Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Interpolacja metoda funkcji sklejanych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych 5 Część II Opracowanie: Michał Grochowski, dr inż. Robert Piotrowski, dr inż. Arkadiusz Cimiński, mgr inż. Gdańsk

2 1. Wprowadzenie Interpolacja wielomianowa metodą Lagrange a lub Newtona z zastosowaniem dużej liczby węzłów interpolacyjnych wymusza stosowanie wielomianu interpolacyjnego wysokiego stopnia. Może to prowadzić, szczególnie dla węzłów interpolacyjnych rozmieszczonych w równych odstępach, do tzw. efektu Rungego, który polega na oscylacji wielomianu na końcach przedziału interpolacji. Pogarszanie się dokładności interpolacji wraz ze wzrostem stopnia wielomianu interpolacyjnego jest charakterystyczne dla interpolacji funkcji, które nie są ciągłe lub mają nieciągłe pochodne. Ponadto, w niektórych przypadkach, interpolacja wielomianem wysokiego stopnia jest wrażliwa na zaburzenia danych wejściowych, co może skutkować źle uwarunkowanym zadaniem. Rozwiązaniem powyższych problemów jest zastosowanie interpolacji lokalnej (na kilku podprzedziałach) wielomianami niskiego stopnia i późniejszym połączeniem ich (sklejeniem). Jest to interpolacja wielomianowa funkcjami sklejanymi (ang. spline function). Metoda ta gwarantuje gładkie przejście między kolejnymi podprzedziałami (równość wartości i pochodnych na granicach podprzedziałów). 2. Interpolacja wielomianowa funkcjami sklejanymi 2.1. Pojęcie funkcji sklejanej Definicja 1 Niech na przedziale danych będzie różnych punktów oraz niech zachodzi: Warunek (1) powoduje, że punkty dzielą przedział na podprzedziałów. Podział ten oznaczmy przez. Powiemy, że funkcja określona na przedziale jest interpolacyjną funkcją sklejaną stopnia jeżeli: a). jest wielomianem stopnia co najwyżej na każdym podprzedziale, b)., tzn. ma ciągłe pochodne do stopnia włącznie. (1) Punkty to węzły funkcji sklejanej. Oznaczmy zbiór wszystkich funkcji sklejanych stopnia o węzłach w punktach jako. Dodatkowo niech. Zatem na każdym podprzedziale, funkcja jest wielomianem stopnia co najwyżej : Zatem otrzymujemy dowolnych stałych. Widać więc, że żądanie ciągłości pochodnych stopnia w każdym węźle wewnętrznym daje warunków. Ostatecznie funkcja zależy od parametrów. 2 (2)

3 Warto zauważyć, że interpolacja wielomianowa funkcjami sklejanymi pierwszego stopnia jest interpolacją liniową (interpolacją wielomianem pierwszego stopnia) w poszczególnych podprzedziałach. W praktyce najczęściej stosuje się interpolację wielomianową funkcjami sklejanymi trzeciego stopnia. Metoda ta zostanie opisana w dalszej części opracowania Funkcje sklejane trzeciego stopnia Definicja 2 Niech dana będzie funkcja. Funkcję nazywamy interpolacyjną funkcją sklejaną trzeciego stopnia dla funkcji, jeżeli: Funkcja zależy od parametrów, więc interpolacyjne funkcje sklejane trzeciego stopnia mają dwa stopnie swobody wobec czego trzeba nałożyć na nie dwa dodatkowe warunki (zależne od własności funkcji i informacji o niej). Są to najczęściej: lub (3) (4a) ustalone liczby rzeczywiste. (4b) Jeżeli funkcja ma pochodne w punktach i są one znane, to można je przyjąć jako wartości liczb. Dodatkowo niech: Rozwijając wcześniejsze rozważania można napisać, że interpolacyjną funkcją sklejaną trzeciego stopnia jest funkcja postaci: (5a) (5b) (6a) (6b) Wartości parametrów układ równań: można wyznaczyć rozwiązując następujący 3

4 (7a) (7b) oraz, gdy zachodzi: (8a) (8b) Wartość błędu bezwzględnego przybliżenia funkcji przez można oszacować na podstawie następującej zależności:,., (9) Przykład 1 Dana jest następująca tablica złożona z argumentów i wartości pewnej funkcji: Wiedząc, że: : 1/2 1 3/ /3 1/2 a). Dokonaj interpolacji powyższej funkcji za pomocą funkcji sklejanych trzeciego stopnia. b). Oblicz parametry funkcji sklejanej wyznaczonej w punkcie a). dla poszczególnych podprzedziałów. 4

5 a). Widać, że węzły interpolacyjne rozmieszczone są w równych odległościach:. Dodatkowo z danych zadania mamy: (10a) Jednocześnie zgodnie z zależnością (8b) zachodzi: (10b) Wyznaczamy wartości parametrów z warunkami (7b): korzystając z układu równań (7a) (11a) (11b) (11c) (11d) (11e) (11f) 5

6 (11g) b). Dla podprzedziału, korzystając z zależności (6a) z warunkami (6b) mamy: (12a) (12b) (12c) Zatem interpolacyjna funkcja sklejania trzeciego stopnia dla podprzedziału jest postaci: (12d) Dla podprzedziału, korzystając z zależności (6a) z warunkami (6b) mamy: (13a) (13b) 6

7 (13c) Zatem interpolacyjna funkcja sklejania trzeciego stopnia dla podprzedziału jest postaci: (13d) Dla podprzedziału, korzystając z zależności (6a) z warunkami (6b) mamy: (14a) (14b) (14c) Zatem interpolacyjna funkcja sklejania trzeciego stopnia dla podprzedziału jest postaci: (14d) Bibliografia Dahlquist G., Björck A. (1983). Metody numeryczne. PWN. Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J. (1982). Metody numeryczne. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Polański R., Polański Z. (1991). Algorytmy i programy dla inżynierów. Wydawnictwo Czasopism i Książek Technicznych. Praca zbiorowa pod redakcją E. Straszyckiej. (2002). Laboratorium metod numerycznych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej. Praca zbiorowa pod redakcją D. Zboś (1989). Metody numeryczne. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej. 7