Zamiana sumowania po stanach jednocząstkowych na całkowanie
|
|
- Piotr Sobczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 TiFS, Ćwiczenia nr 11 Zamiana sumowania po stanach jednocząstkowych na całkowanie Gęstość stanów kwantowych na osi energii f (E) określa liczbę stanów N(E) w określonym przedziale energii de: f (E) de = N(E) Aby f (E) można było traktować jako funkcję ciągłą, przedział energii de który rozpatrujemy musi być o wiele większy niż odległość między poziomami, inaczej gęstość stanów ma charakter delty Diraca. Aby uniknąć tego problemu czasami rozpatruje się wartość D(E) określoną jako liczba stanów o energii mniejszej niż E. Wówczas: D(E) = E E f (ε)dε gdzie E jest energią stanu podstawowego. W rachunku prawdopodobieństwa taką wielkość nazywa się dystrybuantą. Zadanie: Znaleźć gęstość stanów kwantowych na osi energii dla cząstki w nieskończonej studni potencjału o szerokości L. Funkcja falowa w studni jednowymiarowej: ψ n (x) = A sin nπx L stąd Hψ n = 2 d 2 ψ n 2m dx = 2 π 2 n 2 2 2mL ψ 2 n Poziomy energetyczne w studni: E n = αn 2 gdzie α = 2 π 2 2mL 2 = h2 8mL 2 1
2 Patrząc na rozkład poziomów na osi energii widzimy że są one rozłożone coraz rzadziej. Odległość między kolejnymi poziomami: δe= α(n + 1) 2 αn 2 = α(2n + 1) 2nα = 2 αe Założyliśmy tutaj, że n 1 Liczba stanów kwantowych w przedziale energii (E, E + E) wynosi: N(E) = E δe = E 2 αe stąd gęstość stanów: 1 2mL f (E) = 2 αe = 1 h E Poziomy energetyczne są niezdegenerowane. Wraz ze wzrostem energii poziomy energetyczne są rozłożone coraz rzadziej i w pewnym momencie pojęcie ciągłej gęstości stanów traci sens. W tym przypadku zamiana sumowania po poziomach energetycznych na całkowanie po ciągłej wartości energii raczej nie ma zastosowania. Łatwo sprawdzić, że rzeczywiste funkcje własne operatora energii w studni mają średnią wartość pędu równą zeru: ˆp ψn = a x= ψ n ˆp ψ n = ale można zamiast nich wziąść funkcję zespoloną opisującą cząstkę biegnącą w lewo lub w prawo: ψ = Ae ikx (fala płaska) gdzie wektor falowy k = n π L. Ma ona co prawda wadę ponieważ nie spełnia warunku ciągłości funkcji falowej na granicy studni: ψ(x = ) = ψ(x = L) = ale za to: Ĥψ = 2 k 2 2m ψ = εψ oraz 2
3 ˆp ψ = dψ i dx = kψ Stąd możemy zapisać zależność pędu i energii dla cząstki biegnącej w studni tak jak dla cząstki klasycznej: ε = p2 2m Sytuacja jest zupełnie inna dla cząstki w studni dwu- i trójwymiarowej. Poziomy energetyczne mją wówczas postać: W przypadku 2-wymiarowym: E n1,n 2 = 2 π 2 2mS (n2 1 + n2 2 ) gdzie S = L2 jest powierzchnią studni W przypadku 3-wymiarowym: E n1,n 2,n 3 = 2 π 2 2mV (n2 1 + n2 2 + n2 3 ) gdzie V = L3 jest objętością studni. Poziomy energetyczne są wówczas zdegenerowane. Krotność degeneracji danego poziomu jest równa liczbie sposobów na które można przedstawić daną liczbę jako sumę dwóch (lub trzech) kwadratów liczb naturalnych. Ponieważ większość liczb naturalnych daje się przedstawić w ten sposób, to odległość między poziomami pozostaje stała i równa 2 π 2 2mS lub 2 π 2 2mV. Zadanie: Wyznaczyć gęstość stanów dla klasycznego gazu w objętości V. f (ε) dε = V q V p h 3 Liczba stanów jest równa objętości przestrzeni fazowej dostępnej dla jednej cząstki odpowiadającej przedziałowi energii dε podzielonej przez h 3. V q = V objętość w przestrzeni konfiguracyjnej czyli objętość gazu V p = 4πp 2 d p objętość w przestrzeni pędów czyli powierzchnia sfery o grubości d p Ponieważ: ε = p2 2m, p = 2mε, d p = m 2ε dε 3
4 stąd: V p = 4π 2mε czyli m 2ε dε f (ε) = V h 3 4π 2mε m 2ε = 2π(2m)3/2 V h 3 ε Zadanie: Znaleźć gęstość stanów w trójwymiarowej nieskończonej studni kwantowej o objętości V, czyli dla gazu kwantowego. Studnia jest nieskończenie głęboka, ale jej głębokość określamy na osi energii a nie w przestrzeni rzeczywistej, w której można przyjąć, że ma ona postać sześcianu o boku L. Nieskończoność studni oznacza, że jej ścianki są całkowicie nieprzenikliwe dla cząstek gazu. W jednowymiarowej studni mieliśmy: ψ n = A n sin kx E n = k2 2m gdzie: k = nπ warunek na wektor falowy fali stojącej w studni L n = 1, 2,..., Ujemnych wartości n nie potrzebujemy bo wówczas funkcja sinus zmienia znak, co nie daje nowego stanu układu. W trzech wymiarach zakładając, że studnia ma postać sześcianu o boku L: ψ nx,n y,n z = A nx,n y,n z sin k x x sin k y y sin k z z z warunkami na falę stojącą w studni: k x = n xπ L, k y = n yπ L, k z = n zπ L gdzie n x, n y, n z = 1, 2,..., Ĥψ = 2 2m ψ 4
