1. Wstęp DETEKCJA ZMIANY DRYFU W MODELOWANIU NATĘŻENIA ŚMIERTELNOŚCI 1. Michał Krawiec. Zbigniew Palmowski

Transkrypt

1 DETEKCJA ZMIANY DRYFU W MODELOWANIU NATĘŻENIA ŚMIERTELNOŚCI 1 Mchał Krawec Uwersye Wrocławsk Zbgew Palmowsk Polechka Wrocławska e-mals: mchalkrzyszofkrawec@gmalcom; zbgewpalmowsk@gmalcom ISSN e-issn DOI: /sps JEL Classfcao: C1, C, C6, C8, G Sreszczee: Wydłużający sę czas rwaa życa sawa owe wyzwaa w różych obszarach ekoomczych ma kluczowy zwązek z obowązującym sysemem emeryalym W celu ograczea ryzyka zwązaego ze sarzejącym sę społeczeńswem porzebe jes określee, jak bardzo e czas sę wydłuża Celem arykułu jes badae zma zachodzących w redze procesu aężea śmerelośc poprzez zagadee opymalej deekcj Na podsawe kosrukcj zw uogóloej saysyk Shryaeva- -Robersa zbadao, jak zmeało sę aężee śmerelośc populacj Polsk w laach W arykule logarym z aężea śmerelośc modeloway jes ruchem Browa, kóremu w pewym losowym, eobserwowalym momece dochodz dryf Skosruowao opymaly mome zarzymaa opsao algorym deekcj zmay dryfu w wersj dyskreej Przedsawoo kalbrację modelu oraz przeaalzowao dae dosarczae przez GUS Narysowao eż wykresy sporządzoo wosk doyczące modelu deekcj oraz jego paramerów Słowa kluczowe: aężee śmerelośc, deekcja, saysyka Shryaeva-Robersa, ruch Browa, ablce rwaa życa 1 Wsęp Na śwece sale obserwuje sę wydłużae sę średego czasu życa ludzkośc Jes o ewąplwe zwązae z rozwojem cywlzacj, medycyy, z coraz wększą wedzą o człoweku Podoba syuacja ma mejsce w Polsce ludze w aszym kraju róweż żyją coraz dłużej Sawa o wele wyzwań przed dyamcze rozwjającym sę rykem ubezpeczeń sysemów emeryalych Produky ubezpeczeowe doyczą przyszłośc, kórej k e jes w sae przewdzeć, rzeba ją 1 Praca częścowo fasowaa z grau NCN r 15/17/B/ST1/11

2 148 Mchał Krawec, Zbgew Palmowsk jedak w pewe sposób modelować progozować Sosowae modele e mogą operać sę jedye a dzsejszej wedzy muszą być a beżąco dososowywae do zmeającego sę w rakce la śwaa Jedym z podsawowych powodów, dla kórych modele muszą być dososowywae, jes zmeające sę co pewą lczbę la empo wydłużaa średego czasu życa Na ym właśe empe skupoo sę w ejszym arykule Przyjrzao sę, jak zmeało sę aężee śmerelośc populacj Polsk w cągu osach 5 la, przedsawoo meodę pozwalającą wykrywać okresy coraz szybszego zmejszaa śmerelośc oraz okresy sablzacj Określee, jak bardzo wydłuża sę czas życa, a ym samym zmejsza aężee śmerelośc, jes kluczowym wyzwaem zarówo polskej, jak śwaowej gospodark Zrozumee ego procesu jes ezmere soe mędzy ym w celu poprawej kosrukcj srumeów fasowo-akuaralych, jak róweż jes ścśle zwązae z sysemam emeryalym Aby uzmysłowć sobe powagę problemu, wysarczy powołać sę a przypadek Fracj, kóra w 6 roku dokoała koreky krajowych ablc rwaa życa, sworzoych w roku 1998, co spowodowało porzebę wzrosu o 8% plaowaych wydaków w syseme emeryalym W arykule zaprezeowao algorym deekcj, opary a uogóloej wersj zw saysyk Shryaeva-Robersa, kóry będze użyy w celu wykryca zma edecj (dryfu) w modelowaym procese aężea śmerelośc Będze sę obserwować, jak dla usaloego weku x la zmeała sę jego esywość śmerelośc podczas la a podsawe ablc rwaa życa udosępaych przez Główy Urząd Saysyczy a podsawe ych daych pokazae zosae, jak dzała algorym deekcj Uwaga zosae róweż zwrócoa a soość pewych paramerów wchodzących w skład omawaego modelu Samo zagadee deekcj sęga la 5 wówczas o Kołmogorow wraz z ym rosyjskm aukowcam rozważał jego zasosowae w problemach żyeryjych, m do oddzelaa adchodzącego sygału od szumu Sformułowao wedy wersję ego zagadea oparą a ruchu Browa, kóremu w pewej losowej chwl dochodz dryf Arykuł e oparo a podobym sformułowau problemu od sroy maemayczej, jedak ym akuaralym zasosowau Opymale rozwązae problemu (wraz z pełym, maemayczym sformułowaem wyprowadzeem) w swoch pracach podaje Shryaev [1978; 6]

3 Deekcja zmay dryfu w modelowau aężea śmerelośc 149 W dzsejszych czasach zagadee opymalej deekcj jes coraz szerzej uogólae od sroy maemayczej Badae są jego róże sformułowaa; częso zamas ruchu Browa sosoway jes proces Possoa, róweż złożoy Aalzowae są akże róże kryera opymalośc rozwązaa (oprócz podejśca Bayesowskego, jak w ym arykule, czasam rozważa sę eż podejśce mmaksowe) Przykładowe prace a e ema o [Peskr, Shryaev ; Gapeev 5; El Karou, Losel 15] Sformułowae problemu Przedmoem badań jes aężee śmerelośc µ, o kórym zakłada sę, że jes pewym obserwowaym przez as procesem losowym W prakyce model aężea µ może w cągu la ulegać zmaom Mome wysąpea soej zmay,,charakeru ego procesu będze ozaczay przez θ Chwla a zazwyczaj będze losowa W skróce będze oa azywaa momeem zmay procesu Moża węc zapsać aężee śmerelośc w asępującej posac: (1) µ < θ, µ = () µ θ, gdze Przyjęe zosae, że aężee o składa sę z elosowej, (1) deermsyczej częśc µ ezmeej, z ej samej dla µ µ, oraz losowej perurbacj, kórej,,charaker ulega zmae w () momece zmay θ Aby móc uzyskać warośc ujeme w modelowaym przez as procese perurbacj, a aężee śmerelośc ałożoy zosae logarym Zapsując symbolcze: (1) (1) log µ = log µ + X, (1) log µ () = log µ + X (), (1) () gdze X X są losowym perurbacjam, będze sę zakładać, że przed momeem zmay średa warość perurbacj wyos, a po zmae będze oa rówa r W języku warośc oczekwaych moża zapsać: EX (1) = oraz EX () = r Podkreślć ależy, że przez proces X =( X ) jes rozumay łączy (ulegający zmae w chwl θ ) proces perurbacj, j:

4 15 Mchał Krawec, Zbgew Palmowsk X X = X (1) () < θ, θ O przedsawoym probleme ależy myśleć w e sposób: obserwuje sę aężee śmerelośc dla usaloego weku x la (p dla pęćdzesęcolaków) zmeające sę poprzez laa (czyl w roku 199, 1991, 199, ) chce sę sworzyć meodę saysyczą, kóra pozwol w opymaly sposób wybrać mome, w kórym,,zachowae ego obserwowaego procesu ulega zmae Powsaje zaem pyae: jak w ym koekśce rozumeć,,opymaly sposób? Jedo z podsawowych kryerów zapropoowaych przez Shryaeva uwzględa zarówo średe opóźee wykryca zmay, jak prawdopodobeńswo,,fałszywego alarmu Będze węc rozważe kryerum asępującej posac: () B( c)= f{ P( τ < θ) + ce( τ θ ) + } (3) τ poszukwae ake τ, kóre będze czasem zarzymaa realzującym powyższe fmum Te mome będze azyway opymalym czasem zarzymaa (ym słowy τ opsuje sraegę, a podsawe kórej podczas obserwacj procesu X moża zadecydować o zgłoszeu alarmu, a zaem o ym, że charaker obserwowaego procesu uległ zmae) (1) () W ej pracy procesy X oraz X są procesam Lévy ego, j procesam o sacjoarych ezależych przyrosach Klasyczym przykładem akego procesu jes ruch Browa e przykład zosae użyy do aalzy umeryczej w dalszej częśc arykułu, z: X σw < θ, = σw + r ( θ) θ, gdze W jes sadardowym ruchem Browa, σ jes paramerem zmeośc (odchylea sadardowego), a r sałą odpowadającą za dryf Rozważay będze czas Od ego momeu auorzy będą sę skupać a ym właśe przykładze problemu deekcj, ozaczoym umerem (4) Wprowadzoe zosaą podsawowe założea doyczące momeu wysąpea zmay procesu θ Zasosowae zosae podejśce Bayesowske, w kórym jes o zmea losowa o zadaym rozkładze a pror Po perwsze, zosae dopuszczoa możlwość wysąpea momeu zmay już od począku z pewym prawdopodobeńswem: (4)

5 Deekcja zmay dryfu w modelowau aężea śmerelośc 151 P ( θ = ) = π, π [,1] Po druge, jeżel mome zmay e wysąp w chwl, auorzy chcą, aby mał o rozkład wykładczy z paramerem λ, z: P( θ > θ > ) = e Kluczową rolę w rozważaach odegra prawdopodobeńswo a poseror (względem obserwacj procesu X ), kóre ozaczoo jako: gdze przez chwl X π = P( θ F ), λ X F rozumaa jes hsora procesu X od chwl do Moża pokazać, że używając powyższego prawdopodobeńswa a poseror π, kryerum opymalośc sformułowae w (3) da sę przeformułować Przyjmuje wedy asępującą formę: ( ) = f (1 ), + τ Bπ c Eπ πτ c π sds (5) τ gdze π w dekse dolym ozacza, że π = P ( θ = ) = π Tej formy będzemy używać w dalszej częśc eksu Wprowadzoe zosae jeszcze klka dodakowych ozaczeń Oprócz mary probablsyczej P, używaej powyżej, a ej samej przesrze (ozaczoo ją sadardowo ( Ω, F )) będze sę rozróżać eż ake mary (probablsycze), w kórych mome wysąpea zmay θ jes usaloy elosowy Mary e ozaczoe będą przez P s, gdze s może być dowolą eujemą lczbą rzeczywsą lub awe eskończooścą wedy P s ( θ = s) = 1 Przede wszyskm wyróża sę dwe z ych mar: P P Perwsza z ch ozacza, że zaburzee wysąpło już w chwl, a węc już od począku obserwacj procesu X () wdać ak aprawdę proces X Aalogcze zgode z marą P zaburzee gdy e asępuje (z asąp dopero,,w eskończoośc ), a węc przez cały czas obserwacj mamy do (1) czyea z procesem X W probleme deekcj ezwykle soą rolę odgrywa loraz warogodośc ych dwóch szczególych mar Będze o ozaczay przez L :

6 15 Mchał Krawec, Zbgew Palmowsk L dp =, dp F X X gdze F jes auralą flracją procesu X Na ym loraze warogodośc opary jes jeszcze jede bardzo soy proces, kóry jes powązay z zw saysyką Shryaeva-Robersa, o kórej mowa w dalszej częśc eksu Proces e będze ozaczoy przez φ defoway jako: π φ = 1 π Moża pokazać, że powyższy proces moża zapsać w asępującej posac: λs λ e π φ = φ + λ, φ = e L ds (7) Ls 1 π W ym mejscu waro apsać, le wyoszą modelu (4) Mamy maowce: H r r L = e, H = X σ σ λ+ H ( λs+ H ) s φ = φ e + λ e ds (6) L φ w rozważaym Zauważyć ależy jeszcze w ym mejscu, że dla wszyskch mamy π [,1], a wedy (wyłączając przypadek π = 1) wzór (6) moża odwrócć, orzymując: φ π = (8) 1+ φ Obserwacja a będze przydaa w dalszych rozważaach 3 Uogóloa Saysyka Shryaeva-Robersa Główym celem ej pracy jes kosrukcja zasosowae uogóloej saysyk Shryaeva-Robersa (w skróce będzemy ją ozaczać przez USR) Zacząć ależy od ego, czym jes klasycza saysyka SR W leraurze saysyczej jes oa zapsywaa jako:,

7 Deekcja zmay dryfu w modelowau aężea śmerelośc 153 L ψ = ds L Zauważyć rzeba, że moża ją orzymać z wprowadzoej w (7) formy φ Maowce przy założeu, że π π =, orzymuje sę eż φ =, a wedy: φ lm = λ λ L L s s ds = ψ = W ej pracy auorzy chcą przyjąć ogólejszą posać ej saysyk kosrukcję USR oparl właśe a φ Należy przyjrzeć sę blżej lorazow L Trzeba usalć chwlę podzelć odcek [,] a rówych częśc pukam zapsać: = < < < < = 1 Moża wedy L r r r X X 1 = X 1 σ σ σ e e =1 ( ) Dla prosoy zapsu przyjęo, że dla wszyskch {1,, } 1 = 1, z =, = 1, =,, = 1 Przyjęo eż ozaczee dla przyrosów x = X X 1 dla wszyskch {1,, } oraz że X = Wedy moża zapsać krócej: L = e =1 r r x σ σ Dla = przyjęo, że L = 1 Moża zauważyć, że L w akej posac fakycze jes lorazem warogodośc ławo da sę sprawdzć, że ozaczając przez f (x) g (x) gęsośc rozkładów ormalych odpowedo N ( r, σ ) N (, σ ), orzyma sę dokłade: L = f ( x ) g( x ) = 1 Rozkłady e odpowadają rozkładom przyrosów procesu X w marach odpowedo P P (w jedosce czasu) Orzymao zaem

8 154 Mchał Krawec, Zbgew Palmowsk L dla N, kóre jes dyskreą wersją L dla Podobe moża wyprowadzć dyskreą wersję dla φ : φ 1 λk λ e = e L φ + λ = k = L k 1 λ f ( x ) = φ e + λ e g( x ) =1 k = λ ( k ) = k + 1 f ( x ) g( x ) Powyższą saysykę moża zapsać róweż w posac rekurecyjej dla 1 (przy zadaym φ ): φ (9) f ( x ) ( λ + φ ) e λ (1) g( x ) = 1 Ta właśe dyskrea wersja saysyk φ, N, będze azywaa uogóloą saysyką Shryaeva-Robersa (USR) będze używaa do aalzy umeryczej w dalszej częśc arykułu Powracając do szukaa opymalego czasu zarzymaa dla problemu (3) (rówoważe (5)) w modelu (4), ależy swerdzć, że zgode ze sadardową eorą zajdywaa rozwązań zagadeń opymalzacyjych (przedsawoą szeroko w moograf [Peskr, Shryaev 6]) rozwązae ego zagadea sprowadza sę do zalezea fukcj V (π ) puku A (,1) spełających układ: AV ( π ) = c π, π [, A ), V ( π ) = 1 π, π ( A,1], gdze A ozacza geeraor procesu (11) π Do podaa rozwązaa porzebe jes zadae pewego dodakowego waruku bez wkaa w szczegóły (róweż są oe częścą sadardowej eor) dla problemu sformułowaego w (4) jes o zw smooh f: V ( A ) = 1 (1) Twerdzee 1 Opymalym czasem zarzymaa dla problemu (3) w modelu (4) jes: τ = f{ : π A }, gdze puk A (,1) oraz opymalą fukcję warośc V ( π ) ależy wyzaczyć z układu (11) przy dodakowym waruku (1)

9 Deekcja zmay dryfu w modelowau aężea śmerelośc 155 Uwaga 1 Twerdzee o pozosaje prawdzwe róweż dla dużo ogólejszych model posac (), gdze A jes zw pełym geeraorem, a waruek (1) może zosać zasąpoy zw couous f Twerdzee o przyblża już zacze do przeprowadzea całej procedury deekcj obserwowaego procesu Mając bowem wyprowadzoą saysykę USR (1) dla kolejych chwl =, 1,, korzysając z (8), moża wylczyć warośc π Zgode z werdzeem opymala deekcja (,,zgłoszee alarmu ) asępuje, gdy π A, rzeba zaem jeszcze ylko zać próg A Okazuje sę, że wyzaczee ego progu (rozwązae układu (11)) saow w ogólośc rude zagadee Jedakże dla przyjęego w ym arykule modelu (4) zosało oo rozwązae podae przez Shryaeva [1978; 6] Zgode z m opymala barera A jes wyzaczaa jako rozwązae rówaa: gdze: u 1 G u) = l, 1 u u A Λ( G( A ) G( u)) du C e u(1 u) Λ = r λ, /(σ ) = 1, C = r c /(σ ) ( Poado opymalą fukcją warośc jes: V ( π ) = (1 A 1 π, ) A π y( x) dx, π [, A ], π [ A,1], gdze: x Λ( G( x) G( u)) du y( x) = C e u(1 u) Orzymao już całą procedurę, kórą moża sosować dla kolejych chwl =,1,,3, wedząc, że zajduje oa opymaly czas zarzymaa w sese rozważaego kryerum (j rówoważe (3) (5)) Jedye, co pozosało do zrobea, aby móc sosować ę procedurę do aalzy fakyczych daych, o kalbracja modelu

10 156 Mchał Krawec, Zbgew Palmowsk 4 Kalbracja modelu Kalbracja modelu zależy przede wszyskm od charakeru procesu, kóry chce sę aalzować Polega a dopasowau paramerów eoreyczego procesu do aalzowaych daych Iaczej będze wyglądała kalbracja procesu cągłego, skokowego oraz meszak obu Dlaego eż zamas opsywać ogóle zasady kalbracj, skupoo sę a rozparywaym w ym arykule modelu (4), czyl kalbracj ruchu Browa Na począek króko o ym, jak w ogóle lczyć aężee śmerelośc Jak wadomo, jes o welkość określająca,,empo wymeraa określoej populacj w kokreym weku Będze oo lczoe a podsawe ablc rwaa życa (z kórych kokree o ym w kolejym rozdzale) Dla usaloego weku x la, mając dae prawdopodobeńswo przeżyca roku p x, aężee śmerelośc będze lczoe, zakładając hpoezę przedzałam sałego aężea zgoów (HCFM) jako µ = log px, gdze odpowada rokow, dla kórego sporządzoo daą ablcę rwaa życa Należy zwrócć u uwagę a eco esadardowe ozaczee: dla modelowaego aężea śmerelośc µ usaloy jes wek x, a zmeą jes rok obserwacj, aomas prawdopodobeńswo p x ozaczae jes sadardowo ależy rozumeć przez o prawdopodobeńswo, że w daym usaloym -ym roku x-laek przeżyje rok; lczoe jes jako l x+ 1 / lx Nech będą dae obserwacje procesu µ do kalbracj ozaczoo je ˆ µ ˆ ˆ, µ 1,, µ k Należy przez o rozumeć,,dae hsorycze a koleje laa, warośc procesu przed rozpoczęcem obserwacj w celu deekcj puku zmay (eformale: przed chwlą = ) Odwołując sę do posac (1), rzeba przypomeć dwe rzeczy Po perwsze, ak aprawdę modeloway ma być logarym z aężea śmerelośc, czyl używae będą warośc log ˆ µ ˆ,,log µ k Po druge, we wzorze wysępuje elosowa składowa log µ W ej chcao zawrzeć warość począkową log µ (czyl warość logarymu aężea śmerelośc a począku obserwacj w celu deekcj, czyl w chwl = ak, aby spełoe było założee X = ), oraz dryf celem bowem było, aby EX (1) =,, a węc żeby,,a począku obserwoway proces X mał zerowy współczyk dryfu Żeby skalbrować dryf, polczoo przyrosy powyższych logarymów,,hsoryczego procesu:

11 Deekcja zmay dryfu w modelowau aężea śmerelośc 157 m = log ˆ µ log ˆ µ 1, = 1,, k, a asępe wycągęo z ch średą: 1 m = k k =1 m Tym samym orzymuje sę skalbroway proces log µ = log µ + m, kóry możemy odjąć od daych hsoryczych, orzymując przerasformowae dae posac: log ~ µ = log ˆ µ log µ m, kórych możemy już bezpośredo użyć w celu kalbracj samego procesu perurbacj X Mówąc o kalbracj ruchu Browa, ależy podkreślć, że podsawowym paramerem do wyzaczea jes jego odchylee sadardowe σ Należy zauważyć, że w przyjęym modelu przyrosy procesu: X1 X, X X1, mają rozkład ormaly z waracją rówą σ Zaem esymaor parameru σ zosae wyzaczoy a podsawe przyrosów obserwacj,,hsoryczych log µ, kóre ozaczoe zosaą przez y = log µ log µ 1, = 1,, k Przyjęo sadardowy eobcążoy esymaor odchylea sadardowego posac: 1 ˆ = k ( y y), k 1 =1 σ gdze y ozacza średą arymeyczą przyrosów y, 1 y W modelu wymagae jes róweż podae parameru dryfu r dochodzącego po momece zmay procesu Jes o paramer o yle problemayczy, że cężko go skalbrować a podsawe daych hsoryczych, skoro doyczy dryfu, kóry wysąp dopero,,w przyszłośc Trzeba go zaem w pewym sese zgadąć Do jego wyzaczea moża jedak podejść w bardzej prakyczy sposób Maowce, mając day pewe srume fasowy czy akuaraly, kórego warość zależy od aężea śmerelośc, moża przeprowadzć dla ego aalzę wrażlwośc a e właśe paramer W e sposób moża określć, przy jakm dryfe r aężee śmerelośc zmełoby sę a yle soe, że w soym dla as sopu zmełaby sę eż cea rozważaego srumeu, e dryf przyjąć do modelu, k

