dr Stanisław Kowalczyk Załącznik 1 Instytut Matematyki Akademii Pomorskiej w Słupsku AUTOREFERAT 1. Imię i nazwisko: Stanisław Franciszek Kowalczyk

Transkrypt

1 dr Stanisław Kowalczyk Załącznik 1 Instytut Matematyki Akademii Pomorskiej w Słupsku AUTOREFERAT 1. Imię i nazwisko: Stanisław Franciszek Kowalczyk 2. Posiadane dyplomy i stopnie naukowe: - dyplom magistra matematyki Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Mechaniki i Informatyki, 1988 tytuł pracy magisterskiej - Indeks operatora δ na powierzchni riemannowskiej, promotor doc Tadeusz Mostowski - stopień doktora matematyki Uniwersytet Łódzki, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii, 1994 tytuł pracy doktorskiej Własności algebraiczne funkcji przewyższająco ciągłych w sensie O Malley a, Denjoy i Grandego, promotor prof. dr hab. Zbigniew Grande. 3. Dotychczasowe zatrudnienie w jednostkach naukowych Instytut Matematyki Akademii Pomorskiej w Słupsku, od na stanowisku asystenta, od na stanowisku adiunkta, od na stanowisku starszego wykładowcy. 4. Osiągnięcia wynikające z art. 16 ust. 2 z dnia 14 marca 2003r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach w zakresie sztuki sztuki stanowi rozprawa: The ω-problem, Dissertationes Mathematicae, vol. 501 (2014), Impact Factor w ,439. Rozprawa składa się ze wstępu i czterech rozdziałów. a) Wprowadzenie Pojęcie oscylacji funkcji rzeczywistej znane jest od ponad 100 lat i szeroko wykorzystywane w analizie rzeczywistej, w szczególności do badania ciągłości funkcji rzeczywistej. Problem zbadania rodziny funkcji, które są oscylacjami innych funkcji jest bardzo naturalny. Od dawna wiadomo, że oscylacja dowolnej funkcji rzeczywistej określonej na przestrzeni metrycznej jest nieujemna, półciągła z góry i znika w punktach izolowanych. ω-pierwotną dla półciągłej z góry i znikającej w punktach izolowanych funkcji rzeczywistej f : X [0, ] określonej w przestrzeni topologicznej X nazywamy funkcję F : X R, której oscylacja ω(f, ) jest równa f. Przez ω-problem rozumiemy zagadnienie istnienia ω-pierwotnej dla dowolnej nieujemnej, półciągłej z góry i znikającej w punktach izolowanych funkcji rzeczywistej określonej w przestrzeni topologicznej X. Najprawdopodobniej, pierwsze rezultaty dotyczące tego zagadnienia pochodzą z pracy Kostyrki [K2] z 1980 roku. Zagadnienia dotyczące badania ω-pierwotnej były szeroko badane na przełomie XX i XXI wieku, [Du, Di, B2, Ew1, Ew2, Ew3, K1, K3, Mas1, Mas2, Mas3]. Całkowite, pozytywne rozwiązanie ω-problemu dla przestrzeni metrycznych

2 zostało dokonane w pracy Ewert, Ponomarev [Ew2]. Dokładnie mówiąc prawdziwe są następujące twierdzenia. Twierdzenie 0.1. [Ew2, Theorem 3] Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a f : X [0, ) dowolną funkcją półciągłą z góry i znikającą w punktach izolowanych X. Wówczas dla każdej półciągłej z dołu funkcji g : X (0, ) istnieje funkcja F : X R taka, że ω(f, ) = f oraz g F f. Twierdzenie 0.2. [Ew2, Theorem 4] Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, a f : X [0, ] dowolną funkcją półciągłą z góry i znikającą w punktach izolowanych X. Wówczas istnieje funkcja F : X R taka, że ω(f, ) = f. W przypadku przestrzeni niemetryzowalnych kompletne rozwiązanie problemu ω-pierwotnej dalej jest nieznane. Znaleziono tylko kilka częściowych