5 stąd poziomy energetyczne: E n = 2 k 2 2m = π2 2mL 3 (n2 x + n 2 y + nz 2 ) są w tym przypadku zdegenerowane. W przestrzeni wektora falowego (w fizyce ciała stałego zwanej przestrzenią odwrotną) jednemu stanowi układu odpowiada punkt o współrzędnych (k x, k x, k z ). Wszystkie stany stanowią sześcienną siatkę punktów o odległości π L. W takim razie w przestrzeni odwrotnej na jeden stan przypada objętość V 1 = π L π L π L = π3 V gdzie V jest rzeczywistą objętością studni. Przedziałowi energii cząstki (E, E + de) odpowiada pewien przedział wartości wektora falowego (k, k + dk). Geometrycznie, w przestrzeni odwrotnej oznacza to powierzchnię sfery o promieniu k i grubości dk. Ponieważ liczby kwantowe n x, n y, n z > więc bierzemy tylko objętość V k równą 1/8 tej sfery odpowiadającą warunkowi k x, k y, k z >. Energia cząstki: E = 2 k 2 2m = h2 k 2 8π 2 m stąd k 2 = 8π2 Em h 2 dk = π h 8m de k = π h 2 E = π h Liczba stanów wynosi: 8Em 2m E de f (E)dE = V k V 1 gdzie dzielenie objętości w przestrzeni odwrotnej V k przez objętość przypadającą na jeden stan V 1 ma sens jeśli wektor falowy k = (k x, k y, k z ) ma charakter kwaziciągły, to znaczy jeśli V k V 1. f (E)dE = V π πk2 dk = V 2π 8π2 Em 3 h 2 Gęstość stanów: π h 2m E π4 2V de = m m EdE h 3 5
6 f (E) = 2πV (2m)3/2 E h 3 Jest taka sama jak obliczona poprzednio dla gazu klasycznego. W przypadku kwantowym założenie o kwaziciągłości poziomów energetycznych odpowiada klasycznemu przybliżeniu liczenia gęstości stanów poprzez podzielenie przez odpowiednią potęgę stałej Plancka h. Zadanie: Znaleźć poziomy energetyczne i krotności degeneracji w studni dwu- i trójwymiarowej wyliczając liczbę sposobów na które daną liczbę można przedstawić jako sumę kwadratów liczb naturalnych. Porównać wynik z wyliczoną gęstością stanów. Najlepiej zrobić to za pomocą programu Mathematica: drabinka poziomów dla nieskonczenie glebokiej studni dwuwymiarowej wysokosc proporcjonalna do krotnosci degeneracji W(E) In[21]:= << Graphics Graphics In[22]:= nmax 2; data2 Table n^2 m ^2, n, 1, nmax, m, 1, nmax Flatten; data22 Table Count data2, i, i, 1, nmax^2 ; In[25]:= rys21 BarChart data22, Ticks None, Automatic, BarSpacing, BarStyle GrayLevel, BarEdgeStyle, AxesLabel "E", "W E ", AspectRatio.3 ; W E widac z grubsza, ze gestosc stanow jest stala Lepiej narysowac dystrybuante tego rozkladu czyli liczbe stanow D(E) o energii mniejszej niz E In[26]:= data23 ; Do data23 Append data23, Last data23 data22 i, i, 1, nmax^2 ; 6
7 teoretyczna gestosc stanow wynosi f(e) = Π Π, stad dystrybuanta D(E) = 4 4 E In[28]:= rys22 ListPlot data23, PlotJoined True, DisplayFunction Identity ; rys23 Plot Pi 4 x, x, 1, nmax^2, PlotStyle Dashing.4 1, 1, DisplayFunction Identity ; Show rys22, rys23, DisplayFunction $DisplayFunction ; drabinka poziomow dla nieskonczenie glebokiej studni trojwymiarowej In[31]:= In[33]:= In[34]:= In[35]:= data3 Table n^2 m ^2 p^2, n, 1, nmax, m, 1, nmax, p, 1, nmax Flatten; data32 Table Count data3, i, i, 1, nmax^2 ; rys31 BarChart data32, Ticks None, Automatic, BarSpacing, BarStyle GrayLevel.5, BarEdgeStyle, AxesLabel "E", "W E ", DisplayFunction Identity ; rys31a Plot Pi 4 Sqrt x, x, 1, nmax^2, DisplayFunction Identity ; Show rys31, rys31a, DisplayFunction $DisplayFunction, AspectRatio.3 ; W E E Czy to wyglada jak f(e)= Π E? 4 7
8 data33 ; Do data33 Append data33, Last data33 data32 i, i, 1, nmax^2 ; rys32 ListPlot data33, PlotJoined True, DisplayFunction Identity ; rys33 Plot Pi 6 x^ 3 2, x, 1, nmax^2, PlotStyle Dashing.4 1, 1, DisplayFunction Identity ; teoretyczna gestosc stanow wynosi f(e) = Π E, stad dystrybuanta D(E) = Π 4 6 E3 2 Show rys32, rys33, DisplayFunction $DisplayFunction ; roznice miedzy wykresami empirycznej i teoretycznej dystrybuanty biora sie stad, ze nie liczymy wartosci liczb nauralnych n,m,p = Pytanie bez odpowiedzi: W końcowym wyniku pozostała tylko objętość studni V. Czy gęstość stanów nie zależy od kształtu studni? Czy będzie taka sama na przykład w studni o kształcie kuli? Wniosek: Dla gazu kwantowego zamiast sumować pewną wielkość F po energiach stanów jednocząstkowych ε i m F(ε i ) i= możemy wykonać jej całkowanie z gęstością stanów f (ε) ε m F(ε) f (ε) dε ε=ε gdzie wyrażenie: f (ε) dε 8
9 określa liczbę poziomów energetycznych w przedziale energii (ε, ε + dε). Jeśli gęstość stanów zbliża się do zera, wówczas wartość f (ε) dε może nie oddawać dobrze liczby stanów energetycznych w przedziale dε. Jeśli w tym przypadku wartość sumowanej funkcji F(ε) jest duża to zamiana sumowania przez całkowanie w tym przedziale energii może nie być poprawne. Uwaga: Sumie statystycznej dla jednej cząstki w rozkładzie kanonicznym: m z (1) = e βε i i= gdzie β = 1/ powinien odpowiadać wzór całkowy z gęstością stanów: z (1) = ε m e βε f (ε) dε ε=ε Zadanie: Sprawdzić to dla gazu dokonałego Biorąc gęstość stanów dla gazu doskonałego: z (1) = 2πV 3 (2m)3/2 ε= e βε εdε i stosując wzór z tablic całek: xe nx dx = 1 2n π n, dla n > B. Piłat i M. Wasilewski, Tablice całek, wzór (3.7) Dostajemy sumę statystyczną: z (1) = 2πV π h 3 (2m)3/2 2β = V ( 2πm 3/2 h 3 β ) 3/2 taką jak obliczona wcześniej przez całkowanie hamiltonianu w przestrzeni pędów. 9
10 Istnieje odwrotna zależność pomiędzy gęstością stanów i sumą statystyczną zwana twierdzeniem o odwracaniu sumy statystycznej: f (ε) = 1 2πi d dε σ+ σ i βε dβ Z(β) e β gdzie całkowanie odbywa się po konturze na płaszczyźnie zespolonych wartości parametru β. + Imβ σ Reβ Kontur całkowania, σ dowolne. A. G. Samo loviq, Termodinamika i Statistiqeska Fizika Zadanie: Znaleźć średnią liczbę cząstek w temperaturze T dla gazu bozonów. Sumowanie rozkładu Bosego-Einsteina po jednocząstkowych poziomach energetycznych gazu ε i : 1 N = i= exp ( ε i µ ) 1 zamieniamy całkowaniem z gęstością stanów f (ε): N = f (ε)dε exp ( ε µ ) 1 Najniższy poziom energetyczny w studni trójwymiarowej, dla liczb kwantowych n x = n y = n z = 1, wynosi: 1
11 ε = 3h2 8mV Dla makroskopowej objętości gazu wartość ε nawet dla temperatur tak niskich jak T = 1 K jest rzędu Można więc z całą pewnością jako dolną granicę całki przyjąc wartość. Podstawiając gęstość stanów dla gazu kwantowego: N = 2πV εdε h 3 (2m)3/2 exp ( ε µ ) 1 Możemy wprowadzić oznaczenia: x = ε, y = eµ/ Jeśli byłoby µ > to w punkcie ε = µ funkcja podcałkowa miałaby osobliwość, a sama całka byłaby rozbieżna. Potencjał chemiczny musi być niższy niż dolna granica całkowania: µ Dla bozonów potencjał chemiczny jest ujemny. To znaczy wprowadzenie dodatkowego bozonu do układu obniża energię tego układu. Mamy więc warunek: < y 1 Wykonując zamianę zmiennych przy całkowaniu: ε = x dε = dx N = 2πV h 3 (2m)3/2 xdx e x /y 1 Stałe wyrażenie przed całką wynosi po uproszczeniu: 2V ( 2πm ) 3/2 2V π = h 2 πl 3 gdzie wprowadziliśmy znaną już wcześniej cieplną długość fali de Broglie a: h l = 2πm W przypadku y > 1 wyrażenie podcałkowe ma osobliwość w x = ln y, a całka staje się rozbieżna. 11
12 Do całki: I = ye x x 1 ye x dx można zastosować rozwinięcie w szereg geometryczny dla funkcji: f (z) = z 1 z = 1 1 z 1 = z n 1 = z n gdzie z = ye x < 1 n= a więc ten szereg jest zbieżny. I = x (ye x ) n dx Możemy zamienić kolejność sumowania i całkowania. Matematycy mają na to specjalne twierdzenie Lebesgue a, które wymaga aby rozpatrywany szereg był zbieżny jednostajnie. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, 46. W fizyce nikt się tym nie przejmuje, więc liczymy dalej: I = y n xe nx dx Ta całka już się wcześniej pojawiła i wynosi I = π 2 y n n 3/2 π. Otrzymujemy więc: 2n3/2 Pojawił się tu pewien szereg, którego nie da się zsumować. Można go przyjąc jako definicję pewnej funkcji. Znana jest ona w matematyce jako funkcja polilogarytmiczna (funkcja Jonquière a): Li q (z) = z n n q W szczególnym przypadku q = 1: z n Li 1 (z) = = ln(1 z) n 12
13 otrzymujemy rozwinięcie w szereg logarytmu naturalnego. Wniosek: Średnia liczba cząstek dla gazu bozonów w temperaturze T wynosi: N = V l 3 Li 3 2 (eµ/ ) Jest to uwikłane równanie wiążące średnią liczbę cząstek N w temperaturze T z wartością potencjału chemicznego µ. Możemy napisać: Li 3 2 (y) = Nl3 V = n l 3 T 3/2 gdzie n = N/V jest parametrem określającym koncentrację cząstek. Mamy tu pewien problem ponieważ dla y > 1 całka przedstawiająca liczbę cząstek przestaje być zbieżna. Maksymalna wartość funkcji polilogarytmicznej, dla y = 1 wynosi: Li 3 2 (1) = gdzie: ζ(z) = 1 n z 1 n 3/2 =ζ( 3 2 ) jest znaną w matematyce funkcją dzeta Riemanna. Słynna hipoteza Riemanna głosi, że wszystkie jej nietrywialne miejsca zerowe na płaszczyźnie zespolonej leżą na osi Re(z) = 1. Jej wartość liczbowa wynosi: 2 ζ( 3 2 ) 2,612 Oznacza to, że dla danej wartości temperatury koncentracja cząstek nie może przekroczyć wartości: n < ζ( 3 2 ) l 3 = ζ( 3 2 )(2πm)3/2 h 3 13
14 Uwaga: Wydawałoby się, że warunek y = e µ/ = 1 oznacza skrajnie wysokie temperatury T. Tak jednak nie jest ponieważ potencjał chemiczny też zależy od temperatury, poprzez wzór określający N. Mając wzór określający zależność koncentracji cząstek od temperatury i parametru y: n = 1 l 3 Li 3 2 (y) można obliczyć temepraturę T c wartości koncentracji n : n = (2πm c) 3/2 h 3 ζ( 3 2 ) odpowiadającą wartości y = 1 przy zadanej Aby rozwiązać problem rozbieżności sumy statystycznej dla bozonów trzeba zauważyć, że całkowanie po ciągłych wartościach poziomów energii stanów jednocząstkowych ε było wprowadzone przy założeniu, że te poziomy są kwaziciągłe. Nie jest to spełnione w pobliżu ε, czyli w pobliżu dolnej granicy całki. gdzie gęstość stanów jest bliska zeru. Należałoby więc w tym przedziale zrezygnować z całkowania i wrócić do sumowania po poziomach ε i w pobliżu stanu podstawowego. Można rozważyć nadwyżkę cząstek powyżej wartości krytycznej przekraczającej maksymalną koncentrację: N = N N kryt. gdzie N kryt = ζ( 3 2 )Vl3 Można założyć, że cząstki należące do nadwyżki N znajdują się na najniższych poziomach energetycznych i tworzą tak zwany kondensat Bosego-Einsteina. Nazwa ta pochodzi od analogii z własnościami termodynamicznymi pary nasyconej, która w określonej temperaturze ma pewną maksymalną gęstość, powyżej której cząstki cieczy zaczynają wytrącać się w postaci kondensatu na dnie naczynia. Jeśli nie interesują nas własności termodynamiczne samego kondensatu to możemy przyjąć, że przy przekroczeniu wartości krytycznej pewna liczba N cząstek wypada z rachunku, to znaczy nie ma wpływu na własności termodynamiczne pozostałego gazu bozonów. Nie musimy wtedy wykonywać dokładnego sumowania po poziomach energetycznych jednocząstkowych w pobliżu stanu podstawowego. Jest to najgrubsze przybliżenie jakie można zrobić. Stosując je ignorujemy wszystkie własności termodynamiczne kondensatu Bosego-Einsteina i zajmujemy się tylko własnościami pozostałego gazu. 14
15 Parametr y = e µ/ nazywa się często parametrem degeneracji gazu bozonów. Określa on stopień odchylenia własności gazu bozonów od własności gazu klasycznego. Jeśli y = 1, gaz jest kompletnie zdegenerowany; z gazu wytrąca się kondensat Bosego-Einsteina. Uwaga: Ściśle rzecz biorąc kondensacja zachodzi w przestrzeni pędów ε = p 2 /2m, a więc kondesat nie musi być przestrzennie rozdzielony od pozostałego gazu. Tak zachodzi na przykład w przypadku ciekłego helu i jego fazy nadciekłej uważanej za kondensat Bosego-Einsteina. Zadanie: Obliczyć wielki potencjał dla gazu bozonów. Ω = i= ln [ 1 exp ( µ ε i )] W tym wzorze także zamienimy sumowanie przez całkowanie z gęstością stanów: Ω = f (ε) ln [ 1 exp ( µ ε )] dε Podstawiając gęstość stanu dla gazu kwantowego: Ω = 2πV h 3 (2m)3/2 [ ( µ ε )] ε ln 1 exp dε Oznaczając: x = ε y = e µ/ możemy wykonać zamianę zmiennych w całkowaniu: Ω = 2V πl 3 x ln(1 ye x ) dx Do wyrażenia podcałkowego możemy zastosować rozwinięcie w szereg logarytmu: z n ln(1 z) = n 15
16 gdzie z = ye x < 1 Wielki potencjał wynosi więc: Ω = 2V πl 3 (ye x ) n x dx n zamieniając kolejność sumowania i całkowania: Ω = 2V πl 3 y n n xe nx dx Pojawiła się znana nam już tablicowa całka równa π/(2n 3/2 ) Ω = V y n l 3 n = V 5/2 l Li (y) Jako sprawdzenie rachunków można policzyć bezpośrednim różniczkowaniem szeregu że zachodzi N = Ω µ N = V dy l 3 dµ d dy Li 2 5 (y) gdzie y = e µ/, dy dµ = y Potrzebny będzie nam następujący wzór rekurencyjny: d dy Li q(y) = d y n dy n = ny n 1 = 1 y n q n q y n = 1 q 1 y Li q 1(y) A więc rzeczywiście: N = V l 3 Li 3 2 (y) tak jak powinno być. 16
17 Wniosek: Stosując wzór Kramersa z termodynamiki: Ω = pv dostajemy ciśnienie gazu bozonów: p = l 3 Li 5 2 (y) poprzez y = e µ/ ciśnienie zależy od koncentracji cząstek n = N/V. Dla zdegenerowanego gazu bozonów w obecności kondensatu, gdy y = 1, powinniśmy napisać: p = l Li (1) = l ζ( 5) T 5/2 3 2 gdzie ζ( 5 ) jest odpowiednią wartością funkcji dzeta Riemanna. 2 Widzimy, że ciśnienie gazu nie zależy od jego objętości tak jak dla pary nasyconej. Zmniejszenie objętości gazu spowodowałoby wzrost koncentracji cząstek n powyżej maksymalnego. Aby tego uniknąć dodatkowa liczba bozonów przechodzi do kondensatu. 17
18 rownanie stanu dla gazu bozonow cieplna dlugosc fali de Broglie a l T_ 1 Sqrt T ; koncentracja czastek n T_, y_ 1 l T ^3 PolyLog 3 2, y ; cisnienie p T_, y_ T l T ^3 PolyLog 5 2, y ; parametr degeneracji y T_, n_ : If n nmax T, 1, y. FindRoot n T, y n, y,, 1 maksymalna koncentracja nmax T_ n T, 1 ; data ListPlot Table 1 nmax T, p T, 1 N, T,.1, 2,.1, PlotStyle Dashing.1 1, 1, PlotJoined True, DisplayFunction Identity ; data T_ : ListPlot Table V, p T, y T, 1 V N, V,.1, 3,.5, PlotJoined True, DisplayFunction Identity 18
19 Show data, data.6, data.8, data 1, data 1.2, data 1.5, Frame True, Axes None, DisplayFunction $DisplayFunction, FrameLabel "V", "p V ", RotateLabel False, PlotRange, 3,, 4 ; p V V Zadanie: Znaleźć równanie stanu dla słabo zdegenerowanego gazu bozonów y 1. Mamy ogólne równanie stanu w postaci uwikłanej poprzez parametr degeneracji y = e µ/ : pv = V Li l (y) N = V l 3 Li 3 2 (y) Dla y 1 możemy wziąść dwa pierwsze wyrazy szeregu: Li q (q) y + y2 2 q stąd: pl 3 = α y + y2 2 5/2 Nl 3 V = β y + y2 2 3/2 19
20 W celu usunięcia zależności od y do drugiego równania zastosujemy metodę odwracania szeregu: y β y2 2 β 1 ( y 2 ) 2 β 2 β β 3/2 2 3/2 2 3/2 2 3/2 Odwróciliśmy szereg z dokładością do wyrazów kwadratowych. Wstawiając teraz wynik odwrócenia do równania na α: α β β ( β 2 ) 2 β 2 β2 β2 β β + = β 3/2 2 5/2 2 3/2 23/2 25/2 2 = β( 1 β ) 5/2 2 5/2 Dostaliśmy przybliżone równanie stanu z dokładnością do składników kwadratowych. pl 3 Nl3 ( 1 1 V 4 2 Nl3 ) V stąd: pv N ( Nh 3 1 8V ) πm Ciśnienie gazu bozonów jest mniejsze niż dla gazu klasycznego. Zadanie: Obliczyć średnią energię w temperaturze T dla gazu bozonów. Z definicji średniej statystycznej w wielkim rozkładzie kanonicznym f n1...n m : U = E = E n1...n m f n1...n m n 1...n m gdzie sumowanie odbywa się po jednocząstkowych liczbach obsadzeń n 1,..., n m. Ponieważ energia układu wynosi: E n1...n 2 = ε 1 n ε m n m to średnia energia jest sumą średnich energii poziomów jednocząstkowych: m U = ε 1 n ε m n m = ε i n i i=1 Dla bozonów wartości n i dane są rozkładem Bosego-Einsteina. 2
21 Dla gazu bozonów możemy zamienić sumowanie przez całkowanie z gęstością stanów: ε U = exp ( ε µ ) f (ε)dε 1 Biorąc gęstość stanów dla gazu kwantowego: U = 2πV h 3 (2m)3/2 Podstawiając: x = ε y = e µ/ dostajemy: U = 2 π V l 3 ε 3/2 exp ( ε µ x 3/2 e x /y 1 dx ) 1 dε Można by jak wcześniej rozwinąć wyrażenie podcałkowe w szereg i całkować wyraz po wyrazie, ale szybciej jest scałkować to przez części: u = x 3/2 v 1 = e x /y 1 u = 3 2 x1/2 v = ln(1 ye x ) Wówczas: U = 2 π V l 3 [ x 3/2 ln(1 ye x ) } {{ } = x ln(1 e x /y)dx ] Górna granica lim x uv = wynika z reguły de l Hôspitala. Można zauważyć, że powyższa całka pojawiła się przy obliczeniu wielkiego potencjału dla bozonów. Zachodzi prosta zależność: U = 3 2 Ω Wniosek: Dla gazu bozonów: 21
22 pv = Ω = 2 3 U tak samo jak dla gazu doskonałego. Uwaga: Mając przybliżone równanie stanu dla słabo zdegenerowanego gazu bozonów i zależność: U = 3 2 pv łatwo jest obliczyć ciepło właściwe. Okazuje się, że jest ono większe niż dla tej samej liczby moli gazu klasycznego. Zadanie: Wyznaczyć zależność temperaturową ciepła właściwego dla całkowicie zdegenerowanego gazu bozonów. Energia wewnętrzna: U = 3 2 V l 3 Li 5 2 (y) gdzie y = e µ/ oraz l = h/ 2πm Dla całkowicie zdegenerowanego gazu bozonów y = 1 stąd: U = 3V ζ( 5 2l ) TV T 3/2 T 5/2 3 2 Zależność temperaturowa ciepła właściwego wynosi: C V = U T T 3/2 V W ogólnym przypadku y < 1 trzeba uwzględnić, że dla ustalonej średniej liczby cząstek N wartość potencjału chemicznego µ = ln y zależy od temperatury. Licząc pochodną po temperaturze trzeba uzględnić także dµ/dt. 22
23 cieplo wlasciwe gazu bozonow n 1 ; liczba czastek gazu czyli cieplo na jedna czastkœ dla calkowicie zdegenerowanego gazu: U T_ 3 2 T T^ 3 2 PolyLog 5 2, 1 ; energia wewnetrzna cv1 T_ D U T, T cieplo wlasciwe 15 4 T3 2 Zeta 5 2 Tc n PolyLog 3 2, 1 ^ 2 3 ; temperatura krytyczna rys1 Plot cv1 T, T,, Tc, DisplayFunction Identity ; dla gazu czesciowo zdegenerowanego: U T_ 3 2 T T^ 3 2 PolyLog 5 2, Exp Μ T T ; energia wewnetrzna cv2 T_ D U T, T ; cieplo wlasciwe zaleznosc potencjalu chemicznego od temperatury mu T_ : T Log y. FindRoot T^ 3 2 PolyLog 3 2, y n, y,, 1 zaleznosc liczby czastek od temperatury n T_ : T^ 3 2 PolyLog 3 2, Exp Μ T T liczba czastek musi pozostac stala, dzieki temu mozemy pozbyc sie pochodnej Μ po temperaturze 23
24 sol Solve D n T, T, Μ T First; cv3 T_, mu_ cv2 T. sol. Μ T mu ; rys2 Plot cv3 T, mu T, T, Tc 1 1^ 5, 5 Tc, DisplayFunction Identity ; rys3 ParametricPlot Tc, x, x,, 2.4, PlotStyle Dashing.1 1, 1, DisplayFunction Identity ; Show rys1, rys2, rys3, Frame True, FrameLabel "T", "Cv T ", RotateLabel False, DisplayFunction $DisplayFunction ; Cv T T Jak widać ciepło właściwe na jedną cząstkę w granicy wysokotemperaturowej dąży do wartości klasycznej 3 k. W temperaturze krytycznej: 2 T C = h2 ( N ) 2/3 2πmk ζ( 3)V 2 można zaobserwować nieciągłość pochodnej ciepła właściwego, co sugeruje, że kondensacja Bosego-Einsteina jest przemianą fazową drugiego rodzaju, według klasyfikacji Ehrenfesta. Należy pamiętać, że przy liczeniu ciepła właściwego nie uwzględniliśmy energii wewnętrznej kondensatu, którego własności w ogóle powyższe rachunki nie obejmują. Zadanie: Pokazać, że w przypadku dwuwymiarowego gazu bozonów nie zachodzi zjawisko kondensacji. Liczba stanów jednocząstkowych o energii z przedziału (ε, ε + dε) dla gazu klasycznego wynosi: f (ε) dε = S p S q h 2 24
25 gdzie S p S q jest powierzchnią w przestrzeni fazowej dla jednej cząstki odpowiadającą temu przedziałowi energii. Powierzchnia w przestrzeni konfiguracyjnej S q zajmowaną przez gaz. = S jest powierzchnią Powierzchnia w przestrzeni pędów S p = 2πpd p jest obwodem koła o grubości d p. Ponieważ: p = 2mε dε = stąd: f (ε) dε = 2πS h 2 2mε 2ε m d p 2ε m 2πSm dε = dε h 2 Wniosek: Gęstość stanów: f (ε) = 2πSm h 2 = const Rachunek dla gazu kwantowego w dwuwymiarowej studni potencjału daje ten sam wynik: W przestrzeni wektora falowego k = (k x, k y ): π k x = n x L,k π y = n y L, n x, n y = 1, 2, 3,... Jednemu stanowi kwantowemu w przestrzeni wektora falowego odpowiada powierzchnia: S 1 = π2 S gdzie S = L 2 jest powierzchnią studni. Przedziałowi wartości dk odpowiada grubość 1/4 okręgu o promieniu k. Nie bierzemy całego okręgu, bo wartości składowych wektora falowego są dodatnie. Ponieważ: ε = h2 k 2 8π 2 m S k = 1 4 2πk dk = π 2 4π2 m dε h 2 25
26 Stąd liczba stanów w przedziale energii dε wynosi: N(ε) = S k = 2πSm dε = f (ε) dε S 1 h 2 W przybliżeniu gęstości stanów, dla kwaziciągłych poziomów energii jednocząstkowych, oba sposoby muszą dać ten sam wynik. Średnia liczba cząstek w temperaturze T wynosi: N = 2πSm dε h 2 exp ( ε µ ) 1 Warunkiem zbieżności sumy statystycznej jest jak poprzednio µ <. Podstawiając: x = ε, < y = eµ/ < 1 N = S l 2 gdzie dx e x /y 1 h l = 2πm jest długością cieplnej fali de Broglie a. Całkę można obliczyć tak jak dla bozonów w trzech wymiarach poprzez rozwinięcie funkcji podcałkowej w szereg geometryczny. I = dx e x /y 1 = ye x dx 1 ye x Pisząc z = ye x < 1 mamy: z 1 z = z n stąd: I = (ye x ) n dx Zamieniając kolejność sumowania i całkowania: 26
27 I = y n e xn dx Pojawiająca się tu elementarna całka wynosi: 1 n e xn = 1 n Stąd: y n I = n = Li 1(y) = ln(1 y) W pojawiającym się tu szeregu rozpoznajemy rozwinięcie logarytmu. Można zresztą było od razu zgadnąć, że: dx e x /y 1 = ln(ex y) x + C Wniosek: N = S l 2 Li 1(y) stąd: ln(1 y) = Nl2 S czyli y = 1 exp ( Nl2 ) S Potencjał chemiczny: µ = ln y = ln [ 1 exp ( Nl2 )] S jest ujemny dla wszystkich temperatur i koncentracji cząstek n = N/S. Tak więc suma statystyczna jest zawsze zbieżna i nie ma potrzeby wprowadzania kondensacji, aby pozbyć się nadmiaru cząstek. 27
28 Zadanie: Znaleźć gęstość stanów dla poziomów energetycznych oscylatora harmonicznego o częstości ω i zamienić sumowanie przez całkowanie we wzorach na średnią liczbę cząstek oraz energię w temperaturze T. Odległość między poziomami wynosi: δε = ω Stąd liczba stanów w przedziale energii dε wynosi: f (ε)dε = dε δε = dε ω A więc: f (ε) = 1 ω = const Tak jak w poprzednim zadaniu dla dwuwymiarowego gazu bozonów. Jak zwykle dla bozonów potencjał chemiczny musi być niższy niż wartość jednocząstkowego stanu podstawowego, czyli µ <. Średnią liczbę cząstek zapisujemy w postaci całki N = ε= gdzie: x = ε 1 exp ( ε µ ) f (ε)dε = 1 ω y = e µ/ dx e x /y 1 = ω Li 1(y) Podobnie średnia wartość energii w temperaturze T wynosi: U = ε= ε exp ( ε µ ) f (ε)dε = ()2 1 ω xdx e x /y 1 Skorzystamy z przedstawienia całkowego polilogarytmu: Li q 1 (y) = 1 Γ(q) x q dx e x /y 1 do którego można dojść rozwijając funkcję podcałkową w szereg i całkując wyraz po wyrazie, co zresztą już robiliśmy kilka razy. 28
29 W naszym przypadku q = 1 oraz Γ(2) = 1! = 1, a więc U = ()2 ω Li 2(y) Funkcja Li 2 (y) zwana jest często dilogarytmem. Ma ona swoje specjalne przedstawienie całkowe: Li 2 (y) = y ln(1 t) dt t które można otrzymać ze standardowego podstawiając t = ye x. W przypadku oscylatorów potencjał chemiczny µ = ln y można wyrugować z równań: y = 1 exp ( ωn ) i dostać ścisłą zależność energii wewnętrznej od temperatury: U = ()2 ω Li [ ( ωn )] 2 1 exp Można porównać ciepła właściwe liczone na jeden oscylator (ciepło molowe) wynikające z tego wzoru i ze wzoru: ωn U = exp ( ω) 1 wyprowadzonego dla rozróżnialnych oscylatrów w rozkładzie kanonicznym. 29
30 cieplo wlasciwe na jeden oscylator zaleznosc wynikajaca z calkowania energii dla wielkiego rozkladu kanonicznego U T_ T^2 PolyLog 2, 1 Exp 1 T ; cv T_ D U T, T ; rys1 ListPlot Table T, cv T, T, 1^ 4, 2,.1, PlotJoined True, DisplayFunction Identity ; zaleznosc wynikajaca z rozkladu kanonicznego dla rozroznialnych oscylatorow (kreskowana) cv2 T_ D 1 Exp 1 T 1, T ; rys2 Plot cv2 T, T,, 2, PlotStyle Dashing.1 1, 1, DisplayFunction Identity ; Show rys1, rys2, Frame True, Axes None, PlotRange All, DisplayFunction $DisplayFunction, FrameLabel "T", "C T ", RotateLabel False ; C T T Jak widać oba wzory dają tą samą granicę wysokotemperaturową C = k, która jest zgodna z wnioskiem z zasady ekwipartycji energii dla oscylatora harmonicznego. 3
Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony)
TiFS, Ćwiczenia nr 4 Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony) Jeśli do wielkiej sumy statystycznej zastosuje się klasyczną poprawkę na niezrozróżnialność cząstek to w wyniku otrzymuje się własności cząstek,
Bardziej szczegółowon p 2 i = R 2 (8.1) i=1
8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan
Bardziej szczegółowoWykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego
Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,
Bardziej szczegółowo9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych
9 Rozkład kanoniczny 9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych Jest to funkcja rozkładu w stanie równowagi termodynamicznej, dla układu mogącego wymieniać ciepło z otoczeniem. Układ znajduje się w
Bardziej szczegółowoStatystyki kwantowe. P. F. Góra
Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie
Bardziej szczegółowo16 Jednowymiarowy model Isinga
16 Jednowymiarowy model Isinga Jest to liniowy łańcuch N spinów mogących przyjmować wartości ± 1. Mikrostanem układu jest zbiór zmiennych σ i = ±1, gdzie i = 1,,..., N (16.1) Określają one czy i-ty spin
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoWykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe
Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej masie spoczynkowej Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0
Bardziej szczegółowoZadania z Fizyki Statystycznej
Zadania z Fizyki Statystycznej 1. Wyznaczyć skok wartości pochodnej ciepła właściwego w temperaturze krytycznej dla gazu bozonów, w temperaturze w której pojawia się konensacja [1].. Wyznaczyć równanie
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
, granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany
Bardziej szczegółowoPROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO
PROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO wyprowadzenie bez mechaniki kwantowej. Opracował mgr inż. Herbert S. Mączko Celem jest wyznaczenie objętościowej gęstości energii ρ T promieniowania w równoległościennej,
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoTermodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej
Bardziej szczegółowoNormalizacja funkcji falowej
Normalizacja funkcji falowej Postulaty mechaniki kwantowej Zadanie. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Ncosαx) dla x [, a] Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:.
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe
Bardziej szczegółowogęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoRzadkie gazy bozonów
Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni
Bardziej szczegółowo11 Przybliżenie semiklasyczne
11 Przybliżenie semiklasyczne W tym rozdziale rozważymy rachunek przybliżony, który opiera się na rozwinięciu funkcji falowej w szereg potęg stałej Plancka. Zakłada się przy tym jawnie, że h jest małym
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego
WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Operator gęstości W przypadku klasycznym chcieliśmy znać gęstość stanów układu. W przypadku
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoRozkład normalny, niepewność standardowa typu A
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoS ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoWykład 2. Transformata Fouriera
Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo8 Rozkład mikrokanoniczny
8 Rozkład mikrokanoniczny 8.1 Funkcja rozkładu Literatura: D. Morse, Thermal Physics, rozdz. III Statistical Mechanics. Rozpatrujemy klasyczny układ mechaniczny (zbiór cząstek) q oznacza w skrócie wszystkie
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera
Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStara i nowa teoria kwantowa
Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoZespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }
Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera Fale materii de Broglie a (rok 193) De Broglie zaproponował, że każdy
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoDefinicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoZadania treningowe na kolokwium
Zadania treningowe na kolokwium 3.12.2010 1. Stan układu binarnego zawierającego n 1 moli substancji typu 1 i n 2 moli substancji typu 2 parametryzujemy za pomocą stężenia substancji 1: x n 1. Stabilność
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowo1 Rachunek prawdopodobieństwa
1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const
Bardziej szczegółowoUkłady statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 11. Fale mechaniczne. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 11. Fale mechaniczne Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html FALA Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoModel odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I
Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoWykład VI Dalekie pole
Wykład VI Dalekie pole Schemat przypomnienie Musimy znać rozkład fali padającej u pad (x,y) w płaszczyźnie układu optycznego Musimy znać funkcję transmitancji układu optycznego t(x,y) Określamy falę właśnie
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie
Rozmieszczenie liczb pierwszych Wprowadzamy funkcję π(x) def = p x 1, liczbę liczb pierwszych nie przekraczających x. Łatwo sprawdzić: π(12) = 5 (2, 3, 5, 7, 11); π(17) = 7 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Jeszcze
Bardziej szczegółowoFIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w
FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, t ) Tutaj upraszczamy
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, Funkcja falowa
Bardziej szczegółowo