Praktyka optymalizacji w arkuszu kalkulacyjnym (moduł Praktyczne Problemy Optymalizacji)

Transkrypt

1 Adam Kucharski Praktyka optymalizacji w arkuszu kalkulacyjnym (moduł Praktyczne Problemy Optymalizacji) Zadanie 1 Podstawowym asortymentem pewnego zakładu są wyroby A i B. Zysk jednostkowy na tych wyrobach wynosi odpowiednio 100 i 300 zł. Minimalna wysokość produkcji wyrobu B wynosi 500 sztuk, a maksymalna wyrobu A to 3000 sztuk. Gdyby produkować tylko wyrób A wytworzono by 5000, a tylko wyrób B 2000 sztuk. Wyrobu A należy wytworzyć co najmniej dwa razy więcej niż B. Udział wyrobu B w ogólnej wielkości produkcji nie powinien przekroczyć 75%. Jednostkowy koszt wytworzenia obu wyrobów wynosi odpowiednio 50 i 20 zł zaś łączny koszt nie powinien być wyższy niż 100 tys. zł. Dyrekcja oczekuje, że osiągnięty zysk wyniesie przynajmniej 50 tys. zł. Do produkcji używa się dwóch surowców S1 i S2, których zapasy w magazynach wynoszą odpowiednio 29 i 56 ton. Aby wytworzyć jedną sztukę wyrobu A należy zużyć 2 kg surowca S1 i 3 kg surowca S2. Do wyprodukowania jednej sztuki wyrobu B potrzeba 5 kg surowca S1 i 1 kg surowca S2. Wymagane jest, aby zużyć co najmniej 5 ton surowca S1. Zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana. Zaplanować jakie ilości wyrobów A i B należy wyprodukować, aby osiągany zysk był maksymalny. Zadanie 2 (Miszczyński, Miszczyńska) Szef działu firmy DINO Co otrzymał zlecenie na przeprowadzenie kampanii reklamowej produktu X. Kampania ma zostać zrealizowana w celu oddziaływania na cztery grupy konsumenckie: nastolatki (N), młode małżeństwa (MM), konsumenci w średnim wieku (S) oraz renciści i emeryci (RE). Pod uwagę brane są cztery grupy środków masowego przekazu: prasa codzienna (D), internet (I), telewizja (TV) oraz radio (R). Sprzedaż w grupach konsumenckich powinna wzrosnąć odpowiednio: 45% w grupie N, 20% w grupie MM, 25% w grupie S oraz 10% w grupie RE przy dotychczasowej sprzedaży odpowiednio: zł w grupie N, zł w grupie MM, zł w grupie S oraz zł w grupie RE. Oszacowano efektywność oddziaływania danego środka przekazu na każdą z grup konsumenckich, którą podaj poniższa tabela (1 zł przyrostu sprzedaży na 1 zł wydatków na reklamę). D I TV R N 10,5 11,5 13,0 12,0 MM 12,0 12,5 12,0 11,0 S 13,0 13,0 12,5 12,5 RE 12,0 11,0 13,0 11,5 Koszt kampanii reklamowej nie może przekroczyć 4000 zł. 1

2 Zaplanować najtańszą kampanię reklamową wyrobu X tj. zminimalizować wydatki na reklamę w środkach masowego przekazu. Zadanie 3 Firma otrzymała bardzo pilną ofertę wyprodukowania 4 typów wytwarzanych z laminatu łodzi (oznaczonych jako wyroby A, B, C, D) w łącznej ilości nie mniejszej niż 500 sztuk i w terminie nie dłuższym niż 10 dni. Po analizie możliwości produkcyjnych okazało się, że firma może zgromadzić na ten cel zapas żywicy T, z którego można wykonać: 800 sztuk wyrobu A lub 540 sztuk wyrobu B, lub 465 sztuk wyrobu C, lub 270 sztuk wyrobu D. Do produkcji przeznaczyć można również co najwyżej: 25 form dla wykonania łodzi typu A (z jednej formy pracując na trzy zmiany można wykonać trzy łódki dziennie); 20 form dla wykonania łodzi typu B (z jednej formy pracując na trzy zmiany można wykonać trzy łódki dziennie); 25 form dla wykonania łodzi typu C (z jednej formy pracując na trzy zmiany można wykonać dwie łódki dziennie); 15 form dla wykonania łodzi typu D (z jednej formy pracując na trzy zmiany można wykonać dwie łódki dziennie). Poniższa tabela zawiera jednostkowe koszty oraz zyski związane z produkcją poszczególnych typów łodzi. Łączny koszt produkcji nie powinien przekroczyć 1,2 mln zł. Wyrób Koszt [zł/szt.] Zysk [zł/szt.] A B C D Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny łączny zysk przy założeniu, że cała produkcja zostanie sprzedana? Zadanie 4 Firma otrzymała ofertę wykonania plandek samochodowych w dwóch rodzajach w łącznej ilości do 150 sztuk, na których mają być umieszczone cztery typy reklam A, B, C i D. Oferent sugeruje również iż byłoby wskazane aby na plandekach zostały umieszczone wszystkie rodzaje reklam w ilości co najmniej po pięć sztuk z każdego rodzaju przy czym reklama C może znaleźć się jedynie na plandekach pierwszego rodzaju. Zyski i czas wykonania jednej plandeki danego rodzaju podaje poniższa tabela. Rodzaj plandeki Zysk [zł/szt.] Czas wykonania [roboczogodz.] I II Po przeanalizowaniu możliwości produkcyjnych okazało się, że ze względu na możliwości hali produkcyjnej zakład może przeznaczyć na produkcję plandek maksymalnie 800 roboczogodzin. Wykonanie reklam wymaga zużycia farby, którą maluje się plandeki. W następnej tabeli podane zostały możliwe do wykonania ilości poszczególnych rodzajów reklam przy założeniu, że cały zapas farby zostanie przeznaczony tylko na jeden typ reklamy. Ponadto znalazły się w niej też zyski jednostkowe i czas wykonywania danej reklamy przy użyciu specjalnych szablonów.wiadomo, że malarnia może przeznaczyć na wykonanie reklam do 700 roboczogodzin. 2