wyników [Di, Ew3], [1,14] głównie dla przestrzeni Baire a. Warto nadmienić, że przy badaniu istnienia ω-pierwotnej najprostszym przypadkiem jest sytuacja, gdy przestrzeń jest izolowana, a funkcje mają wartości skończone. Jeśli dopuścimy istnienie punktów izolowanych lub wartości nieskończonych zagadnienie się komplikuje i do istnienia funkcji ω-pierwotnej w tych przypadkach wymagane są dodatkowe założenia. Okazało się, że ω-problem dla przestrzeni niemetryzowalnych jest ściśle związany z pojęciem przestrzeni rozwiązalnej wprowadzonej przez Hewitta w 1941 roku [H1]. Przestrzeń topologiczna jest rozwiązalna jeśli zawiera dwa rozłączne podzbiory gęste. Pojęcie rozwiązalności przestrzeni i jego uogólnień było i jest bardzo szeroko badane. W szczególności każda przestrzeń metryzowalna w sobie gęsta [S], każda w sobie gęsta przestrzeń spełniająca I aksjomat przeliczalności [H1] i każda w sobie gęsta i lokalnie zwarta przestrzeń topologiczna jest rozwiązalna. Z drugiej strony dla każdej całkowicie regularnej i gęstej w sobie topologii T w zbiorze X istnieje bogatsza od niej topologia T taka, że (X, T ) nie jest rozwiązalna [H1]. b) Rozdział I Własności operatora ω 1 W rozdziale tym badane są własności zbioru {F : ω(f, ) = f} dla ustalonej funkcji f. Dokonano tu pełnej charakteryzacji zbioru {F : ω(f, ) = f} zarówno w przypadku ciągłej funkcji f o wartościach skończonych (Twierdzenie 2.1) jak i ciągłej funkcji o wartościach nieskończonych (Twierdzenie 2.7). Udowodniono również, że rozwiązalność w sobie gęstej przestrzeni topologicznej jest warunkiem koniecznym i dostatecznym rozwiązania ω- problemu dla skończonych funkcji ciągłych (Twierdzenie 2.3). Podobny rezultat pokazano dla przestrzeni z punktami izolowanymi (Twierdzenie 2.5). Ponadto przedstawiono szereg własności zbioru {F : ω(f, ) = f} dla dowolnej funkcji półciągłej z góry. Własności te uogólniły wyniki dotyczące związków między rozwiązalnością przestrzeni topologicznej i istnieniem ω-pierwotnej otrzymanych w [Di, Ew3]. c) Rozdział II Podstawowe twierdzenia W drugim rozdziale przedstawiono kilka nowych warunków gwarantujących pozytywne rozwiązanie ω-problemu. Podstawowym narzędziem było Twierdzenie 3.4 pozwalające sprowadzić szukanie ω-pierwotnej funkcji f

3 do szukania odpowiedniego podzbioru przestrzeni X, (zależnego od f). W kryteriach gwarantujących rozwiązanie ω-problemu pomocnym pojęciem okazała się, wprowadzona przeze mnie, regularna rozwiązalność przestrzeni (Definicja 3.1). Wykorzystując to narzędzia podałem nowy, dużo krótszy dowód rozwiązania ω-problemu dla przestrzeni metrycznych i dla przestrzeni Baire a. Rozwiązłem również ω-problem dla przestrzeni ośrodkowych i udowodniłem, że każda przestrzeń spełniająca I aksjomat przeliczalności jest homeomorficzna z domkniętym podzbiorem przestrzeni w której istnieje pozytywne rozwiązanie ω-problemu. d) Rozdział III ω-problem w przestrzeniach masywnych W tym rozdziale omówiłem zagadnienie rozwiązania ω-problemu w topologicznych przestrzeniach masywnych, czyli w przestrzeniach, w których żaden niepusty zbiór otwarty nie jest σ-dyskretny. Przestrzenie te muszą oczywiście być w sobie gęste. W tych przestrzeniach ω-pierwotna ma szczególnie prostą postać-jest iloczynem wyjściowej funkcji i funkcji charakterystycznej