Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji"

Transkrypt

1 Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Piotr Modliński 6 października 010 Spis treści 1 Wstęp 1 Metody iteracyjne 1.1 Zbieżność metody Lokalizacja zer Metody odnajdywania zer Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda stycznych Newtona Metoda siecznych Metoda iteracji prostej Praktyczne warunki stopu 5 4 Uwagi Zera wielokrotne Przybliżenia pochodnych Zadania kontrolne Zadanie Zadanie Zadanie Wstęp Przy wszelkiego rodzaju obliczeniach, rozwiązywaniu równań itp. spotykamy się z bardzo podstawowym problemem wyznaczenia miejsc zerowych danej funkcji. Warto zwrócić uwagę na fakt, że zadanie to jest równoważne rozwiązywaniu równań nieliniowych każde równanie przekształcić można do postaci f(x) = 0. Czasami, w bardzo specyficznych przypadkach, jesteśmy w stanie wyznaczyć rozwiązanie w sposób analityczny, jednak nie zawsze tak jest. Przykładem takiego problemu może być tzw. równanie Keplera (f(x) x ɛ sin(x) M = 0), które jest bardzo istotnym narzędziem w astronomii, gdyż pozwala wyznaczyć przyszłe położenie planety, jednak poza paroma prostymi przypadkami, w ogólności nie daje się rozwiązać w prosty sposób za pomocą funkcji elementarnych. Bardzo wiele problemów sprowadza się do znalezienia miejsc zerowych wielomianów, a nawet wśród nich wystarczy, że stopień jest nieco większy i już mamy duże problemy z wyznaczeniem wyniku. Kolejnym przykładem może być wyznaczenie pierwiastka kwadratowego określonej liczby a, które także można przekształcić do rozwiązania równania postaci f(x) = x a = 0. Podobnie rozwiązanie równania wykorzystać można dla wyznaczenia odwrotności liczby a bez wykonywania dzielenia 1. Często jednak nie jest konieczne wyznaczenie miejsca zerowego w sposób dokładny, a wystarczy pewne ( bardzo dobre nie gorsze niż ɛ) przybliżenie np. w większości zastosowań inżynierskich nie interesuje nas wartość dokładna, a jedynie wystarczająco bliska skoro i tak mamy do czynienia z błędami pomiarów. Wówczas do przybliżonego rozwiązania takiego zadania posłużyć się możemy komputerem. Na zajęciach zajmiemy się jedynie grupą tzw. metod iteracyjnych które w kolejnych krokach (iteracjach) coraz dokładniej przybliżają nam poszukiwane miejsce zerowe. Nie będziemy też koncentrować się na metodach najbardziej efektywnych, czy wykorzystywanych w specjalizowanych algorytmach, a na tych najprostszych, które owszem umożliwiają znalezienie rozwiązania, jednak są na tyle proste, że opanowanie ich nie powinno stanowić problemu. Metody iteracyjne Jak zaznaczono we wstępie, metody te pozwalają w kolejnych krokach na coraz dokładniejsze przybliżanie miejsc zerowych. Każde kolejne oszacowanie 1 które jest niepożądane w pewnych sytuacjach np. w 18-bitowym rejestrze wektorowym procesorów AMD wynik jest obardzony znaczącym błędem, który jest ponoszony jako cena zwiększonej szybkości obliczeń w ogólności pod nazwą metod iteracyjnych występują różne algorytmy pozwalające w kolejnych iteracjach zbliżać się do rozwiązania różnych problemów, czy to szukania miejsc 1

2 (kolejny krok) wykonywany jest na podstawie jednego, lub kilku poprzednich: x (k+1) = Φ k (x (k),..., x (k+1 m) ) Ilość kroków wykorzystywanych do wyznaczenia kolejnego określana jest jako m-krokowość metody (w ten sposób metoda wykorzystująca tylko jeden punkt jest metodą jednokrokową, dwa ostatnie potrzebuje dwukrokowa itd)..1 Zbieżność metody Określa się tzw. rząd metody p definiowany następująco: x k x A x k+1 x p gdzie x jest poszukiwanym miejscem zerowym, a A współczynnikiem zbieżności. Rząd metody określa szybkość, z jaką kolejne przybliżenia zbiegają do rozwiązania rzeczywistego. W przypadku w którym p = 1 mówimy o zbieżności liniowej, kiedy p 1 o zbieżności ponadliniowej, która jest szybsza od liniowej.. Lokalizacja zer Metody iteracyjne w znakomitej większości dobrze działają w przypadku, w którym badana funkcja posiada jedno miejsce zerowe. Zazwyczaj jednak nie jest tak pięknie i bywa z tym różnie. Stąd pierwszym krokiem jest tzw. lokalizacja miejsc zerowych wyznaczenie przedziału, w którym takie miejsce jest tylko jedno. Ułatwi to znacznie działanie algorytmom, skróci czas ich działania (ilość iteracji), a w skrajnych przypadkach będzie wręcz niezbędne dla uzyskania poprawnych rezultatów. Po wyznaczeniu przedziału po prostu traktujemy go jako dziedzinę funkcji na której działamy, przez co w samym algorytmie iteracyjnym nie musimy już martwić się wieloma miejscami zerowymi. Metod lokalizacji zer można wymyślić wiele, najprostsze i najbardziej chyba intuicyjne to: Tablicowanie Utwórzmy tablicę wartości funkcji wyznaczanych co pewien stały krok i sporządźmy przybliżony wykres łącząc kolejne punkty. W okolicy przecięcia wykresu z osią y = 0 powinno znaleźć się nasze miejsce zerowe. Analiza matematyczna Określenie metodami analitycznymi np. zerowych, sortowania, czy wielu innych zmiana znaku wartości funkcji ciągłej. Dodatkowo jeśli znak pochodnej się nie zmienia, mamy tylko jedno miejsce zerowe. Metoda graficzna Rozłożenie badanej funkcji na dwie składowe f(x) = f 1 (x) f (x) i określanie liczby przecięć (np. f(x) = x 4 (x + 1)). W niniejszym opracowaniu nie będę metodom lokalizacji poświęcał większej uwagi..3 Metody odnajdywania zer W poniższych rozważaniach zakładamy, że na rozważanym przedziale [a, b] mamy funkcję ciągłą, klasy C 1, która ma jedno miejsce zerowe które oznaczamy przez x. Ewentualne dalsze założenia opisane przy konkretnych metodach..3.1 Metoda bisekcji Znana także pod innymi nazwami (metoda równego podziału, metoda połowienia itp.) jest podstawową i najbardziej chyba intuicyjną z metod rozwiązywania równań nieliniowych poszukiwania miejsc zerowych. Opiera się na twierdzeniu Bolzano-Cauchy: Jeżeli funkcja ciągła f(x) ma na końcach przedziału domkniętego wartości różnych znaków, to wewnątrz tego przedziału, istnieje co najmniej jeden pierwiastek równania f(x) = 0 Poza ciągłością na przedziale [a, b] mamy dodatkowe założenie, że na krańcach przedziału funkcja ma przeciwne znaki, zatem: f(a) f(b) < 0 Całość algorytmu przedstawiona jest na rysunku 1 i w poniższych punktach (zaczyna się od k = 1): 1. Sprawdź, czy punkt x (k) = a+b jest pierwiastkiem równania f(x (k) ) = 0. Jeżeli tak, algorytm kończy się, a punkt x (k) jest szukanym miejscem zerowym. 3. Jeżeli nie, x (k) dzieli przedział [a, b] na dwa mniejsze przedziały: [a, x (k) ], oraz [x (k), b]. Proces powtarzany jest od początku dla przedziału, który spełnia założenie przeciwnych znaków, tj. f(a) f(x (k) ) < 0 (wówczas b = x (k) ), lub f(x (k) ) f(b) < 0 (wtedy a = x (k) ).

3 punktów 3 ). Algorytm powtarza się dla nowego przedziału. Rysunek 1: Metoda bisekcji kolejne kroki Działanie algorytmu kończy się po znalezieniu pierwiastka, lub po osiągnięciu żądanej dokładności ɛ. Warto zwrócić uwagę, że dokładność można oszacować jeszcze przed rozpoczęciem obliczeń ponieważ z każdym krokiem przedział [a, b] zmniejsza się dwukrotnie, błąd popełniany w k-tej iteracji można szacować przez b a ɛ. k Dla metody bisekcji można przyjąć, że A = 0, 5, zaś p = 1. Za pomocą prostych przekształceń można pokazać, że dla znalezienia pierwiastka z zadaną dokładnością ɛ trzeba wykonać co najmniej k iteracji, gdzie: k = k(ɛ) =.3. Metoda regula falsi log b a ɛ Drugą z metod, którymi się zajmiemy będzie tzw. regula falsi (łac: fałszywa reguła, lub łac: fałszywa [linia] prosta). W porównaniu z metodą bisekcji metoda różni się tym, że inaczej wyznaczany jest punkt x (k). Potrzeba tych samych założeń, co w przypadku metody bisekcji, tj. założenia o istnieniu jednego pierwiastka na przedziale [a, b], oraz różnych znakach na jego końcach. Przebieg algorytmu przedstawiono w kolejnych punktach, oraz na rysunku : 1. Poprowadź cięciwę przez punkty A(a, f(a)) i B(b, f(b)).. Punkt przecięcia x (k) cięciwy z osią OX jest brany jako przybliżenie rozwiązania. 3. Jeśli przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się 4. W przeciwnym razie punkt x (k) staje się nowym punktem a, lub b (w zależności od tego, jaki jest znak wartości funkcji w każdym z tych Rysunek : Metoda regula falsi kolejne kroki Stosowanie reguły można uprościć wyprowadzając wzory na kolejne punkty: x (1) = a f(b) b f(a) f(b) f(a) x (k+1) = x (k) f(a) a f(x(k) ) f(a) f(x (k) ) gdyf(a)f(x (k) ) 0 x (k) f(b) b f(x(k) ) f(b) f(x (k) ) gdyf(b)f(x (k) ) < 0 Rząd metody szacować można na liniowy (p = 1), przy czym metoda jest skuteczna zwłaszcza przy funkcjach zbliżonych do liniowych..3.3 Metoda stycznych Newtona Metoda ta, nazywana także metodą Newtona- Raphsona polega na wyznaczaniu kolejnych przybliżeń miejsca zerowego (x (k+1) ) jako miejsc zerowych stycznych do wykresu w poprzednm punkcie (x (k) ). Metoda podobnie jak każda inna, posiada pewne założenia niezbędne do poprawnego działania. Założenia te są bardzo podobne do metody regula falsi: dokładnie jeden pierwiastek na przedziale [a, b], różne znaki na krańcach przedziału (f(a) f(b) < 0), oraz dodatkowo stały znak pierwszej i drugiej pochodnej na całym przedziale. Przebieg pokazany jest na rysunku 3, oraz w punktach poniżej: pierwszy krok Wybierz punkt startowy x (0) (zazwyczaj jest to jedna z wartości a, b, 0, 1, a+b). k = 1 3 jeśli badana funkcja ma stały znak pierwszej i drugiej pochodnej, za każdym razem zastępowany jest ten sam koniec przedziału 3

4 k-ty krok Wyprowadź styczną f(x (k 1) ) do wykresu funkcji w punkcie x (k 1). Oznacz punkt przecięcia stycznej z osią OX przez x (k) jest to kolejne (k-te) przybliżenie punktu x. Jeśli wyznaczone przybliżenie jest satysfakcjonujące, algorytm się w tym momencie kończy, jeśli nie, k jest zwiększane o 1 i następuje kolejna iteracja. jest w połączeniu z innymi np. z metodą bisekcji i po osiągnięciu pewnego przybliżenia miejsca zerowego dopiero następuje przełączenie na Newtona, żeby szybko znaleźć z dużą dokładnością szukane rozwiązanie. x3 - x + Rysunek 4: Cykl w metodzie Newtona funkcja x 3 x + w punktach 0 i Metoda siecznych Rysunek 3: Metoda stycznych kolejne kroki Stosowanie reguły można uprościć wyprowadzając wzory na kolejne punkty: x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) Oszacowanie błędu Błąd k-tego przybliżenia można oszacować na jeden z następujących sposobów: x x (k) f(x (k) ) x x (k) M m m ( x x (k 1)) gdzie m = min x [a,b] f (x), oraz M = max x [a,b] f (x) Problemy Metoda nie jest narzędziem doskonałym z kilku powodów. Metoda nie w każdym przypadku jest zbieżna w szczególności jeśli punkt startowy jest zbyt daleko od miejsca zerowego, bardzo często algorytm się rozbiega. Innymi słowy nie jest zbieżna globalnie. Może wpaść w swoisty cykl (por. rys. 4) bądź w ogóle nie wystartować jeśli źle wybierzemy punkt początkowy (np. dla funkcj f(x) = 1 x jeśli początkowym punktem będzie x (0) = 0 to kolejny punkt będzie w nieskończoności!!!). Dlatego metoda ta często wykorzystywana Od sposobu działania nazywana też metodą interpolacji liniowej, bądź także metodą Eulera opiera się na przyjęciu założenia, że na dostatecznie małym przedziale [a, b] funkcja zmienia się w przybliżeniu w sposób liniowy, zatem krzywa y = f(x) może na odcinku [a, b] zostać zastąpiona sieczną (prostą przechodzącą przez punkty A(a, f(a)) i B(b, f(b))). Za (kolejną) przybliżoną wartość pierwiastka przyjmuje się wówczas punkt przecięcia siecznej z osią OX. Oczywiście jeśli pożądana jest większa dokładność, punkt przecięcia staje się po prostu nową granicą przedziału i operację się powtarza. Kolejne iteracje wykorzystują nie jeden punkt (jak w poprzednio rozważanych metodach), ale dwa, stąd jest to metoda drugiego rzędu. Granicami przedziału w kolejnej iteracji są dwie ostatnio wyznaczone wartości. Metoda siecznych klasyfikowana jest jako pewien wariant metody Newtona, gdyż dla dostatecznie bliskich punktów na podstawie których wyznaczany jest kolejny, iloraz różnicowy jest bliski pochodnej, zatem kolejne punkty generowane są w ten sam sposób. Powoduje to niestety przenoszenie zasadniczej wady metody Newtona, jaką jest brak zbieżności globalnej, za to nie wymaga obliczania pochodnych. Na rysunku 5 przedstawiono kolejne dwa kroki algorytmu. Najpierw na podstawie wartości x 1 i x wyznaczono wartość x 3, a następnie na podstawie x i x 3 wyznaczono x 4. x (k+1) = x (k) f(x (k) ) ( x (k) x (k 1)) f(x (k) ) f(x (k 1) ) Jeśli f(x) C [a, b] to p = ,

5 Źródło: en.wikipedia.org bezwzględna długość kroku W każdej iteracji wyznaczany jest kolejny krok, który jest bliżej rozwiązania optymalnego od poprzedniego. Jeśli kolejne kroki będą zbyt blisko siebie, założyć można, że jesteśmy wystarczająco blisko zera 4 : x (k+1) x (k) ɛ Rysunek 5: Metoda siecznych dwa pierwsze kroki.3.5 Metoda iteracji prostej Zupełnie inną od poprzednio omówionych jest tzw. metoda iteracji prostej oparta na twierdzeniu Banacha o kontrakcji. Nie jest to metoda powstała na skutek inżynierskich przybliżeń, ale jej uzasadnienie tkwi w analizie funkcji i nie będziemy szczegółowo się w nią zagłębiać (tylko tyle, ile jest niezbędne). Przekształćmy nasze równanie f(x) = 0 w równanie równoważne wprowadzając funkcję φ(x) taką, że: x = φ(x) f(x) = 0 Następnie miejsce zerowe znajdziemy przez ciąg kolejnych przybliżeń, gdzie: x (k) = φ(x (k 1) ) Cały problem polega na tym, że funkcja φ(x) nie może być dowolnym przekształceniem, ale tzw. odwzorowaniem zwężającym, tj. dla D 0 [a, b] będącym domkniętym podzbiorem dziedziny mamy: φ(d 0 ) D 0 L [0,1] x,y D0 φ(x) φ(y) L x y Wówczas równanie x = φ(x) ma dokładnie jedno rozwiązanie x, oraz x = lim k x (k) dla dowolnego początkowego przybliżenia x (0) D 0. 3 Praktyczne warunki stopu Nazbyt optymistycznym byłoby zakładać, że metoda w końcu wstrzeli się dokładnie w miejsce zerowe. Ponieważ dziedzina rozważanej funkcji jest zbiorem mocy C, a przy nieskończonej liczbie kroków mamy tylko ℵ 0 sprawdzonych punktów, szansa trafienia jest statystycznie równa 0. W praktyce potrzebujemy jednak wystarczająco dokładnego przybliżenia miejsca zerowego. Jak je uzyskać? Istnieje kilka sposobów określenia chwili, w której algorytm powinien już się zatrzymać: względna długość kroku Analogicznie jak w poprzednim wypadku, ale tym razem nie patrzymy na bezwzględną wielkość kroku, tylko bierzemy pod uwagę stosunek długości kroku do wartości wyznaczonego punktu. To podejście jest znacznie lepsze pod względem numerycznym od poprzedniego (podobne cechy), jak i organoleptycznym (różnicę między 0, 1 a 0, 0001 łatwiej dostrzec niż między a , 1 mimo, że w tym drugim przypadku bezwzględna różnica jest większa niż w pierwszym.) Problem ze stromymi funkcjami analogiczny jak w poprzednim przypadku. Formalnie można to więc zapisać następująco: x (k+1) x (k) ɛ x (k+1) najlepsza znaleziona wartość Przyjmujemy wartość jaką będziemy uważać za wystarczająco bliską zera i jeśli bezwzględna wartość funkcji jest od niej mniejsza zakładamy, że trafiliśmy w miejsce zerowe. UWAGA! Dla bardzo płaskich funkcji może powodować bardzo duże różnice! Np. znajdzie zera dla funkcji f(x) = 1! Formalnie zapisując: x f(x (k) ) ɛ maksymalna ilość iteracji Najprostsza chyba możliwość kiedy k osiągnie graniczną wartość, czyli obliczenia trwają już zbyt długo, kończymy działanie. Pozostaje tylko określenie czy udało się znaleźć miejsce zerowe, czy nie. Można więc ten warunek dać jako nadrzędny kolejne są sprawdzane tylko pod warunkiem, że: k < k max 4 jednak jeśli pochodna funkcji w otoczeniu zera ma dużą wartość bezwzględną, czyli funkcja jest bardzo stroma, wartości mogą się znacznie różnić! Np. f(x) = ctg(x) dla x 0 5

6 4 Uwagi 4.1 Zera wielokrotne W przypadku występowania na danym przedziale więcej niż jednego miejsca zerowego (bądź zer wielokrotnych) pewne metody nie działają poprawnie, inne wymagają dodatkowych warunków dla poprawności działania. Często także dochodzi do obniżenia rzędu metody (działa wolniej). Istnieją różne modyfikacje przedstawionych metod pozwalające wyznaczać pierwiastki wielokrotne, czy w wielu wymiarach, w dziedzinie zespolonej itd, ale nie będziemy się nimi tutaj zajmować. 1. x = x 3 4, 5. x = 4,5+x x 3. x = 3 4, 5 + x 5.3 Zadanie 3 Proszę zlokalizować zera, a następnie wyznaczyć pierwiastki równania: 64x 3 11x + 8x + 15 = 0 4. Przybliżenia pochodnych Pochodne funkcji w punkcie wyznacza się za pomocą ilorazów różnicowych: f (x) f(x + h) f(x h) h f f(x + h) f(x) + f(x h) (x) h Tak zdefiniowane ilorazy są wystarczająco dobrym oszacowaniem. Oczywiście z jednej strony im mniejsze h, tym oszacowanie jest dokładniejsze, jednak z zajęć poświęconych błędom numerycznym wiemy, że nie można dowolnie tej wartości zmniejszać, gdyż jesteśmy ograniczeni błędami zaokrągleń wówczas nastąpi skokowe pogorszenie oszacowania do tego poziomu, że będzie ono zupełnie nieprzydatne. 5 Zadania kontrolne 5.1 Zadanie 1 Proszę znaleźć rozwiązania następujących równań nieliniowych metodami przedstawionymi w niniejszym opracowaniu: 1. x 3 x 4, 5 = 0 na przedziale [1, ]. ctg(x) x = 0 na przedziale [π/4, π/] 3. x α = 0 dla wybranej wartości parametru α 5. Zadanie Dla metody iteracji prostej proszę określić, które przekształcenia równania x 3 x 4, 5 = 0 na przedziale [1, ] są zbieżne i dlaczego (proszę uzasadnić), a następnie sprawdzić eksperymentalnie poprawność wniosków: 6

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Piotr Modliński 31 października 010 Spis treści 1 Wstęp 1 Metody iteracyjne 1.1 Zbieżność metody............ Lokalizacja zer.............3 Metody odnajdywania zer.......3.1

Bardziej szczegółowo

1 Równania nieliniowe

1 Równania nieliniowe 1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Metody rozwiązywania równań nieliniowych Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.

Bardziej szczegółowo

Iteracyjne rozwiązywanie równań

Iteracyjne rozwiązywanie równań Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Wykład 7

Metody numeryczne Wykład 7 Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

Elementy metod numerycznych

Elementy metod numerycznych Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)

Bardziej szczegółowo

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

Laboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH. INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.

Metody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych. Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia - równania nieliniowe

Zagadnienia - równania nieliniowe Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym

Bardziej szczegółowo

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Numeryczne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej Materiały pomocnicze do ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 7. Równania nieliniowe (non-linear equations) Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Dawid Prokopek

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne. Wojciech Szewczuk

Metody Numeryczne. Wojciech Szewczuk Metody Numeryczne Równania nieliniowe Równania nieliniowe W tych równaniach jedna lub więcej zmiennych występuje nieliniowo, np równanie Keplera x a sin x = b. Zajmiemy się teraz lokalizacją pierwiastków

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005

Analiza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005 kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski

Równania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski Równania nieliniowe LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. funkcja fplot fplot ( f, granice ) fplot ( f, granice, n, linia, tol ) [ x, y ] = fplot ( )» fplot ( sin(x*x)/x, [ 0 4*pi ] )» fplot ( sin(x*x)/x,

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych. Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Lokalna minimalizacja ciagła Minimalizacja funkcji jest jedna z najważniejszych

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

x y

x y Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka

Bardziej szczegółowo

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności 3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Procedury wyższych rzędów 1 Procedury wyższych rzędów jako abstrakcje konstrukcji programistycznych Intuicje Procedury wyższych rzędów

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Lekcja Strona z 2 Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Rozwiązywanie pojedynczego równania - funkcja root Do rozwiązywania jednego równania z jedną niewiadomą służy funkcja root(f(z), z), gdzie:

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Bardzo łatwa lista powtórkowa

Bardzo łatwa lista powtórkowa Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin

Bardziej szczegółowo

Zastosowania pochodnych

Zastosowania pochodnych Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość

Bardziej szczegółowo

Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur.

Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur. Języki i paradygmaty programowania 1 studia stacjonarne 2018/19 Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur. 1. Identyfikator funkcji,

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 8. Wyznaczanie pierwiastków wielomianów Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Magdalena Nowak

Bardziej szczegółowo

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1 Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Funkcje Część druga Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Granica funkcji Funkcja f: R A R ma w punkcie x 0 granicę g wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer. METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Wykład 5 Podstawowe techniki programownia w przykładach Janusz Szwabiński Plan wykładu: Metoda babilońska wyliczania pierwiastka Liczby pierwsze i sito Eratostenesa Metoda bisekcji

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.

KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej

Bardziej szczegółowo