Wspomaganie decyzji menedżerskich - zestaw zadań

Transkrypt

1 Adam Kucharski Wspomaganie decyzji menedżerskich - zestaw zadań Zadanie 1 Podstawowym asortymentem pewnego zakładu są wyroby A i B. Zysk jednostkowy na tych wyrobach wynosi odpowiednio 100 i 300 zł. Minimalna wysokość produkcji wyrobu B wynosi 500 sztuk, a maksymalna wyrobu A to 3000 sztuk. Gdyby produkować tylko wyrób A wytworzono by 5000, a tylko wyrób B 2000 sztuk. Wyrobu A należy wytworzyć co najmniej dwa razy więcej niż B. Udział wyrobu B w ogólnej wielkości produkcji nie powinien przekroczyć 75%. Jednostkowy koszt wytworzenia obu wyrobów wynosi odpowiednio 50 i 20 zł zaś łączny koszt nie powinien być wyższy niż 100 tys. zł. Dyrekcja oczekuje, że osiągnięty zysk wyniesie przynajmniej 50 tys. zł. Do produkcji używa się dwóch surowców S1 i S2, których zapasy w magazynach wynoszą odpowiednio 29 i 56 ton. Aby wytworzyć jedną sztukę wyrobu A należy zużyć 2 kg surowca S1 i 3 kg surowca S2. Do wyprodukowania jednej sztuki wyrobu B potrzeba 5 kg surowca S1 i 1 kg surowca S2. Wymagane jest, aby zużyć co najmniej 5 ton surowca S1. Zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana. Zaplanować jakie ilości wyrobów A i B należy wyprodukować, aby osiągany zysk był maksymalny. Zadanie 2 (Miszczyński, Miszczyńska) Szef działu firmy DINO Co otrzymał zlecenie na przeprowadzenie kampanii reklamowej produktu X. Kampania ma zostać zrealizowana w celu oddziaływania na cztery grupy konsumenckie: nastolatki (N), młode małżeństwa (MM), konsumenci w średnim wieku (S) oraz renciści i emeryci (RE). Pod uwagę brane są cztery grupy środków masowego przekazu: prasa codzienna (D), internet (I), telewizja (TV) oraz radio (R). Sprzedaż w grupach konsumenckich powinna wzrosnąć odpowiednio: 45% w grupie N, 20% w grupie MM, 25% w grupie S oraz 10% w grupie RE przy dotychczasowej sprzedaży odpowiednio: zł w grupie N, zł w grupie MM, zł w grupie S oraz zł w grupie RE. Oszacowano efektywność oddziaływania danego środka przekazu na każdą z grup konsumenckich, którą podaj poniższa tabela (1 zł przyrostu sprzedaży na 1 zł wydatków na reklamę). D I TV R N 10,5 11,5 13,0 12,0 MM 12,0 12,5 12,0 11,0 S 13,0 13,0 12,5 12,5 RE 12,0 11,0 13,0 11,5 Koszt kampanii reklamowej nie może przekroczyć 4000 zł. Zaplanować najtańszą kampanię reklamową wyrobu X tj. zminimalizować wydatki na reklamę w środkach masowego przekazu. 1

2 Zadanie 3 Firma otrzymała bardzo pilną ofertę wyprodukowania 4 typów wytwarzanych z laminatu łodzi (oznaczonych jako wyroby A, B, C, D) w łącznej ilości nie mniejszej niż 500 sztuk i w terminie nie dłuższym niż 10 dni. Po analizie możliwości produkcyjnych okazało się, że firma może zgromadzić na ten cel zapas żywicy T, z którego można wykonać: 800 sztuk wyrobu A lub 540 sztuk wyrobu B, lub 465 sztuk wyrobu C, lub 270 sztuk wyrobu D. Do produkcji przeznaczyć można również co najwyżej: 25 form dla wykonania łodzi typu A (z jednej formy pracując na trzy zmiany można wykonać trzy łódki dziennie); 20 form dla wykonania łodzi typu B (z jednej formy pracując na trzy zmiany można wykonać trzy łódki dziennie); 25 form dla wykonania łodzi typu C (z jednej formy pracując na trzy zmiany można wykonać dwie łódki dziennie); 15 form dla wykonania łodzi typu D (z jednej formy pracując na trzy zmiany można wykonać dwie łódki dziennie). Poniższa tabela zawiera jednostkowe koszty oraz zyski związane z produkcją poszczególnych typów łodzi. Łączny koszt produkcji nie powinien przekroczyć 1,2 mln zł. Wyrób Koszt [zł/szt.] Zysk [zł/szt.] A B C D Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny łączny zysk przy założeniu, że cała produkcja zostanie sprzedana? Zadanie 4 Firma otrzymała ofertę wykonania plandek samochodowych w dwóch rodzajach w łącznej ilości do 150 sztuk, na których mają być umieszczone cztery typy reklam A, B, C i D. Oferent sugeruje również iż byłoby wskazane aby na plandekach zostały umieszczone wszystkie rodzaje reklam w ilości co najmniej po pięć sztuk z każdego rodzaju przy czym reklama C może znaleźć się jedynie na plandekach pierwszego rodzaju. Zyski i czas wykonania jednej plandeki danego rodzaju podaje poniższa tabela. Rodzaj plandeki Zysk [zł/szt.] Czas wykonania [roboczogodz.] I II Po przeanalizowaniu możliwości produkcyjnych okazało się, że ze względu na możliwości hali produkcyjnej zakład może przeznaczyć na produkcję plandek maksymalnie 800 roboczogodzin. Wykonanie reklam wymaga zużycia farby, którą maluje się plandeki. W następnej tabeli podane zostały możliwe do wykonania ilości poszczególnych rodzajów reklam przy założeniu, że cały zapas farby zostanie przeznaczony tylko na jeden typ reklamy. Ponadto znalazły się w niej też zyski jednostkowe i czas wykonywania danej reklamy przy użyciu specjalnych szablonów.wiadomo, że malarnia może przeznaczyć na wykonanie reklam do 700 roboczogodzin. 2

