Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji.

Transkrypt

1 Lista 8 Wyrażenia wymierne. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Funkcję nazywamy funkcja podstawową, a wektorem przesunięcia, w którym: określa przesunięcie w poziomie (wzdłuż osi X: w prawo gdy p>0 lub w lewo gdy p <0) określa przesunięcie w pionie (wzdłuż osi Y: w górę gdy q>0 lub w dół gdy q<0). Zacznijmy od wyznaczenia funkcji podstawowej dodane lub odjęte) i określenia przesunięcia (wystarczy w wyjściowej funkcji zasłonid wszystkie liczby, które są (o 1 w lewo i 2 w dół). Sporządźmy tabelkę do funkcji podstawowej (pamiętając o dziedzinie funkcji tzn. ) x ,5-0,25 0,25 0, , ,5 Teraz nanieśmy otrzymane punkty na układ współrzędnych (1 jednostka = 1 kratka) i przesuomy otrzymana hiperbolę zgodnie ze współrzędnymi wektora: Przykład 2: Zauważmy, że podaną funkcję można zapisad w postaci (wystarczy wyciągnąd przed nawias w mianowniku). Wyznaczmy teraz funkcję podstawową i określmy przesunięcie (o 4 w prawo i 1 w górę). Sporządźmy tabelkę do funkcji podstawowej (pamiętając o dziedzinie funkcji tzn. ) x ,5-0,25 0,25 0, , ,5 Teraz nanieśmy otrzymane punkty na układ współrzędnych (1 jednostka = 1 kratka) i przesuomy otrzymana hiperbolę zgodnie ze współrzędnymi wektora:

2 Przykład 3:. Zacznijmy od przekształcenia wzoru naszej funkcji do dobrze znanej nam postaci. Rozbijmy licznik tak, aby w nawiasie uzyskad jakąś wielokrotnośd mianownika a poza nawiasem uzupełnijmy, tak aby liczniki się zgadzały: Teraz rozbijmy nasz ułamek na sumę dwóch ułamków o tym samym mianowniku: A następnie uprośdmy pierwszy ułamek i otrzymamy: Mamy więc już znaną nam postad funkcji: Wyznaczmy teraz funkcję podstawową i określmy przesunięcie (o 1 w lewo i 2 w górę). A dalej już bez problemu sporządzicie tabelkę i przesuniecie wykres otrzymanej funkcji ;) Ćwiczenia: a) e) b) f) c) g) d) h) Zad 2. Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego a następnie je uprośd. Przykład 1: Na początku wyznaczmy dziedzinę tego wyrażenia (MIANOWNIK ): Rozłóżmy ten dwumian na czynniki: Stąd

3 Teraz uprośdmy podane wyrażenie wcześniej rozkładając na czynniki wielomiany w liczniku i mianowniku : Przykład 2:. Ustalmy dziedzinę tego wyrażenia: Teraz rozłóżmy na czynniki, wyciągając wspólny czynnik przed nawias i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, licznik i mianownik podanego wyrażenia: A teraz uprośdmy otrzymane wyrażenie skracając odpowiednie czynniki: Przykład 3: Ustalmy dziedzinę tego wyrażenia: Rozłóżmy ten wielomian na czynniki grupując jego wyrazy: Stąd : Aby uprościd podane wyrażenie wymierne musimy jeszcze rozłożyd na czynniki jego licznik. Zapiszmy więc trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej. Policzmy wyróżnik: więc są 2 pierwiastki: Zatem postad iloczynowa ( ) tego trójmianu to: Teraz możemy już uprościd podane wyrażenie wymierne: Ćwiczenia: a) d) g)

4 b) e) c) f) Zad 3. Podaj niezbędne założenia. Wykonaj działania. Wynik podaj w najprostszej postaci. Przykład 1: Oczywiście wyrażenia w mianownikach nie mogą byd równe 0. i i Aby ułatwid sobie obliczenia, uprośdmy jak najbardziej ułamki zanim przystąpimy do mnożenia. W tym celu rozłóżmy na czynniki liczniki i mianowniki podanych ułamków: Po skróceniu odpowiednich czynników otrzymamy: Przykład 2:. Określmy założenia pamiętając, że dzielenie przez ułamek możemy zapisad jako mnożenie przez odwrotnośd dzielnika. Mamy trzy wyrażenia w mianownikach, więc:. Teraz rozłożymy liczniki i mianowniki na czynniki: Po skróceniu odpowiednich czynników otrzymamy: Przykład 3:. Ustalmy założenia: Aby dodad dwa ułamki należy sprowadzid je do wspólnego mianownika: Teraz już możemy dodad uzyskane ułamki (licznik dodajemy do licznika, a mianownik pozostaje bez zmian):

5 Warto jeszcze sprawdzid czy coś się nie skróci (sprawdzając jaki jest rozkład na czynniki licznika) Policzmy wyróżnik trójmianu : wyrażenia wymiernego, które ostatecznie ma postad: zatem pierwiastki są liczbami niewymiernymi więc nie da się bardziej uprościd naszego Przykład 4:. Ustalmy założenia: Aby odjąd dwa ułamki także należy sprowadzid je do wspólnego mianownika: Teraz już możemy odjąd uzyskane ułamki (licznik odejmujemy od licznika, a mianownik pozostaje bez zmian): Łatwo zobaczyd, że nie da się bardziej uprościd naszego wyrażenia wymiernego, które ostatecznie ma postad: Ćwiczenia: a) e) b) f) c) g) d) h) Zad 4. Rozwiąż równanie. Przykład 1: Oczywiście wyrażenie w mianowniku nie może byd równe 0. Aby pozbyd się ułamka z lewej strony równania pomnożymy je obustronnie przez mianownik:

6 Otrzymujemy w ten sposób proste równanie liniowe: (liczba ta spełnia założenie więc jest rozwiązaniem) Przykład 2:. Określmy założenia: Policzmy wyróżnik i miejsca zerowe(o ile istnieją): Wiemy już zatem, że : Pomnóżmy obie strony równania przez mianownik: Otrzymamy: (liczba ta spełnia założenie więc jest rozwiązaniem) Przykład 3:. Ustalmy założenia: Aby pozbyd się mianowników wymnóżmy to równanie na krzyż : Mamy więc: Stąd dostajemy równanie kwadratowe: Policzmy wyróżnik trójmianu : Zatem pierwiastki tego równania to: (liczby te spełniają założenia więc są rozwiązaniami wyjściowego równania) Przykład 4:. Ustalmy założenia: Aby pozbyd się mianowników wymnóżmy to równanie przez oba mianowniki jednocześnie:

7 Mamy więc: Stąd dostajemy równanie: A po przekształceniu: Policzmy wyróżnik trójmianu : Zatem pierwiastki tego równania to: (liczby te spełniają założenia więc są rozwiązaniami wyjściowego równania) Ćwiczenia: a) e) b) f) c) g) d) h) Zad 5. Opisz sytuację przedstawioną w zadaniu za pomocą równania lub układu równao a następnie je rozwiąż. Przykład 1: (Zadanie 31. (6 pkt) Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki. Poziom podstawowy. Zestaw P1.) Uczeo przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeo czytał tę książkę. Rozwiązanie: Na początek opiszmy nasze dane. Niech: Czyli po przekształceniu: oczywiście A teraz po zmianie: Więc: Wymnóżmy teraz nawiasy ( każde przez każde ): Widad, że liczba 480, występująca po obu stronach równania, nam się zredukuje.

