Prawdopodobieństwo geometryczne
|
|
- Magda Stasiak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 1/30
2 Doświadczenia losowe Doświadczenie losowe doświadczenie, którego wyniku nie da się z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych samych warunkach. Zbiór zdarzeń elementarnych zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω. Zdarzenia podzbiory zbioru Ω. Przykład 1. Rzucamy jeden raz monetą. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadł orzeł, tzn. A = {O}, zdarzenie B wypadł orzeł lub wypadła reszka, tzn. B = {O, R}. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 2/30
3 Doświadczenia losowe Doświadczenie losowe doświadczenie, którego wyniku nie da się z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych samych warunkach. Zbiór zdarzeń elementarnych zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω. Zdarzenia podzbiory zbioru Ω. Przykład 1. Rzucamy jeden raz monetą. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadł orzeł, tzn. A = {O}, zdarzenie B wypadł orzeł lub wypadła reszka, tzn. B = {O, R}. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 2/30
4 Doświadczenia losowe Przykład 2. Rzucamy jeden raz kostką do gry. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadła liczba parzysta, tzn. A = {2, 4, 6}, zdarzenie B wypadła liczba mniejsza od trzech, tzn. B = {1, 2}. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 3/30
5 Prawdopodobieństwo Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) [0, 1]. Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1]. Własności prawdopodobieństwa. Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami P(A) [0, 1], P(Ω) = 1, Jeżeli A B =, to P(A B) = P(A) + P(B). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 4/30
6 Prawdopodobieństwo Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) [0, 1]. Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1]. Własności prawdopodobieństwa. Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami P(A) [0, 1], P(Ω) = 1, Jeżeli A B =, to P(A B) = P(A) + P(B). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 4/30
7 Prawdopodobieństwo Przykład 1. Rzut monetą. Ω = {O, R}. Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy zazwyczaj następująco P({O}) = 1 2, P({R}) = 1 2. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 5/30
8 Prawdopodobieństwo Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy zazwyczaj następująco P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Korzystając z tego możemy obliczyć prawdopodobieństwa innych zdarzeń, np. P( wypadnie liczba parzysta ) = P({2, 4, 6}) = = P({2} {4} {6}) = = P({2}) + P({4}) + P({6}) = = = 1 2. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 6/30
9 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30
10 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30
11 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30
12 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30
13 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30
14 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30
15 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30
16 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30
17 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30
18 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30
19 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30
20 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30
21 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30
22 Problem Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Pytania: Jak wygląda zbiór zdarzeń elementarnych? Ile jest zdarzeń elementarnych? Ile wynosi prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia elementarnego? Czy możemy stosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa? Jak obliczać prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, np. P({x 1 2 }) = P({x > 1 4 }) = P({ 1 2 x < 3 4 }) = P({x = 1 3 }) = Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 9/30
23 Problem Odpowiedzi: Ω = [0, 1] Jest nieskończenie wiele zdarzeń elementarnych, Ω = +, P({x}) = 0 dla dowolnego x [0, 1], Nie możemy stosować klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Wynika z tego, że aby określić np. P({x 1 2 }) potrzebna jest inna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 10/30
24 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30
25 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30
26 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30
27 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30
28 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30
29 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30
30 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/30
31 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/30
32 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/30
33 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/30
34 Zadanie Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/30
35 Zadanie W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/30
36 Zadanie W koło wpisany jest kwadrat. Na koło rzucono losowo i niezależnie od siebie dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy z nich znajdzie się w kwadracie, a drugi w górnym odcinku koła. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/30
37 Zadanie Pan Kowalski przychodzi codziennie na przystanek w losowo wybranym momencie pomiędzy godziną 9, a 11. Autobus przyjeżdża o każdej pełnej godzinie. Tramwaj przyjeżdża 20 minut po każdej pełnej godzinie. Pan Kowalski zawsze wsiada w to co przyjedzie pierwsze. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pojedzie tramwajem? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 16/30
38 Zadanie Jaś i Małgosia umówili się, że spotkają się w parku pomiędzy godziną 17, a 18. Osoba, która przyjdzie pierwsza ma poczekać na drugą najwyżej 15 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Jaś i Małgosia spotkają się? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 17/30
39 Zadanie Na płaszczyźnie poprowadzono dwie rodziny prostych równoległych, które dzielą ją na prostokąty o bokach 5 cm i 8 cm. Na płaszczyznę rzucono losowo monetę o średnicy 2 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie przetnie ona żadnej z prostych? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 18/30
40 Zadanie Tarcza strzelecka o promieniu 10 cm podzielona jest na trzy koncentryczne pierścienie o promieniach 2 cm, 6 cm i 10 cm, za trafienie w które zdobywa się odpowiednio 1,2 i 3 punkty. Zakładamy, że strzelec zawsze trafia w tarczę i że robi to w sposób losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo zdobycia dwóch punktów w jednym strzale? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 19/30
41 Igła Buffona Problem. Wyobraźmy sobie planszę z zaznaczonymi na niej równoległymi liniami odległymi od siebie o d. Na planszę upuszczamy igłę o długości l (zakładamy, że l d). Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie jedną z linii? d l Problem ten sformułował w XVIII wieku francuski filozof, przyrodnik i matematyk Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon ( ). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 20/30
42 Igła Buffona Rozwiązanie. Niech x oznacza odległość środka igły od najbliższej linii, a α kąt ostry między igłą a linią. d l/2 α y x Zauważmy, że x [0, d/2], α [0, π/2] (tzn. α [0, 90 ]), y = l 2 sin(α), igła przetnie linię gdy x y tzn. gdy x l 2 sin(α). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/30
43 Igła Buffona Rozwiązanie. Niech x oznacza odległość środka igły od najbliższej linii, a α kąt ostry między igłą a linią. d l/2 α y x Zauważmy, że x [0, d/2], α [0, π/2] (tzn. α [0, 90 ]), y = l 2 sin(α), igła przetnie linię gdy x y tzn. gdy x l 2 sin(α). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/30
44 Igła Buffona Rozwiązanie. Niech x oznacza odległość środka igły od najbliższej linii, a α kąt ostry między igłą a linią. d l/2 α y x Zauważmy, że x [0, d/2], α [0, π/2] (tzn. α [0, 90 ]), y = l 2 sin(α), igła przetnie linię gdy x y tzn. gdy x l 2 sin(α). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/30
45 Igła Buffona Rozwiązanie. Niech x oznacza odległość środka igły od najbliższej linii, a α kąt ostry między igłą a linią. d l/2 α y x Zauważmy, że x [0, d/2], α [0, π/2] (tzn. α [0, 90 ]), y = l 2 sin(α), igła przetnie linię gdy x y tzn. gdy x l 2 sin(α). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/30
46 Igła Buffona Z poprzednich rozważań wynika, że odpowiednikiem losowego rzutu igły na planszę jest losowy wybór punktu z prostokąta o [0, π/2] [0, d/2]. Jeżeli wylosowany punkt leży pod krzywą x = l/2 sin(α), oznacza to, że igła przecięła linię, a jeżeli nad krzywą to, że jej nie przecięła. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 22/30
47 Igła Buffona Ponieważ wylosowanie dowolnego punktu z prostokąta [0, π/2] [0, d/2] jest jednakowo prawdopodobne, więc P({igła przetnie linię}) = Pole całego prostokąta wynosi oczywiście pole pod krzywą x = l/2 sin(α) pole prostokąta [0, π/2] [0, d/2] π 2 d 2 = πd 4. A jak obliczyć pole pod krzywą x = l/2 sin(α)? Dla znających rachunek całkowy jest oczywiste, że pole to wynosi: Stąd π/2 0 l 2 sin α dα = l 2 ( cos(π/2) ( cos(0))) = l 2 P({igła przetnie linię}) = l/2 (πd)/4 = 2l πd. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 23/30