3 Rodzaj reklamy Liczba reklam z zapasu farby Zysk [zł/szt.] Czas wyk. [roboczogodz.] A albo 200 szt B albo 175 szt C albo 125 szt D albo 50 szt Opracować plan produkcji plandek pokrytych reklamami tak, aby osiągnąć maksymalny łączny zysk. Zadanie 5 Firma analizuje ofertę wykonania wyrobów A, B, C, D w całkowitej ilości nie mniejszej niż sztuk, w której wymaga się aby łączna ilość wyrobów A i B nie przekraczała połowy łącznej ilości wyrobów C i D. Tabela poniżej podaje jednostkowe koszty produkcji oraz zyski. Wyrób Koszt [zł/szt.] Zysk [zł/szt.] A 1 4 B 1 5 C 1 1 D 4 2 Po przeanalizowaniu możliwości produkcyjnych okazało się, że firma nie jest w stanie wyprodukować wyrobu D z powodu awarii maszyny i trzeba ten wyrób zamówić u podwykonawcy. Zamiast zysku (2 zł) przyniesie to firmie stratę 5 zł na jednej sztuce. Ponadto firma musi od razu zapłacić podwykonawcy koszty produkcji tego wyrobu, natomiast sama dostanie zapłatę po wykonaniu kontraktu. Z kolei wyrób A, jako produkt uzyskiwany metodami bardziej ekologicznymi od pozostałych wyrobów, uzyskał rządową dotację w wysokości 3 zł za każdą wytworzoną sztukę niezależną od już osiąganego zysku. Koszty produkcji wszystkich wyrobów nie mogą przekraczać zł. Firma chce zbudować model decyzyjny pozwalający osiągnąć maksymalny zysk z produkcji tych wyrobów. Zadanie 6 Firma X wytwarza dwa produkty A i B, przy których produkcji powstają gazy G1 i G2. Wytworzenie 1 tys. m3 A daje 100 zł zaś 1 tys. m3 105 zł zysku. Na 1000 m3 produktu A przypadają 2 kg G1 i 1,5 kg G2. Z kolei na 1000 m3 B przypada 1,3 kg G1 oraz 2 kg G2. Normy dotyczące ochrony środowiska oznaczają, że G1 może powstać co najwyżej 8 ton zaś G2 co najwyżej 10 ton. Aby zmniejszyć emisję szkodliwych gazów zamontowano dwa urządzenia oczyszczające U1 i U2. Pierwsze z nich wychwytuje 0,75 G1 i 0,8 G2 zaś drugie 0,3 G1 i 0,9 G2. Wprowadzenie U1 zmniejsza jednostkowy zysk o 20 zł niezależnie od wytwarzanego produktu. Zamontowanie U2 spowodowało spadek zysku jednostkowego o 15 zł również niezależnie od produktu. Produktu A należy wytworzyć w sumie co najmniej 5 tys. m3 zaś B co najmniej 6 tys. m3. Niech A1 oznacza produkcję wyrobu A po zainstalowaniu U1, A2 produkcję A po zainstalowaniu U2. Analogicznie zdefiniowane zostały zmienne B1 i B2. Zbuduj liniowy model decyzyjny zapewniający maksymalny zysk z produkcji wyrobów uwzględniający ilość wyemitowanych zanieczyszczeń oraz pozostałe ograniczenia i znajdź jego rozwiązanie. Zadanie 7 (Jędrzejczyk, Kukuła) Tartak uzyskał zamówienie na wykonanie co najmniej 300 kompletów belek. Każdy komplet składa się z 7 belek o długości 0,7 m oraz 4 belek o długości 2,5 m. W jaki sposób powinno być zrealizowane 3

4 zamówienie, aby odpad powstały w procesie cięcia dłużyc o długości 5,2 m był minimalny? Ile wyniesie wielkość odpadu przy optymalnym cięciu? Zadanie 8 (Jędrzejczyk, Kukuła) Na jeden komplet składają się 1 detal typu A, 3 detale typu B i 5 detali typu C. Detale wycinane są z blachy siedmioma sposobami. W poniższej tablicy podano liczby poszczególnych detali i odpady uzyskiwane z 1 m 2 blachy przy zastosowaniu każdego ze sposobów rozkroju. Detale Sposoby cięcia 1 m kw. blachy I II III IV V VI VII A B C Odpad 0,0 0,5 0,5 0,1 0,1 0,1 0,1 Ile razy należy zastosować możliwe sposoby cięcia, by wyprodukować 1200 kompletów minimalizując odpad? Zadanie 9 Z arkusza blachy będącego kwadratem o boku 0,5 m przy pomocy wycinarki wycina się elementy A, B, C. Element A to prostokąt 40 na 30 cm, element B ma powierzchnię 0,09 m2 zaś element C 0,05 m2. Jedna sztuka A, jedna B i cztery C tworzą komplet. Należy wykonać co najmniej 1000 takich kompletów przy czym łączna powierzchnia odpadów powstających po wycięciu elementów z blachy nie może przekroczyć 30 m2. Zbuduj liniowy model decyzyjny zapewniający minimalną wielkość odpadów pozwalający na zrealizowanie zamówienia i znajdź jego rozwiązanie. Zadanie 10 Deski o szerokości 0,4 m i długości 6,3 m są rozcinane na węższe o trzech szerokościach: A=0,25 m, B=0,1 m i C=0,12 m. Następnie tworzone są z nich komplety. Na jeden komplet składają się z 4 deski o szerokości A oraz po 2 deski o szerokościach B i C. Łącznie należy wyprodukować co najmniej 1300 kompletów przy czym desek A należy wytworzyć o 100 sztuk więcej niż wynika to z liczby kompletów. Całkowita ilość odpadów nie powinna przekroczyć 200 m. Maszyna tnąca potrzebuje 0,8 sekundy na przecięcie 1 metra deski zaś żywotność ostrza wynosi do 10 godzin nieprzerwanej pracy. Zbuduj liniowy model decyzyjny zapewniający minimalną ilość odpadów pozwalający na zrealizowanie zamówienia i znajdź jego rozwiązanie. Zadanie 11 (Winston) Ile butelek lemoniady trzeba sprzedać miesięcznie, aby przy cenie 3 złotych za butelkę osiągnąć próg rentowności? Wytworzenie jednej butelki lemoniady to koszt równy 1,45 zł, koszt stały produkcji wynosi 45 tys. zł. Zadanie 12 (Winston) Maria i Edmund wyjechali z jednego miasta. Maria jechała z prędkością 64 km/h. Edmund wyjechał 2 godziny po niej i ruszył z prędkością 80 km/h. Ile kilometrów przejedzie każde z nich do momentu gdy Edmund dogoni Marię (zakładamy stałą prędkość przez całą drogę). 4

