Analiza niepewności pomiarów Definicje

Transkrypt

1 Teora pomarów Aalza epewośc pomarów Defce Dr hab. ż. Paweł Mada

2 Podstawowa defca Nepewość pomar to parametr zwązay z wykem pomar, charakteryzący rozrzt wartośc, który w zasadoy sposób moża przypsać welkośc merzoe Ocea lczbowa epewośc będze róża w zależośc od przyęte defc metody szacowaa Szczec; Paweł Mada

3 Nepewość stadardowa (ag. stadard certaty) epewość wyk pomar wyrażoa przez odchylee stadardowe. Złożoa epewość stadardowa (ag. combed stadard certaty) - to epewość stadardowa wyk pomar, określaa, gdy wyk te est zależy od wel welkośc składowych, rówa perwastkow kwadratowem z smy wyrazów będących waracam lb kowaracam ych welkośc z wagam zależym od tego ak wyk pomar zmea sę wraz ze zmaam tych welkośc. c f f f, Szczec; Paweł Mada 3

4 Nepewość rozszerzoa (ag. epaded certaty) to welkość określaąca przedzał wokół wyk pomar, od którego to przedzał oczeke sę, że obeme dżą część rozkład wartośc, które w zasadoy sposób moża przypsać wartośc welkośc merzoe. U k gdze: k współczyk rozszerzea, zastosoway ako możk złożoe epewośc stadardowe w cel otrzymaa epewośc rozszerzoe, zwykle k 3. Jeżel brak est specalych wymagań przyme sę k= co odpowada pozomow fośc poad P=95%. Warygody wyk pomar est reprezetoway przez przedzał wyzaczoy a określoym pozome fośc P c U U ˆ gdze: -a est pozomem fośc, który określa prawdopodobeństwo, że wyzaczoy przedzał zawera prawdzwą wartość welkośc merzoe. Zdarzee przecwe, gdy wyzaczoy przedzał e obeme prawdzwe wartośc welkośc merzoe, est mało prawdopodobe, zatem zazwycza przyme sę a<0,05 ˆ Szczec; Paweł Mada 4

5 Grafcza terpretaca epewośc pomar epewość rozszerzoa złożoa epewość stadardowa Warygody wyk pomar est reprezetoway przez przedzał wyzaczoy a określoym pozome fośc. gdze -a est pozomem fośc, wartość prawdzwa wyk pomar P U U ˆ ˆ Szczec; Paweł Mada 5

6 Metody oblczaa wartośc lczbowe epewośc stadardowe Metoda typ A (ag. type A evalato of certaty). Jest to metoda oblczaa epewośc za pomocą aalzy statystycze ser poedyczych obserwac Szczec; Paweł Mada 6

7 Metody oblczaa wartośc lczbowe epewośc stadardowe Metoda typ B (ag. type B evalato of certaty). Jest to metoda oblczaa epewośc sposobam ym ż aalza ser obserwac. Ocea epewośc metodą typ B est wykoywaa a podstawe osobstego dośwadczea eksperymetatora, zyskaego w czase poprzedch pomarów, daych lteratrowych (ormy, charakterystyk metrologcze przyrządów pomarowych podawae przez prodcetów, poradk tp.), wyków zyskaych w czase wzorcowaa oraz rozkład prawdopodobeństwa przyętego przez obserwatora. Szacowae epewośc metodą typ B może być wykoywae m.. w przypadk wykoaa poedyczego pomar lb brak wdoczego rozrzt w ser pomarów Szczec; Paweł Mada 7

8 Metody oblczaa wartośc lczbowe epewośc stadardowe Celem podzał metod oblczaa epewośc a typ A typ B est wskazae dwóch różych sposobów oblczaa składowych epewośc. Oba typy oblczea są oparte a rozkładach prawdopodobeństwa wykorzyste sę w ch poęce odchylea stadardowego. Nepewość stadardowa typ A est oblczaa z fkc gęstośc prawdopodobeństwa otrzymae przez eksperymet z obserwowaego rozkład. Nepewość stadardowa typ B korzysta z daych spoza obece wykoywaego pomar est wyzaczaa a podstawe założoe fkc gęstośc prawdopodobeństwa, oparte a stop zafaa w to, że zadze aalzowae zdarzee Szczec; Paweł Mada 8

9 Postace rozkładów wykorzystywae dla celów szacowaa epewośc stadardowe metodą B trókąty; b 6 prostokąty (edostay); b 3 epewość stadardowa a atymodaly V; b b atymodaly U; b Szczec; Paweł Mada 9

10 Bdżet epewośc dla pomar dwpktowego średcy wałka mkrometrem Pytaa kotrole: Co to est epewość pomar? Co to est epewość stadardowa? Co to est epewość rozszerzoa? Co to est współczyk rozszerzea? Co to est waraca? Co to est odchylee stadardowe czym róz sę od odchylea stadardowego eksperymetalego? Czym róż sę odchylee stadardowe od odchylea stadardowego średe arytmetycze? W ak sposób zyskać formacę o postac rozkład prawdopodobeństwa badae cechy poplac (p. wyk pomar)? Co est marą błędów przypadkowych? Kedy stee potrzeba względaa w wyzacza epewośc pomar czło zwązaego z kowaracą zmeych? Omów kosekwece oddzaływaa cetralego twerdzea graczego rach. prawd. a. Błędy sę smą co to zaczy ak to rozmesz? Szczec; Paweł Mada 0

