeniepolegającenatym,żegracz Nmaco najmniej kasów.oznaczmy S k,e k,w k analogiczniezdarzeniadla graczy S,Ei W.Ileasówmagracz W,gdyzachodzizdarzenie: a) W 1, b) N 2 S 2, c) N 1 S 1 E 1, d) W 2 \W 3.

21 Do tej pory nadaliśmy zdarzeniom losowym postać abstrakcyjnych zbiorów. Jest to pierwszy etap budowy rachunku prawdopodobieństwa jako teorii aksjomatycznej. Teraz należy tym zdarzeniom przypisać prawdopodobieństwo, które byłoby teoretycznym odpowiednikiem obserwowalnej częstości zachodzenia tego zdarzenia przy dużej liczbie powtórzeń doświadczenia losowego. Niestety nie zawsze da się to zrobić. Z taką sytuacją mamy do czynienia w przypadku zbiorów niemierzalnych. Z tego powodu w każdej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω będziemy wyróżniać pewną klasę F zdarzeń, dla których określimy prawdopodobieństwo. Zdarzenia te będziemy nazywali zdarzeniami probabilizowalnymi. Zdarzenia nie należące do tej klasy nazwiemy natomiast zdarzaniami nieprobabilizowalnymi.

22 Jakiezatemwarunkimusispełniaćklasa F,abybyłsensuznaćją za klasę zdarzeń probabilizowalnych. Oczywiście jeśli chcemy mówić o prawdopodobieństwie jakiegoś zdarzenia A(tzn. A F), to musi mieć sens również mówienie o prawdopodobieństwie zdarzeniaprzeciwnego(a F).Podobniejeślichcemymówićo prawdopodobieństwiezdarzeń AiB(tzn. A,B F),tomusimy móc również mówić o prawdopodobieństwie ich alternatywy, koniunkcjiiróżnicy(a B F, A B F, A\B F).Niestety jak się już przekonaliśmy w pewnych sytuacjach mamy do czynienia z nieskończonymi ciągami zdarzeń, zatem dla nich też musimy móc określać prawdopodobieństwa alternatywy i koniunkcji.

23 Niepusta klasa F podzbiorów zbioru Ω nazywa się σ-algebrą (σ-ciałem) zbiorów, jeżeli spełnia następujące warunki: 1 o Ω F, 2 o jeżeli A i F,dla n =1,2,...,to A i F, 3 o jeżeli A F,to A F. i=1 Twierdzenie Każda σ-algebra zbiorów F ma następujące własności: 4 o F, 5 o jeżeli A i F,dla n =1,2,...,to A i F, 6 o jeżeli A,B F,to A\B F. i=1

24 Niepusta klasa F podzbiorów zbioru Ω nazywa się σ-algebrą (σ-ciałem) zbiorów, jeżeli spełnia następujące warunki: 1 o Ω F, 2 o jeżeli A i F,dla n =1,2,...,to A i F, 3 o jeżeli A F,to A F. i=1 Twierdzenie Każda σ-algebra zbiorów F ma następujące własności: 4 o F, 5 o jeżeli A i F,dla n =1,2,...,to A i F, 6 o jeżeli A,B F,to A\B F. i=1

25 Dowolne co najwyżej przeliczalne działania mnogościowe wykonywane na zbiorach σ-algebry F dają w wyniku zbiór również należący do σ-algebry F. Przestrzeń Ω wraz z σ-algebrą F jej podzbiorów nazywamy przestrzenią mierzalną i oznaczmy (Ω, F).

26 Dowolne co najwyżej przeliczalne działania mnogościowe wykonywane na zbiorach σ-algebry F dają w wyniku zbiór również należący do σ-algebry F. Przestrzeń Ω wraz z σ-algebrą F jej podzbiorów nazywamy przestrzenią mierzalną i oznaczmy (Ω, F).

27 Kolejne pytanie jakie powstaje, to jaką σ-algebrę wybrać. Należy rozróżnić dwa przypadki: przestrzeń zdarzeń Ω jest co najwyżej przeliczalna, przestrzeń zdarzeń Ω jest nieprzeliczalna.