5 Zadanie 13 (Winston) Jaką ilość każdego z dwóch rodzajów cukierków należy kupić, aby zapłacić średnio 7 zł za kilogram? Cukierki 1 rodzaju kosztują 10 zł a drugiego 6 zł za kilogram. Łącznie należy kupić 4 kg obu rodzajów cukierków. Zadanie 14 Należy ustalić wysokość opłaty za uczestnictwo w konferencji wiedząc, że koszty stałe organizacji (wynajem sal, projektora itp.) wynoszą 2000 zł, koszt wyżywienia jednego uczestnika oszacowano na 300 zł a zakładana liczba uczestników wynosi 30 osób. Ponadto wpływy z opłat powinny wystarczyć na pokrycie kosztów publikacji pokonferencyjnej, które to koszty wyceniono na 12 tys. zł. Zadanie 15 (Jędrzejczyk, Kukuła) Projektowana jest budowa 1-3 zakładów mleczarskich mających zaopatrywać w swoje produkty cztery miejscowości A, B, C, D. Zakłady mogą powstać w miejscowościach A, B lub C. Dzienne zdolności produkcyjne projektowanych zakładów, zapotrzebowanie miast na produkty (w kg) oraz oszacowane przyszłe jednostkowe koszty produkcji h i i przewozu gotowych produktów c ij zawiera tabela poniżej. Zaproponować lokalizację zakładów, dzięki której całkowite koszty produkcji i transportu będą możliwie najniższe. c ij A B C D a i h i A B C b j Zadanie 16 Zaplanować lokalizację maksymalnie 3 nowych zakładów wytwarzających podzespoły dla pięciu fabryk sprzętu AGD znajdujących się w innym regionie kraju. Nowe zakłady miałyby powstać w miastach M1, M2 lub M3. Pierwszy z nich będzie mógł produkować sztuk, drugi sztuk zaś trzeci sztuk podzespołów w ciągu miesiąca. W tabeli poniżej znalazły się oszacowane przyszłe jednostkowe koszty produkcji (zł) i transportu wytworzonych podzespołów. Ponadto znane jest zapotrzebowanie zaopatrywanych fabryk na podzespoły. Wiadomo również, że droga pomiędzy miastem M3 a fabryką numer 4 będzie nieprzejezdna z powodu opóźnień w budowie wiaduktu na trasie szybkiego ruchu. Fabr. 1 Fabr. 2 Fabr. 3 Fabr. 4 Fabr. 5 Koszt prod. M M M Popyt Zaproponować lokalizację zakładów, dzięki której całkowite koszty produkcji i transportu będą możliwie najniższe. 5

6 Zadanie 17 Zaplanować lokalizację i ocenić wykorzystanie zdolności produkcyjnych trzech browarów wytwarzających piwo i dostarczających je do czterech miast. W tabeli poniżej znalazły się oszacowane jednostkowe koszty transportu i produkcji (zł), zapotrzebowanie poszczególnych miast oraz zdolności produkcyjne browarów (hl). Miasto 1 Miasto 2 Miasto 3 Miasto 4 Produkcja Koszt prod. Browar ,1 Browar ,9 Browar ,2 Zapotrzebowanie Opracować plan dostaw minimalizujący łączne koszty transportu i produkcji, wiedząc że droga między trzecim dostawcą a trzecim odbiorcą jest całkowicie nieprzejezdna z powodu blokady urządzonej przez domagających się obwodnicy mieszkańców pewnej miejscowości. Zadanie 18 Właściciel sieci dyskontów spożywczych rozważa budowę trzech nowych magazynów, które będą zaopatrywać w towary sześć sklepów zlokalizowanych w miejscowościach A, B, C, D, E, F. Magazyny mają zostać zbudowane w wytypowanych wcześniej lokalizacjach przy czym oszacowano koszt przechowywania jednostki towaru h i w każdym z nich. Na podstawie posiadanych informacji o wielkości sprzedaży obliczono również jakiego popytu b j należy spodziewać się w miejscowościach A-F. Właściciel sieci oczekuje, że pojemność wybudowanych magazynów wystarczy do zaspokojenia popytu zgłaszanego przez wszystkie brane pod uwagę sklepy zaś pojedynczy magazyn powinien wystarczyć do zaopatrzenia przynajmniej jednego sklepu. W tabeli zebrano dane na temat tygodniowej wielkości popytu (w tonach), jednostkowych kosztów magazynowania (zł) oraz transportu z danego magazynu do odpowiedniego sklepu c ij (zł). c ij A B C D E F h i Magazyn ,5 Magazyn ,8 Magazyn ,7 b ij Jaka powinna być wielkość magazynów (mierzona masą przechowywanego towaru), aby całkowite koszty przechowywania i transportu towarów były jak najniższe? Zadanie 19 Należy zaplanować wielkość czterech magazynów, które będą zaopatrywać w wodę mineralną siedem firm zlokalizowanych na terenie miast A, B, C, D, E, F, G. Pojemność wybudowanych magazynów powinna zapewnić zaspokojenie popytu wszystkich odbiorców zaś pojedynczy magazyn ma wystarczyć do zaopatrzenia przynajmniej jednej z firm. W tabeli zebrano dane na temat miesięcznej wielkości popytu (w litrach), jednostkowych kosztów magazynowania h i (zł) oraz transportu z danego magazynu do odpowiedniego miasta c ij (zł). 6