12 158 Mchał Krawec, Zbgew Palmowsk W ym arykule e rozważa sę żadego kokreego srumeu, dlaego eż rzeba przyjąć pewe przykładowe warośc parameru r Odesoo węc e warośc do pozomu odchylea σ badao dwa waray: bardzej,,rygorysyczy z r = σ, oraz,,łagodejszy z r = σ Isoa jes eż kwesa zaku ego dryfu: dla aalzowaych w kolejym rozdzale daych przyjęo doda, gdyż obserwowae aężee śmerelośc, mmo że wcąż maleje, o wraz z upływem la wydaje sę maleć coraz wolej Osam parameram, kóre rzeba wyzaczyć, zam przejdze sę do oblczeń, są: esywość λ w rozkładze momeu zmay θ oraz dwa paramery, od kórych zależy rozparywae przez as kryerum (3) lub (5), czyl c π Jeśl chodz o λ, o podobe jak z r będą badae dwe jego warośc zadae,,z góry Odpowada o za śred czas oczekwaa do wysąpea momeu zmay dryfu w modelu (kóry jes jego odwrooścą), arbrale zaem zbadae zosaą warośc λ =,5 λ =,1 Co do warośc π, czyl prawdopodobeńswa wysąpea zmay już w chwl rozpoczęca obserwacj, o róweż arbrale przyjęo π =,1 ak aby procedura e zarzymywała sę od razu zby częso, ale eż aby model był peły, przyjęo warość ezerową Na koec usaloa zosae welkość c Zwrócć ależy uwagę, że odpowada oa za sosuek wag,,fałszywego alarmu do wag średego opóźea wykryca momeu zmay w rozważaym kryerum Wększe c spowoduje, że średe opóźee będze soejsze częścej będzemy dosawal,,fałszywe alarmy, aomas mejsze poskukuje dłuższym średm opóźeem wykryca momeu zmay Należy przypomeć, że wybrae kryerum uwzględa prawdopodobeńswo wysąpea,,fałszywego alarmu, a węc warość ylko z przedzału [,1], oraz opóźee, kóre może przyjmować dowole duże eujeme warośc Zaem rozsąde (oraz popare dośwadczeam empryczym) jes według auorów przyjęce warośc c =,5 Mówąc w uproszczeu, moża o rozumeć ak, że dwulee opóźee będze mało e sam,,kosz co wysąpee,,fałszywego alarmu 5 Deekcja zmay dryfu aężea śmerelośc populacj Polsk w laach Mając przedsawoą całą eorę, moża przejść do aalzy fakyczych daych Wykorzysae zosaą polske ablce rwaa życa dosępych w Ierece a sroe Główego Urzędu Saysyczego

13 Deekcja zmay dryfu w modelowau aężea śmerelośc 159 [GUS 15], doyczących la Jak już wspomao wcześej, uwaga zosae skupoa a usaloym weku x la zbadau, jak zmeało sę dla ego aężee śmerelośc w cągu ych la Na począku dokładej zosae opsay jede przypadek (zesaw paramerów), by dalej porówać go z ym Najperw auorzy przyjrzą sę aężeu śmerelośc kobe w weku 65 la obrazuje ją poższy rys 1 Rys 1 Naężee śmerelośc kobe w weku 65 la, okres Źródło: opracowae włase Zgode z przypuszczeam aężee o ma edecję malejącą kobey w Polsce w weku 65 la umerają sosukowo coraz rzadzej moża jedak zauważyć, że w perwszej dekadze XXI weku pozom aężea śmerelośc wydaje sę sablzować, podczas gdy w laach 9 XX weku wyraźe sę obżał Zam uruchomoy zosae algorym a e dae, rzeba określć, kóre obserwacje posłużą do kalbracj modelu, a a kórych będze już przeprowadzaa procedura deekcj zmay dryfu Aby daych do kalbracj e było zby mało, a zarazem żeby było ch wysarczająco w drugej grupe do deekcj, usaloo puk podzału w roku Iaczej, zgode z ozaczeam z poprzedch rozdzałów, za chwlę = przyjmuje sę rok Dae z la 9 posłużą do kalbracj modelu Za jedoskę czasu (jede krok algorymu) przyjmuje sę jede rok Zgode z opsem w rozdzale doyczącym kalbracj dae e ajperw zosaą zlogarymowae, po czym odjęy zosae od ch wyzaczoy dryf wyzaczoe odchylee sadardowe przyrosów Zlogarymowae dae z la 9 po odjęcu dryfu obrazuje rys

14 16 Mchał Krawec, Zbgew Palmowsk Rys Logarym z aężea śmerelośc kobe w weku 65 la, po odjęcu dryfu okres 199- Żródło: opracowae włase Odchylee sadardowe przyrosów powyższych daych wyosło σ =, Mając skalbroway model, moża przejść do deekcj Zbadae zosaą jedocześe przypadk r =1 σ oraz r = σ Dla pozosałych paramerów usaloo asępujące warośc: λ =,5, c =,5, π =,1 Na rysuku 3 czarą jedolą lą ozaczoo, ak jak poprzedo, hsorycze aężee śmerelośc w laach Poowa Rys 3 Deekcja zmay dryfu aężea śmerelośc kobe w weku 65 la okres Źródło: opracowae włase

15 Deekcja zmay dryfu w modelowau aężea śmerelośc 161 la a pozome roku (składająca sę a zmaę z kresek kropek) pokazuje chwlę =, czyl mome rozpoczęca algorymu Kropkowaa ukośa la pokazuje sam dryf, skalbroway zgode z daym z la 9 Wreszce dwe grubsze poowe, przerywae le pokazują wykrye przez aszą procedurę deekcj momey zmay dryfu (dla wększej warośc parameru r deekcja asępuje późej) Jak wdać, dla parameru r =1 σ zmaa zosała wykrya w roku 4, a dla r = σ w roku 7 W obu przypadkach algorym wykrył zmaę, choć w różych chwlach Zam dokładej opsae zosaą uzyskwae wyk oraz ch zależość od usaloych paramerów, ależy sę przyjrzeć wększej lczbe wykresów Na rysukach 4 5 ozaczea są ake same jak powyżej róweż baday jes dryf r =1 σ r = σ, gdze zawsze dla wększej warośc r deekcja wysępuje późej bądź w ej samej chwl co dla mejszej Jeżel wysąpła w ej samej chwl, o jes ylko jeda la przerywaa Jeżel dla kórejś (bądź obu) warośc r deekcja w ogóle e asąpła, o przerywaa la arysowaa jes a samym końcu wykresu (z prawej sroy) Perwsza koluma odpowada warośc parameru λ =,5, a druga λ =,1 Na rysuku 5 przedsawoo podobe wykresy dla mężczyz dla weku x = 55, 6 65 la Na podsawe rys 4 5 moża wycągąć pewe wosk Perwszą obserwacją jes fak, że dla wększej warośc parameru dryfu r deekcja asępuje późej ż dla mejszej (bądź w ej samej chwl) Ne może asąpć wcześej, poeważ saysyka opara jes a loraze warogodośc dwóch rozkładów ormalych o ej samej waracj, zaem m bardzej przesuęy jes dryf, ym bardzej badae dae muszą odbegać od rozkładu o średej Podobą zależość obserwujemy dla parameru λ : gdy jes mejszy, o deekcja asępuje późej (lub e wcześej) To eż e dzw λ odpowada za warość średą (jes jej odwrooścą) rozkładu a pror momeu zmay θ, a asza saysyka jes rozkładem a poseror Zmejszając węc λ, opóźa sę śred mome wysąpea zmay, a węc zmejsza prawdopodobeńswo, że zmaa już wysąpła dla usaloej chwl obserwacj Zauważyć eż ależy, że róże warośc paramerów r λ mogą dawać bardzo róże wyk, ale mogą eż dawać ake same W przypadku kobe w weku 6 la deekcja asąpła we wszyskch 4 przypadkach w ym samym 3 roku Z drugej sroy, dla kobe w weku 65 la dla wszyskch 4 par ych paramerów deekcja wysąpła