28 W tej pierwszej sytuacji jako σ-algebrę przyjmuje się klasę wszystkichzdarzeń,oznaczaną2 Ω.Wconajwyżejprzeliczalnych przestrzeniach nie ma zatem zdarzeń nieprobabilizowalnych, każde zdarzenie ma prawdopodobieństwo. Zdarzenia takie pojawiają się dopiero nieprzeliczalnych przestrzeniach Ω. Z takich przestrzeni nieprzeliczalnych rozpatrywać będziemy jedynie podzbiory przestrzenieuklidesowych R k.wtakiejsytuacjiza σ-algebrę przyjmiemy klasę podzbiorów borelowskich przestrzeni Ω, oznaczaną B(R k ).

29 Klasę B(R) zbiorów borelowskich na prostej rzeczywistej można zdefiniować jako klasę wszystkich zbiorów, które można otrzymać z przedziałów otwartych(domkniętych, półotwartych) za pomocą co najwyżej przeliczalnej liczby operacji mnogościowych. W szczególności zbiorami borelowskimi są wszystkie przedziały postaci (a,b), [a,b], (a,b], [a,b), (,b), (,b], (a, ), [a, ), wszystkie zbiory jednopunktowe, wszystkie zbiory przeliczalne, wszystkie zbiory otwarte, wszystkie zbiory domknięte, cała prosta oraz zbiór pusty. Podobnie możemy zdefiniować klasę zbiorów borelowskich B(R 2 )napłaszczyźnie.jesttozatemklasa wszystkich zbiorów płaskich, które można otrzymać z prostokątów za pomocą co najwyżej przeliczalnej liczby operacji mnogościowych. Analogicznie postępujemy dla wyższych wymiarów. określa się tylko na zbiorach należących do σ-algebry. Dla pozostałych się go nie wyznacza.

30 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Weźmy pod uwagę ustaloną przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω wraz σ-algebrą F. Prawdopodobieństwem(miarą probabilistyczną, rozkładem prawdopodobieńśtwa) na przestrzeni mierzalnej (Ω, F) nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na zbiorach z F i spełniającą następujące aksjomaty: A1. P(A) 0,dlakażdego A F, A2. P(Ω) =1, A3.jeżeli (A n )jestciągiemtakichzdarzeńnależącychdo F,że A i A j =,dla i j,to P( A n ) = n=1 P(A n )(przeliczalnaaddytywność). n=1 Trójka (Ω, F, P) nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

31 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Wprowadzony układ aksjomatów jest niesprzeczny i niezupełny, tzn. nie wyznacza konkretnych wartości liczbowych funkcji P. Nie mówi zatem jak liczyć prawdopodobieństwo. ta jest bardzo ogólna, pozwala dla konkretnego eksperymentu rozpatrywać wiele różnych przestrzeni probabilistycznych. Przykład(rzut monetą symetryczną) Przeanalizujmy ponownie rzut monetą symetryczną. Przykład(rzut dwoma kośćmi) Przeanalizujmy doświadczenie polegające na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką.

32 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Wprowadzony układ aksjomatów jest niesprzeczny i niezupełny, tzn. nie wyznacza konkretnych wartości liczbowych funkcji P. Nie mówi zatem jak liczyć prawdopodobieństwo. ta jest bardzo ogólna, pozwala dla konkretnego eksperymentu rozpatrywać wiele różnych przestrzeni probabilistycznych. Przykład(rzut monetą symetryczną) Przeanalizujmy ponownie rzut monetą symetryczną. Przykład(rzut dwoma kośćmi) Przeanalizujmy doświadczenie polegające na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką.

33 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Wprowadzony układ aksjomatów jest niesprzeczny i niezupełny, tzn. nie wyznacza konkretnych wartości liczbowych funkcji P. Nie mówi zatem jak liczyć prawdopodobieństwo. ta jest bardzo ogólna, pozwala dla konkretnego eksperymentu rozpatrywać wiele różnych przestrzeni probabilistycznych. Przykład(rzut monetą symetryczną) Przeanalizujmy ponownie rzut monetą symetryczną. Przykład(rzut dwoma kośćmi) Przeanalizujmy doświadczenie polegające na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką.