7 c ij A B C D E F G h i Magazyn Magazyn Magazyn Magazyn b ij Zadanie 20 Zaplanować pojemność pięciu magazynów zaopatrujących w nabiał sklepy znajdujące się w czterech miastach. Pojemność wybudowanych magazynów powinna zapewnić zaspokojenie popytu wszystkich odbiorców zaś pojedynczy magazyn musi pomieścić co najmniej 5000 kg towaru. W tabeli poniżej znalazły się oszacowane jednostkowe koszty transportu i magazynowania (zł) oraz zapotrzebowanie sklepów z poszczególnych miast (kg). Miasto 1 Miasto 2 Miasto 3 Miasto 4 Koszt magazynowania Magazyn ,1 Magazyn ,9 Magazyn ,2 Magazyn ,1 Magazyn ,8 Zapotrzebowanie Opracować plan dostaw minimalizujący łączne koszty transportu i magazynowania, wiedząc że droga między trzecim dostawcą a drugim odbiorcą pozwala na przewiezienie maksymalnie 1500 kg towaru z powodu blokady urządzonej przez domagających się obwodnicy mieszkańców pewnej miejscowości. Zadanie 21 Trzej zagraniczni dostawcy wysyłają swoje wyroby czterem odbiorcom w Polsce. Po dotarciu do kraju wyroby te trafiają najpierw do jednego z trzech miast, w których zlokalizowane są izby celne. Po ocleniu towar trafia do magazynów znajdujących się w tych samych miastach gdzie następuje przepakowanie w krajowe opakowania i dopiero wtedy wyroby wysyła się odbiorcom ostatecznym. W tabeli poniżej znalazły się jednostkowe koszty transportu od dostawców do magazynów pośrednich (zł), podaż dostawców (tony) oraz pojemność magazynów pośrednich (tony). Magazyn 1 Magazyn 2 Magazyn 3 Podaż Dostawca Dostawca Dostawca Poj. magazynów W kolejnej tabeli zawarte zostały jednostkowe koszty transportu z magazynów do odbiorców ostatecznych wraz z zapotrzebowaniem tych ostatnich (tony). 7

8 Odbiorca 1 Odbiorca 2 Odbiorca 3 Odbiorca 4 Magazyn Magazyn Magazyn Popyt Opracować strukturę transportu, która pozwoli zaspokoić zapotrzebowanie odbiorców podażą dostawców zapewniając minimalny całkowity koszt transportu łącznie na wszystkich etapach. Zadanie 22 Czterech producentów dostarcza swoje wyroby trzem kontrahentom. Wysyłają je koleją do magazynów w dwóch miastach gdzie następuje przeładowanie produktów na ciężarówki, które następnie dowożą towar ostatecznym odbiorcom. W pierwszej z podanych tabel znalazły się jednostkowe koszty transportu koleją od producentów do punktów przeładunkowych (zł) wraz z ilościami przesyłanych towarów (tony) oraz pojemnościami magazynów (tony). Punkt przeład. 1 Punkt przeład. 2 Podaż Dostawca 1 19,1 19,5 90 Dostawca 2 18, Dostawca 3 28,1 29,3 85 Dostawca 4 32,2 17,3 83 Poj. magazynów Druga z tabel zawiera dane na temat jednostkowego kosztu dowozu produktów odbiorcom finalnym (zł) oraz popytu przez nich zgłaszanego. Odbiorca 1 Odbiorca 2 Odbiorca 3 Punkt przeład ,6 10 Punkt przeład. 2 24,8 14,8 19,4 Popyt Opracować strukturę transportu, która pozwoli zaspokoić zapotrzebowanie odbiorców podażą dostawców zapewniając minimalny całkowity koszt transportu łącznie na wszystkich etapach. Czy uda się w pełni wykorzystać podaż dostawców? Zadanie 23 Trzej sadownicy mają zamiar dostarczyć zebrane jabłka do 3 punktów skupu. Sadownicy oferują odpowiednio: 100, 100 i 150 ton owoców. Zapotrzebowania punktów skupu są następujące: 160, 90 i 100 ton. Jabłka nie trafiają jednak bezpośrednio od sadowników do punktów skupu, lecz najpierw gromadzone są w dwóch magazynach. Pierwszy ma pojemność 140 a drugi 210 ton. Macierz C1 przedstawia jednostkowe (na 1 tonę jabłek) koszty transportu od sadowników do magazynów zaś C2 z magazynów do punktów skupu. 3 3 [ ] C 1 = 5 4, C 2 = Opracować plan dostaw minimalizujący łączne koszty transportu od sadowników do magazynów a następnie do odbiorców finalnych. 8

9 Zadanie 24 (Jędrzejczyk, Kukuła) W skład pewnego przedsiębiorstwa wchodzi sześć zakładów produkcyjnych. Rozprowadzanie surowców oraz wyrobów gotowych odbywa się przy wykorzystaniu taboru samochodowego. Wielkości przywozu i wywozu (wyrażone pełną liczbą samochodów) oraz odległości pomiędzy zakładami (w km) zestawiono w tabeli. Zakłady Wywóz Przywóz Zbudować model, który pozwoli ustalić plan przebiegu pustych ciężarówek pomiędzy zakładami. Podać minimalną wartość samochodokilometrów pustych przebiegów. Zadanie 25 (Jędrzejczyk, Kukuła) Do siedmiu stacji kolejowych nadchodzą i są odprawiane przesyłki całowagonowe. Wielkości przywozu i wywozu oraz odległości między stacjami podano w tabeli. Stacje Wywóz Przywóz Opracować plan przewozu pustych wagonów tak, aby łączny wagonokilometraż pustych przebiegów był najmniejszy. Zadanie 26 (Jędrzejczyk, Kukuła) Przedsiębiorstwo transportowe dysponuje 75 ciężarówkami rozmieszczonymi na sześciu budowach. W tablicy podano odległości pomiędzy budowami oraz przywóz i wywóz wyrażony liczbą pustych samochodów. 9