8 Otrzymamy zatem równanie: Teraz, aby pozbyd się mianownika pomnóżmy obie strony równania przez x. Stąd otrzymamy równanie kwadratowe: Aby nieco uprościd dalsze obliczenia podzielmy obie strony równania przez i uporządkujmy otrzymany trójmian: Teraz wystarczy rozwiązad otrzymane równanie kwadratowe. Policzmy zatem wyróżnik oraz miejsca zerowe (jeśli istnieją): Oczywiście liczba czytanych stron nie może byd ujemna, więc to rozwiązanie nie spełnia warunków zadania(odpada). Co oznacza, że uczeo czytał dziennie 32 strony. Policzmy zatem jeszcze przez ile dni czytał książkę: Zatem uczeo czytał książkę przez 15 dni. Przykład 2: (Zadanie 98. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAO MATURALNYCH - Informator maturalny) Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi. Rozwiązanie: Na początek opiszmy nasze dane. pociąg A B B A Prędkośd( km/h) Droga(km) 270 km (jechał o 9km/h szybciej) 270 km (spotkały się w połowie drogi) Czas( h) (wyjechał o godzinę później) Podstawiając do równania otrzymujemy: Pozbądźmy się mianowników mnożąc otrzymane równanie obustronnie przez : Teraz skracając odpowiednio ułamki otrzymamy: Dostajemy zatem równanie kwadratowe: Teraz wystarczy rozwiązad otrzymane równanie kwadratowe. Policzmy zatem wyróżnik oraz miejsca zerowe (jeśli istnieją):

9 Oczywiście czas przejazdu nie może byd ujemny, więc to rozwiązanie nie spełnia warunków zadania(odpada). Co oznacza, że pociąg A B jechał do momentu spotkania 6 godzin. Policzmy zatem jeszcze z jaką prędkością jechał: Zatem pociąg A B jechał z prędkością 45 km/h, a pociąg B A z prędkością 54 km/h. Przykład 3: (Zadanie 26. (6 pkt) Przykładowy arkusz egzaminacyjny z matematyki. Poziom podstawowy. Zestaw P2.) Do zbiornika o pojemności 700 można doprowadzid wodę dwiema rurami. W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 5 wody więcej niż druga rura. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 16 godzin krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie. Rozwiązanie: Na początek opiszmy dane. I rura II rura Prędkośd napełniania zbiornika ( ) (dostarcza o 5 mniej wody) Pojemnośd zbiornika ( ) Czas napełniania zbiornika ( h) (czas napełniania jest o 16 h dłuższy) Podstawiając do równania otrzymujemy: Pozbądźmy się mianowników mnożąc otrzymane równanie obustronnie przez : Teraz skracając odpowiednio ułamki otrzymamy:

10 Dostajemy zatem równanie kwadratowe: Teraz wystarczy rozwiązad otrzymane równanie kwadratowe. Policzmy zatem wyróżnik oraz miejsca zerowe (jeśli istnieją): Oczywiście czas napełniania zbiornika nie może byd ujemny, więc to rozwiązanie nie spełnia warunków zadania(odpada). Co oznacza, że I rura napełnia cały zbiornik przez 40 godzin. Policzmy zatem jaka jest prędkośd napełniania zbiornika tylko I rurą: Zatem prędkośd napełniania zbiornika tylko II rurą wynosi: ( o 5 mniej) Wiemy stąd, że w ciągu jednej godziny obie rury jednocześnie pompują wody Ale chcemy wiedzied w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie. Ćwiczenia: a) Zadanie 32. (5 pkt) - egzamin maturalny z matematyki maj 2011, poziom podstawowy Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyd na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzid o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta. b) Zadanie 34. (5 pkt)- egzamin maturalny z matematyki maj 2012, poziom podstawowy Miasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkośd pociągu pospiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny. c) Zadanie 34. (5 pkt) - egzamin maturalny z matematyki sierpieo 2012, poziom podstawowy Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz. d) Zadanie 30. (5 pkt) - Próbna Matura z OPERONEM, listopad 2009, poziom podstawowy Samochód przejechał 180 km, jadąc ze stałą prędkością. Gdyby jechał z prędkością o 30 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o godzinę. Z jaką prędkością jechał ten samochód? e) Zadanie 97. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAO MATURALNYCH-Informator maturalny Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnią prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do miejscowości B wyjeżdża o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości A przebył do tego miejsca całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści? f) Zadanie 34. (5 pkt) próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 2010, poziom podstawowy Droga z miasta A do miasta B ma długośd 474 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza

11 godzinę później niż samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta B. Średnia prędkośd samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkośd każdego samochodu do chwili spotkania. g) Zadanie 34. (5 pkt) - egzamin maturalny z matematyki maj 2010, poziom podstawowy W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2 oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mied baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi. Anna Wołoszyn

12