16 16 Mchał Krawec, Zbgew Palmowsk

17 Deekcja zmay dryfu w modelowau aężea śmerelośc 163

18 164 Mchał Krawec, Zbgew Palmowsk

19 Deekcja zmay dryfu w modelowau aężea śmerelośc 165

20 166 Mchał Krawec, Zbgew Palmowsk w różych laach (ale zawsze wysąpła) Wybór ych dwóch paramerów okazuje sę jeszcze soejszy, gdy spojrzeć a wykresy dla mężczyz Dla weku 55 oraz 6 la a perwszy rzu oka moża powedzeć, że około roku 5 wdać wyraźą zmaę dryfu, jedak algorym ją wskazał jedye w przypadku r = 1 σ Dla r = σ algorym e wykrył zmay dryfu a żadym z 6 wykresów Ne ozacza o jedak, że ależy zawsze wyberać jak ajmejszą warość parameru r parząc a wykres mężczyz dla weku 65 la, raczej e jes pożądae wskazae zmay dryfu, a dla r = 1 σ procedura wykryła mome zmay w roku 6 Moża węc wycągąć wosek, że paramery do algorymu deekcj ależy dososować do porzeb Chcąc meć procedurę, kóra wykryje choćby ewelką zmaę dryfu, ale za o akcepując częssze,,fałszywe alarmy, przyjąć ależy mejsze warośc r wększe λ Chcąc reagować dopero a wyraźe zmay usrzec sę przed,,fałszywym alarmam, ależy posąpć odwroe 6 Podsumowae Aalza przeprowadzoa w arykule wskazuje, że algorym opyalej deekcj skosruoway a podsawe uogóloej wersj saysyk Shryaeva-Robersa jes w sae wskazać mome zmay dryfu procesu Zbadae dae pochodzące z polskch ablc rwaa życa z la pokazują, że aka zmaa dryfu w procese aężea śmerelośc w ekórych przypadkach usaloego weku x la wyraźe wysępuje opsywaa procedura ją wykrywa z różym opóźeem zależym od kalbracj paramerów Jak pokazao, z doborem paramerów ależy być osrożym róweż ze względu a możlwość wysąpea fałszywego alarmu W ramach dalszych badań w ym obszarze auorzy plaują przyjrzeć sę eż ym daym doyczącym aężea śmerelośc, czy o sęgającym węcej roczków wsecz, czy eż doyczącym ych krajów Take dae częso są dużo bardzej eregulare ż e zbadae w ym arykule, z wdoczym skokam, co powoduje, że e adają sę do modelowaa ruchem Browa Dlaego eż kolejym krokem w rozwoju procedury opymalej deekcj jes zacze uogólee samego modelu, ak aby uwzględał skok Sawa o owe wyzwaa aury zarówo czyso maemayczej, jak aalyczej

21 Deekcja zmay dryfu w modelowau aężea śmerelośc 167 Leraura El Karou N, Losel S, Salh Y, 15, Mmax Opmaly Robus Deeco of a Dsorder Tme Posso Rae, <hal >, hps://halarchves-ouveres fr/hal Gapeev PV, 5, The dsorder problem for compoud Posso processes wh expoeal jumps, The Aals Of Appled Probably, vol 15, s GUS, 15, Trwae życa ablce, hp://wwwsagovpl (4616) Peskr G, Shryaev AN,, Solvg he Posso Dsorder Problem, Advaces Face ad Sochascs Essays Hoour of Deer Soderma, Sprger-Verlag Berl Hedelberg, New York, s Peskr G, Shryaev AN, 6, Opmal Soppg ad Free-Boudary Problems Lecures Mahemacs, Brkhäuser, ETH Zürch Shryaev AN, 1978, Opmal Soppg Rules, Sprger-Verlag Berl Hedelberg, New York Shryaev AN, 6, From Dsorder o Nolear Flerg ad Margale Theory, Mahemacal Eves of Tweeh Ceury, Sprger-Verlag Berl Hedelberg PHASIS Moscow, Nemcy, s DRIFT CHANGE DETECTION IN MORTALITY RATE MODELS Summary: Nowadays he surace dusry s facg huge challeges relaed o logevy rsk, e he rsk ha he red of logevy growh sgfcaly chages he fuure Oe of he crucal seps dealg wh s defyg he chage of he moraly rae drf observed prospecve lfe ables The purpose of hs arcle s o defy hs chage by casg he problem of quckes deeco he framework of opmal soppg heory We cosruc geeralzed dscree-me Shryaev s-robers sascs ad we use he aalyss of Polsh lfe ables from years We model he logarhm of he moral esy by he Browa moo ha chages he zero drf o ozero oe a some radom me For hs case we cosruc opmal soppg rule deecg subsaal chage of hs drf We also prese calbrao of above model usg Ceral Sascal Offce daa ad we carry ou exesve sascal aalyss showg huge poeal of descrbed sascs Keywords: moraly rae, deeco, Shryaev-Robers sascs, Browa moo, lfe ables