10 Budowy Wywóz Przywóz Opracować plan przejazdu pustych ciężarówek pomiędzy budowami tak, aby łączny samochodokilometraż był minimalny. Zadanie 27 Sieć sklepów dyskontowych otworzyła nowe placówki w miastach A, B, C, D i E. Do każdego z miast postanowiono przydzielić tabor składający się z pojazdów dostawczych. Zebrano dane na temat wielkości przywozu i wywozu ładunków dla poszczególnych sklepów wyrażone pełną liczbą samochodów oraz odległości między nimi (w km). Dane te znalazły się w poniższej tabeli: A B C D E Wywóz A B C D E 0 18 Przywóz Opracować plan przejazdu pustych samochodów tak, aby łączny samochodokilometraż był jak najmniejszy. Zadanie 28 Należy przyporządkować 4 podwykonawców do budowy 4 odcinków autostrady tak, aby zagwarantować jak najniższe łączne koszty wykonania wszystkich objętych kontraktem odcinków. 1 podwykonawca może naraz budować 1 odcinek. Macierz kosztów wybudowania odcinków wynikająca ze złożonych przez podwykonawców podczas przetargu ofert (mln zł) jest następująca: C = Zadanie 29 (na podst. Jędrzejczyk, Kukuła) Przedsiębiorstwo budowlane MUR-BET ma zamiar wysłać swoich pracowników w charakterze kierowników na cztery budowy. Jednak odpowiednie doświadczenie posiada tylko trzech specjalistów. Dysponują oni różnym doświadczeniem zawodowym w związku z czym zyski jakie mogą zapewnić firmie różnią się w zależności od tego gdzie przydzielony zostanie dany pracownik. Zyski te (w tys zł miesięcznie) podaje poniższa tabela. 10

11 Pracownicy Zysk z budowy A B C Zakładając, że na jednej z budów konieczne będzie zatrudnienie pracownika z zewnątrz (zyski dla MUR-BETu będą równe zeru) należy optymalnie przydzielić pracowników na poszczególne budowy z punktu widzenia maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa. Zadanie 30 Dealer pewnej marki samochodowej zatrudnia 6 mechaników, których należy przydzielić do naprawy lub przeglądów 5 samochodów. Z uwagi na ich różne specjalizacje jeden mechanik może zajmować się jednym samochodem naraz. Z tego powodu czasy jakich potrzebują oni do naprawy danego uszkodzenia różnią się i zostały zebrane w poniższej tabeli. Mechanik Czas naprawy auta (min.) A B C D E F Opracować optymalny plan przydziału mechaników do wykonywania napraw tak, aby łączny czas pracy był jak najkrótszy. Zadanie 31 (na podst. Jędrzejczyk, Kukuła) Trzy warsztaty wytwarzają 5 detali: A, B, C, D i E. W tablicy poniżej podano wydajności warsztatów przy produkcji poszczególnych detali w ciągu jednej zmiany, minimalne ilości detali, które należy wyprodukować oraz jednostkowe ceny sprzedaży. Warsztaty Wydajność [szt./zmianę] A B C D E I II III Min. liczby detali Cena [zł/szt.] Przydzielić produkcję detali pomiędzy poszczególne warsztaty tak, aby zmaksymalizować miesięczną wartość produkcji biorąc pod uwagę, że warsztaty pracują na 2 zmiany (miesiąc = 23 dni robocze). Czy wszystkie warsztaty będą pracować cały miesiąc? Zadanie 32 W dziale oceny zdolności kredytowej klientów pewnego banku pracują aktualnie 3 osoby. Sprawdzają one zdolność klientów do uzyskania jednego z 4 typów kredytów różniących się stopniem skom- 11

12 plikowania stosowanych procedur. Sami pracownicy różnią się też stażem a w konsekwencji doświadczeniem w tego typu pracy. Tabela poniżej przedstawia czas potrzebny każdemu z pracowników na przeanalizowanie danych dotyczących klienta ubiegającego się o dany typ kredytu. Czas analizy wniosku klienta [min.] Pracownicy Kredyt 1 Kredyt 2 Kredyt 3 Kredyt 4 P P P Pracownicy dysponują różną ilością czasu jaką mogą przeznaczyć na analizę wniosku kredytowego. I tak, pracownik P1 może przeznaczyć na ten cel do 40 godzin na miesiąc, pracownik P2 do 42 godzin zaś P3 do 45 godzin. Centrala banku wymaga, aby rozpatrzyć co najmniej 40 wniosków o kredyt pierwszego typu, co najmniej 160 wniosków o kredyt drugiego typu, co najmniej 40 wniosków o kredyt trzeciego typu i co najmniej 120 wniosków o kredyt czwartego typu. Rozdzielić wnioski kredytowe tak, aby nie przekraczając limitów czasu pracy pracowników, przeanalizować je w wymaganych ilościach minimalizując łączny czas pracy pracowników banku. Zadanie 33 Trzy rodzaje soków owocowych mogą być produkowane w trzech zakładach należących do jednej firmy. Po wyprodukowaniu sokiem napełnia się jednolitrowe kartony. Znany jest koszt produkcji 1 litra danego soku w każdym z zakładów oraz czas potrzebny na napełnienie pojedynczego kartonu. Czasy napełniania różnią się gdyż zakłady dysponują urządzeniami różnych producentów. Dane te przedstawia tabela poniżej. Czas napełniania 1 kartonu [sek.] Koszt produkcji [zł/l] Sok 1 Sok 2 Sok 3 Sok 1 Sok 2 Sok 3 Zakład ,5 2,4 2,3 Zakład ,5 2,6 2,7 2,1 Zakład 3 7, ,6 2,6 2,4 Litr soku pierwszego rodzaju sprzedawany jest po 4 zł, soku drugiego rodzaju po 4 złote 20 groszy zaś trzeciego rodzaju po 4 złote 50 groszy. Przydzielić produkcję soków poszczególnym zakładom tak, aby zysk z ich sprzedaży był jak największy wiedząc, że w ciągu tygodnia soku każdego rodzaju należy wyprodukować co najmniej 200 hl. Wiadomo ponadto, że linie rozlewające soki pracują po 8 godzin dziennie przez pięć dni w tygodniu. Zadanie 34 Wyroby A, B i C produkowane są z surowca podzielonego na cztery klasy jakości. Zużycie tego surowca na wytworzenie tysiąca sztuk wyrobu podaje poniższa tabela. Zużycie surowca [kg/1000 szt.] Wyroby Surowiec 1 Surowiec 2 Surowiec 3 Surowiec 4 A B C Należy wyprodukować co najmniej 240 tys. szt. wyrobu A, co najmniej 192 tys. szt. wyrobu B i co najmniej 252 tys. szt. wyrobu C. Wiadomo ponadto, że planowany jest zakup co najwyżej 2,1 12

