ANALIZA ASYMPTOTYCZNA WYKŁADNICZEJ SIECI ZAWODNYCH SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ANALIZA ASYMPTOTYCZNA WYKŁADNICZEJ SIECI ZAWODNYCH SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH"

Emilia Michałowska
5 lat temu
Przeglądów:

1 STUDIA INFORMATICA 1 Volume 33 Number 3A (17) Mchał MATAŁYCKI Polechka Częsochowska, Isyu Maemayk Swaosław STATKIEWICZ Grodzeńsk Uwersye Pańswowy ANALIZA ASYMPTOTYCZNA WYKŁADNICZEJ SIECI ZAWODNYCH SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH Sreszczee. W arykule przeaalzowao zamkęą wykładczą seć kolekową z zawodym sysemam dużą lczbą zgłoszeń, dla kóre orzymao układy rówań różczkowych do wyzaczea średe lczby zgłoszeń euszkodzoych kaałów obsług w sysemach sec. Rozwązaa wskazaych układów sosue sę w zagadeach opymalzac. Słowa kluczowe: epewe sysemy obsług, aproksymaca ASYMPTOTIC ANALYSIS OF MARKOV QUEUEING NETWORK WITH UNRELIABLE SYSTEMS Summary. The closed expoeoal queueg ework wh urelable sysems wh he large umber of messages s vesgaed. We have receved he sysems of dffereal equaos for average umber of messages ad servceable chaels of ework sysems. For such sysems s possble o dscover soluo ad o use opmzao problems. Keywords: urelable queueg sysems, approxmao 1. Wprowadzee Sec kolekowe częso są używae ako modele probablsycze sysemów sec kompuerowych [1]. Poeważ urządzea sec kompuerowych czasem mogą zosać uszkodzoe, ch modelowau służą sec kolekowe z sysemam zawodym.

2 3 M. Maałyck, S. Sakewcz Rozparzmy wykładczą seć kolekową składaącą sę z 1 sysemów obsług masowe (SOM) S, S1,..., S, w kóre obsługwaych es K zgłoszeń edego ypu. Sysem S zawera m deyczych kaałów obsług, 1,, m K. Załóżmy, że kaały obsług sysemu S są ezawode, aomas w ych sysemach S, S1,..., S kaały obsług mogą zosać przypadkowo uszkodzoe. Czas dzałaa każdego euszkodzoego kaału sysemu S ma rozkład wykładczy z paramerem, 1,. Po uszkodzeu kaału aychmas rozpoczya sę ego aprawa. Czas aprawy ma akże rozkład wykładczy z paramerem, 1,. Po zakończeu obsług w syseme S zgłosze- e aychmas przeos sę do sysemu S z prawdopodobeńswem p,,,, p, p 1. Jeśl do sysemu S przybywa zgłoszee, podczas gdy w syseme ym es obecy ede euszkodzoy woly kaał, o es oo aychmas obsługwae, czas ego obsług ma rozkład wykładczy z paramerem, 1,. W przypadku przecwym zgłoszee zosae sę oczekwać w kolece. Przymuemy, że dyscyplą obsług zgłoszeń we wszyskch sysemach sec es FIFO. W arykule orzymao układy rówań różczkowych dla średe lczby zgłoszeń euszkodzoych kaałów w sysemach sec przy duże warośc K. Techka wyprowadzea ych rówań róż sę od zwykłe echk aproksymac dyfuzye [1]. Rozwązaa wskazaych układów są sosowae w zagadeach opymalzac model sec kompuerowych []. Zauważmy, że wspomaa echka była po raz perwszy podaa w pracach [3, 4] dla sec wykładczych z ezawodym SOM.. Układ rówań dla prawdopodobeńsw saów Przymuemy, że czasy obsług zgłoszeń, aprawy kaałów czasy pracy euszkodzoych kaałów są ezależym zmeym losowym. Wówczas sa sec w chwl czasu moża opsać wekorem losowym gdze, 1,,...,, 1,,..., d k z d k d d d k k k, (1) odpowedo, są lczbam euszkodzoych kaałów zgłoszeń w syseme S w czase d m, k K,,. Oczywśce k K k es lczbą zgłoszeń w syseme S w chwl. 1

3 Aalza asympoycza wykładcze sec zawodych sysemów kolekowych 31 Wekor z worzy wymarowy łańcuch Markowa z czasem cągłym skończoą lczbą saów. Ozaczmy przez,,, P d k P d d k k, gdze d d d d 1,,...,, d m K, 1,, prawdopodobeńswa saów sec. Załóżmy, że, k k k k 1,,...,, k I es wekorem z zerowym współrzędym oprócz e, kóra es rówa 1. Możlwe prześca łańcucha Markowa d, k, z w czase są asępuące: ze sau d, k I I, z prawdopodobeńswem d, k I, p m d, k 1 o,, 1, ; ze sau z prawdopodobeńswem pk k 1 o, 1, ; 1 ze sau d, k I, z prawdopodobeńswem d I, k, m, 1 p d k o, 1, ; ze sau z prawdopodobeńswem ( m d 1) o, 1, ; ze sau d I, k, z prawdopodobeńswem d 1 o,,, 1, ; ze sau d k z prawdopodobeńswem 1 K k m d, k m d d o ; ze wszyskch ych saów z prawdopodobeńswem o. z do sau Korzysaąc ze wzoru a prawdopodobeńswo całkowe, możemy wypsać układ rówań różcowych dla prawdopodobeńsw saów, z kórego po prześcu graczym przy orzymuemy układ rówań różcowo-różczkowych Kołmogorowa dla prawdopodobeńsw saów:

4 3 M. Maałyck, S. Sakewcz dp d, k, d p m d, k P d, k I I, P d, k, p m d, k 1 m d, k P d, k I I, 1,,,,,, K k P d k I P d k P d k I 1 p m d, k P d, k I, P d, k, 1 p m d, k 1 m d, k P d, k I, m d Pd I, k, Pd, k, Pd I, k, 1 1 d Pd I, k, Pd, k, Pd I, k,. () Układy rówań różczkowych dla średch charakerysyk Rozwązae aalycze podaego układu es kłopolwe. Dlaego rozparzmy waży przypadek duże lczby zgłoszeń w sec K 1. Aby zaleźć rozkład wekora losowego z(), przedzemy do zmeych względych, borąc pod uwagę wekor d1 d d k1 k k,,...,,,,..., K K K K K K Możlwe warośc ego wekora przy usaloym ależą do zboru ograczoego domkęego G y, x y, y,..., y, x, x,..., x : x, x 1, y 1 1, (3) 1 K. m w kórym oe leżą w węzłach wymarowe sak a odległośc 1 K eda od druge. Po wzrasau K gęsość ładuku zboru G możlwym współrzędym wekora wzrasa moża zauważyć, że ma o rozkład cągły o gęsośc,,,,,, K P d k p y x K p y x, przy ym, gdy K. Możemy węc sosować u aproksymacę fuk- c Pd, k,, korzysaąc z relac K Pd, k, K PyK, xk, py, x,, y, x G.

5 Aalza asympoycza wykładcze sec zawodych sysemów kolekowych 33 Zazaczmy, że e I, 1,, cb b a b a cb a, cb a m, 1 m, poeważ m ba, 1, b. Zauważmy, że, b m ba, a, (4) a, b a d k m. Używaąc względych zmeych y, x, l, b, b a K K K 1,, z wyrażea (4) ego faku, że, gdy K, możemy układ () zapsać w posac: p y, x, K p m y, x p y, x e e, p y, x, 1 1 m y, x p p y, x e e, 1 1 x K1 x p( y, x e, ) p( y, x, ) py, x e, 1 1 K p m y, x p y, x e, py, x, 1 m y, x p p y, x e, x,,,,,, K l y p y e x p y x p y e x 1 1 K y p y e, x, p y, x, p y e, x,. (5) 1 1 Prawą sroę (5) zapszemy z dokładoścą do o( ). Jeżel,, cągła różczkowala względem y x, o prawdłowe są relace:,, p y, x, p y x p y, x e, p y, x, o x x,, p y, x, p y x p y, x e e, p y, x, x x,,,,,, p y x p y x p y x o x x x x,, p y, x, p y x p y e, x, p y, x, o y y, p y x es dwukroe,, 1,. (6)