3 Rodzaj reklamy Liczba reklam z zapasu farby Zysk [zł/szt.] Czas wyk. [roboczogodz.] A albo 200 szt B albo 175 szt C albo 125 szt D albo 50 szt Opracować plan produkcji plandek pokrytych reklamami tak, aby osiągnąć maksymalny łączny zysk. Zadanie 5 Firma analizuje ofertę wykonania wyrobów A, B, C, D w całkowitej ilości nie mniejszej niż sztuk, w której wymaga się aby łączna ilość wyrobów A i B nie przekraczała połowy łącznej ilości wyrobów C i D. Tabela poniżej podaje jednostkowe koszty produkcji oraz zyski. Wyrób Koszt [zł/szt.] Zysk [zł/szt.] A 1 4 B 1 5 C 1 1 D 4 2 Po przeanalizowaniu możliwości produkcyjnych okazało się, że firma nie jest w stanie wyprodukować wyrobu D z powodu awarii maszyny i trzeba ten wyrób zamówić u podwykonawcy. Zamiast zysku (2 zł) przyniesie to firmie stratę 5 zł na jednej sztuce. Ponadto firma musi od razu zapłacić podwykonawcy koszty produkcji tego wyrobu, natomiast sama dostanie zapłatę po wykonaniu kontraktu. Z kolei wyrób A, jako produkt uzyskiwany metodami bardziej ekologicznymi od pozostałych wyrobów, uzyskał rządową dotację w wysokości 3 zł za każdą wytworzoną sztukę niezależną od już osiąganego zysku. Koszty produkcji wszystkich wyrobów nie mogą przekraczać zł. Firma chce zbudować model decyzyjny pozwalający osiągnąć maksymalny zysk z produkcji tych wyrobów. Zadanie 6 Firma X wytwarza dwa produkty A i B, przy których produkcji powstają gazy G1 i G2. Wytworzenie 1 tys. m3 A daje 100 zł zaś 1 tys. m3 105 zł zysku. Na 1000 m3 produktu A przypadają 2 kg G1 i 1,5 kg G2. Z kolei na 1000 m3 B przypada 1,3 kg G1 oraz 2 kg G2. Normy dotyczące ochrony środowiska oznaczają, że G1 może powstać co najwyżej 8 ton zaś G2 co najwyżej 10 ton. Aby zmniejszyć emisję szkodliwych gazów zamontowano dwa urządzenia oczyszczające U1 i U2. Pierwsze z nich wychwytuje 0,75 G1 i 0,8 G2 zaś drugie 0,3 G1 i 0,9 G2. Wprowadzenie U1 zmniejsza jednostkowy zysk o 20 zł niezależnie od wytwarzanego produktu. Zamontowanie U2 spowodowało spadek zysku jednostkowego o 15 zł również niezależnie od produktu. Produktu A należy wytworzyć w sumie co najmniej 5 tys. m3 zaś B co najmniej 6 tys. m3. Niech A1 oznacza produkcję wyrobu A po zainstalowaniu U1, A2 produkcję A po zainstalowaniu U2. Analogicznie zdefiniowane zostały zmienne B1 i B2. Zbuduj liniowy model decyzyjny zapewniający maksymalny zysk z produkcji wyrobów uwzględniający ilość wyemitowanych zanieczyszczeń oraz pozostałe ograniczenia i znajdź jego rozwiązanie. Zadanie 7 (Szapiro) Gospodarstwo sadownicze musi zaplanować strukturę nasadzeń 4 nowych odmian jabłoni A, B, C i D oraz wybudowania tuneli foliowych na 10 ha powierzchni. Sprzedawać bezpośrednio można tylko 3

4 owoce odmian, A, C i D. Jabłka odmiany A sprzedawane są jesienią, natomiast jabłka odmian C i D muszą być przechowywane przez zimę w odpowiednich warunkach i sprzedawane są na wiosnę. Jabłka odmiany B służą tylko do produkcji łatwo zbywalnej pulpy jabłkowej. W produkcji pulpy można używać również owoców odmian A i C. Z jednej tony jabłek otrzymuje się 0,8 tony pulpy. Zysk ze sprzedaży 1 t pulpy jabłkowej wynosi 0,1 tys. zł. Wiadomo, że jabłonie rozpatrywanych odmian zaczną owocować po 3 latach. Właściciele gospodarstwa dysponują kredytem, którego warunki spłaty pozwalają spłacić razem kwotę kredytu i stosownych odsetek. Wobec tego konieczne nakłady i spodziewane korzyści szacowane są na poziomie czwartego roku projektu lub inaczej pierwszego roku zbiorów przy czym właściciele gospodarstwa szacują swoje możliwości finansowe w czwartym roku projektu na nie więcej niż 85 tys. zł.. Wybór odmian związany jest z poniesieniem następujących nakładów inwestycyjnych: Produkcja pulpy wymaga zainstalowania specjalnego rozdrabniacza RPX-05, którego koszt zakupu (kapitał plus odsetki) wynosi 10 tys. zł. Jabłka odmian C i D są przechowywane w chłodniach. Ze względu na walory zapachowe przechowuje się je oddzielnie lecz posiadane chłodnie mają zużyte agregaty. Nowy agregat do chłodni przeznaczonej dla odmiany C wymaga poniesienia nakładów w wysokości 18 tys. zł, a agregat do chłodni służącej do przechowywania odmiany D 22,5 tys. zł. Nakłady na założenie 1 ha sadu są zróżnicowane. Gospodarstwo posiada własne sadzonki odmian A, B i C. Sadzonki odmiany D muszą kupić. W tablicy poniżej podano nakłady na założenie 1 ha sadu określonej odmiany i inne wyżej wymienione nakłady inwestycyjne związane z nasadzeniami jabłoni. Na terenie nowych sadów mają się również znaleźć tunele foliowe, w których planuje się produkować rośliny doniczkowe. Postawienie jednego tunelu, ze zgromadzonych już elementów konstrukcyjnych i folii, wymaga powierzchni 0,1 ha. Uprawa w tunelach rozpocznie się w czwartym roku projektu. Roczny przychód z produkcji roślin doniczkowych w jednym tunelu ma wynieść 10 tys. zł., a koszt jego założenia 5,6 tys. zł (na poziomie cen czwartego roku projektu). Zasoby pracy pracowników gospodarstwa wystarczą do właściwego wykorzystania powierzchni co najmniej 10 tuneli. Odmiana A B C D Nakłady na założenie sadu [tys. zł/ha] 1 1,5 3 4,8 Inne nakłady inwest. [tys zł/odmianę] ,5 Właściciele gospodarstwa chcą maksymalizować korzyści z nowych nasadzeń i uprawy roślin doniczkowych. Miarą korzyści z nasadzenia nowej odmiany jest spodziewany zysk z 1 ha nasadzeń. Przewidywane zyski ze sprzedaży jabłek z 1 ha odmian A, C i D wyniosą w pierwszym roku zbiorów odpowiednio: 1 tys. zł/ha, 4 tys. zł/ha oraz 5 tys. zł/ha. Z podjętych w poprzednich latach zobowiązań wynika, że należy obsadzić co najmniej 3 ha odmianą A oraz co najmniej 2 ha odmianą D. Przyjmujemy, że plenność każdej z odmian jest zbliżona i wynosi 50 kg z jednego drzewka zaś na 1 ha sadu nasadza się 600 drzewek. Zadanie 8 (Jędrzejczyk, Kukuła) Tartak uzyskał zamówienie na wykonanie co najmniej 300 kompletów belek. Każdy komplet składa się z 7 belek o długości 0,7 m oraz 4 belek o długości 2,5 m. W jaki sposób powinno być zrealizowane zamówienie, aby odpad powstały w procesie cięcia dłużyc o długości 5,2 m był minimalny? Ile wyniesie wielkość odpadu przy optymalnym cięciu? 4

5 Zadanie 9 (Jędrzejczyk, Kukuła) Na jeden komplet składają się 1 detal typu A, 3 detale typu B i 5 detali typu C. Detale wycinane są z blachy siedmioma sposobami. W poniższej tablicy podano liczby poszczególnych detali i odpady uzyskiwane z 1 m 2 blachy przy zastosowaniu każdego ze sposobów rozkroju. Detale Sposoby cięcia 1 m kw. blachy I II III IV V VI VII A B C Odpad 0,0 0,5 0,5 0,1 0,1 0,1 0,1 Ile razy należy zastosować możliwe sposoby cięcia, by wyprodukować 1200 kompletów minimalizując odpad? Zadanie 10 Z arkusza blachy będącego kwadratem o boku 0,5 m przy pomocy wycinarki wycina się elementy A, B, C. Element A to prostokąt 40 na 30 cm, element B ma powierzchnię 0,09 m 2 zaś element C 0,05 m 2. Zakładamy, że kształt elementów B i C nie stanowi ograniczenia. Jest nim jedynie ich powierzchnia. Jedna sztuka A, jedna B i cztery C tworzą komplet. Należy wykonać co najmniej 1000 takich kompletów. Zbuduj liniowy model decyzyjny zapewniający minimalną wielkość odpadów pozwalający na zrealizowanie zamówienia i znajdź jego rozwiązanie. Czy łączna powierzchnia odpadów powstających po wycięciu elementów z blachy przekroczy 30 m 2? Zadanie 11 Deski o szerokości 0,4 m i długości 6,3 m są rozcinane na węższe o trzech szerokościach: A=0,25 m, B=0,1 m i C=0,12 m. Następnie tworzone są z nich komplety. Na jeden komplet składają się z 4 deski o szerokości A oraz po 2 deski o szerokościach B i C. Łącznie należy wyprodukować co najmniej 1300 kompletów przy czym desek A należy wytworzyć o 100 sztuk więcej niż wynika to z liczby kompletów. Całkowita ilość odpadów nie powinna przekroczyć 200 m. Maszyna tnąca potrzebuje 0,8 sekundy na przecięcie wzdłuż 1 metra deski zaś żywotność ostrza wynosi do 10 godzin nieprzerwanej pracy. Zbuduj liniowy model decyzyjny zapewniający minimalną ilość odpadów pozwalający na zrealizowanie zamówienia i znajdź jego rozwiązanie. Zadanie 12 (na podst. projektu Kowalczyk, Marek) Z desek o wymiarach 0,6 m na 1,5 m przy pomocy wycinarki wycina się następujące elementy biurka: blat (element A), półkę (element B), półkę pod klawiaturę (element C) i nogi podtrzymujące blat (element D).Tabela poniżej podaje wymiary poszczególnych elementów i ich ilości potrzebne do złożenia 1 biurka. Element Wymiary [cm] Ilość A 1020x50 1 B 35x50 2 C 50x50 1 D 70x50 3 5

6 Zamówienie opiewa na 250 biurek, przy czym łączna powierzchnia odpadów powstałych po wycięciu elementów na potrzeby realizacji zamówienia nie może przekroczyć 25 m 2. Zbudować model decyzyjny pozwalający na zrealizowanie zamówienia jednocześnie zapewniający minimalną ilość powstających odpadów. Zadanie 13 (na podst. Jędrzejczyk, Kukuła) Trzy warsztaty wytwarzają 5 detali: A, B, C, D i E. W tablicy poniżej podano wydajności warsztatów przy produkcji poszczególnych detali w ciągu jednej zmiany, minimalne ilości detali, które należy wyprodukować oraz jednostkowe ceny sprzedaży. Warsztaty Wydajność [szt./zmianę] A B C D E I II III Min. liczby detali Cena [zł/szt.] Przydzielić produkcję detali pomiędzy poszczególne warsztaty tak, aby zmaksymalizować miesięczną wartość produkcji biorąc pod uwagę, że warsztaty pracują na 2 zmiany (miesiąc = 23 dni robocze). Czy wszystkie warsztaty będą pracować cały miesiąc? Zadanie 14 W dziale oceny zdolności kredytowej klientów pewnego banku pracują aktualnie 3 osoby. Sprawdzają one zdolność klientów do uzyskania jednego z 4 typów kredytów różniących się stopniem skomplikowania stosowanych procedur. Sami pracownicy różnią się też stażem a w konsekwencji doświadczeniem w tego typu pracy. Tabela poniżej przedstawia czas potrzebny każdemu z pracowników na przeanalizowanie danych dotyczących klienta ubiegającego się o dany typ kredytu. Czas analizy wniosku klienta [min.] Pracownicy Kredyt 1 Kredyt 2 Kredyt 3 Kredyt 4 P P P Pracownicy dysponują różną ilością czasu jaką mogą przeznaczyć na analizę wniosku kredytowego. I tak, pracownik P1 może przeznaczyć na ten cel do 40 godzin na miesiąc, pracownik P2 do 42 godzin zaś P3 do 45 godzin. Centrala banku wymaga, aby rozpatrzyć co najmniej 40 wniosków o kredyt pierwszego typu, co najmniej 160 wniosków o kredyt drugiego typu, co najmniej 40 wniosków o kredyt trzeciego typu i co najmniej 120 wniosków o kredyt czwartego typu. Rozdzielić wnioski kredytowe tak, aby nie przekraczając limitów czasu pracy pracowników, przeanalizować je w wymaganych ilościach minimalizując łączny czas pracy pracowników banku. Zadanie 15 Trzy rodzaje soków owocowych mogą być produkowane w trzech zakładach należących do jednej firmy. Po wyprodukowaniu sokiem napełnia się jednolitrowe kartony. Znany jest koszt produkcji 1 litra danego soku w każdym z zakładów oraz czas potrzebny na napełnienie pojedynczego kartonu. 6

7 Czasy napełniania różnią się gdyż zakłady dysponują urządzeniami różnych producentów. Dane te przedstawia tabela poniżej. Czas napełniania 1 kartonu [sek.] Koszt produkcji [zł/l] Sok 1 Sok 2 Sok 3 Sok 1 Sok 2 Sok 3 Zakład ,5 2,4 2,3 Zakład ,5 2,6 2,7 2,1 Zakład 3 7, ,6 2,6 2,4 Litr soku pierwszego rodzaju sprzedawany jest po 4 zł, soku drugiego rodzaju po 4 złote 20 groszy zaś trzeciego rodzaju po 4 złote 50 groszy. Przydzielić produkcję soków poszczególnym zakładom tak, aby zysk z ich sprzedaży był jak największy wiedząc, że w ciągu tygodnia soku każdego rodzaju należy wyprodukować co najmniej 200 hl. Wiadomo ponadto, że linie rozlewające soki pracują po 8 godzin dziennie przez pięć dni w tygodniu. Zadanie 16 Wyroby A, B i C produkowane są z surowca podzielonego na cztery klasy jakości. Zużycie tego surowca na wytworzenie tysiąca sztuk wyrobu podaje poniższa tabela. Zużycie surowca [kg/1000 szt.] Wyroby Surowiec 1 Surowiec 2 Surowiec 3 Surowiec 4 A B C Należy wyprodukować co najmniej 240 tys. szt. wyrobu A, co najmniej 192 tys. szt. wyrobu B i co najmniej 252 tys. szt. wyrobu C. Wiadomo ponadto, że planowany jest zakup co najwyżej 2,1 tony surowca klasy 1, 2,4 tony surowca klasy 2 i 2,5 tony surowca klasy 4. Opracować plan zakupu i przydziału poszczególnych klas surowca tak, aby łączny koszt zakupu był jak najniższy wiedząc, że jednostkowe ceny zakupu surowca wynoszą odpowiednio: 6, 8, 11 i 10 zł/kg. Zadanie 17 Dyrekcja magazynu obsługującego dużego centrum handlowe postanowiła wprowadzić nowy harmonogram pracy w związku z decyzją o całodobowym otwarciu centrum. Dobę podzielono na 6 czterogodzinnych zmian. Pracownicy pracują po 8 godzin na dobę i mogą zacząć pracę na dowolnej zmianie. Kończą ją na zmianie następnej. Tabela poniżej podaje minimalną liczbę pracowników potrzebnych na danej zmianie. Zmiana Godziny Liczba pracowników Należy ustalić ilu pracowników ma rozpocząć pracę na każdej zmianie, aby zapewnić obsługę magazynu. Dyrekcja magazynu postawiła sobie za cel minimalizację łącznej liczby zatrudnionych. 7

8 Zadanie 18 Supermarket musi zatrudnić różne liczby pracowników w różne dni tygodnia w zależności od spodziewanego natężenia liczby klientów. Oszacowano minimalne wymagane liczby pracowników, którzy powinni być obecni w pracy danego dnia tygodnia, aby zapewnić sprawną obsługę (patrz tabela poniżej). Umowa ze związkami zawodowymi mówi, że każdemu pracownikowi po 5 dniach pracy należą się 2 dni wolne. Ilu pracowników musi przyjść do pracy każdego dnia, aby zapewnić właściwą obsługę przy podanych ograniczeniach? Kierownictwo sklepu zainteresowane jest minimalizacją łącznej liczby pracowników. Dzień tygodnia Liczba pracowników Poniedziałek 17 Wtorek 13 Środa 15 Czwartek 19 Piątek 14 Sobota 16 Niedziela 11 Zadanie 19 Menedżer całodobowego call-center pewnej firmy musi zaplanować przydział pracowników do czterech sześciogodzinnych zmian. Pierwsza zmiana trwa od północy do 6 rano, druga od 6 rano do południa, trzecia od południa do 18 a czwarta od 18 do północy. Oszacowano ilu operatorów potrzeba w ciągu doby co przedstawia tabela poniżej. Ilu pracowników należy przydzielić do każdej zmiany aby zapewnić wymaganą jakość obsługi wiedząc, że menedżer zainteresowany jest minimalizacją łącznej liczby zatrudnionych osób? Godziny Wymagana liczba operatorów Zadanie 20 Producent narzędzi rozważa wprowadzenie na rynek gotowego kompletu kluczy. Komplet ten umieszczany jest w specjalnym pudełku wyposażonym w uchwyty, z których każdy przechowuje dokładnie jedno narzędzie. Poniższa tabela zawiera masę poszczególnych kluczy oraz ich cenę. Masa pudełka z narzędziami nie może przekroczyć 0,5 kg przy czym samo pudełko waży 10 dag. Klucz Masa [dag] Cena [zł] Klucz Masa [dag] Cena [zł] A 5 5 F B 7 4 G 9 15 C 8 15 H 6 6 D 11 4 I 7 7 E 12 6 J