13 tony surowca klasy 1, 2,4 tony surowca klasy 2 i 2,5 tony surowca klasy 4. Opracować plan zakupu i przydziału poszczególnych klas surowca tak, aby łączny koszt zakupu był jak najniższy wiedząc, że jednostkowe ceny zakupu surowca wynoszą odpowiednio: 6, 8, 11 i 10 zł/kg. Zadanie 35 Kurier ma pobrać z magazynu paczki o różnej wadze i wartości. Tabela poniżej podaje masę, wartość i ilości każdej z paczek. Kurier używa wózka transportowego o ładowności ograniczonej do 15 kilogramów. Które paczki i w jakiej ilości powinien zabrać, aby wartość ładunku była maksymalna? Nr paczki Masa [kg] Wartość [zł] Ilość [szt.] Wiadomo ponadto, że należy zabrać albo paczkę nr 2 albo nr 4, nie wolno razem przewozić paczek 1 i 6 oraz jeżeli zabrana zostanie paczka 9 to trzeba będzie zabrać paczkę 10. Czy rozwiązanie optymalne zmieni się jeśli kurier może zabrać tylko jedną paczkę danego rodzaju? Zadanie 36 Turysta pakuje plecak przed wycieczką. Tabela poniżej przedstawia przedmioty, które planuje zabrać przy czym plecak może pomieścić do 4 kg. Turysta planuje zabrać parasol lub wiatrówkę. Jeżeli weźmie latarkę to będzie musiał zabrać również baterie i na pewno zabierze co najmniej jedną kanapkę oraz co najmniej jedno jabłko. Przedmiot Masa [dag] Wartość [zł] Ilość Przedmiot Masa [dag] Ważność Ilość Mapa Przewodnik Kompas Latarka Termos Parasol Kanapka Wiatrówka Jabłko 35 0,5 2 T-shirt Aparat Skarpety Okulary Baterie Jakie przedmioty należy spakować, aby nie przekroczyć pojemności plecaka a zapewnić maksymalną wartość ładunku? Zadanie 37 Producent narzędzi rozważa wprowadzenie na rynek gotowego kompletu kluczy. Komplet ten umieszczany jest w specjalnym pudełku wyposażonym w uchwyty, z których każdy przechowuje dokładnie jedno narzędzie. Poniższa tabela zawiera masę poszczególnych kluczy oraz ich cenę. Masa pudełka z narzędziami nie może przekroczyć 0,5 kg przy czym samo pudełko waży 10 dag. Klucz Masa [dag] Cena [zł] Klucz Masa [dag] Cena [zł] A 5 5 F B 7 4 G 9 15 C 8 15 H 6 6 D 11 4 I 7 7 E 12 6 J

14 Które klucze należy umieścić w zestawie, aby całkowita wartość kompletu była jak najwyższa i wyniosła co najmniej 30 zł? Zadanie 38 Przed wyjazdem służbowym Pan X planuje zgrać na pendrive kopie kilku filmów prezentujących ofertę jego firmy. Do dyspozycji ma 8 GB wolnego miejsca. Każdy film oprócz objętości opisany jest parametrem określającym jaką wartość ma dla firmy zawarta w nim prezentacja. Wartość tą opisano przy pomocy punktów gdzie 1 oznacza najmniej zaś 5 najbardziej ważny film. Dane dotyczące objętości i wartości poszczególnych filmów zawiera tabela poniżej. Objętość [GB] Wartość Objętość [GB] Wartość Film Film 6 1,2 3 Film 2 0,95 4 Film 7 0,9 4 Film 3 1,03 5 Film 8 0,8 4 Film 4 0,56 2 Film 9 1,01 1 Film 5 0,74 5 Film Pan X na pewno musi zabrać co najmniej 2 filmy o wartość 5 punktów. Ponadto postanowił, że zabierze co najwyżej 1 film o wartości 1 punktu. Które filmy ma zgrać na pendrive a Pan X, żeby łączna ich wartość była jak największa przy podanych warunkach? Czy uda się wykorzystać całe dostępne miejsce? Zadanie 39 (Trzaskalik) Wydawnictwo planuje wydanie skryptów dla studentów. Część będą to nowe tytuły, część to wznowienia. Na skrypty będące wznowieniami podpisane są już umowy wydawnicze. Z kolei nowe skrypty wymagają dopiero podpisania umowy z autorami. Lista nowych i wznawianych skryptów znalazła się w pierwszej tabeli. Tytuł skryptu Rodzaj skryptu Prognoza sprzedaży (szt.) Zarządzanie nowe wydanie 2500 Matematyka wznowienie 3000 Statystyka nowe wydanie 2000 Statystyka matematyczna nowe wydanie 1500 Statystyka opisowa wznowienie 1500 Finanse nowe wydanie 1800 Rachunkowość nowe wydanie 3000 Rachunkowość II wznowienie 3500 Angielski nowe wydanie 5000 Francuski nowe wydanie 3500 Wydawnictwo zatrudnia trzech redaktorów, którzy pracują nad skryptami i są w różnym stopniu obłożeni pracą. I tak: Jerzy może poświęcić 480 godzin, Krystyna 320 godzin a Maria 350 godzin na prace związane z nowym planem wydawniczym. Liczbę godzin, którą każdy z redaktorów może poświęcić na odpowiednie prace podano w drugiej tabeli. 14