34 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Widzimy, że zbiór Ω pełni rolę pomocniczą, natomiast główna informacja o eksperymencie zawarta jest w F oraz P. Oczywiście powstaje pytanie jakie wartości przyjąć za prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych. Należy je tak wybrać, aby w długich seriach n powtórzeń równały się one częstości pojawiania się konkretnych wyników. Powinniśmy kierować się zdrowym rozsądkiem, a nie ścisłością matematyczną. Z tego powodu niezupełność układu aksjomatów jest korzystna, pozwala tym samym zdarzeniom przyporządkować różne prawdopodobieństwa w zależności od konkretnej sytuacji. Podobnie ta sama przestrzeń probabilistyczna nadaje się do opisu różnych zjawisk, trzeba tylko odpowiednio interpretować zdarzenia elementarne i przypisać im prawdopodobieństwa.

35 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Zauważmy, że cały czas była mowa o przyporządkowywaniu prawdopodobieństw, a nie o ich obliczaniu. Teraz w oparciu o przyjęte aksjomaty udowodnimy szereg twierdzeń, które pozwolą na obliczanie prawdopodobieństw pewnych zdarzeń, gdy znane są prawdopodobieństwa innych zdarzeń. Oznacza to, że pewne prawdopodobieństwa mierzymy doświadczalnie, a pozostałe wyliczamy w oparciu o odpowiednie twierdzenia. Przestrzeń probabilistyczna stanowi formalny odpowiednik powszechnie stosowanego terminu doświadczenie losowe. Można powiedzieć, że stanowi ona model probabilistyczny doświadczenia losowego. Badaniem takich modeli zajmuje się rachunek prawdopodobieństwa. Wszystkie pokazywane twierdzenia dotyczą właśnie takich modeli, a nie rzeczywistych doświadczeń. Użyteczność modeli polega na tym, że jeśli znajdziemy prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia w modelu, to wiemy, że w długiej serii doświadczeń częstość zdarzenia będzie w przybliżeniu taka sama.

36 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Możemy zatem wyróżnić następujące etapy rozwiązywania zadania dotyczącego doświadczenia losowego: 1 Konstrukcja modelu probabilistycznego doświadczenia losowego, czyli przestrzeni probabilistycznej. 2 Rozwiązanie zadania w tym modelu(odpowiada on doświadczeniu). 3 Interpretacja rozwiązania otrzymanego z modelu do doświadczenia losowego. Tylko w etapie drugim potrzebna jest nam cała teoria prawdopodobieństwa. Najczęściej najtrudniejszy jest etap pierwszy, jest on zarazem najważniejszy.

37 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Twierdzenie Niech A,B,A n F.manastępujące własności: 1 jeśli A B,to P(A) P(B), 2 P(A) 1, 3 P(A ) =1 P(A), 4 P( ) =0, 5 P(B\A) = P(B) P(A B), 6 jeśli A B,to P(B\A) = P(B) P(A), 7 P(A B) = P(A)+P(B) P(A B), 8 P( A n ) P(A n )(nierównośćboole a). n=1 n=1

38 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przykład(WP1) Niech P(A) =3/4oraz P(B) =1/3.Pokazać,że 1/12 P(A B) 1/3. Analogicznie oszacować P(A B)? Przykład(WP2) Niech (A n )będzienieskończonymciągiemzdarzeńiniech P(A n ) =1dlakażdego n.pokazać,że P( A n ) =1. n=1

39 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przykład(WP1) Niech P(A) =3/4oraz P(B) =1/3.Pokazać,że 1/12 P(A B) 1/3. Analogicznie oszacować P(A B)? Przykład(WP2) Niech (A n )będzienieskończonymciągiemzdarzeńiniech P(A n ) =1dlakażdego n.pokazać,że P( A n ) =1. n=1

40 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przykład(WP3) Dane są P(A ) =1/3, P(A B) =1/4, P(A B) =2/3. Obliczyć P(B ), P(A B )ip(b\a).

41 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli zbiór zdarzeń jest co najwyżej przeliczalny, można podać prosty i intuicyjny opis wszystkich możliwych prawdopodobieństw. Twierdzenie Jeśli Ω = {ω 1,ω 2,...}jestzbioremprzeliczalnym,aF =2 Ω oraz P({ω i }) = p i, i =1,2,... p n =1, n=1 todladowolnego A Ωmamy P(A) = {n:ω n A} p n.

42 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Twierdzenie to mówi, że w tym przypadku prawdopodobieństwo jest jednoznacznie wyznaczone przez prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych.dlategokażdyciąg (p i )spełniającypowyższe warunki wyznacza prawdopodobieństwo na Ω. Układliczb p 1,p 2,...,gdzie p n 0oraz n=1 p n =1nazywasię dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa. Przykład(rzut monetą do pierwszego sukcesu) Rzucamy symetryczną monetą do chwili wyrzucenia orła. Skonstruować zbiór zdarzeń elementarnych i wybrać odpowiednie prawdopodobieństwo. Jaka jest szansa, że liczba rzutów będzie podzielna przez m?

43 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Twierdzenie to mówi, że w tym przypadku prawdopodobieństwo jest jednoznacznie wyznaczone przez prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych.dlategokażdyciąg (p i )spełniającypowyższe warunki wyznacza prawdopodobieństwo na Ω. Układliczb p 1,p 2,...,gdzie p n 0oraz n=1 p n =1nazywasię dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa. Przykład(rzut monetą do pierwszego sukcesu) Rzucamy symetryczną monetą do chwili wyrzucenia orła. Skonstruować zbiór zdarzeń elementarnych i wybrać odpowiednie prawdopodobieństwo. Jaka jest szansa, że liczba rzutów będzie podzielna przez m?

44 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Twierdzenie to mówi, że w tym przypadku prawdopodobieństwo jest jednoznacznie wyznaczone przez prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych.dlategokażdyciąg (p i )spełniającypowyższe warunki wyznacza prawdopodobieństwo na Ω. Układliczb p 1,p 2,...,gdzie p n 0oraz n=1 p n =1nazywasię dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa. Przykład(rzut monetą do pierwszego sukcesu) Rzucamy symetryczną monetą do chwili wyrzucenia orła. Skonstruować zbiór zdarzeń elementarnych i wybrać odpowiednie prawdopodobieństwo. Jaka jest szansa, że liczba rzutów będzie podzielna przez m?

45 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Niech Ωbędziezbioremskończonymiskładasięzn równoprawnych elementów. dowolnego zdarzenia losowego A Ω określa się wzorem P(A) = n(a) n(ω), gdzie n(a) oznacza liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu A.

46 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ta została podana przez Laplace a w 1812 roku. Jak widać określa ona prawdopodobieństwo za pomocą zdarzeń równoprawdopodobnych. Powstaje w ten sposób błędne koło. Nie należy więc używać tej definicji jako definicji prawdopodobieństwa, a jedynie jako metodę obliczania aksjomatycznie zdefiniowanego prawdopodobieństwa w pewnych sytuacjach. Klasyczna definicja może być stosowana jedynie do zbiorów skończonych. Ponadto jedynie do takich, których wyniki są jednakowo prawdopodobne.

47 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przykład(KDP1) Jakie jest prawdopodobieństwo w rzucie dwoma symetrycznymi kostkami sumy oczek podzielnej przez 5? Przykład(KDP2) Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dwóch par(ani fulla ani karety)podczasgrywpokerataliąskładającąsięz24kart?

48 Własności prawdopodobieństwa Dyskretna przestrzeń probabilistyczna Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przykład(KDP1) Jakie jest prawdopodobieństwo w rzucie dwoma symetrycznymi kostkami sumy oczek podzielnej przez 5? Przykład(KDP2) Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dwóch par(ani fulla ani karety)podczasgrywpokerataliąskładającąsięz24kart?

49 Przykład(punkt na odcinku) Dany jest przedział [0,1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0,1/3]? Dośćczęsto Ωjestpodzbiorem R n,naktórymistniejenaturalna miara(np. miara Lebesgue a), przy czym Ω ma miarę skończoną. Mówimy wtedy o prawdopodobieństwie geometrycznym, a rozwiązanie sprowadza się do znalezienia miary (pola,objętości)podzbioru R n.wiadomo,żejedynąmiarąbędącą uogólnieniem długości jest miara Lebesgue a(uogólnia znaną ze szkoły miarę Jordana długość, pole, objętość), zatem w dalszym rozważaniach taką właśnie miarę wybierzemy. Miarę Lebesgue azbioru A R n będziemyoznaczać λ n (A).

50 Przykład(punkt na odcinku) Dany jest przedział [0,1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0,1/3]? Dośćczęsto Ωjestpodzbiorem R n,naktórymistniejenaturalna miara(np. miara Lebesgue a), przy czym Ω ma miarę skończoną. Mówimy wtedy o prawdopodobieństwie geometrycznym, a rozwiązanie sprowadza się do znalezienia miary (pola,objętości)podzbioru R n.wiadomo,żejedynąmiarąbędącą uogólnieniem długości jest miara Lebesgue a(uogólnia znaną ze szkoły miarę Jordana długość, pole, objętość), zatem w dalszym rozważaniach taką właśnie miarę wybierzemy. Miarę Lebesgue azbioru A R n będziemyoznaczać λ n (A).

51 Niech Ω B(R n ),takim,że0 < λ n (Ω) < oraz F = B(Ω). dowolnego zdarzenia losowego A F definiujemy P(A) = λ n(a) λ n (Ω). Tak określone prawdopodobieństwo nazywamy geometrycznym.

52 Przykład(spotkanie) Dwóch przyjaciół, którzy razem jeżdżą tramwajem do pracy z tej samej stacji przychodzą na stację losowo pomiędzy godziną 7.00 a 7.20 rano. Osoba, która przyjdzie pierwsza, czeka na drugą maksymalnie 5 minut. Jaka jest szansa, że pojadą do pracy razem?

53 Przykład(igła Buffona) Wyobraźmy sobie planszę z zaznaczonymi na niej równoległymi liniami odległymi od siebie o d. Na planszę upuszczamy igłę o długości l(zakładamy, że l d). Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie jedną z linii?

54 Przykład(paradoks Bertranda) Z okręgu o promieniu R wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego wtenokrąg? Każda z odpowiedzi jest poprawna. Jakie jest zatem źródło paradoksu? Za każdym razem mamy do czynienia z inną przestrzenią Ω, jest różne pojęcie losowości w poszczególnych przypadkach. Przykład ten pokazuje jak ważne jest ścisłe określenia warunków doświadczenia losowego. Jak widzimy rachunek prawdopodobieństwa nie rozstrzyga jaką przestrzeń wybrać, on tylko daje narzędzia do wyznaczania prawdopodobieństwa, gdy znane są prawdopodobieństwa innych zdarzeń.

55 Przykład(paradoks Bertranda) Z okręgu o promieniu R wybrano losowo cięciwę. Jaka jest szansa, że będzie ona dłuższa od boku trójkąta równobocznego wpisanego wtenokrąg? Każda z odpowiedzi jest poprawna. Jakie jest zatem źródło paradoksu? Za każdym razem mamy do czynienia z inną przestrzenią Ω, jest różne pojęcie losowości w poszczególnych przypadkach. Przykład ten pokazuje jak ważne jest ścisłe określenia warunków doświadczenia losowego. Jak widzimy rachunek prawdopodobieństwa nie rozstrzyga jaką przestrzeń wybrać, on tylko daje narzędzia do wyznaczania prawdopodobieństwa, gdy znane są prawdopodobieństwa innych zdarzeń.