9 Które klucze należy umieścić w zestawie, aby całkowita wartość kompletu była jak najwyższa i wyniosła co najmniej 30 zł? Zadanie 21 Przed wyjazdem służbowym Pan X planuje zgrać na pendrive kopie kilku filmów prezentujących ofertę jego firmy. Do dyspozycji ma 8 GB wolnego miejsca. Każdy film oprócz objętości opisany jest parametrem określającym jaką wartość ma dla firmy zawarta w nim prezentacja. Wartość tą opisano przy pomocy punktów gdzie 1 oznacza najmniej zaś 5 najbardziej ważny film. Dane dotyczące objętości i wartości poszczególnych filmów zawiera tabela poniżej. Objętość [GB] Wartość Objętość [GB] Wartość Film Film 6 1,2 3 Film 2 0,95 4 Film 7 0,9 4 Film 3 1,03 5 Film 8 0,8 4 Film 4 0,56 2 Film 9 1,01 1 Film 5 0,74 5 Film Pan X na pewno musi zabrać co najmniej 2 filmy o wartość 5 punktów. Ponadto postanowił, że zabierze co najwyżej 1 film o wartości 1 punktu. Które filmy ma zgrać na pendrive a Pan X, żeby łączna ich wartość była jak największa przy podanych warunkach? Czy uda się wykorzystać całe dostępne miejsce? Zadanie 22 Turysta pakuje plecak przed wycieczką. Tabela poniżej przedstawia przedmioty, które planuje zabrać przy czym plecak może pomieścić do 4 kg. Turysta planuje zabrać parasol lub wiatrówkę. Jeżeli weźmie latarkę to będzie musiał zabrać również baterie i na pewno zabierze co najmniej jedną kanapkę oraz co najmniej jedno jabłko. Przedmiot Masa [dag] Wartość [zł] Ilość Przedmiot Masa [dag] Ważność Ilość Mapa Przewodnik Kompas Latarka Termos Parasol Kanapka Wiatrówka Jabłko 35 0,5 2 T-shirt Aparat Skarpety Okulary Baterie Jakie przedmioty należy spakować, aby nie przekroczyć pojemności plecaka a zapewnić maksymalną wartość ładunku? Zadanie 23 Przedsiębiorstwo X składa się z sześciu zakładów produkcyjnych. Dla każdego z nich dysponujemy danymi na temat liczby zatrudnionych, wielkości produkcji, łącznej ilości godzin pracy i zużycia pewnego surowca. Stosowne dane zawiera poniższa tabela. 9

10 Zatrudnienie Surowiec Liczba wyrobów Przepracowane godz. Zakład Zakład Zakład Zakład Zakład Zakład Ocenić efektywność wykorzystania zatrudnienia zapewniającego dotychczasową wielkość produkcji wyrobów w poszczególnych zakładach. Dla zakładów nieefektywnych wyznaczyć nowe wielkości zatrudnienia wzorowane na zakładach efektywnych. 2. Określić, które zakłady powinny zwiększyć efektywność liczby wytwarzanych wyrobów i przepracowanych godzin przy dotychczasowym zatrudnieniu oraz poziomie zużycia surowca. Wyznaczyć nowe wielkości efektów dla zakładów nieefektywnych. Zadanie 24 Dla siedmiu województw zebrano dane dotyczące stanu bibliotek w 2013 roku, które obejmowały: liczbę pracowników bibliotek ogółem, wielkość udostępnionego księgozbioru (tys. woluminów) oraz ogólnej liczby wypożyczeń księgozbioru (tys.). Dane te prezentują się następująco: Województwo Pracownicy Księgozbiór Wypożyczenia Kujawsko-pomorskie ,4 5552,6 Łódzkie ,2 8158,6 Mazowieckie , ,7 Opolskie ,9 3055,5 Śląskie , ,9 Świętokrzyskie ,3 3483,8 Wielkopolskie , ,1 W których województwach biblioteki w pełni efektywnie wykorzystują posiadane nakłady tj. pracowników i księgozbiór przy dotychczasowej wielkości wypożyczeń? Wskazać obiekty wzorcowe i na ich podstawie wyznaczyć nowe wielkości nakładów dla województw nieefektywnych. Zadanie 25 (na podst. proj. Matyszkiewicz, Kempa) W mieście X znajduje się 6 szkół licealnych. Dla każdej z nich dysponujemy danymi na temat łącznej wysokości wypłacanych nauczycielom wynagrodzeń, kosztów pomocy naukowych i liczby laureatów olimpiad przedmiotowych. Stosowne dane zawiera poniższa tabela. Wynagrodzenia Koszty pomocy Liczba laureatów Liceum nauczycieli [zł] naukowych [zł] olimpiad

11 Określić, które licea powinny zwiększyć efektywność liczby laureatów olimpiad przedmiotowych przy dotychczasowym poziomie wynagrodzeń dla nauczycieli i kosztów materiałów naukowych. Zadanie 26 (na podst. proj. Woźniak, Zatoń) W Bydgoszczy znajduje się sześć szpitali. Dla każdego z nich dysponujemy danymi na temat liczby zatrudnionych lekarzy, pielęgniarek (w tym salowych), a także wyleczonych pacjentów. Poniższa tabela przedstawia stosowne dane. Szpital Liczba lekarzy Liczba pielęgniarek Liczba wyleczonych Określić stopień efektywności wykorzystania personelu medycznego z punktu widzenia efektu rozumianego jako liczba wyleczonych pacjentów. Zadanie 27 W grze bierze udział dwóch graczy: A i B. Każdy z nich dysponuje kartami opatrzonymi cyframi od 1 do 5. Na dany sygnał wybierają jedną kartę i kładą ją na stole. Gracz, który wyłoży kartę o numerze wyższym o jeden zdobywa 1 punkt, wyższym o dwa 2 punkty. Jeżeli liczba jest wyższa, zwycięzca zdobywa 3 punkty. W pozostałych przypadkach gracze dostają po 0 punktów. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy ma ona rozwiązanie w zbiorze strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry. Zadanie 28 (na podst. D. Rogalskiej) Gra toczy się pomiędzy dwoma graczami: P 1 i P 2. Każdy z nich ma po jednej monecie 1-, 2- i 5-złotowej. Jednocześnie wybierają po jednej monecie. Jeżeli wybrane zostały te same typy monet gracz, P 1 wygrywa monetę gracza P 2, natomiast gdy monety są różne to gracz P 2 wygrywa monetę gracza P 1. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy ma ona rozwiązanie w zbiorze strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry. Zadanie 29 Firmom A i B w tym samym okresie czasu kończy się okres najmu powierzchni magazynowej w centrum logistycznym. Obie zdecydowane są kontynuować wynajem w tym samym miejscu, w związku z czym przygotowują się do negocjacji nowych warunków na okres kolejnych 3 lat z dyrekcją centrum. Każda z firm wpadła na pomysł powiększenia posiadanej dotąd powierzchni, której dostępna ilość jest jednak ograniczona. Z tego powodu zwiększanie powierzchni jednej z firm oznacza częściową redukcję w przypadku drugiej z nich. Zarząd firmy A przygotował trzy strategie negocjacyjne A 1, A 2, A 3 zaś zarząd firmy opracował cztery własne strategie B 1, B 2, B 3, B 4. W zależności od uznania argumentów danej strony dyrekcja centrum przydzieli powierzchnię magazynową. W macierzy poniżej podano przyrost powierzchni (w m 2 ) dla firmy A (spadek dla firmy B). 11

12 A = Znaleźć optymalne strategie negocjacyjne dla obu firm. Zadanie 30 W areszcie siedzi dwóch więźniów. Znajdują się w osobnych celach i nie mogą się ze sobą komunikować. Policja nie jest w stanie znaleźć dowodów winy i tylko wzajemnie oskarżające się zeznania więźniów mogą doprowadzić do ich skazania i osadzenia. Jeżeli żaden z więźniów nie zgodzi się współpracować, wówczas obaj zostaną wypuszczeni. Jeżeli obaj zgodzą się współpracować, wówczas każdy z nich otrzyma trzyletni wyrok. Jeżeli tylko jeden okaże skruchę, a drugi będzie milczał, wówczas ten pierwszy dostanie wyrok w zawieszeniu, zaś drugi będzie musiał odsiedzieć dziesięć lat. Jak powinien zachować się każdy z więźniów? Zadanie 31 Na lokalnym rynku pewnego produktu panuje duopol. Obaj producenci mogą podjąć decyzję dotyczącą przyszłej ceny. Dopuszczalne są trzy strategie: cena wysoka (W), średnia (S) i niska (N). W tabeli poniżej znajdują się przychody (tys. EUR) ze sprzedaży w zależności od oferowanej ceny. Firma 2 W S N W (16,19) (15,18) (19,21) Firma 1 S (21,17) (19,19) (17,18) N (15,20) (17,22) (18,19) Jakie strategie cenowe są korzystne dla każdej z firm? Zadanie 32 (Sikora) Mąż i żona chcą zaplanować wspólne spędzanie wolnego czasu. Mąż bardzo lubi chodzić na mecze piłkarskie (P), trochę mniej do kina (K) i wcale nie lubi filharmonii (F). Żona z kolei bardzo lubi chodzić do filharmonii, trochę mniej do kina i zdecydowanie nie lubi meczy piłkarskich. Małżonkowie określili użyteczność różnych form spędzania czasu i zapisali w tabeli poniżej (wyższa liczba oznacza wyższą użyteczność). Jakie strategie powinni oni wybrać aby zmaksymalizować swoją użyteczność? Żona P K F P (10,3) (5,7) (8,4) Mąż K (3,4) (6,5) (3,6) F (0,0) (0,2) (7,4) Zadanie 33 Jaką odpowiedź na pytanie o optymalną strategię daje teoria gier w przypadku gry w papier, nożyczki i kamień? (papier bije kamień, kamień bije nożyczki, nożyczki biją papier) 12

13 Zadanie 34 W grze bierze udział dwóch graczy. Gracz A dysponuje czterema strategiami zaś gracz B trzema. Tabela poniżej przedstawia macierz wypłat dla tej gry. Sprawdzić czy istnieje rozwiązanie w sensie Nasha. Gracz B E F G A (4,3) (6,5) (7,3) Gracz A B (7,8) (5,2) (2,2) C (6,6) (6,2) (5,7) D (5,4) (3,2) (9,4) Zadanie 35 W czasie wędrówki po lesie samiec napotyka wielu innych samców. Za każdym razem ma dwie możliwości zachować się jak jastrząb (okazać agresję) lub jak gołąb (uległość i kooperacja). W zależności od tego jaką decyzję podejmie i jaką decyzje podejmie na potkany osobnik, obaj otrzymują pewną wypłatę, którą charakteryzuje następująca tabela: Samiec B Jastrząb Gołąb Samiec A Jastrząb (-5,-5) (10,0) Gołąb (0,10) (4,4) Jak powinien zachowywać się typowy samiec przemierzając las? Zadanie 36 Firmy A i B oferują na rynku pewien produkt, który w przypadku tych firm charakteryzuje się podobnymi właściwościami. Dla klientów podstawowe znaczenie w takiej sytuacji ma więc cena. Jej zmiany powodują zmiany udziału firmy w rynku według następującej zależności (niech C A oznacza cenę firmy A, zaś C B cenę firmy B): 1. C A = C B wówczas firma A ma 45% udziału w rynku; 2. C B < C A wówczas A traci 2% udziału w rynku za każde 100 zł różnicy; 3. C B > CA wówczas A zyskuje 1% rynku za każde 100 zł różnicy. Jednostkowy koszt wytworzenia produktu w firmie A wynosi 2000 zł/szt i cena nie może spaść poniżej tej wartości, inaczej wstrzymuje się produkcję. W ciągu roku rynek może wchłonąć sztuk produktu. Sugerowana cena detaliczna nie powinna przekroczyć 3000 zł. Oszacowano prawdopodobieństwa przyjęcia cen przez firmę B: Cena [zł] Prawdop , , , , , , , , ,01 13

14 Firma A jest zainteresowana ceną, która pozwoli maksymalizować skumulowany tygodniowy zysk. Formuła zysku dla A (U A udział A w rynku): Z A = 200 U A (C A 2000) Należy wykonać 9 przebiegów symulacyjnych (ceny skaczą co 100 zł) po 52 obserwacje. Procedura postępowania: 1. określ cenę dla B, 2. wyznacz udział A, 3. wylicz zysk tygodniowy, 4. skumuluj zysk. Zadanie 37 Księgarnia planuje zamówić kalendarze na następny rok. Wydawnictwo zaoferowało księgarni cenę zakupu wynoszącą 7,5 zł za sztukę. W związku z tym cenę sprzedaży klientom ustalono na 10 zł za sztukę. Po 31 stycznia wszystkie niesprzedane kalendarze zostaną zwrócone wydawnictwu, które odkupi je po 2,5 zł za sztukę. Kierownictwo księgarni spodziewa się, że sprzeda 200 sztuk zamówionych kalendarzy. Na podstawie danych o sprzedaży w latach poprzednich oszacowano prawdopodobieństwa sprzedaży dla różnych wolumenów. Rozkład prawdopodobieństwa znajduje się w tabeli poniżej. Przeprowadzić symulację sprzedaży kalendarzy, która pozwoli ustalić wielkość zamówienia oraz wysokość spodziewanych zysków. Popyt [szt.] Prawdop , , , , ,05 Zadanie 38 W zakładzie produkującym sprzęt AGD postanowiono zbadać koszty napraw wytwarzanych żelazek. Miesięcznie produkuje się ich sztuk, a wg szacunków jedno na sto nie powinno opuścić taśmy ze względu na niedostateczną jakość. W produkowanych żelazkach awarii ulega zwykle 5 elementów. Prawdopodobieństwo, że akurat dany element uległ awarii oraz koszty naprawy podaje tabela: Element Prawdop. 0,25 0,15 0,3 0,2 0,1 Koszt naprawy [zł] Zakładamy, że psuje się nie więcej niż dwa elementy jednocześnie. Szansa na to, że zepsuły się dokładnie dwa z nich wynosi 3%. Firma prowadzi politykę, w wyniku której, jeśli łączny koszt naprawy przekroczy cenę żelazka (95zł) wówczas klientowi dostarcza się nowy wyrób (koszty transportu pomijamy). 1. Przeprowadzić symulację kosztów naprawy dla jednego miesiąca i zinterpretować średnią, medianę i dominantę. 2. Porównaj sytuację, w której wymienia się żelazko z taką, w której żelazko naprawiane jest zawsze, niezależnie od kosztów naprawy. Czy firma podjęła słuszną decyzję odnośnie swojej polityki dotyczącej serwisu gwarancyjnego? Zadanie 39 Zakład produkujący prażynki ziemniaczane zaopatruje się u trzech dostawców. W procesie technologicznym znaczenie ma masa pojedynczego ziemniaka, która powinna zawierać się w przedziale 14

15 g. Dostawcy dostarczają więc ziemniaki spełniające tę normę. Po przebadaniu losowej partii od każdego z nich otrzymano następujący rozkład masy ziemniaków: Masa [g] Prawdopod. p 1i 0,3 0,1 0,15 0,2 0,21 0,04 dla p 2i 0,2 0,2 0,4 0,2 0 0 dostawców p 3i 0,46 0,03 0,1 0,23 0,11 0,07 Paczka prażynek ma nominalną masę 130g±5g. W procesie przetwórczym ziemniaki od dostawcy 1 i 3 tracą 60% swojej masy, zaś od drugiego 75%. Do paczki trafiają w pierwszej kolejności ziemniaki od dostawców 1 i 3 (razem). Jeżeli masa użytych ziemniaków jest nie większa niż 120g wówczas dodaje się ziemniaki od dostawcy Przeprowadź symulację masy paczki prażynek po czym zinterpretuj średnią arytmetyczną (łącznie z odchyleniem standardowym), medianę i dominantę wyników. 2. Na podstawie miar pozycyjnych określ czy wszystkie paczki zawierają 135g lub więcej ziemniaków? Zadanie 40 Władze pewnej gminy kupiły fotoradar, który ma zostać umieszczony w jednym z dwóch miejsc. W pierwszym obowiązuje ograniczenie prędkości do 70 km/h, a w drugim do 80 km/h. Urządzenie należy zaprogramować tak, aby reagowało od określonej prędkości. Rozważa się następujące wartości: 90km/h, 100km/h. Na podstawie obserwacji policji oszacowano prawdopodobieństwa prędkości samochodów w branych pod uwagę miejscach: Prędkość [km/h] Lokalizacja 1 Lokalizacja ,2 0,3 80 0,11 0,2 90 0,3 0, ,1 0, ,1 0, ,09 0, ,05 0, ,05 0,06 Poniżej znajduje się taryfikator wysokości mandatów: Przekroczenie prędkości [km/h] Kwota mandatu [zł] do do do do do powyżej UWAGA! Mandat płacony jest od faktycznego przekroczenia prędkości obowiązującej w danej lokalizacji nie zaś od różnicy między prędkością a ustawieniem radaru. Gdzie ustawić radar, aby wpływy z mandatów były największe? Czy możliwe jest, aby mandaty zapłaciła połowa przejeżdżających kierowców? 15

16 Zadanie 41 Firma rozważa zwiększenie produkcji o 5% lub o 10%, co będzie możliwe w przypadku wzrostu popytu. W tej chwili produkuje szt. na miesiąc. Decyzję należy podjąć nie tylko odnośnie nowej wielkości produkcji, ale także co do oferowanej ceny. Szacunki wzrostu popytu przy oferowanej cenie są następujące: Prawdop. Wzrost popytu [%] przy cenie zł 0,40 0,25 0, zł 0,60 0,20 0,20 Jak widać z powyższej tabeli możliwe jest, aby popyt nie zmienił się. Oznacza to pozostawienie produkcji na dotychczasowym poziomie. Planowane zwiększenie produkcji wyznacza kres możliwości wytwórczych przedsiębiorstwa. W ciągu miesiąca nie uda się zwiększyć produkcji ponad planowany poziom nawet jeśli popyt jest wyższy. Każdorazowe zwiększenie produkcji o 500 sztuk oznacza wzrost zatrudnienia o 50 osób. Koszt zatrudnienia nowej osoby (kzat) wynosi 30zł. Zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana. Należy znaleźć cenę i wielkość produkcji dające jak najwyższy zysk, obliczany wg formuły: (c k j )P dla D = 0 Z = (c k j )P kzat Zat dla D > 0 gdzie: Z zysk; c cena jednostkowa wyrobu; P wielkość produkcji; Zat wielkość dodatkowego zatrudnienia. D przyrost popytu Jednostkowy koszt produkcji (k j ) jest zmienną losową o rozkładzie: Koszt [zł] Prawdop. 0,12 0,21 0,15 0,19 0,33 Zadanie 42 Firma planuje wprowadzić na rynek nowy wyrób. Seria produkcyjna (S) liczyć będzie 1000 lub 1500 sztuk. Rozważa się oferowanie tego wyrobu po cenie (c) wynoszącej 100 lub 120 zł. Szacuje się, że popyt (D) w zależności do ceny będzie mieć następujący rozkład: Prawdop. Popyt [szt.] przy cenie zł 0,40 0, zł 0,55 0,45 Koszt (k j ) jednostkowy jest zmienną losową o rozkładzie: Koszt [zł] Prawdop. 0,1 0,25 0,1 0,35 0,2 Ewentualna nadwyżka produkcji nad popytem zbywana będzie po cenie wyprzedaży (c w ) równej 25 zł. Wykonaj 1000 iteracji i oblicz przeciętny zysk wykorzystując formułę: 16

17 (c k j )S dla D S Z = c D + c w (S D) k j S dla D < S Zadanie 43 W tabeli poniżej znalazły się odległości (w km) między sześcioma miastami. Wyznaczyć drogę jaką należy odbyć, aby odwiedzić wszystkie 6 miast, zaczynając i kończąc ją w mieście nr 1. Każde z nich należy odwiedzić dokładnie raz. Wykorzystać dodatek Solver w wersji ewolucyjnej. Miasto X X X X X X Zadanie 44 W tabeli poniżej znalazły się odległości (w km) między siedmioma miastami. Wyznaczyć drogę jaką należy odbyć, aby odwiedzić wszystkie 7 miast, zaczynając i kończąc ją w mieście nr 1. Każde z nich należy odwiedzić dokładnie raz. Wykorzystać dodatek Solver w wersji ewolucyjnej. Miasto X X X X X X X Zadanie 45 Należy ustalić kolejność wykonywania sześciu zadań w taki sposób, aby łączny czas opóźnień mogących wystąpić podczas realizacji był jak najniższy. Kolejne zadanie rozpoczyna się w momencie zakończenia zadania poprzedniego. W tabeli poniżej podano dla każdego zadania czas jego trwania oraz termin wykonania (również wyrażony liczbą dni). Wykorzystać dodatek Solver w wersji ewolucyjnej. Nr zadania Czas trwania Termin wykonania

18 Zadanie 46 Kierownictwo firmy informatycznej w ramach reorganizacji ma za zadanie dokonać przydziału 20 pracowników do 4 grup roboczych zajmujących się tworzeniem oprogramowania dla potrzeb finansów. W każdym dziale ma pracować od 3 do 8 pracowników. Przed dokonaniem przydziału każdy pracownik został oceniony przez swojego dotychczasowego przełożonego pod kątem posiadanych kwalifikacji. Oceny dokonano przyznając punkty w skali od 0 do 10 gdzie 0 oznacza najniższe a 10 najwyższe kwalifikacje. Na przykład kwalifikacje pracownika nr 1 zostały ocenione na 9 punktów przez kierownika grupy 1. Sami pracownicy również określili satysfakcję z pracy w danej grupie wg tej samej skali ocen. Tak więc pracownik 1 ocenia swoją satysfakcję z pracy w grupie 1 na 1 punkt. Szczegółowe wyniki oceny zawiera tabela. Kwalifikacje Satysfakcja Pracownik Grupa 1 Grupa 2 Grupa 3 Grupa 4 Grupa 1 Grupa 2 Grupa 3 Grupa Przyjęto, że kwalifikacje są dwa razy ważniejsze od satysfakcji. Jak przydzielić pracowników do poszczególnych grup roboczych aby zapewnić maksymalny poziom kwalifikacji i satysfakcji przy podanych ograniczeniach? Wykorzystać dodatek Solver w wersji ewolucyjnej. 18