15 Tytuł skryptu Jerzy Krystyna Maria Zarządzanie Matematyka Statystyka Statystyka matematyczna Statystyka opisowa Finanse Rachunkowość 200 Rachunkowość II 180 Angielski Francuski W swoich planach wydawnictwo nie zamierza uwzględnić więcej niż dwóch skryptów ze statystyki oraz więcej niż jednego z rachunkowości. Ponadto redaktor naczelny wydawnictwa uznał, że w planie wydawniczym musi znaleźć się Zarządzanie lub Matematyka. Należy znaleźć najlepszy plan wydawniczy, zakładając iż koszty stałe i dochody ze sprzedaży (w przeliczeniu na skrypt) są mniej więcej takie same dla każdego skryptu, stąd też wydawnictwo jest zainteresowane głównie osiągnięciem jak największej wielkości sprzedaży. Zadanie 40 Po połączeniu dwóch portali internetowych pojawiła się potrzeba reorganizacji prowadzonych przez nie serwisów. Na zamówienie opracowano prognozy miesięcznych przychodów generowanych przez poszczególne serwisy. Prognozy te znalazły się w poniższej tabeli. Nazwa serwisu Przychód Czas na obsł. serwisu [h] [zł] Informatyk 1 Informatyk 2 Informatyk 3 Informatyk 4 Newsy Giełda Gospodarka Sport Moto Gry Plotki Technologie Ogólnym nadzorem nad funkcjonowaniem serwisów zajmuje się czterech informatyków. Pierwszy może na ten cel poświęcić do 560 godzin, drugi do 720 godzin, trzeci do 360 godzin zaś czwarty do 300 godzin. Informatycy częściowo dzielą się obowiązkami a więc jeden z nich może zajmować się więcej niż jednym serwisem. W tabeli zawarto czas jaki przeznaczają poszczególni informatycy odpowiednim serwisom. Decyzją zarządu na pewno uruchomione zostaną serwisy: Newsy, Sport i Plotki. Zastanawia się on również czy lepiej uruchomić serwis Giełda czy Gospodarka. Które serwisy należy uruchomić, aby osiągnąć jak najwyższy przychód przy podanych ograniczeniach? Ile wyniesie ten przychód? Zadanie 41 Zarząd firmy kurierskiej rozważa uruchomienie placówek w mieście X. Całe miasto podzielono na 8 rejonów zaś kurierzy wyruszający w teren muszą zapewnić dostawy do każdego z nich. W tabeli 15

16 poniżej znalazły się informacje, które rejony obsługiwać będzie placówka znajdująca się w każdej z wybranych lokalizacji przy czym w lokalizacji A znajdzie się lokalna centrala firmy w związku z czym ten punkt na pewno zostanie uruchomiony. Lokalizacja Obsługiwane rejony A 1, 5, 7, 8 B 1, 3, 4, 7 C 2, 6, 8 D 2, 4, 5 E 3, 4, 6 F 4, 5, 6 G 1, 5, 6, 7, 8 H 2, 3, 7 Należy znaleźć najmniejszą liczbę placówek, które musi uruchomić firma, a które zapewnią pokrycie zasięgiem wszystkich rejonów. Zadanie 42 (Szapiro) Gospodarstwo sadownicze musi zaplanować strukturę nasadzeń 4 nowych odmian jabłoni A, B, C i D oraz wybudowania tuneli foliowych na 10 ha powierzchni. Sprzedawać bezpośrednio można tylko owoce odmian, A, C i D. Jabłka odmiany A sprzedawane są jesienią, natomiast jabłka odmian C i D muszą być przechowywane przez zimę w odpowiednich warunkach i sprzedawane są na wiosnę. Jabłka odmiany B służą tylko do produkcji łatwo zbywalnej pulpy jabłkowej. W produkcji pulpy można używać również owoców odmian A i C. Z jednej tony jabłek otrzymuje się 0,8 tony pulpy. Zysk ze sprzedaży 1 t pulpy jabłkowej wynosi 0,1 tys. zł. Wiadomo, że jabłonie rozpatrywanych odmian zaczną owocować po 3 latach. Właściciele gospodarstwa dysponują kredytem, którego warunki spłaty pozwalają spłacić razem kwotę kredytu i stosownych odsetek. Wobec tego konieczne nakłady i spodziewane korzyści szacowane są na poziomie czwartego roku projektu lub inaczej pierwszego roku zbiorów przy czym właściciele gospodarstwa szacują swoje możliwości finansowe w czwartym roku projektu na nie więcej niż 85 tys. zł.. Wybór odmian związany jest z poniesieniem następujących nakładów inwestycyjnych: Produkcja pulpy wymaga zainstalowania specjalnego rozdrabniacza RPX-05, którego koszt zakupu (kapitał plus odsetki) wynosi 10 tys. zł. Jabłka odmian C i D są przechowywane w chłodniach. Ze względu na walory zapachowe przechowuje się je oddzielnie lecz posiadane chłodnie mają zużyte agregaty. Nowy agregat do chłodni przeznaczonej dla odmiany C wymaga poniesienia nakładów w wysokości 18 tys. zł, a agregat do chłodni służącej do przechowywania odmiany D 22,5 tys. zł. Nakłady na założenie 1 ha sadu są zróżnicowane. Gospodarstwo posiada własne sadzonki odmian A, B i C. Sadzonki odmiany D muszą kupić. W tablicy poniżej podano nakłady na założenie 1 ha sadu określonej odmiany i inne wyżej wymienione nakłady inwestycyjne związane z nasadzeniami jabłoni. Na terenie nowych sadów mają się również znaleźć tunele foliowe, w których planuje się produkować rośliny doniczkowe. Postawienie jednego tunelu, ze zgromadzonych już elementów konstrukcyjnych i folii, wymaga powierzchni 0,1 ha. Uprawa w tunelach rozpocznie się w czwartym roku projektu. Roczny przychód z produkcji roślin doniczkowych w jednym tunelu ma wynieść 10 tys. zł., a koszt 16