pewnego zbioru. Wniosek 4.7 podaje warunek konieczny i dostateczny, przy którym każda funkcja półciągła z góry o wartościach skończonych określona na przestrzeni masywnej ma ω-pierwotną tej postaci. Następne wyniki te zostały przeniesione na funkcje o wartościach nieskończonych. e) Rozdział IV ω -problem W kolejnym rozdziale omówiłem, postawiony przeze mnie, tak zwany ω - problem, czyli problem znalezienia dla danej funkcji półciągłej z góry f : X R określonej na przestrzeni w sobie gęstej, funkcji spełniającej równość ω (F, ) = f, gdzie ω (F, x) = lim sup{ f(y) f(z) : y, z U, y x z} = U N (x) = lim sup f(t) lim inf f(t), t x t x a N (x) jest bazą otoczeń punktu x X. Mimo podobnego sformułowania metody rozwiązania ω -problemu są całkiem odmienne. W rozprawie ω - problem został pozytywnie rozwiązany w pełni dla przestrzeni metrycznych. Pokazano nawet więcej: dla każdej pary funkcji f, g : X R, f półciągłej z góry, g półciągłej z dołu, g < f określonych na gęstej w sobie przestrzeni metrycznej istnieje F : X R taka, że f(x) = lim sup F (t) t x oraz g(x) = lim inf F (t) dla x X. Dla klasycznego ω-problemu taka własność nie jest prawdziwa. W ostatniej części rozdziału pokazałem podobne t x wyniki dla funkcji o wartościach nieskończonych oraz podałem przykład przestrzeni niemetryzowalnej, którą okazała się płaszczyzna Niemyckiego, w której problem ω nie ma pozytywnego rozwiązania. e) Rozdział V ω-problem dla funkcji o wartościach w przestrzeni metrycznej Ostatni rozdział rozprawy zawiera analizę ω-problemu dla funkcji o wartościach w przestrzeni metrycznej. Pokazano tu, że jeśli przestrzeń metryczna Y zawiera podzbiór monotonicznie homeomorficzny z prostą to prawie wszystkie uzyskane wyniki pozostają prawdziwe dla funkcji o wartościach w przestrzeni metrycznych (pojęcie monotonicznego homeomor-

4 fizmu zostało wprowadzone przeze mnie w rozprawie Definicje 6.1 i 6.2). Dokładnie mówiąc jeśli ω-problem ma rozwiązanie w przestrzeni X, to dla każdej funkcji f : X [0, ) półciągłej z góry istnieje funkcja F : X Y taka, że ω(f, ) = f. Klasa przestrzeni metrycznych spełniających warunki przedstawione w tym rozdziale jest szeroka, zawiera między innymi metryczne przestrzenie liniowe, wykresy funkcji lipschitzowskich f : R (Y, ϱ) ze stałą L < 1 oraz prostą z metrykami wprowadzonymi przez funkcje monotoniczne. 5. Pozostałe osiągnięcia naukowo-badawcze składają się następujące publikacje. Publikacje naukowe w czasopismach znajdujących się w bazie Journal Citation Report (JRC). 1. S.P. Ponomarev, S. Kowalczyk - On the ω-problem for some types of nonmetrizable functions, Topology Appl., (156) 2009, , Impact Factor w ,441. (mój udział oceniam na 50 procent) 2. S.Kowalczyk, S. Ponomarev, On some properties of approximations, Topology Appl., 158 (2011), , Impact Factor w ,445. (mój udział oceniam na 50 procent) 3. S. Kowalczyk, On operations in C(X) determined by continuous functions, Acta Math. Hungar. 142 (1) (2014), 56 71, Impact Factor w 2014/2015-0, S. Kowalczyk, S. Ponomarev, A criterion for absolute continuity, Nonlinear Analysis TM&A, 90 (2013) , Impact Factor w ,612. (mój udział oceniam na 50 procent) 5. S. Kowalczyk On O Malley preponderantly continuous functions, Math. Slovaca 66 (2016), No. 1, , Impact Factor w ,409 (najpóźniejszy Impact Factor z dostępnych). 