11 Przykładowe fkce gęstośc prawdopodobeństwa rozkład edostaego J, ormalego N oraz ch splot JN Praktyczą kosekwecą CTG est to, że w przypadk gdy ego założea są spełoe, w szczególośc, gdy epewość pomar est zdomowaa przez rozrzt wyków pomarów w ser to zasadoym perwszym przyblżeem przy oblcza epewośc rozszerzoe U=k, est przyęce dla k wartośc wykaące z () f rozkład ormalego. Prezetoway przykład dotyczy odmee sytac dome dzał składowych z rozkład edostaego (p. MPE przyrząd pomarowego) Metoda dokłada Metoda przyblżoa Różca U d =k JN c U p =k c U p U k JN(90%) = k 90% = % 00% k JN(95%) = k 95% = % k JN(99%) = k 99% = % d c A B U k 0.05 c A = 0.05mm rozkład ormaly, B = 0.5mm rozkład edostay. Współczyk rozszerzea k est wartoścą zmee stadaryzowae splot rozkładów składowych. Jego zaomość przy zadaym pozome prawdopodobeństwa pozwala kąć przyblżoych metod oblczaa epewośc rozszerzoe pomar tym samym zwększa dokładość e oszacowaa.

12 Oblczoa w sposób ścsły wartość współczyka rozszerzea k JN (P) dla różych stosków epewośc stadardowych rozkład edostaego - B ormalego - A U k JN B A Szczec; Paweł Mada

13 Skrócoy przeps oblczaa wyrażaa epewośc Opsae zasady, metody warków pomar, zdefowae welkośc merzoych. Wyrażee zwązk mędzy welkoścą merzoą welkoścam weścowym, od których zależy, postać fkc, czyl fkcę pomar pośredego, azywaą ekedy modelem pomar. Fkca ta powa zawerać wszystke welkośc, włączaąc w to poprawk oddzaływaa, które mogą wosć zaczące składowe do epewośc pomar. ˆ f ˆ, ˆ, ˆ 3,..., ˆ,...ˆ, ˆ Szczec; Paweł Mada 3

14 Skrócoy przeps oblczaa wyrażaa epewośc Wyzaczee estymat wartośc welkośc weścowych albo a podstawe aalzy statystycze ser obserwac, albo za pomocą ych metod. Dyspoąc serą pomarów welkośc weścowe ako e wyk przyme sę (zgode z zaleceam Przewodka) estymator wartośc oczekwae, którym est średa arytmetycza z ser pomarów oblczaa ze zae zależośc: ˆ Oblczee wyk pomar to est estymaty welkośc merzoe z zależośc fkcye, dla wartośc welkośc weścowych rówych estymatom. ˆ f ( ˆ, ˆ, ˆ 3,...ˆ,...ˆ, ˆ,) Szczec; Paweł Mada 4

15 Skrócoy przeps oblczaa wyrażaa epewośc Oblczee epewośc stadardowych ( ) estymat wartośc welkośc weścowych. Dla estymat wyzaczoych a drodze statystycze aalzy ser obserwac epewośc stadardowe oblcza sę metodą typ A. Dla estymat wyzaczaych ym metodam epewośc stadardowe ( ) oblcza sę metodą typ B. Na tym etape ależy pamętać także o oszacowa epewośc stadardowych dla poprawek. Dla poedyczego wyk pomar, zyskaego a podstawe ser obserwac, ezależe od rozkład prawdopodobeństwa akem podlega welkość weścowa, epewość stadardową oblczamy z zależośc: ( ) ˆ Natomast epewość stadardową wartośc średe staow odchylee stadardowe eksperymetale średe oblczae z zależośc : Szczec; Paweł Mada 5 atomast dla epewośc szacowaych metodą B z zależośc: a b ˆ

16 Skrócoy przeps oblczaa wyrażaa epewośc Szczec; Paweł Mada 6 Oblczee kowarac zwązaych z estymatam wartośc welkośc weścowych skorelowaych. Estymatę kowarac wyzaczamy w przypadk rówoczesego pomar, co ame dwóch, wartośc welkośc weścowych. Dla poedyczego pomar ezależych par obserwac oblczamy ą z zależośc: k k k ˆ ˆ, oraz dla wartośc średe:, ˆ, ˆ

17 Skrócoy przeps oblczaa wyrażaa epewośc Szczec; Paweł Mada 7 Oblczee złożoe epewośc stadardowe wyk pomar a podstawe epewośc stadardowych kowarac zwązaych z estymatam wartośc welkośc weścowych: c f f f,

18 Skrócoy przeps oblczaa wyrażaa epewośc Oblczee epewośc rozszerzoe U k c słżące do wyzaczea przedzał P U U ˆ ˆ który powe obemować dżą część rozkład wartośc, które moża w sposób zasadoy przypsać wartośc welkośc merzoe. Współczyk rozszerzea k, zwykle meszczący sę w zakrese od do 3. Wartość k wybera sę a podstawe żądaego pozom fośc Szczec; Paweł Mada 8

19 Skrócoy przeps oblczaa wyrażaa epewośc Podae wyk pomar wraz z epewoścą rozszerzoą. Do wyk pomar ależy dołączyć także ops sposob wyzaczaa epewośc stadardowych epewośc złożoe. Zalecaym est zestawee w postac bdżet epewośc. p. A=5,093 ± 0,03 m; k= Szczec; Paweł Mada 9

20 Uwaga! Tzw. Przewodk edozacze defe sposób szacowaa epewośc pomarów dla przypadków, kedy wyk pomar est skalarem. Co zrobć w przypadk, kedy wyk pomar est fkcoałem lb wyka z przekształceń operatorowych? Szczec; Paweł Mada 0

21 Dzękę za wagę Szczec; Paweł Mada