WPŁYW REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA DOKŁADNOŚĆ PROGNOZ FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH

Transkrypt

1 Kaarzya Zeug-Żebro Uwersye Ekoomczy w Kaowcach WPŁYW REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA DOKŁADNOŚĆ PROGNOZ FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Wsęp Rzeczywsy szereg czasowy jes zwykle zaburzoy przez szum losowy. Jego źrółem mogą być błęy pomaru oraz błęy zaokrągleń powsałe poczas aalzy aych. Szum losowy może róweż reprezeować czyk egzogecze wpływające a yamkę ukłau lub być kosekwecją saysyczego charakeru zjawsk, p. a kóre wpływ mają luzke ecyzje. Zaem każy rzeczywsy szereg czasowy moża pozelć a we częśc: eermsyczą sochasyczą ξ, a asępe zapsać w posac ayywej: = + ξ, () gze ξ posaa szybko malejącą fukcję auokorelacj jes eskorelowaa z. W leraurze moża spokać wele proceur reukujących pozom szumu, męzy ym meoę ajwększej warygoośc, ceowae oraz meoę ajblższych sąsaów. Jeą z zale wykającą z użyca ych meo jes poprawa możlwośc progozowaa. Celem arykułu bęze ocea zasosowaa reukcj pozomu szumu, w wybraych szeregach fasowych, meoą ajblższych sąsaów oraz wpływu ej flracj a okłaość progoz. W baaach zosaą wykorzysae szereg uworzoe z ce zamkęca rzech spółek oowaych a GPW w Warszawe, j. Byom, INGBSK, Żywec oraz zeych kursów fraka szwajcarskego olara amerykańskego. Dae obejmą okres o o Oblczea zosaą przeprowazoe z użycem programów apsaych przez auorkę w języku programowaa Delph, pakeu Mcrosof Ecel, Grel oraz TISEAN.

2 Kaarzya Zeug-Żebro. Reukcja pozomu szumu meoą ajblższych sąsaów Meoą ależącą o grupy proceur reukujących pozom szumu w saach ukłau jes meoa ajblższych sąsaów [3]. Opera sę oa a zw. wekorach opóźeń, kóre są wykem rekosrukcj przesrze saów ukłau yamczego (meoa opóźeń [8]). Wekory e zwae róweż -hsoram przyjmują posać: ˆ ( ) =, + τ,..., + ( ) τ, () gze jes wymarem zaurzea, τ jes pewą lczbą auralą azwaą opóźeem czasowym, aomas zmea przyjmuje = N ( )τ warośc (N jes ługoścą szeregu czasowego). Aby wyzaczyć warość, la usaloego l, rzeba rozważyć wekor l opóźeń, w przypaku gy czas opóźeń przyjmuje warość jee, τ = : ˆ = (, +,..., + ( ) ), kórego jeą ze śrokowych współrzęych jes flrowaa obserwacja l (p. wekor ˆ l la parzysej warośc wymaru zaurzea lub la eparzysej warośc ). Usaloo k ajblższych sąsaów wekora ˆ ˆ + l l : ˆ v, ˆ v,..., ˆ k v. (3) Operajac sę a wyzaczoych ajblższych sąsaach, warość eermsyczą l ależy wyzaczyć ze wzoru: l = k k = v. (4).. Mara NRL Skueczość sosowaych meo moża baać za pomocą współczyka pozomu reukcj szumu NRL [4]. Baa o zależość pomęzy słą szumu oawaego o ukłau a srukurą geomeryczą jego arakora [9]. Zależość a polega a pogrubau arakora oalau sę blskch sobe saów w sopu proporcjoalym o sły szumu. Współczyk e wyraża sę wzorem:

3 Wpływ reukcj pozomu szumu losowego meoą ajblższych sąsaów 3 NRL ( ) = m = = M, (5) gze m M ozaczają oległośc o -ego sau (-hsor) o jego ajblższego ajalszego sąsaa. Korzysając z powyższego kryerum, ależy wybrać spośró orzymaych szeregów ak, la kórego współczyk NRL przyjmuje ajmejszą warość.. Progoza szeregów czasowych meoa ajblższych sąsaów * O welu la jes woczy ogromy wzros zaeresowaa eorą elowych ukłaów yamczych, kóry zaowocował pojaweem sę owych meo preykcj wykorzysujących pojęca meoy zwązae z ym ukłaam. Jeą z ch jes meoa ajblższych sąsaów MNS. Jej celem jes wyzaczee progozy elemeu o umerze N + a posawe szeregu czasowego złożoego z N obserwacj {,,..., N }. Algorym progozowaa jes asępujący:. Wyzaczamy lczbę K = ( +) ajblższych sąsaów puku ˆ, = N ( )τ, w sese oległośc euklesowej, w -wymarowej zrekosruowaej przesrze saów. Eleme -wymarowej przesrze saów jes zwązay z pukem:. Oblczamy sumę: gze r r(, ˆ ) ˆ ( ) =, + τ, + τ,..., + ( ) τ. (6) K r TOT = r, (7) = = ozacza oległość męzy pukem =,,..., K. 3. Wyzaczamy wagę -ego sąsaa weług asępującego wzoru: ˆ, r = w K r TOT. (8) * [, s ].

4 4 Kaarzya Zeug-Żebro 4. Wyberamy perwsze współrzęe K ajblższych sąsaów puku ˆ a ch posawe określamy perwsze współrzęe ch asępków +, =,,..., K. 5. Oblczamy progozę N + elemeu jako sumę ważoą asępków perwszych współrzęych ajblższych sąsaów: N + = K w. (9) = + 3. Przemo przebeg baaa Ieresujące rezulay orzymao la szeregów fasowych pochozących z ryków paperów waroścowych oraz waluowych. Ich ługość pozwala a orzymae warygoych rezulaów. Baau poao szereg fasowe * uworzoe z ce zamkęca rzech spółek oowaych a GPW w Warszawe, j. Byom, INGBSK, Żywec oraz zeych kursów fraka szwajcarskego olara amerykańskego. Przeaalzowao obserwacje, kóre la kursów walu były logarymczym sopam zwrou, zaś la spółek awyżkowym (aormalym) sopam zwrou [7, s ]: AR,, ( M, = R α + β R ), (0) gze α, β są parameram szacowaym w okrese esymacj za pomocą klasyczej meoy ajmejszych kwaraów, R, jes logarymczą sopą zwrou -ej spółk, R, logarymczą sopą zwrou porfela rykowego (jako przyblżee M zma warośc porfela rykowego wykorzysao eks WIG). W ejszym arykule okres esymacj bezpośreo poprzeza okres obserwacj. Paramery moelu rykowego są szacowae a posawe 46 sesj, co w przyblżeu saow okres jeego roku kalearzowego. Aalza wymeoych wyżej szeregów czasowych bęze przebegała w pęcu eapach:. Rekosrukcja przesrze saów meoą opóźeń.. Reukcja pozomu szumu meoą ajblższych sąsaów. 3. Oblczee współczyka pozomu reukcj szumu NRL. 4. Progozowae: meoą ajblższych sąsaów MNS, z wykorzysaem moel ARMA. * Dae pochozą z archwum plków programu Omega osępych a sroe ereowej

5 Wpływ reukcj pozomu szumu losowego meoą ajblższych sąsaów 5 5. Ocea jakośc wyzaczoych progoz wybraym merkam: śrem absoluym błęem progozy MAE, błęem śreokwaraowym MSE, perwaskem błęu śreokwaraowego RMSE oraz współczykam Thela. Przeprowazoe baaa emprycze pozwolły za pomocą meoy opóźeń zrekosruować przesrzeń saów. Poając aalze fukcję auokorelacj ACF [6], oszacowao czas opóźeń τ. Nasępe za pomocą meoy ajblższego pozorego sąsaa MNPS [, s ] oblczoo wymar zaurzea. Wyk aalzy przesawoo w abel. Warośc paramerów rekosrukcj przesrze saów la wybraych szeregów fasowych Szereg Paramery Byom τ = 4, = 7 INGBSK τ =, = 8 Żywec τ = 3, = 0 CHF τ =, = 0 USD τ =, = 6 Tabela W kolejym kroku baań zasosowao reukcję pozomu szumu meoą ajblższych sąsaów *. Aby okoać flracj, usaloo warość czasu opóźea τ = oraz warośc wóch paramerów: wymar zaurzea =, 3, 4, 5, 8, 0, 5, 0, promeń ooczea ρ = 0,00; 0,0; 0,. W celu ocey reukcj pozomu szumu meoą ajblższych sąsaów wykorzysao marę NRL() ** la =,3,..., 0. Tabela zawera ajmejszą warość współczyka NRL oblczoą la wybraych szeregów fasowych oraz warośc wymaru zaurzea promea ooczea, la kórych warość NRL była ajższa. Warośc mary NRL la przeflrowaych szeregów fasowych Nazwa szeregu Paramery flracj ρ Mara NRL Byom 0, 0,009 INGBSK 0, 0,0054 Tabela * Reukcję szumu przeprowazoo z wykorzysaem armowego programu TISEAN auorswa H. Kaza T. Schrebera. ** W celu oblczea współczyka NRL posłużoo sę programem auora apsaym w języku programowaa Delph.

6 6 Kaarzya Zeug-Żebro c. abel Żywec 0, 0, CHF 4 0, 0,00053 USD 3 0, 0, Moża zauważyć, że prawe we wszyskch przypakach warośc wymaru zaurzea promea ooczea były ake same. Zmaa wysąpła ylko w przypaku kursów walu. Nasępe w celu wyzaczea progozy oparej a meoze MNS wykorzysao = ( +) K ajblższych sąsaów puku ˆ (posłużoo sę meryką euklesową) oraz opowee warośc paramerów rekosrukcj przesrze saów (abela ). W celu porówaa wyków baae przeprowazoo wukroe la szeregów prze po flracj (z. la szeregów orzymaych la paramerów ρ zameszczoych w abel ). Do usalea posac moelu ARMA [5] posłużoo sę kryerum formacyjym Schwarza, a jako możlwą maksymalą warość paramerów p q przyjęo arbrale 4. Paramery były usalae za pomocą meoy ajwększej warygoośc z wykorzysaem programu ekoomeryczego Grel. Progozy la moel ARMA były usalae za pomocą progozowaa yamczego. W abel 3 przesawoo zesawee błęów preykcj. Szereg Byom INGBSK Żywec CHF USD Błęy progoz orzymaych meoą ajblższych sąsaów la szeregów fasowych Błą ME MAE MSE RMSE I I Tabela 3 Byom -0,05 0,059 0,0059 0, ,794 0,3480 0,4079 Byom _re -0, ,0083 0, ,070 0, , ,963 Byom _MA() -0,0555 0,0560 0,0037 0, ,3356 0, ,5 ING 0,000 0,0080 0,0000 0, ,0760 0,3830,66834 ING_re 0, ,0004 0, , ,0493 0, ,7663 ING_MA(34) 0,0049 0,0063 0, , ,043 0,6505 0,4345 Żywec -0,000 0,0039 0,0000 0, ,003 0,8536 0,84706 Żywec _re -0,0000 0, , ,005 0,0000 0,708 0,4996 Żywec _MA() -0,0063 0,0036 0,0000 0,0043 0,38 0,6357 0,6 CHF 0,003 0,004 0,000 0,03 0,0373 0,455 0,653 CHF _re 0,006 0,0097 0,000 0,07 0,088 0,870 0,06 CHF _AR(3, ) -0, , , ,0090 0,897 0,566 0,4 USD 0,0005 0,04 0,0003 0,059 0,0009 0,3384 0,7388 USD _re -0,00 0,030 0,000 0,053 0,098 0,676 0,337 USD _AR(, ) -0, , ,0005 0,034 0,373 0,7566 0,06303 I 3

7 Wpływ reukcj pozomu szumu losowego meoą ajblższych sąsaów 7 Aalzując orzymae rezulay, moża zauważyć, że ajższe błęy e pos uzyskao la progoz wyzaczoych meoą ajblższych sąsaów la szeregów przeflrowaych, jeakże w ym przypaku wyzaczae progoz było ajbarzej czasochłoe. Neco gorsze, choć róweż obre rezulay uzyskao sosując moel ARMA. Najgorsze wyk orzymao korzysając z meoy MNS la szeregów, w kórych e przeprowazoo reukcj pozomu szumu. Posumowae Operając sę a wybraych szeregach fasowych, porówao we meoy progozowaa: ajblższych sąsaów oraz moele ypu ARMA. Przeprowazoe baaa pokazały, że moele ARMA ają okłaejsze progozy w przypaku szeregów eprzeflrowaych. Naomas w syuacj, gy szereg e uprzeo poao reukcj pozomu szumu, lepsze wyk orzymao korzysając z meoy ajblższych sąsaów. Zaem zasosowae meo wywozących sę z eor elowych ukłaów yamczych może saowć eresującą aleraywę la moel ARMA. Waro zauważyć, że warośc progoz wyzaczoych meoą ajblższych sąsaów w użej merze zależą o przyjęej meryk, warośc paramerów zrekosruowaej przesrze saów oraz lczby ajblższych sąsaów K. Zaem wyaje sę, że w celu poprawy jakośc ych progoz moża przeprowazć oakowe oblczea la różej lczby ajblższych sąsaów oraz różych warośc wymaru zaurzea czasu opóźea. Leraura. Abarbael H.D., Brow R., Keel M.B., Deermg Embeg Dmeso for Phase Space Recosruco Usg a Geomercal Cosruco, Physcal Revew A 99, Vol. 45(6), s Debol F.X., Naso J.A., Noparamerc Echage Rae Preco? Joural of Ieraoal Ecoomcs 990, Vol. 8, s Kaz H., Schreber T., Nolear Tme Seres Aalyss, Cambrge Uversy Press, Cambrge Orzeszko W., Ieyfkacja progozowae chaosu eermsyczego w ekoomczych szeregach czasowych, Polske Towarzyswo Ekoomcze, Warszawa Osńska M., Ekoomera fasowa, PWE, Warszawa 006.

8 8 Kaarzya Zeug-Żebro 6. Ramsey J.B., Sayers C.L., Rohma P., The Sascal Properes of Dmeso Calculaos Usg Small Daa Ses: Some Ecoomc Applcaos, Ieraoal Ecoomc Revew 990, Vol. 3, No Srog N., Moellg Abormal Reurs: A Revew Arcle, Joural of Busess Face & Accoug 99, Vol. 9, Iss., s Takes F., Deecg Srage Aracors Turbulece, w: Lecure Noes Mahemacs, re. D.A. Ra, L.S. Youg, Sprger, Berl 98, s Zawazk H., Chaoycze sysemy yamcze, Akaema Ekoomcza, Kaowce 996. EFFECT OF REDUCTION OF RANDOM NOISE BY METHOD THE NEAREST NEIGHBORS ON THE ACCURACY OF FORECASTS OF THE FINANCIAL TIME SERIES Summary The real me seres s usually surbe by raom ose. Hs source may be errors of measureme a errors of roug mae urg aa aalyss. The raom ose may also represe a eogeous facors affecg he yamcs of he sysem or be a cosequece of he sascal aure of he pheomea, e.g. whch are affece by huma ecsos. Sce he presece of ose he aa ca sgfcaly affec he qualy of he forecass, he am of he arcle wll be o evaluae he accuracy of precg he me seres flere usg he meho of eares eghbors. The es wll be couce o he bass of he facal me seres, whch coss of closg prces of compaes lse o he Warsaw Sock Echage a he aly echage raes.