6. S. Kowalczyk, M. Turowska On the Property N 1, Abstract and Applied Analysis Vol. 2016, Impact Factor w ,270 (najpóźniejszy Impact Factor z dostępnych). (mój udział oceniam na 50 procent) Publikacje naukowe w pozostałych czasopismach 7. J. Ewert, S. Kowalczyk - On pt-spaces, Tatra Mount. Math. Publ., (28) 2004, (mój udział oceniam na 50 procent) 8. S. Kowalczyk, K. Nowakowska - A note on ϱ continuous functions, Tatra Mount. Math. Publ., (44) 2009, (mój udział oceniam na 50 procent) 9. S. Kowalczyk, K. Nowakowska, A note on the [0]-upper continuous functions, Tatra Mount. Math. Publ., (58) No 1, 2014, (mój udział oceniam na 50 procent) 10. S. Kowalczyk - Topological convergence of multivaled maps and topological convergence of graphs, Demonstratio Math., (27) 1994,

5 11. S. Kowalczyk - Problem of the existence of ω -primitive, Scientific Issues, Jan Długosz University of Częstochowa, Mathematics XII, 2007, J. Jędrzejewski, S. Kowalczyk - Remarks on connectivity and k-konectivity, Scientific Issues, Jan Długosz University of Częstochowa, Mathematics XII, 2007, (mój udział oceniam na 50 procent) 13. J. Jędrzejewski, S. Kowalczyk - k-connectivity, Scientific Issues, Jan Długosz University of Częstochowa, Mathematics XIII, 2008, (mój udział oceniam na 50 procent) 14. S. Kowalczyk - On the equation ω(f, ) = f, Scientific Issues, Catholic University in Rużomberok, Mathematica II, 2009, S. Kowalczyk - On Whitney convergence, Journal of Applied Analysis, (15) 2009, S. Kowalczyk - On preponderantly continuous function, Scientific Issues, Jan Długosz University of Częstochowa, Mathematics XIV, 2009, S. Kowalczyk - Some properties of continuous functions, Scientific Issues, Catholic University in Rużomberok, Mathematica III, 2009, S. Kowalczyk Weak Openness of Multiplications in the space C(0,1), Real Analysis Exchange, 35 (2010), S. Kowalczyk, K. Nowakowska, Maximal Classes for the Family of [λ, ϱ]-continuous Functions, Real Analysis Exchange, 37 (2012 (1)), (mój udział oceniam na 50 procent) 20. S. Kowalczyk, Some algebraic properties of preponderantly continuous functions, Scientific Issues, Jan Długosz University of Częstochowa, Mathematics XVI, 2011, S.Kowalczyk, K. Nowakowska, Maximal classes for ϱ-upper continuous functions, Journal of Applied Analysis 19 (2013), (mój udział oceniam na 50 procent) 22. S. Kowalczyk, Uniform limits of preponderantly continuous functions, Real Analysis Exchange, vol. 38 No. 1 (2013), S. Kowalczyk, On local Whitney convergence, Prace Matematyczne Jan Długosz University of Częstochowa, Matematyka XVII, (2012), R. Drozdowski, J. Jędrzejewski, S. Kowalczyk, A. Sochaczewska Monografia Traditional and present-day topics in real analysis Rozdział 8 On uniform convergence and some related types of convergence Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego (2013), (mój udział oceniam na 25 procent) 25. S.Kowalczyk, K. Nowakowska Monografia Traditional and present-day topics in real analysis Rozdział 26 Path continuity connected with the notion of density , Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego (2013). (mój udział oceniam na 50 procent)

6 26. J. Jędrzejewski, S. Kowalczyk, Generalized cluster sets of real functions, Tatra Mount. Math. Publ., (62) 2015, (mój udział oceniam na 50 procent) 27. S.Kowalczyk, M. Turowska Monografia Modern real analysis Rozdział 8 Path continuity connected with density and porosity , Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego (2016). (mój udział oceniam na 50 procent) Prace [1, 11, 14 ] zawierają wyniki związane z ω-problemem. W [1] omówiono ω-problem dla przestrzeni [0, m] i funkcji o wartościach nieskończonych, gdzie m jest dowolną liczbą kardynalną. Okazuje się, że istnienie ω-pierwotnej dla funkcji f : [0, m] [0, ] zależy od własności zbiorów I(f) = {x: f(x) = } oraz zbioru tych licz porządkowych, które nie są granicami przeliczalnego ciągu mniejszych liczb porządkowych - F m. Funkcja f ma ω-pierwotną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór I F m nie ma punktów izolowanych. Druga część pracy omawia ω-problem dla funkcji określonych na przestrzeni regularnych, w których wszystkie ciągłe funkcje rzeczywiste są stałe. Okazuje się, że dla takich przestrzeni rozstrzygnięcie ω-problemu nawet dla funkcji przyjmujących dwie wartości 0 i jest dość skomplikowane i zależy od spełnienia tak zwanego warunku S. W pracy [14] badano własności równania funkcyjnego ω(f, ) = f. Pokazano warunki konieczne i dostateczne jakie funkcja musi spełniać, aby być rozwiązaniem tego równania (warunki te uogólniały wyniki Kostyrki z [K2]). W drugiej części pracy opisano przestrzenie, w których każda półciągła z góry i znikająca w punktach izolowanych funkcja rzeczywista spełnia równanie ω(f, ) = f. Praca [11] zawiera część wyników dotyczących problemu ω -problemu, które zostały rozszerzone w głównej rozprawie. Prace [4, 6] dotyczą klasycznych zagadnień teorii funkcji rzeczywistych. W [4] sformułowano nowy warunek równoważny, przy którym funkcja całkowalna na przedziale jest równoważna z funkcją absolutnie ciągłą. Warunek ten jest wyrażony przy pomocy całki z iloczynu danej funkcji i funkcji próbnych. Nastęnie uogólniono otrzymane wyniki na funkcje dwóch zmiennych oraz sformułowano warunek przy którym funkcja jest n-krotnie różniczkowalna i n-ta pochodna jest równoważna z funkcją absolutnie ciągłą. W [6] pokazano, że trzecie twierdzenie Banacha mówiące, że każda funkcja ciągła spełniająca warunek Łuzina (obraz zbioru miary 0 ma miarę 0) jest różniczkowalna na zbiorze dodatniej miary nie da się przenieść na sytuację, gdy warunek Łuzina zastąpimy warunkiem N 1 wprowdzonym w [Pon] (przeciwobraz zbioru miary 0 ma miarę 0). Pokazano również, że teza trzeciego twierdzenia Banacha nie zachodzi dla funkcji nieciągłych na zbiorze przeliczalnym. Prace [5, 8, 9, 16, 19, 20, 21, 22, 25, 27] zawierają tematykę zapoczątkowaną w mojej pracy doktorskiej. Omawiane są w nich rezultaty badań dotyczących ciągłości ścieżkowej. Ciągłość ta, będąca uogólnieniem ciągłości aproksymatywnej jest tematyką bardzo wielu badań. W [5, 16, 20] przedstawione są wyniki związane z zagadnieniami dotyczącymi przewyższającej ciągłości, znanej od lat 20-tych dwudziestego wieku. Omówione są tu różne rodzaje przewyższającej ciągłości, związki między nimi, maksymalne klasy addytywne, maksymalne klasy multiplikatywne oraz maksymalne klasy ze względu na minimum i maksimum. Praca [22] również dotyczy ciągłości przewyższającej i omawia granice jednostajne ciągu funkcji przewyższająco ciągłych. Praca [19] omawia podobne zagadnienia dla funkcji [λ, ϱ]-ciągłych, których definicja uogólnia pojęcie przewyższającej ciągłości. W [8] wprowadziliśmy wspólnie z K. Nowakowską pojęcie funkcji górnie ϱ-ciągłych, w których definicji używa się gęstości górnej, a nie dolnej, jak w przypadku funkcji

7 przewyższjąco ciągłych i [λ, ϱ]-ciągłych. Funkcje górnie ϱ ciągłe były później badane przez innych matematyków, [KWB], [BGW]. W [8] pokazano mierzalność funkcji górnie ϱ ciągłych i to, że dla ϱ < 1 nie muszą być funkcjami I klasy Baire a. Wynik 2 ten został później uogólniony w [KWB] na wszystkie ϱ (0, 1]. W [21] zbadano maksymalne klasy addytywne i multiplikatywne dla tych funkcji. Pokazano tu między innymi związek tych klas ze zbiorami rzadkimi i tak zwaną T ciągłością, które były wprowadzone pw [SD] i [F]. Prace [2, 3, 17, 18] dotyczą zapoczątkowanego przez M. Balcerzaka i A. Wachowicz zagadnienia badania otwartości i słabej otwartości mnożenia w przestrzeni funkcji ciągłych określonych na [0, 1]. W [18] pozytywnie odpowiedziano na pytanie postawione przez A. Wachowicza na XXIII Summer Conference on Real Function Theory, Stara Lesna (2009) o słabą otwartość mnożenia funkcji ciągłych na (0, 1). Pokazano tu również, że mnożenie w tej przestrzeni nie jest odwzorowaniem ciągłym. W [2] zbadano zagadnienie aproksymacji funkcji ciągłych f : R n R m funkcjami ciągłymi, których obraz omija pewne podzbiory R m. Zagadnienie to jest centralnym punktem badania słabej otwartości. Z kolei, w [3] uogólniono wyniki A. Komisarskiego [Kom] dotyczące związku otwartości i słabej otwartości mnożenia funkcji ciągłych określonych na zwartej przestrzeni topologicznej z wymiarem topologicznym przestrzeni X. Zbadano tu podobne zagadnienia dla szerszej klasy działań, nie tylko mnożenia, i pokazano, że własności podobne do mnożenia ma wiele innych działań. Praca [17] zawiera prosty dowód, faktu że każda funkcja ciągła f : R n R n bliska identyczności w metryce zbieżności jednostajnej jest surjekcją. Prace [15,23,24] badają własności różnych typów zbieżności ciągów funkcyjnych. W [15] wyprowadzono warunek rónoważny zbieżności Whitneya ciągów funkcji ciągłych określonych na normalnej przestrzeni topologicznej. W [23] sformułowano kilka, nierównoważnych lokalnych definicji zbieżności Whitneya i omówiono ich własności. W [24] omówiono zależności różnych typów zbieżności ciągów funkcyjnych. W [12,13] omówiono własności pojęcia uogólnionej spójności. W [7] zbadano tak zwane pt-przestrzenie wprowadzone w [Ku]. Artykuł [10] bada związek między zbieżnością ciągów odwzorowań wielowartościowych i zbieżnością topologiczną ich wykresów. Praca [26] rozważa własności uogólnionych liczb granicznych funkcji rzeczywistych. Literatura [BGW] M. Bienias, S. Głąb, W. Wilczyński, Cardinality of sets of ϱ-upper and ϱ- lower continuous functions, Bull. Soc. Sci. Lettres Łódź Ser. Rech. Deform. 64 (2014), [B1] J. Borsík, On oscillation of limit functions, Acta Math. Univ. Comenian. 60 (1991), [B2] J. Borsík, Oscillation for quasicontinuity, Tatra Mt. Publ. 14 (1998), [Di] C. Di Bari and C. Vetro, The primitive with respect to oscillation, Rend. Circ. Mat. Palremo (2) 51 (2002), no. 1, [Du] Z. Duszyǹski, Z. Grande and S. Ponomarev, On the ω-primitive, Math. Slovaca 51 (2001),

8