MODELOWANIE ZADAŃ Z OSTRYM FRONTEM KRZEPNIĘCIA Z WYKORZYSTANIEM II SCHEMATU MEB

Transkrypt

1 9/44 olidiiion o Mel nd Alloy Yer Volume Book No. 44 Krzepnięie Meli i opów Rok Roznik Nr 44 PAN Kowie P IN MODEOWANIE ADAŃ ORYM FRONEM KREPNIĘCIA WYKORYANIEM II CHEMAU MEB J. MENDAKIEWIC A. PIAECKA BEKHAYA R. OPA 3 Kedr Wyrzymłośi Meriłów i Meod Kompuerowy Meniki Polienik Śląk Inyu Memyki i Inormyki Polienik Częoowk RECENIE W pry przedwiono poób modelowni proeu krzepnięi zodząeo w łej emperurze problem en przy zym rozprywno zdnie D. Wykorzyno II em meody elemenów brzeowy. Omówiono lorym rozwiązni orz pokzno przykłd oblizeń numeryzny.. FORMUŁOWANIE ADANIA Jednym z njwżniejzy modeli memyzny opiująy proe krzepnięi i ynięi melu je ormułowny pond l emu problem en. W zdniu ym rozpruje ię półprzerzeń ornizoną płzzyzną o emperurze b w kórej wyróżni ię dw zmienne w zie podobzry minowiie podobzr zy łej orz podobzr iezy. emperur powierzni konku je równ kr emperur krzepnięi. Dl zu emperur w łym obzrze wynoi. Również dl emperur iezy je równ. Problem en poid rozwiąznie nliyzne [] kóre będzie wykorzyne do przeeowni dokłdnośi i eekywnośi meody elemenów brzeowy w zw. zdni z ruomymi brzemi przy zym zoowny zonie II em MEB przy złożeniu że obzr odlewu je obzrem ornizonym G i n rniy G obowiązuje wrunek brzeowy G. Nieulone pole emperury w rozwżnym obzrze opiuje ukłd dwó równń różnizkowy w poi Dr inż. e-mil: mendoz@rm4.km.poll.liwie.pl Dr inż. e-mil: lij@rm4.km.poll.liwie.pl 3 Dr b. inż. pro. P.Cz.

2 4 : : G Dl przyjmuje ię wrunek brzeowy λ λ kr V d d : lub 3 kr V w Pondo dl i G G b 4 orz dl 5 kr W równni oznzją wpółzynniki dyuzji iepł zy łej i iekłej λ λ - wpółzynniki przewodzeni iepł V - ujone iepł krzepnięi nomi w d /d je prędkośią krzepnięi.. MEODA WYNACANIA POŁOŻENIA FRONU KREPNIĘCIA Obzr płyy [ G] dzielimy n n elemenów liniowy o oznz że n odinku [ j- j ] j... n pole emperury przybliżmy unkją liniową. k wię ikę eomeryzną worzą punky G n j j Κ Κ 6 łóżmy że w wili zu - wpółrzędn eomeryzn ronu krzepnięi je równ j- orz że po zie ron krzepnięi przemieśi ię do punku j. Cz odpowidjąy emu przeunięiu j- j nie je znny. W wili węzły... j- nleżą do obzru zy łej nomi j j... n - do zy iekłej. Kolejne dw położeni ronu krzepnięi pokzno n ryunku. N poząku oblizeń doyząy przejśi od wili - do zkłdmy pewien krok zu

3 5 wynik z nieo bezpośrednio wilow prędkość krzepnięi w / i przyjmują dl j : j j kr prowdzmy problem do dwó oddzielny rozprzężony zdń z wrunkiem I rodzju n rniy rozdziłu z o znzy dl j Rozwiązni y zdń zwierją inormje o brzeowy rumieni iepł n ronie krzepnięi o pozwl koryowć przyjęy pierwonie krok zu. Wykorzyujemy uj pierwzą zęść wrunku en 3 kórą zpizemy w poi V 7 j j W en poób meodą kolejny przybliżeń proedur ieryjn je zybko zbieżn wyznzmy z przejśi ronu krzepnięi od węzł j- do węzł j. Jko punk rowy proeu ieryjneo możn przyjąć wrość z przejśi poprzednieo. 3. II CHEMA MEB Ry.. Przemiezzjąy ię ron krzepnięi. Fi.. Movin olidiiion ron. Ioę lorymu nzywneo II emem meody elemenów brzeowy omówimy n przykłdzie obzru jednorodneo o ły rni [ ]. emperurę w ym obzrze oznzymy przez nomi wpółzynnik dyuzji iepł i wpółzynnik przewodzeni przez i λ. ki opi II emu je łkowiie wyrzjąy poniewż zproponown meod oblizeń prowdz ię do rozprzężeni odlewu n jednorodne podobzry iezy i ił łeo przy zym n i rni zdn je emperur lub brzeowy rumień iepł. Do rozwżń wprowdzmy ikę zu

4 6 8 F Κ Κ Κ ze łym krokiem. W przypdku II emu MEB dl przejśi - orzymuje ię nępująe równnie łkowe [] d d d 9 przy zym - dl nomi dl 3... F: d d W równni 9 oznz punk oberwji nomi * je zw. rozwiązniem undmenlnym podwowym i dl omwineo zdni m poć π 4 ep rumień iepł wynikjąy z rozwiązni undmenlneo deiniuje ię nępująo λ Rozwżć będziemy zw. łe elemeny po zie zyli przyjmiemy złożenie że dl [ - ] : orz dl [ - ] : i. Wprowdzmy nępująe oznzeni

5 7 d 3 d 4 d 5 d 6 Powyżze łki wyznz ię nliyznie []. mierzmy z punkem oberwji do brzeów obzru orz i orzymujemy ukłd dwó równń 7 p p przy zym dl : nomi dl 3... F : 8 orz 9 P d Po rozwiązniu ukłdu 7 znne ą wrośi brzeowe emperur i rumieni iepł i n ej podwie wyznz ię emperury w zbiorze punków wewnęrzny.

6 8 4. PRYKŁAD OBICEŃ Anlizowno krzepnięie płyy o rubośi.4 [m] wykonnej z miedzi. Prmery ermoizyzne przyjęo zodnie z []. łożono b o C kr 83 o C o C. N ryunku przedwiono rozwiąznie uzykne z pomoą II emu meody elemenów brzeowy dl zów -.3 [] -.9 [] [] [] orz []. Nleży podkreślić że zodność orzymny wyników z rozwiązniem nliyznym doyząym półprzerzeni je w pełni zdowlją. IERAURA Ry.. Rozwiąznie numeryzne. Fi.. Numeril oluion. [] W. on Krzepnięie odlewów w orm pikowy Śląk Kowie 974 [] E. Mjrzk oownie meody elemenów brzeowy w ermodynmie proeów odlewnizy Wyd. Pol. Śl. Menik Gliwie 99 UMMARY MODEING OF HE EFAN PROBEM UING HE BEM e numeril model o D en problem i olved uin e nd eme o e BEM. e eoreil bkround nd lo e emple o numeril imulion re preened. Reviewed by pro. niłw Jur