17 jego założenia 5,6 tys. zł (na poziomie cen czwartego roku projektu). Zasoby pracy pracowników gospodarstwa wystarczą do właściwego wykorzystania powierzchni co najmniej 10 tuneli. Odmiana A B C D Nakłady na założenie sadu [tys. zł/ha] 1 1,5 3 4,8 Inne nakłady inwest. [tys zł/odmianę] ,5 Właściciele gospodarstwa chcą maksymalizować korzyści z nowych nasadzeń i uprawy roślin doniczkowych. Miarą korzyści z nasadzenia nowej odmiany jest spodziewany zysk z 1 ha nasadzeń. Przewidywane zyski ze sprzedaży jabłek z 1 ha odmian A, C i D wyniosą w pierwszym roku zbiorów odpowiednio: 1 tys. zł/ha, 4 tys. zł/ha oraz 5 tys. zł/ha. Z podjętych w poprzednich latach zobowiązań wynika, że należy obsadzić co najmniej 3 ha odmianą A oraz co najmniej 2 ha odmianą D. Przyjmujemy, że plenność każdej z odmian jest zbliżona i wynosi 50 kg z jednego drzewka zaś na 1 ha sadu nasadza się 600 drzewek. Zadanie 43 Firma transportowa zamierza jak najtaniej zakupić dwa rodzaje samochodów ciężarowych: o ładowności 9 ton oraz 18 ton. Właściciel firmy chce mieć co najmniej 3 samochody o ładowności 18 t. Udział pojazdów o mniejszej ładowności w łącznej ilości wszystkich zakupionych pojazdów nie może przekroczyć 70%. Koszt zakupu jednego pojazdu o ładowności 9 t wynosi 150 tys. zł, zaś jednego pojazdu o ładowności 18 t wynosi 250 tys. zł. Z danych o funkcjonowaniu firmy w okresach poprzednich wynika, że w ciągu roku jedna ciężarówka 9-tonowa przejeżdża przeciętnie 40 tys. km natomiast 18-tonowa 50 tys. km. Pojazdy z nowego zakupu powinny w sumie co najmniej 1 mln samochodokilometrów. Opracować strukturę zakupu ciężarówek, która łącznie mają przewieźć kg ładunku a jednocześnie koszt ich zakupu ma wynieść 5 mln zł. Właściciel ważność pierwszego celu określił na 40% zaś drugiego na 60%. Zbudować model decyzyjny przy podanych ograniczeniach i znaleźć jego rozwiązanie. Zadanie 44 Na pewnej uczelni zdecydowano się zbudować model optymalizacyjny, który pomoże podjąć decyzje odnośnie ustalenia limitów naboru na trzech kierunkach K1, K2 i K3. Łącznie planuje się przyjąć na nich do 300 osób. Uczelnia zainteresowana jest wpływami z czesnego na poziomie wynoszącym co najmniej 100 tys. zł miesięcznie. 1 miesiąc nauki na kierunku K1 kosztuje 300 zł, na kierunku K2 320 zł zaś na kierunku K3 350 zł. Kierunek K2 jest tzw. kierunkiem zamawianym. Podpisana umowa zakłada, że limit przyjęć wyniesie na nim co najmniej 100 osób. Uczelnia planuje także podjąć działania promocyjne, na które przeznaczono kwotę 5000 zł. Obliczono, że koszt promocji na jednego studenta danego kierunku wyniesie odpowiednio: 10, 12 i 13 zł. Zbudować model decyzyjny zapewniający maksymalizację efektywności przeprowadzonej promocji rozumianej jako stosunek wpływów z czesnego do nakładów na promocję i znaleźć jego rozwiązanie. Zadanie 45 Przedsiębiorstwo X składa się z sześciu zakładów produkcyjnych. Dla każdego z nich dysponujemy danymi na temat liczby zatrudnionych, wielkości produkcji, łącznej ilości godzin pracy i zużycia pewnego surowca. Stosowne dane zawiera poniższa tabela. 17

18 Zatrudnienie Surowiec Liczba wyrobów Przepracowane godz. Zakład Zakład Zakład Zakład Zakład Zakład Ocenić efektywność wykorzystania zatrudnienia zapewniającego dotychczasową wielkość produkcji wyrobów w poszczególnych zakładach. Dla zakładów nieefektywnych wyznaczyć nowe wielkości zatrudnienia wzorowane na zakładach efektywnych. 2. Określić, które zakłady powinny zwiększyć efektywność liczby wytwarzanych wyrobów i przepracowanych godzin przy dotychczasowym zatrudnieniu oraz poziomie zużycia surowca. Wyznaczyć nowe wielkości efektów dla zakładów nieefektywnych. Zadanie 46 Dla siedmiu województw zebrano dane dotyczące stanu bibliotek w 2013 roku, które obejmowały: liczbę pracowników bibliotek ogółem, wielkość udostępnionego księgozbioru (tys. woluminów) oraz ogólnej liczby wypożyczeń księgozbioru (tys.). Dane te prezentują się następująco: Województwo Pracownicy Księgozbiór Wypożyczenia Kujawsko-pomorskie ,4 5552,6 Łódzkie ,2 8158,6 Mazowieckie , ,7 Opolskie ,9 3055,5 Śląskie , ,9 Świętokrzyskie ,3 3483,8 Wielkopolskie , ,1 W których województwach biblioteki w pełni efektywnie wykorzystują posiadane nakłady tj. pracowników i księgozbiór przy dotychczasowej wielkości wypożyczeń? Wskazać obiekty wzorcowe i na ich podstawie wyznaczyć nowe wielkości nakładów dla województw nieefektywnych. 18