Lista 1 liczby rzeczywiste.

Transkrypt

1 Lista 1 liczby rzeczywiste Zad 1 Przedstaw liczbę m w postaci W każdym ze składników tej sumy musimy wyłączyd czynnik przed znak pierwiastka Można to zrobid rozkładając liczby podpierwiastkowe na czynniki pierwsze: 18 2 więc czyli Zatem Podobnie jak w poprzednim przykładzie w każdym ze składników sumy musimy wyłączyd czynnik przed znak pierwiastka Rozłóżmy więc liczby podpierwiastkowe na czynniki pierwsze: 16 2 więc 54 2 czyli Zatem Zad 2 Oblicz korzystając z wzorów skróconego mnożenia Skorzystamy z wzoru na kwadrat różnicy (w naszym przykładzie ) A dalej wykonamy już tylko w odpowiedniej kolejności wskazane działania Skorzystamy z wzoru na sześcian różnicy (w naszym przykładzie ) A dalej wykonamy już tylko w odpowiedniej kolejności wskazane działania

2 Przykład 3: Zauważmy, że oba nawiasy różni jedynie znak działania i kolejnośd składników W takim przypadku po drobnym przekształceniu (dodawanie jest przemienne) możemy skorzystad z wzoru na różnicę kwadratów (w naszym przykładzie ) Zad 3 Zapisz podane wyrażenie w postaci iloczynu korzystając z odpowiednich wzorów skróconego mnożenia Korzystamy z wzoru na różnicę kwadratów czyli w naszym przykładzie Stąd: Korzystamy z wzoru na różnicę sześcianów czyli w naszym przykładzie Stąd: Przykład 3: Podaną różnicę możemy zapisad w postaci i skorzystad z wzoru na różnicę sześcianów Nasze zatem: Pierwszy czynnik tego iloczynu można jeszcze rozłożyd, korzystając z wzoru na różnicę kwadratów Zatem Zad 4 Usuo niewymiernośd z mianownika ułamka Doprowadź go do najprostszej postaci Aby usunąd niewymiernośd z mianownika tego ułamka, musimy licznik i mianownik pomnożyd przez pierwiastek znajdujący się w mianowniku:

3 Aby usunąd niewymiernośd z mianownika tego ułamka, musimy licznik i mianownik pomnożyd przez (wyrażenie z mianownika ze zmienionym znakiem pośrodku ) Teraz w mianowniku stosujemy wzór na różnicę kwadratów a w liczniku wymnażamy nawiasy ( każde przez każde ) Zad 5 Przedstaw liczbę x w postaci ułamka zwykłego Żeby zapisad liczbę x w postaci ułamka zwykłego mnożymy obustronnie powyższe równanie przez taką potęgę liczby 10 (przez 10, 100, 1000, itp), aby po wymnożeniu po przecinku otrzymad identyczne rozwinięcie dziesiętne W naszym przykładzie najlepiej pomnożyd obie strony przez 100: (w liczbie 0, przesuwamy przecinek o 2 miejsca w prawo) teraz odejmujemy równania stronami: Zatem: Podobnie jak w przykładzie 1 mnożymy obustronnie powyższe równanie przez taką potęgę liczby 10, aby po wymnożeniu po przecinku otrzymad identyczne rozwinięcie dziesiętne W tym przykładzie najlepiej pomnożyd obie strony przez 10 a następnie otrzymane równanie jeszcze przez 100: (w liczbie 1, przesuwamy przecinek o 1 miejsce w prawo) teraz odejmujemy równania stronami: Zatem:,co po skróceniu daje: c) f)

4 Zad 6Wyznacz liczbę odwrotną do liczby a Przykład1: Liczbą odwrotną do liczby a jest Aby ją wyznaczyd trzeba wyliczyd wartośd a Pamiętaj o kolejności wykonywania działao (w tym przykładzie najpierw mnożenie!) Aby pomnożyd ułamki zamieniamy najpierw liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: Teraz aby odjąd lub dodad ułamki należy je sprowadzid do wspólnego mianownika: Czyli, a zatem Przykład2: Tak jak w poprzednim przykładzie, aby wyznaczyd liczbą odwrotną,, trzeba najpierw wyliczyd wartośd a Warto zacząd od usunięcia niewymierności z mianownika pierwszego ułamka: Teraz sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i odejmujemy (uwaga na znaki!): Czyli, a zatem Zad 7 Oblicz korzystając z praw działao na potęgach Na początek zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy Wiedząc, że (ujemny wykładnik odwraca liczbę ) otrzymujemy Teraz korzystamy z własności (mnożąc potęgi o tych samych podstawach dodajemy wykładniki) Zauważmy najpierw, że więc

5 Teraz zapiszmy sobie 54 jako oraz 18 jako wtedy Korzystając z własności otrzymujemy Zauważmy teraz, że oraz i skorzystajmy z prawa (potęga potęgi wykładniki mnożymy) wtedy Wiedząc, że (dzieląc potęgi o tych samych podstawach odejmujemy wykładniki) oraz dostajemy Zad 8 Pewien towar kosztuje 126zł Podaj procentową zmianę początkowej ceny oraz cenę koocową, jeśli cenę tę najpierw podniesiono o 7%, a następnie obniżono o 8% Najpierw ustalmy zmianę procentową podanej ceny Niech początkowa cena to będzie Jeśli cenę zwiększymy o 7%, to otrzymamy 107% ceny wyjściowej (100% to cena wyjściowa) Zatem to jest nasza nowa cena Teraz otrzymaną cenę pomniejszamy o 8%, czyli bierzemy 92% z nowej ceny: A zatem otrzymaliśmy ostatecznie 98,44 % początkowej ceny, więc cena spadła o 1,56% Teraz już bez problemu możemy ustalid cenę koocową naszego towaru (wystarczy wstawid zamiast x liczbę 126): a) najpierw podniesiono o 6%, a następnie obniżono o 4% b) najpierw obniżono o 7%, a następnie podniesiono o 8% c) najpierw podniesiono o 12%, a następnie obniżono o 10% d) najpierw obniżono o 30%, a następnie podniesiono o 30% e) dwukrotnie podniesiono o 5% f) dwukrotnie obniżono o 4% Zad 9 Oblicz jakim procentem liczby x jest liczba y oraz jakim procentem liczby y jest liczba x, jeśli: Ustalmy najpierw jakim procentem(inaczej jaką częścią) liczby x jest liczba y: Teraz sprawdźmy jakim procentem liczby y jest liczba x:

6 Zad 10 P% wszystkich uczniów w klasie stanowią dziewczynki Oblicz ilu uczniów jest w tej klasie, jeśli dziewczynek jest D O ile procent liczba chłopców w tej klasie jest większa/mniejsza od liczby dziewczynek jeśli? Niech w oznacza liczbę wszystkich uczniów w klasie Wtedy A zatem w tej klasie jest 30 uczniów Chłopców jest 6, czyli o 18 mniej niż dziewczynek Obliczmy więc jaki procent z liczby dziewczynek(24) stanowi ta różnica: Zatem liczba chłopców w tej klasie jest mniejsza od liczby dziewczynek o 75% a) d) 2 b) e) 7 c) f) Anna Wołoszyn