48 Igła Buffona Ponieważ wylosowanie dowolnego punktu z prostokąta [0, π/2] [0, d/2] jest jednakowo prawdopodobne, więc P({igła przetnie linię}) = Pole całego prostokąta wynosi oczywiście pole pod krzywą x = l/2 sin(α) pole prostokąta [0, π/2] [0, d/2] π 2 d 2 = πd 4. A jak obliczyć pole pod krzywą x = l/2 sin(α)? Dla znających rachunek całkowy jest oczywiste, że pole to wynosi: Stąd π/2 0 l 2 sin α dα = l 2 ( cos(π/2) ( cos(0))) = l 2 P({igła przetnie linię}) = l/2 (πd)/4 = 2l πd. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 23/30
49 Igła Buffona Ponieważ wylosowanie dowolnego punktu z prostokąta [0, π/2] [0, d/2] jest jednakowo prawdopodobne, więc P({igła przetnie linię}) = Pole całego prostokąta wynosi oczywiście pole pod krzywą x = l/2 sin(α) pole prostokąta [0, π/2] [0, d/2] π 2 d 2 = πd 4. A jak obliczyć pole pod krzywą x = l/2 sin(α)? Dla znających rachunek całkowy jest oczywiste, że pole to wynosi: Stąd π/2 0 l 2 sin α dα = l 2 ( cos(π/2) ( cos(0))) = l 2 P({igła przetnie linię}) = l/2 (πd)/4 = 2l πd. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 23/30
50 Igła Buffona Ponieważ wylosowanie dowolnego punktu z prostokąta [0, π/2] [0, d/2] jest jednakowo prawdopodobne, więc P({igła przetnie linię}) = Pole całego prostokąta wynosi oczywiście pole pod krzywą x = l/2 sin(α) pole prostokąta [0, π/2] [0, d/2] π 2 d 2 = πd 4. A jak obliczyć pole pod krzywą x = l/2 sin(α)? Dla znających rachunek całkowy jest oczywiste, że pole to wynosi: Stąd π/2 0 l 2 sin α dα = l 2 ( cos(π/2) ( cos(0))) = l 2 P({igła przetnie linię}) = l/2 (πd)/4 = 2l πd. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 23/30
51 Jak obliczyć pole nie znając rachunku całkowego? Problem. Dana jest funkcja f : [a, b] R +. Jak obliczyć pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą y = f (x)? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 24/30
52 Obliczanie pól metodą Monte Carlo Wybieramy losowo N punktów z prostokąta [a, b] [0, Max] (N duże). r N liczba punktów, które znalazły się wewnątrz obszaru S, tzn. pod wykresem funkcji f (na rysunku zostały oznaczone kolorem czerwonym). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 25/30
53 Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 26/30
54 Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 26/30
55 Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 26/30
56 Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30
57 Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30
58 Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30
59 Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30
60 Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30
61 Igła Buffona Wynika stąd, że przy odpowiednio dużej liczbie rzutów igłą liczba 2lN r N d będzie dobrym przybliżeniem liczby π. Im większa liczba rzutów tym przybliżenie powinno być lepsze. W 1901 roku włoski matematyk Mario Lazzarini rzucił igłą 3408 razy i otrzymał bardzo dokładne przybliżenie liczby π π 355 3, Błąd występuje dopiero na 7 miejscu po przecinku. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 28/30
62 Igła Buffona Wynika stąd, że przy odpowiednio dużej liczbie rzutów igłą liczba 2lN r N d będzie dobrym przybliżeniem liczby π. Im większa liczba rzutów tym przybliżenie powinno być lepsze. W 1901 roku włoski matematyk Mario Lazzarini rzucił igłą 3408 razy i otrzymał bardzo dokładne przybliżenie liczby π π 355 3, Błąd występuje dopiero na 7 miejscu po przecinku. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 28/30
63 Metody Monte Carlo historia Metodami Monte Carlo nazywamy klasę metod, które do numerycznego rozwiązywania złożonych zagadnień wykorzystują komputerowe generowanie liczb pseudolosowych odpowiadających możliwym parametrom wejściowym badanego układu (opisanego modelem matematycznym). Metody Monte-Carlo stosowane są w różnych dziedzinach np. przy projektowaniu eksperymentów fizycznych (np. doświadczeń z cząstkami elementarnymi), modelowaniu procesów fizycznych (np. powstawania struktur we wszechświecie itp.), wyznaczania cen różnych instrumentów finansowych. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 29/30
64 Metody Monte Carlo historia Idee tej metody przedstawili w latach 40-tych XX wieku naukowcy pracujący w laboratorium w Los Alamos przy projekcie Manhattan Stanisław Ulam, John von Neumann, Enrico Fermi i Nicholas Metropolis. Nazwa pochodzi od słynnego kasyna w Monte Carlo, w którym podobno grywał często wujek Stanisława Ulama. Wielokrotne powtarzanie tych samych eksperymentów losowych można porównać do regularnego uczestnictwa w grach hazardowych. Takie symulacje losowe przeprowadzane były już wcześniej, ale służyły raczej do weryfikacji znanych rezultatów (uzyskanych innymi metodami), a nie do właściwego rozwiązywania problemów. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 30/30
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowo( 2) 6 III EDYCJA MIĘDZYSZKOLNEGO KONKURSU MATEMATYCZNEGO DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH O PROFILU ZAWODOWYM I TECHNICZNYM.
GRUPA WIEKOWA I część pierwsza Na rozwiązanie zadań masz godzinę lekcyjną Za kaŝde zadanie moŝesz zdobyć 1 punkt Wyznacz iloraz NWW (35,14) NWD(16,38) Zamień ułamek 0,(27) na ułamek zwykły Płaszcz z ceny
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoKujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 015 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoNie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R. Tomasz Suchocki
Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R Tomasz Suchocki Plan wykładu Metody Monte Carlo Jak bardzo można przybliżyć liczbę π? Całkowanie numeryczne R w Linuxie Tinn-R Metody Monte
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 18 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej liczby
Bardziej szczegółowo= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski
Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoMatematyka. dla. Egzamin. Czas pracy będzie
Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 Matematyka Poziom podstawowy Przykładowy zestaw zadań dla osób słabowidzących (A4) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 142395 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Które z podanych
Bardziej szczegółowoSpis treści. Definicje prawdopodobieństwa. Częstościowa definicja prawdopodobieństwa. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Definicje prawdopodobieństwa 1.1 Częstościowa definicja prawdopodobieństwa 1.1.1 Przykład 1.1.2 Rozwiązanie: 1.1.3 Inne rozwiązanie: 1.1.4 Jeszcze inne
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która
Bardziej szczegółowoIlustracja metody MONTE CARLO. obliczania całek podwójnych
Ilustracja metody MONTE CARLO obliczania całek podwójnych Często jest tak, iż wiemy, że istnieje całka oznaczona z funkcji f jednak nie potrafimy jej analitycznie policzyć. Konieczne jest wtedy zastosowanie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5
Bardziej szczegółowoNOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 4 czerwca 2019
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoZestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.
Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z
Bardziej szczegółowoMatura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3
Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ poziom podstawowy MATEMATYKA LUTY Instrukcja dla zdającego. Czas pracy: 170 minut
MATEMATYKA LUTY 04 Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach od do są podane 4 odpowiedzi: A, B,
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Pierwiastek równania
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 3 KWIETNIA 016 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 3 7 48 jest równa
Bardziej szczegółowoZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 h
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 162005 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Na rysunku przedstawiono
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM ROZSZERZONY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 18). 2. Rozwiązania zadań wpisuj
Bardziej szczegółowoMATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI
Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACUJNE Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT
WYMAGANIA EDUKACUJNE Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA System rzymski. Powtórzenie i utrwalenie umiejętności z zakresu podstawy
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY (TECHNIKUM) 7 MARCA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( 5 Liczba
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 80866 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przekrój osiowy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.0. Wstęp Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wstęp Dlaczego prawdopodobieństwo klasyczne nie wystarcza? Jak opisać grę w ruletkę,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 11 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej dodatniej
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A06 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Wartość wyrażenia 1 3 + 1 + 3
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 22 KWIETNIA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 2 8 7 3 6 7
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to
Bardziej szczegółowoW czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora.
Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 Matematyka Poziom rozszerzony Przykładowy zestaw zadań dla osób słabowidzących (A4) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
Bardziej szczegółowo