Sprawdzian 3 gr1 (22/01/04) Imie i nazwisko:...grupa: Odpowedz na wszystkie pytania, pamietaj o uzasadnieniu odpowiedzi.
|
|
|
- Julian Malinowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Sprawdzian 3 gr1 (22/01/04) Imie i nazwisko: grupa: 1. Dane sa dwa wektory β 1 = (1, 2, 3) i β 2 = ( 2, 4, 6) w R 3. Niech W = lin(β 1, β 2 ) oraz V = {(x 1, x 2, x 3 ) 2x 1 x 2 = 0} beda dwoma podprzestrzeniami liniowymi w R 3 (b) Jak nazywamy taka przestrzen odp:plaszczyzna Zbiór opisany jednym równaniem liniowym w R 3 jest plaszczyzna czyli ma wymiar 2 (c) Jakiego wymiaru jest przestrzen W odp: 1 (d) Jak nazywamy taka przestrzen odp: prosta Zbiór rozbpiety przez dwa wektory moze byc plaszczyzna (wymiar 2) lub prosta (wymiar 1), gdy wektory sa proporcjonalne. Tutaj sa proporcjonalne wiec mamy prosta w przeciwnym wypadku mielibysmy plaszczyzne. (e) Ilu równan liniowych potrzebujemy do opisania przestrzeni W odp:2 { x1 2x (f) (2) Znajdz taki minimalny opis równaniami odp: np: 2 x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 (metoda rowniania patrz przeglad metod rownaniowych) Opis za pomoca rownan nie jest jendnoznaczny, jesli zbior W jest dwuwymiarowy wowczas mamy plaszczyzne wiec potrzeba jednego równania Ax 1 +Bx 2 + Cx 3 = 0 (mozemy znalezc metoda wyznacznikowa) ale gdy W jest prosta to potrzebujemy dwuch równan (czesc wspolna dwuch plaszczyz jest prosta) np: x 1 2x 2 x 3 = 0 (g) (2) Znajdz uklad rownan opisujacy czesc wspolna W V odp: x 1 + x 2 + x 3 = 0 2x 1 x 2 = 0 Do rownan opisujcych W nalezy dodac rownania opisujace V. (h) Jakiego wymiaru jest przestrzen W V odp: 1 I sposob: rownania sa linowo zalezne. II sposob: β 1 wektor kierunkowy prostej W spelnia rownanie V wiec nalezy do tej plaszczyzny. W kazdej grupie jest inna sytuacja, tutaj mamy czesc wspolna plaszczyzny i prostej wobec tego mozemy dostac prosta (wymiar = 1) jesli prosta W jest podzbiorem plaszczyzny V. lub punkt (0, 0, 0) w przeciwnym wypadku. (wymiar = 0). (gr2) Mozna to sprawdzic sprawdzajac czy rownania sa liniowo niezalezne. Lub czy wektor kierunkowy β 1 naleza do plaszczyzn V 1
2 Gdy W jest plaszczyzna jak w niektórych grupach wówczas mozemy miec dwie sytuacje: plaszczyzny sie pokrywaja (rownania sa proporcjonalne) wowczas wymiar czesci wspolnej jest 2 (gr 3) lub przecinaja sie wlasciwie (rownania sa liniowo niezalezne) wowczas wymiar czesci wspolnej jest 1 - prosta (gr 4) 2. Dane sa cztery wektory α 1 = ( 1, 1, 3, 2), α 2 = (1, 2, 4, 4), α 3 = ( 2, 1, 5, 2), α 4 = (2, s, 4, s) w R 4, niech W = lin(α 1, α 2, α 3 ) (a) (2) Pokazac dla jakich wartosci s dane wektory sa liniowo zalezne. odp: dla każdej Zeby sie przekonac czy wektory sa liniowo niezalezne najlepiej sprowadzic macierz zlozona z wektorów (wierszami) do postaci schodkowej i zobaczyc czy nie znika dolny wiersz. W przypadku gdy mamy sprawdzic n wektorów w przestrzeni n wymiarowej (tutaj n = 4) mozna policzyc wyznacznik macierzy. Jesli wyznacznik wyjdzie 0 to wektory sa liniowo zalezne. Tutaj w zaleznosci od grupy wychodzi inne wyrazenie od s, ktore przyruwnujemy do 0. W przypadku gr 1. ten wyznacznik jest rowny stale rowny 0. Zeby sie nie zmeczyc przy liczeniu wyznacznika mozemy doprowadzic pierwsze trzy wiersze do postaci schodkowej (czwarty pomijamy) wowczas bedzie latwiej liczyc wyznacznik wzgledem trzeciego wiersza, a potem i tak to sie przyda przy sprawdzaniu punku (b). Tutaj po doprowadzeniu do postaci schodkowej mamy: (sprowadzanie do postaci schodkowej jest niejednoznaczne) Wobec