6 34 M. Maałyck, S. Sakewcz Po użycu powyższych rówań przy założeu K 1 orzymao, że gęsość p y, x, z dokładoścą do o( ) speła rówae Kołmogorowa-Fokkera-Placka: gdze: A,, 1 A y p y, x, A y, x p y, x, p y x y x B,, y p y x B y, x p y, x, y y, (7) x x, 1, 1 1 A y l y y, (8) A y x p y x p x 1 1 p, m, 1, 1, p,, p 1,, 1 B y l y y, B y x p y x p x 1 1 p, m, 1, p,, 1 p,,, m, 1 ; (9) B y, ; B y x p y x,. Poeważ gęsość p y, x, speła rówae Kołmogorowa-Fokkera-Placka, A 1 y y, x są fukcam przedzałam lowym względem y, x, węc zgode z [5] z dokłado- ścą do O możemy wyzaczyć układy rówań dla k : M K dw d d d 1 d, w M K A w l w w, 1,, (1) A w, p m w, p 1 1 1, 1,. (11) Prawe sroy układu (11) są fukcam cągłym przedzałam lowym. Tak układ możemy rozwązać sposobem segmeac przesrze fazowe uzyskaa rozwązaa układu (11) w obszarze lowośc prawe sroy.

7 Aalza asympoycza wykładcze sec zawodych sysemów kolekowych 35 Nech 1,,..., będze zborem wskaźków składowych wekoa. Podzelmy zbór a dwa zbory rozłącze : w, w : : Każdy podzał określa rozłącze obszary G zboru ak, że: G :, 1 1 G : w 1, ; w, 1 ; c 1, c1 Wedy układ rówań (11) przymue posać d d dla każdego obszaru 1 p w p p 1, 1, G, gdze, , (1) Rozwązae układów rówań (1), (1) pozwala a uzyskae średe lczby zgłoszeń euszkodzoych kaałów obsług w każdym syseme kolekowym sec. Na przykład, eśl sysemy sec dzałaą w ak sposób, że w ch w średm e ma koleek,. w m, d d, 1,, o układ rówań możemy zapsać w posac A Q, T gdze,,, 1 A A e e Q d., a ego rozwązaem będze: 4. Wosk Dalsze badaa w ym keruku mogą być zwązae z wykorzysaem, w, 1,, przy rozwązau zadań opymalzac. Jako kryerum opymalzac moża u wząć 1, m a d m T, m1, m,, m, 1,, b w W T m m T 1 gdze a, b są współczykam koszowym.

8 36 M. Maałyck, S. Sakewcz BIBLIOGRAFIA 1. Wszewsk W.: Podsawy eoreycze proekowaa sec kompuerowych. Techosfera, Moskwa 3 (w ęz. ros.).. Maałyck M., Tkhoeko O, Kołuzaewa K.: Sysemy sec obsług masowe: aalza zasosowaa. Wyd. GrUP, Grodo 11 (w ęz. ros.). 3. Medvedev G. A.: Zamkęe sysemy kolekowe ch opymalzaca. Proceedgs of he USSR Academy of Sceces: Egeerg Cyberecs, 1978, 6, s (w ęz. ros.). 4. Medvedev G. A.: O opymalzac zamkęych sysemów kolekowych. Proceedgs of he USSR Academy of Sceces: Egeerg Cyberecs, 1975, r 6, s (w ęz. ros.). 5. Paraew Y. I.: Wprowadzee do saysyczych procesów korol flrac. Sov. Rado, Moskwa 1976 (w ęz. ros.). Wpłyęło do Redakc 6 marca 1 r. Absrac The Markov ework wh urelable queueg sysems s vesgaed. The servce chaels of sysems are exposed o radom falure, besdes he me of he proper fucoaly ad he me of recosruco of each chael of sysem has he expoeal dsrbuo wh dscve parameers. The sysem of dfferece-dffereal equaos of Kolmogorov for he saes probables s compled. Asympoc aalyss of he gve ework a he large umber of messages s realzed. The paral dffereal equao for probably desy fuco of he vecor of saes s deduced. The sysems of ordary dffereal equaos for average umber of messages ad servceable chaels of ework sysems are receved. For such sysems s possble o dscover soluo ad o use opmzao problems. Adresy Mchał MATAŁYCKI: Polechka Częsoсhowska, Isyu Maemayk, ul. Dąbrowskego 73, 4-1 Częsochowa, Polska, m.maalysk@gmal.com Swaosław STATKIEWICZ: Grodzeńsk Uwersye Pańswowy, ul. Ełzy Orzeszko, 33 Grodo, Bałoruś, ssa@grsu.by

Podobne dokumenty

Zmiana bazy i macierz przejścia

Zmiana bazy i macierz przejścia Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce