WPŁYW OPTYMALNYCH PARAMETRÓW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO NA IDENTYFIKACJĘ CHAOSU W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH

Transkrypt

1 Monka Mśkewcz-Nawrocka Unwerye Ekonomczny w Kaowcach Kaera Maemayk monka.mkewcz@ue.kaowce.pl WPŁYW OPTYMALNYCH PAAMETÓW EDUKCJI SZUMU LOSOWEGO NA IDENTYFIKACJĘ CHAOSU W EKONOMICZNYCH SZEEGACH CZASOWYCH Wprowazene zeczywe zereg czaowe ( ) kłaają ę z częśc eermnycznej (y ) oraz częśc ochaycznej (ε ), kóra wyraża pozom zumu loowego. eukcja zumu loowego pozwala poznać włanośc zeregu (y ) na poawe analzy zeregu oberwacj ( ). Jeną z meo reukcj pozomu zumu loowego je meoa najblżzych ąaów. Celem arykułu było zbaane wpływu proceu reukcj zumu loowego meoą najblżzych ąaów na enyfkację chaou w zeregach czaowych. Baana empryczne przeprowazono na poawe rzeczywych anych naury ekonomcznej zereg fnanowe uworzone z logarymów zennych óp zwrou cen zamknęca wybranych neków geł śwaowych. Dane obejmują okre o o Do przeprowazena nezbęnych oblczeń wykorzyano program napany przez auora w języku Delh, arkuz kalkulacyjny Excel oraz program TISEAN.. eukcja zumu loowego meoą najblżzych ąaów zeczywy zereg czaowy można opać za pomocą ukłau równań: x = f ( + η ) + x, ()

2 46 Monka Mśkewcz-Nawrocka ( ) + + = h x + ξ, = 0,,2,... (2) gze: f : X X funkcja opująca rzeczywą ynamkę ukłau, h : X funkcja pomarowa generująca zereg czaowy oberwacj m ukłau ynamcznego, X, X przerzeń anów, x, x+ X an neznanego, perwonego ukłau welowymarowego opoweno w chwlach, +, + oberwacja zeregu czaowego w chwl +, zum ynamczny wewnąrz ukłau, η ξ zum pomarowy. W króce, zereg czaowy opany równanam () (2) można zapać jako: = y + ε, (3) gze: oberwacja zeregu czaowego w momence, y część eermnyczna zeregu czaowego, ε część ochayczna zeregu czaowego (zum loowy). Poawą meoy najblżzych ąaów łużącej o reukcj zumu loowego je rekonrukcja przerzen anów [0], kóra pozwala na poawe jenowymarowego zeregu czaowego oberwacj oworzyć przerzeń anów ukłau ynamcznego. Elemenam zrekonruowanej przerzen anów ą wekory opóźneń zw. -hore poac: ( ) =, τ,..., ( ) τ, (4) gze: oberwacja zeregu czaowego w momence, wymar zanurzena, τ +. τ opóźnene czaowe, ( ) N Szacowane warośc częśc eermnycznej < n < N zeregu czaowego (, 2,..., ) N y n, meoą najblżzych ąaów obywa ę weług naępującej proceury [3]:. Dla ozacowanego wymaru zanurzena oraz opóźnena czaowego τ = worzy ę wekor opóźneń poac:

3 Wpływ opymalnych paramerów reukcj zumu loowego 47 ( ) =,,..., ( ), (5) ak aby flrowana oberwacja n była jeną ze śrokowych wpółrzęnych wekora. 2. Wyznacza ę k najblżzych ąaów (w ene oległośc eukleowej) wekora : l, 2,..., () l( ) l( k ). (6) 3. Na poawe perwzych wpółrzęnych najblżzych ąaów wekora, oblcza ę warość y n weług wzoru: k yn = l (), (7) k = gze: l () perwza wpółrzęna wekora l (). Do oceny kuecznośc oowanej meoy flracj można zaoować wpółczynnk pozomu reukcj zumu NL, kóry baa zależność pomęzy łą zumu oawanego o ukłau a rukurą geomeryczną jego arakora. Wpółczynnk NL any je wzorem [7]: NL ( ) T = = T = D, (8) gze: D oległośc -ego wekora opóźneń (-hor) opoweno o jego najblżzego najalzego ąaa. 2. Ienyfkacja ynamk chaoycznej w zeregach czaowych Do poawowych narzęz eor nelnowych ukłaów ynamcznych, łużących o enyfkacj eermnycznego chaou należą najwękzy wykłank Lapunowa oraz wymar korelacyjny ukłau. Warość najwękzego Meoy enyfkacj chaou pozwalają na wykryce jeyne pojeynczego arybuu ynamk chaoycznej. Zaem przeprowazene pełnej analzy anych wymaga uwzglęnena uzupełnających ę meo (eu BDS, analzy przekalowanego zakreu /S, wymaru frakalnego zeregu, eu Kaplana, analzy bpekrum lub eu Whe a za pomocą ec neuronowych).

4 48 Monka Mśkewcz-Nawrocka wykłanka Lapunowa merzy wrażlwość ukłau ynamcznego na zmanę warunków począkowych, kóra je poawowym arybuem ynamk chaoycznej. Naoma zacowane warośc wymaru korelacyjnego pozwala zmerzyć złożoność ukłau określć lczbę zmennych ukłau. 2.. Najwękzy wykłank Lapunowa Dla ukłau ynamcznego ( X, f ) wykłank Lapunowa efnuje ę jako grance []: λ ( x0 ) = lm ln μ ( n, x0 ), n n =,..., m, la m, (9) gze: n μ ( n, x 0 ) warośc włane macerzy Jacobego owzorowana f, n f n-krone złożene funkcj f, X, f j.w. W prakyce, la rzeczywych czaowych, gy ne je znana funkcja generująca f, najwękzy wykłank Lapunowa zacuje ę na poawe zależnośc: nλmax Δ Δ e, (0) jako wpółczynnk kerunkowy równana regrej: n ln Δ n = ln Δ 0 + λmaxn, () gze: Δ 0 począkowa oległość pomęzy woma począkowo blkm (w ene meryk eukleowej) wekoram zrekonruowanej przerzen anów, Δ oległość pomęzy ym wekoram po n eracjach, n λ najwękzy wykłank Lapunowa [3;]. max Doana warość najwękzego wykłanka Lapunowa je barzo częo uznawana jako warunek koneczny wyarczający obecnośc chaou w ukłaze ynamcznym Wymar korelacyjny Wymar korelacyjny arakora ukłau ynamcznego je nazywany grancą [3;8]:

5 Wpływ opymalnych paramerów reukcj zumu loowego 49 (, ε, ) lnc D C = lm ε 0 lnε, (2) gze: C, ε, = lmc, n, ε, całką korelacyjną aną wzorem: ( ) ( ) C n ( n,, τ ) ( n ) j= = j+ ( x x ) n n 2, ε = I ε j, ε > 0, (3) n 0, a < 0 I ( a) =,, a 0 x wekor -wymarowej zrekonruowanej przerzen anów, τ opóźnene czaowe. Dla rzeczywych czaowych warość wymaru korelacyjnego zacuje ę jako wpółczynnk kerunkowy równana regrej [7;]: gze: a ała. ( ε ) = D lnε a ln C c +, (4) Warość wymaru korelacyjnego D C wyznacza ę la kolejnych warośc wymaru zanurzena. Dla eermnycznych warość wymaru D C pownna ablzować ę na pewnym pozome równym zacowanemu wymarow korelacyjnemu. Dla loowych wymar D C pownen w przyblżenu być równy wymarow zanurzena [5]. 3. Baana empryczne Przemoem baana były logarymy zennych óp zwrou neków geł śwaowych: CAC40 nek na Gełze Paperów Waroścowych w Paryżu (CAC), HANGSENG nek na Gełze Paperów Waroścowych w Hongkongu (HSI), NIKKEI225 nek na Gełze Paperów Waroścowych w Toko (NKX), SENSEX 30 nek na Gełze Paperów Waroścowych w Bombaju (SNX), S&P500 nek geły w Nowym Jorku (SPX), WIG nek na Gełze Paperów Waroścowych w Warzawe (WIG) oraz XU00 nek na Gełze Paperów Waroścowych w Sambule (XU); poac: x, (5) = ln ln gze: oberwacja zeregu, noowane w okree Dane pochozą z archwum plków rony nerneowej ooq.com.

6 50 Monka Mśkewcz-Nawrocka W perwzym eape baana, wybrane zereg czaowe poano proceow reukcj pozomu zumu loowego meoą najblżzych ąaów la opóźnena czaowego τ =. eukcję zumu loowego w zeregach czaowych przeprowaza ę la ualonego wymaru zanurzena ualonej lczby najblżzych ąaów wekora x. W celu ualena opymalnych paramerów, j. paramerów, la kórych pozom zumu loowego je najnżzy, po uwagę wzęo naępujące warośc wymaru zanurzena = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 5, 20, naoma jako najblżzych ąaów wekora x ualono wekory z jego ooczena o promenu ooczena ρ = 0,00; 0,0; 0, 3. Do oceny pozomu zumu w przeflrowanych zeregach zaoowano wpółczynnk NL. W abel zamezczono opymalne paramery reukcj zumu loowego: warość wymaru zanurzena promeń ooczena ρ, oraz opowaającą m najnżzą warość wpółczynnka NL la analzowanych. Tak przeflrowane zereg oznaczono ymbolem NazwaSzeregu_re. Tabela Wpółczynnk NL la przeflrowanych meoą najblżzych ąaów Szereg ρ NL CAC_re 2 0, 0, HSI_re 2 0, 0, NKX_re 9 0, 0, SNX_re 2 0, 0, SPX_re 2 0, 0, WIG_re 2 0, 0, XU_re 3 0, 0,009 Naępne la analzowanych ozacowano paramery rekonrukcj przerzen anów meoą opóźneń: oując funkcję auokorelacj ACF [;9] wyznaczono cza opóźneń τ, naoma za pomocą meoy najblżzego pozornego ąaa FNN [;4] oblczono wymar zanurzena. Tabela 2 zawera paramery rekonrukcj τ la czaowych prze po flracj. Warośc paramerów rekonrukcj przerzen anów la analzowanych Tabela 2 Szereg Opóźnene Wymar Opóźnene Wymar Szereg czaowe zanurzena czaowe zanurzena CAC 20 8 CAC_re 7 0 HSI 2 6 HSI_re 2 9 NKX 6 6 NKX_re 9 0 SNX 5 7 SNX_re 4 4 SPX 4 6 SPX_re 4 5 WIG 6 7 WIG_re 23 6 XU 4 6 XU_re eukcję zumu przeprowazono przy wykorzyanu armowego programu TISEAN auorwa H. Kanza T. Schrebera.

7 Wpływ opymalnych paramerów reukcj zumu loowego 5 Kolejny eap baań, polegał na enyfkacj chaou w analzowanych zeregach czaowych. W abel 3 przeawono wynk zacowana najwękzego wykłanka Lapunowa la baanych. Obok warośc najwękzego wykłanka Lapunowa poano równeż równane regrej oraz wpółczynnk eermnacj 2, na poawe kórych wyznaczono λ max. Znakem oznaczono yuację, w kórej ozacowany wpółczynnk kerunkowy równana regrej ne może być rakowany jako warość najwękzego wykłanka Lapunowa, poneważ 2 < 0, 3. Warośc najwękzego wykłanka Lapunowa la analzowanych Tabela 3 Szereg ównane regrej λ Szereg ównane regrej max λ max y = 0,0003x 4,2329 y = 0,006x 9,894 CAC 2 = 0,2395 CAC_re 2 = 0,337 0,006 HSI NKX SNX SPX WIG XU y = 0,0009x 4,869 2 = 0,2953 y = 0,008x 4,765 2 = 0,3630 y = 0,002x 4,885 2 = 0,3596 y = 0,00x 4, = 0,3309 y = 0,0029x 4,349 2 = 0,3495 y = 0,008x 3, = 0,0823 HSI_re 0,008 NKX_re 0,002 SNX_re 0,00 SPX_re 0,0029 WIG_re XU_re y = 0,0x 8, = 0,3728 y = 0,038x 8,577 2 = 0,4348 y = 0,032x 8, = 0,3376 y = 0,0094x 9,464 2 = 0,6639 y = 0,025x,376 2 = 0,603 y = 0,027x 6, = 0,907 0,00 0,0380 0,032 0,0094 0,025 Oblczone warośc najwękzego wykłanka Lapunowa λ max la wzykch analzowanych czaowych ą oane, jenak ą one newelke. Śwaczy o o wrażlwośc ych na zmanę warunków począkowych, a zaem o obecnośc chaou, lecz jego pozom je neznaczny. Analzując ane zaware w abel 3, można werzć, że po zaoowanu proceury reukcj zumu loowego warośc najwękzego wykłanka Lapunowa ą znaczne wękze nż w zeregach prze flracją. Najwękzym pozomem chaou wykazały ę zereg NKX, SNX oraz WIG, la kórych zaoowano proceurę reukcj zumu meoą najblżzych ąaów. Ponao, zacowane równana regrej charakeryzują lnejzym opaowanem o anych la przeflrowanych. W abel 4 zamezczono ozacowane warośc wymaru korelacyjnego la wzykch analzowanych la wymaru zanurzena = 2, 3,, 0.

8 52 Mon ka Mśkewcz-Nawrocka Tabela 4 Wymar kore lacyjny la analzowanych Szereg CAC CAC_re HSI HSI_re NKX NKX_re SNX SNX_re SPX SPX_re WIG WIG_re XU XU_re 2,,444 0,,0574,,378 0,,027,, ,,0073,,403 0,,085,,354 0,,03933,,457 0,,072,,398 0,, ,80 0,028 2,238 0,028 2,2844 0,007 2,882 0,0273 2,006 0,0766 2,2582 0,0252 2,406 0, , , , , ,2 25 0,04 4 2, , ,7 0, , , ,9 9 0, Wymar zanurzena ,7592 0,29 3,636 0,0484 3,9523 0,073 3,8393 0,0453 3,447 0,792 3,934 0,046 3,708 0,266 4,605 0,2876 4,3226 0,0658 4,7868 0,0206 4,6899 0,0542 4,2256 0,243 4,7525 0,0506 4,5049 0,545 5,7329 0,367 5, 482 0,0857 5,5655 0,024 5,5 0,0627 5, , ,6239 0,0604 5,473 0, ,6573 0,448 5,857 0,078 5,8772 0,0274 5,9237 0,074 5,8473 0,3822 5,9755 0,074 5,4467 0, ,479 0,527 5,8252 0,325 6,5436 0,0309 6,9005 0,0805 5,8024 0,4604 6,846 0,0835 6,227 0, ,4726 0,657 6,424 0,587 7,2646 0,0345 7,8878 0,0896 6,5743 0,7092 7,754 0,277 7,3079 0,3608 Oblczone warośc wymaru korelacyjnego la przeflrowanych ą zna aczne nżzee o warośc D c orzymanych la neprzeflrowanych. Jenak zarówno la zer regów przeflrowanych jak nep przeflrowanych brak je wyraźnego pozomu ablzowana ę warośc wymaru korelacyjnego. Dla przeflrowanych XU_re, SNX re, WIG_re oraz HSI re możnaa zaoberwowaćć wolnejze empo wzrou warośc wymaru korelacyjnego (ry. ). Fak k en może pow werzać nene pewnych zależnośc eermnycznych w baanych zeregach. y.. Warośc wymaru korelacyjnego la przeflrowanych Wobec faku, że la chaoycznych (j. wygenerowanych na po awe owzorowana logycznego, owzorowana Henon), wynk króko- okreowego prognozowana powerzająą wykłancze empo wzrou błęu prognozy wraz ze wzroem jej horyzonu [6], [8], w kolejnym eape baana wyznaczono prognozy analzowanych la horyzonu prognozy T =, 2,, 0. Do wyznaczena prognoz wyko orzyano meoę opar rą na warośc najwękzego wykłanka Lap punowa LEM. W meo oze LEM prog gnozę oberwacj N+ wyznacza ę na poawe zależnośc [3], [4]:

9 Wpływ opymalnych paramerów reukcj zumu loowego 53 gze: λ wykłank Lapunowa, λ ma ax Δ mn Δ oległośćć pomęzy wekorem oznaczonym jako, m n Δ Δ Δ m n oległość pomęzy wekoram N e N + e λ ma ax, oraz oraz jego najblżzym ąaem m n+ [8]. (5) W zwązku z ym, że ole egłośc pomęzy wek koram ąą merzone meryką + eukleową, prognoza ŝ może przyjmować w e warośc: oraz ŝ ˆ m N + ˆN o + ˆN, + bęące opoweno przezacowaną neozacowanąą waroścą rzeczywego N+ [8]. W celu ozacowana okłanośc wyznaczonych prognoz wykorzyano perwaek błę u śrenokwaraowego MSE. yunk 2-5 przeawają błę- y prog gnoz wyzn naczonych meo oą LEM w zależnośc o horyzonu prognozy. y. 2. Warośc błęu MSE przezacowanych prognoz y. 3. Warośc błęu MSE neozacowanych prognoz

10 54 Mon ka Mśkewcz-Nawrocka y. 4. Warośc błęu MSE przezacowanych prognoz y. 5. Warośc błęu MSE neozacowanych prognoz Na poawe powyżzych wykreów (ry. 2-5) możnaa zauważyć, że w węk k- zośc baanych błęyy prognoz zwękzają ę wraz ze wzroem horyzon- u prog gnozy, jenak empo wzro ou ych błęów je wolnejze nż empo wykła- ncze. Można węc wnokować, że baane zereg fnanowe ne ą gene erowane przez ukłay chaoyczne. Doakowo można zauważyć, że w wyn nku reukcj zumu loowego błęyy prognoz analzowanych w całym przezale weryfkacj ąą znaczne mnejze nżż błęyy prognoz neprzeflrowanych. Poumowane W arykule zbaano wpły yw reu ukcj zumu loowego meo oąą najblżzych ąaów na enyfkację chaou w wybranych zer regach fnanowych. Na po - awe przeprowazonych ba ań można werzć, że przeflrowane zereg wykazały cechy chaoyczne w wękzym opnu nż zereg neprzeflrowane. Śwaczą o ym znaczne węk kze warośc najwękzego wykłanka Lap punowa la poanych proceurze reukcj nżż la neprzeflrowa-

11 Wpływ opymalnych paramerów reukcj zumu loowego 55 nych. Inene pewnych zależnośc eermnycznych w czerech z baanych, wyaje ę powerzać wolnejze empo wzrou warośc wymaru korelacyjnego po zaoowanu meoy reukcj zumu loowego. Doakowo przeprowazone baana wykazały, że zereg poane proceow reukcj zumu charakeryzowały ę znaczne mnejzym błęam prognozy w całym przezale weryfkacj. Leraura [] Cao L., Meho of Fale Neare Neghbor, [w:] Moelng an Forecang Fnancal Daa, e. A.S. Soof, L. Cao, Kluwer, Boon 200. [2] Guégan D., Leroux J., Forecang Chaoc Syem: The ole of Local Lyapunov Exponen, Chao, Solon & Fracal 2009, Vol. 4. [3] Kanz H., Schreber T., Nonlnear Tme Sere Analy, Cambrge Unvery Pre, Cambrge [4] Kennel M.B., Brown., Abarbanel H.D.I., Deecng Embeng Dmenon for Phae Space eonrucon Ung a Geomercal Conrucon, Phycal evew A 992, Vol. 45. [5] Kyrou C., Terraza M., Sochac Chao or ACH Effec n Sock Sere? A Comparave Suy, Inernaonal evew of Fnancal Analy 2002, Vol.. [6] Mśkewcz-Nawrocka M., Zaoowane wykłanków Lapunowa o analzy ekonomcznych czaowych, Wyawncwo Unweryeu Ekonomcznego, Kaowce 202. [7] Orzezko W., Ienyfkacja prognozowane chaou eermnycznego w ekonomcznych zeregach czaowych, Polke Towarzywo Ekonomczne, Warzawa [8] O E., Chao w ukłaach ynamcznych, Wyawncwa Naukowo-Technczne, Warzawa 997. [9] amey J.B., Sayer C.L., ohman P., The Sacal Propere of Dmenon Calculaon Ung Small Daa Se: Some Economc Applcaon, Inernaonal Economc evew 990, Vol. 3, No. 4. [0] Taken F., Deecng Srange Aracor n Turbulence, [w:] Lecure Noe n Mahemac, e. D.A. an an L.S. Young, Sprnger, Berln 98. [] Zawazk H., Chaoyczne yemy ynamczne, Wyawncwo Akaem Ekonomcznej, Kaowce 996. [2] Zhang J., Lam K.C., Yan W.J., Gao H., L Y, Tme Sere Precon Ung Lyapunov Exponen n Embeng Phae Space, Compuer an Elecrcal Engneerng 2004, Vol. 30.

12 56 Monka Mśkewcz-Nawrocka EFFECT OF OPTIMUM PAAMETES OF ANDOM NOISE EDUCTION ON THE IDENTIFICATION OF CHAOS IN ECONOMIC TIME SEIES Summary eal me ere are uually urbe by ranom noe an he preence of noe n he aa can gnfcanly affec he characerc of ynamc yem. The am of he arcle wll be o reearch he effec of reucon of ranom noe by he neare neghbor meho on he enfcaon of chao n me ere. The e wll be conuce on he ba of elece fnancal me ere.