tego poniewaz trzeci wiersz jest zerowy to bez wzgledu na wartosc s wyznacznik bedzie 0 wiec wektory beda liniowo zalezne. (b) Czy wektory α 1, α 2 i α 3 sa liniowo niezalezne odp: nie Wektory sa liniowo zalezne co sprawdzilismy sprowadzajac do postaci schodkowej pierwsze trzy wektory. (c) (2) Podaj baze przestrzeni W odp: Odpowiedz jest nie jednoznaczna: mozemy podac niezerowe wektory z postaci schodkowej trzech pierwszych wierszy macierz z (a).: (d) Podaj wymiar przestrzeni W odp: 2 Mamy tylko dwa wektry niezalezne w grupach gdzie sa niezalezne trzy wektory to odp: 3. (e) Ile równan liniowych potrzebujemy do opisu przestrzeni W w R 4 odp: 2 tak np α 1 + α 2 = (0, 1, 1, 2) Oczywiscie, przestrzen liniowa jest zbiorem nieskonczonym i naleza do niej wszystkie kombinacje wektorow generujacych. 2
3 3. Dane sa trzy punkty A 1 = (0, 0, 0) i A 2 = (1, 1, 1) i A 3 = (2, 4, 3) w przestrzeni R 3 oraz palaszczyzna W : 2x 1 2x 2 +2x 3 +6 = 0. Niech l bedzie prosta przechodzaca (a) Znajdz wektor kierunkowy prostej l odp: (1, 1, 1) Normalnie trzeba wziac wektory A 1 A 2 ale tutaj poniewaz A 1 = 0 to sprawa jest prostrza i wystarczy wziac A 2 (b) (2) Czy punkt A 3 jest punktem lezacym na prostej l.odp: nie To zalezy od tego czy jest postaci A 3 = A 0 + sα = s(1, 1, 1) ale tutaj nie jest. (c) Czy plaszczyzna W jest prostopadla do prostej l odp: tak Wektor prostopadly do prostej W jest β = (2, 2, 2) a wiec proporcjonalny z α a wiec prosta l jest prostopadla z W. ten punkt: odp: tak (3, 3, 3) Nalezy do rownania plaszczyzny podstawic punkt ogólny nalezacy do prostej l (s, s, s) i rozwiazac rownanie 2s 2s + 2s + 6 = 0. (e) Czy prosta l jest rownolegla do plaszczyzny W. Nie poniewaz ma jeden punkt wspólny. Gdyby lezala na plaszczyznie W lub nie miala punktu wspólnego wowczas byla by rownolegla. 3
4 Sprawdzian 3 gr2 (22/01/04) Imie i nazwisko: grupa: 1. Dane sa dwa wektory β 1 = (1, 1, 2) i β 2 = (2, 2, 4) w R 3. Niech W = lin(β 1, β 2 ) oraz V = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1 x 2 = 0} beda dwoma podprzestrzeniami liniowymi w R 3 (b) Jak nazywamy taka przestrzen odp: plaszczyzna (c) Jakiego wymiaru jest przestrzen W odp:1 (d) Jak nazywamy taka przestrzen odp: prosta (e) Ilu równan liniowych potrzebujemy do opisania przestrzeni W odp 2 { x (f) (2) Znajdz taki minimalny opis równaniami odp: np: 1 + x 2 = 0 x 1 x 2 x 3 = 0 x 1 + x 2 = 0 (g) (2) Znajdz uklad rownan opisujacy czesc wspolna W V odp: np: x 1 x 2 x 3 = 0 x 1 x 2 = 0 (h) Jakiego wymiaru jest przestrzen W V odp: 0 (punkt) 2. Dane sa cztery wektory α 1 = ( 1, 2, 5, 2), α 2 = ( 2, 5, 9, 1), α 3 = (2, 7, 8, 9), α 4 = ( 2, s, 2, s) w R 4, niech W = lin(α 1, α 2, α 3 ) (a) Pokazac dla jakich wartosci s dane wektory sa liniowo zalezne. odp: s = 0 (b) (2) Czy wektory α 1, α 2 i α 3 sa liniowo niezalezne odp: tak (c) (2) Podaj baze przestrzeni W odp:... (d) Podaj wymiar przestrzeni W odp: 3 (e) Ile równan liniowych potrzebujemy do opisu przestrzeni W w R 4 odp: 1 tak np α 1 + α 2 = ( 3, 7, 14, 1) 3. Dane sa trzy punkty A 1 = (0, 0, 0) i A 2 = (1, 1, 1) i A 3 = (0, 1, 1) w przestrzeni R 3 oraz palaszczyzna W : x 1 x 2 + x 3 = 0. Niech l bedzie prosta przechodzaca przez punkty A 1 i A 2 (a) Znajdz wektor kierunkowy prostej l odp:(1, 1, 1) (b) (2) Czy punkt A 3 jest punktem lezacym na prostej l.odp: nie (c) Czy plaszczyzna W jest prostopadla do prostej l odp: tak ten punkt: odp: tak (0, 0, 0) (e) Czy prosta l jest rownolegla do plaszczyzny W.odp: nie 4
5 Sprawdzian 3 gr3 (22/01/04) Imie i nazwisko: grupa: 1. Dane sa dwa wektory β 1 = (1, 1, 2) i β 2 = (2, 1, 1) w R 3. Niech W = lin(β 1, β 2 ) oraz V = {(x 1, x 2, x 3 ) 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0} beda dwoma podprzestrzeniami liniowymi w R 3 (b) Jak nazywamy taka przestrzen odp: odp: plaszczyzna (c) Jakiego wymiaru jest przestrzen W odp: 2 (d) Jak nazywamy taka przestrzen odp:plaszczyzna (e) Ilu równan liniowych potrzebujemy do opisania przestrzeni W odp: 1 (f) (2) Znajdz taki minimalny opis równaniami odp: x 1 + x 2 + x 3 = 0 (g) (2) Znajdz uklad rownan opisujacy czesc wspolna W V odp: (h) Jakiego wymiaru jest przestrzen W V odp: 2 2. Dane sa cztery wektory α 1 = ( 1, 1, 1, 1), α 2 = (1, 2, 1, 2), α 3 = ( 2, 3, 0, 3), α 4 = (1, s, 3, s) w R 4, niech W = lin(α 1, α 2, α 3 ) (a) Pokazac dla jakich wartosci s dane wektory sa liniowo zalezne. odp:kazdej (b) (2) Czy wektory α 1, α 2 i α 3 sa liniowo niezalezne odp: nie (c) (2) Podaj baze przestrzeni W odp:... (d) Podaj wymiar przestrzeni W odp: 2 (e) Ile równan liniowych potrzebujemy do opisu przestrzeni W w R 4 odp: 2 3. Dane sa trzy punkty A 1 = (0, 0, 0) i A 2 = (1, 3, 2) i A 3 = ( 2, 6, 4) w przestrzeni R 3 oraz palaszczyzna W : 6x 1 2x 2 = 0. Niech l bedzie prosta przechodzaca (a) Znajdz wektor kierunkowy prostej l odp: (1, 3, 2) (b) (2) Czy punkt A 3 jest punktem lezacym na prostej l. odp: nie (c) Czy plaszczyzna W jest prostopadla do prostej l odp: nie ten punkt: odp: (0,0,0) 5
6 (e) Czy prosta l jest rownolegla do plaszczyzny W.odp: nie 3bis W zadaniu byla literowka wiec wyniki byly inne od zamierzonych powinno byc: Dane sa trzy punkty A 1 = (0, 0, 0) i A 2 = ( 1, 3, 2) i A 3 = ( 2, 6, 4) w przestrzeni R 3 oraz palaszczyzna W : 6x 1 2x 2 = 0. Niech l bedzie prosta przechodzaca (a) Znajdz wektor kierunkowy prostej l odp: ( 1, 3, 2) (b) (2) Czy punkt A 3 jest punktem lezacym na prostej l. odp: tak (c) Czy plaszczyzna W jest prostopadla do prostej l odp: nie ten punkt: odp: (-1,-3,2) (e) Czy prosta l jest rownolegla do plaszczyzny W.odp: tak 6
7 Sprawdzian 3 (22/01/04) Imie i nazwisko: Grupa: 1. Dane sa dwa wektory β 1 = (1, 2, 3) i β 2 = ( 2, 4, 4) w R 3. Niech W = lin(β 1, β 2 ) oraz V = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1 + x 2 + x 3 = 0} beda dwoma podprzestrzeniami liniowymi w R 3 (b) Jak nazywamy taka przestrzen odp: plaszczyzna (c) Jakiego wymiaru jest przestrzen W odp: 2 (d) Jak nazywamy taka przestrzen odp:plaszczyzna (e) Ilu równan liniowych potrzebujemy do opisania przestrzeni W odp:1 (f) (2) Znajdz taki minimalny opis równaniami odp:2x 1 x 2 = 0 (g) (2) Znajdz uklad rownan opisujacy czesc wspolna W V odp:... (h) Jakiego wymiaru jest przestrzen W V odp:1 2. Dane sa cztery wektory α 1 = ( 1, 1, 2, 3), α 2 = (1, 2, 6, 0), α 3 = ( 2, 1, 1, 7), α 4 = ( 2, s, 0, 1) w R 4, niech W = lin(α 1, α 2, α 3 ) (a) Pokazac dla jakich wartosci s dane wektory sa liniowo zalezne. odp:s = 1 (b) (2) Czy wektory α 1, α 2 i α 3 sa liniowo niezalezne odp:tak (c) (2) Podaj baze przestrzeni W odp:... (d) Podaj wymiar przestrzeni W odp: 3 (e) Ile równan liniowych potrzebujemy do opisu przestrzeni W w R 4 odp: 1 odp: Dane sa trzy punkty A 1 = (0, 0, 0) i A 2 = (1, 2, 1) i A 3 = ( 2, 4, 2) w przestrzeni R 3 oraz palaszczyzna W : 2x 1 x = 0. Niech l bedzie prosta przechodzaca (a) Znajdz wektor kierunkowy prostej l odp: (1, 2, 1) (b) (2) Czy punkt A 3 jest punktem lezacym na prostej l. odp: tak (c) Czy plaszczyzna W jest prostopadla do prostej l odp:nie ten punkt: odp:nie (e) Czy prosta l jest rownolegla do plaszczyzny W. odp: tak 7
Rozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Kolokwia Zadania i komentarz.
Kolokwia Zadania i komentarz. Jan Gorski 28/01/2002 1 IV Kolokwium Szanowni panstwo musze przyznac, ze sprawdzanie panstwa prac nie nalezy do przyjemnosci. Daleki jestem od poczucia przyjemnosci ze stawiania
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,
TEMATYKA: Współliniowość Współpłaszczyznowość Ćwiczenia nr DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, Podstawowe aksjomaty (zdanie, którego
Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Układy liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
R n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Praca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej
1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego
Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Matematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Geometria Analityczna w Przestrzeni
Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
K ażde zadanie powinno być rozwiązane na oddzielnej kartce. N a'każdej kartce z rozw iązaniem
K ażde zadanie powinno być rozwiązane na oddzielnej kartce. N a'każdej kartce z rozw iązaniem powinno być: imię i nazwisko osoby zdającej oraz jej num er indeksu, num er grupy ćwiczeniowej do której osoba
Przestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Zadania przygotowawcze do I kolokwium z MD
Zadania przygotowawcze do I kolokwium z MD Nizej znajduja sie wskazowki i rozwiazania. Wskazowki i rozwiazania do kazdego z zadan umiescilem na oddzielnych stronach. Gdy nie wiecie jak zaczac polecam spojrzenie
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Przestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe
Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i
Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
KOLOKWIUM Z EKONOMETRII
KOLOKWIUM Z EKONOMETRII Semestr zimowy: 20 grudnia 2004r. Imie:... Nazwisko:... Kolokwium sklada sie z dwoch czesci i trwa osiemdziesiat minut. W pierwszej znajdziecie Panstwo osiem pytan zwiazanych z
AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej
Funkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
M10. Własności funkcji liniowej
M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Przestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Zbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Analiza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Pewne algorytmy algebry liniowej Andrzej Strojnowski
Pewne algorytmy algebry liniowej ndrzej Strojnowski 6 stycznia 2011 Przedstawimy tu kilka algorytmów rozwi zuj ce typowe zadania algebry liniowej Wszystkie zaprezentowane tu algorytmy polegaj na zbudowaniu
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Lokalne ektrema, formy kwadratowe
Lokalne ektrema, formy kwadratowe Ostatnio poprawiłem 6 grudnia 214 r. Wypada raz jeszcze wrócić do ekstremów warunkowych. W przypadku ekstremów funkcji rozpatrywanych na zbiorach otwartych podaliśmy warunek
1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Paweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
![2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I](/thumbs/88/115575416.jpg "2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I")
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Metody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2
1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +