Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Transkrypt

1 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria Mnogości, PWN Warszawa 1966, 2. K. Kunen: The Foundations of Mathematics, College Publications 2009, 3. K. Kuratowski: Wstęp do Teorii Mnogości I Topologii, PWN Warszawa 1980, 4. R. Engelking: Topologia Ogólna, PWN Warszawa 1989, 5. R. Engelking, K. Sieklucki: Wstęp do Topologii, PWN Warszawa 1986, 6. F. Leja: Geometria Analityczna, PWN Warszawa 1977, 7. K. Borsuk: Geometria Analityczna Wielowymiarowa, PWN Warszawa A. Białynicki-Birula, Algebra Liniowa z Geometrią, PWN Warszawa Literatura dodatkowa: 9. T. J. Jech, The Axiom of Choice, North-Holland H. Herrlich, Axiom of Choice, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Wykłady będą realizowane według programu przygotowanego przez Tomasza Weissa i przeze mnie, po zapoznaniu się z planem S. Godlewskiego. Będę też nawiązywać między innymi do Feynmana wykładów z fizyki oraz do Historii Fizyki A. K. Wróblewskiego, aby pokazać także powiązania prezentowanej przeze mnie teorii z fizyką. Wykład 1. Wprowadzenie. Każdą porządną teorię powinno się rozpocząć od ustalenia jej układu aksjomatów. Zakładamy zatem na ogół dogodną interpretację układu ZFC zapoczątkowanego w 1907/1908 przez E. Zermelo [ ], uzupełnionego o aksjomat zastępowania przez A. A. Fraenkela [ ], o aksjomat ufundowania przez J. von Neumanna [ ] i niezależnie od von Neumanna przez Zermelo, dokładniej przeanalizowanego np. w [1] i [2]. Jednym z aksjomatów tego układu jest pochodzący od E. Zermelo pewnik wyboru (AC) orzekający, że dla każdej niepustej rodziny parami rozłącznych zbiorów niepustych istnieje zbiór mający z każdym ze zbiorów tej rodziny po dokładnie jednym elemencie wspólnym. Aksjomat ten nie jest powszechnie akceptowany w tym sensie, że nie ma pewności, iż jest absolutnie prawdziwy. W teorii ZFC czyni się jedynie hipotetyczne założenie, iż aksjomat ten orzeka prawdę. Od pewnego czasu na przykład w Niemczech, Portugalii, Francji i USA prowadzone są badania matematyki opartej o aksjomaty ZF bez użycia pewnika wyboru (zob.[2], [9], [10] ). Innym kontrowersyjnym aksjomatem teorii ZFC jest tak zwany aksjomat nieskończoności (oznaczany Inf) o tym, że istnieje zbiór nieskończony, choć nie może być pewności, że zbiory nieskończone istnieją we wszechświecie. W teorii ZFC-Inf+ Inf każdy zbiór jest skończony, 1

2 natomiast w teorii ZFC-Inf istnienie zbiorów nieskończonych jest niedowodliwe i żaden wiarygodny przykład zbioru nieskończonego zaistnieć nie może. W teorii ZFC istnienie zbiorów nieskończonych jest konsekwencją hipotetycznych aksjomatów tej teorii, a nie zdań na pewno orzekających prawdę absolutną. Podsumowując, przyjmujemy umowę dotyczącą wszystkich naszych zajęć: Umowa. Jeśli nie zaznaczymy, że jest inaczej, zakładamy układ ZFC i jego dogodną dla nas interpretację. Od czasu do czasu, będziemy badać niektóre problemy w podteoriach teorii ZFC, na przykład w ZF lub ZFC-Inf. Ustalamy zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych w sensie Hilberta-Huntingtona (D. Hilbert [ ], E. V. Huntington [ ]), mając na myśli ustalone liniowo uporządkowane ciało algebraiczne (R,+,, ), którego każdy niepusty ograniczony z góry ze względu na podzbiór ma w R kres górny względem. W ZFC takie ciało jest jedno z dokładnością do izomorfizmu. Przez przedział będziemy rozumieć taki podzbiór zbioru R, że dla dowolnej pary elementów, zbioru i dowolnego elementu zbioru R, jeśli < <, to. Przedziały w R będziemy oznaczać tradycyjnie: (- ; ), (- ; ], ( ; ), ( ; ], [ ; b), [ ; ], [ ; + ), ( ;+ ). Warto przyjąć, że liczbami całkowitymi nieujemnymi w R są: 0=Ø (zbiór pusty), 1={0}, 2={0,{0}},, +1={0,1,., }=,., gdy jest już określoną liczbą naturalną ( należy powołać się na korespondencję Grellinga z E. Zermelo z 1912 roku i artykuł von Neumanna z 1923 roku, gdzie taki pomysł określenia liczby całkowitej nieujemnej został wyeksponowany po raz pierwszy). Już tradycyjnie, klasę wszystkich takich liczb całkowitych nieujemnych oznacza się, a N= \{0} jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich (naturalnych). Zwykle, dla zbiorów,, symbol oznacza zbiór wszystkich funkcji określonych na, o wartościach w. Zatem, dla, R jest zbiorem wszystkich funkcji określonych na zbiorze, o wszystkich swoich wartościach w R, przy czym, gdy R, możemy pisać: =( (0),, ( -1)) lub na przykład: =(,, ). Przestrzenie metryczne, wiadomości wstępne. Właściwy rozwój teorii przestrzeni metrycznych oraz topologicznych został zapoczątkowany pracą M. Frécheta [ ] wydrukowaną w 1906 roku oraz monografią F. Hausdorffa [ ] z 1914 roku, ale już w wieku XIX matematyk niemiecki J. B. Listing[ ] użył terminu topologia w swoim artykule z 1847 roku, a wcześniej w korespondencji. Zajmiemy się na razie głównie przestrzeniami metrycznymi. Definicja metryki. Metryką lub odległością w zbiorze nazywamy funkcję : R mającą następujące własności: (m1), [ (, )=0 = ]; (m2 warunek symetrii), (, )= (, ); (m3- warunek trójkąta),, (, ) (, )+ (, ). 2

3 Definicja przestrzeni metrycznej. Przestrzenią metryczną nazywamy parę uporządkowaną (, ), gdzie jest zbiorem, a jest metryką w zbiorze. Definicje odległości między punktami i między zbiorami. Niech będzie metryką w zbiorze. Wówczas: (i) gdy,, liczbę (, ) nazywamy odległością lub -odległością punktu od ; (ii) jeżeli oraz jest niepustym podzbiorem zbioru, liczbę (, )=inf{ (, ): } nazywamy odległością w tej przestrzeni metrycznej lub -odległością punktu od zbioru ; (iii) jeżeli, jest parą niepustych podzbiorów zbioru, to liczbę (, )=inf{ (, ): i } nazywamy odległością w tej przestrzeni metrycznej lub -odległością między zbiorami i. Stwierdzenie o nieujemności wartości metryk. Wszystkie wartości każdej metryki są liczbami rzeczywistymi nieujemnymi. Dowód. Niech, będzie parą punktów zbioru, a metryką w. Korzystając po kolei z (m1), (m3), (m2) otrzymujemy: 0= (, ) (, )+ (, )=2 (, ), skąd wnioskujemy, że 0 (, ). Niemożność dokładnego mierzenia odległości w fizyce. Gdy R. Feynman przygotowywał swoje wykłady QED, osobliwa teoria światła i materii ( wyd. w 1985 roku), za najmniejszą mierzalną przez fizyków odległość uznawano w przybliżeniu 10 cm. Dokonywanie doskonale dokładnych pomiarów odległości między wszelkimi parami różnych obiektów w fizyce nie jest możliwe. Ze względu na uogólnioną zasadę nieoznaczoności, teoretycznie żadnej długości w fizyce mniejszej niż długość Plancka, która wynosi w przybliżeniu (97) 10 m nie można zmierzyć (zob. Wikipedia), a długość Plancka to w jakimś przybliżeniu 10 średnicy protonu. R. Feynman [ ] amerykański fizyk teoretyk, nagrodzony wraz z J. Schwingerem (USA) i S. I. Tomonagą (Japonia) w 1965 Nagrodą Nobla za badania w dziedzinie elektordynamiki kwantowej. M. Planck [ ]-fizyk niemiecki, w 1918 roku uhonorowany Nagrodą Nobla za wkład w rozwój fizyki dzięki odkryciu przez niego kwantów energii, elementarnych kwantów działania. Definicja metryki dyskretnej i przestrzeni metrycznej dyskretnej. Metryką dyskretną lub zerojedynkową w zbiorze niepustym nazywamy funkcję : {0,1} określoną jak następuje: (, )=0 dla każdego, natomiast (, )=1 dla każdej pary różnych punktów, zbioru. Przestrzeń metryczną, której metryka jest zero-jedynkowa nazywamy przestrzenią metryczną dyskretną. Uwaga o metrykach dyskretnych i niedowodliwości istnienia przestrzeni metrycznych. W teorii ZFC każda metryka dyskretna jest metryką. W teorii ZFC-Inf, nie można udowodnić, że metryka dyskretna jest metryką, bo nie wiadomo w takiej teorii, czy zbiór R istnieje. W teorii ZFC-Inf istnienie przestrzeni metrycznych jest nieudowadniane, nie ma w tej teorii żadnych wiarygodnych przykładów przestrzeni metrycznych. W teorii ZFC-Inf+ Inf, żadna metryka dyskretna w zbiorze niepustym nie jest metryką i w tej teorii nie istnieją przestrzenie metryczne. Przestrzeniami metrycznymi będziemy zajmować się przede wszystkim w teorii ZFC. 3

4 Przykłady metryk w przestrzeni R. Niech N. Dla, R możemy określić: (i) (, )= ( ) ( ), (ii) (, )=max ( )- ( ), (iii) (, )= ( ( ) ( )). (iv) Standardową metryką w R jest metryka wyznaczona przez wartość bezwzględną: (, )= -, gdzie, R. Tak określone funkcje,, są metrykami w R, przy czym badać będziemy szczególnie metrykę zwaną euklidesową lub pitagorejską, a to, że funkcja ta jest metryką udowodnimy przy omawianiu iloczynów skalarnych i norm przez nie wyznaczonych. Metryka, zwłaszcza w R, bywa nazywana taksówkową. Załóżmy dalej, że (, ) jest przestrzenią metryczną. Wtedy nazywamy przestrzenią lub całą przestrzenią, a elementy zbioru punktami tej przestrzeni. Gdy oraz (0; + ), to kulą otwartą o środku w punkcie i promieniu w tej przestrzeni metrycznej nazywamy zbiór: (,r)= (, )={ : (, )< }, natomiast zbiór (, )= (, )={ : (, ) } nazywamy kulą domkniętą o środku w punkcie i promieniu w tej przestrzeni metrycznej. Definicje zbioru otwartego i topologii przestrzeni metrycznej. Zbiór nazywamy otwartym w przestrzeni metrycznej (, ) dokładnie wtedy, gdy: ( ; ) (,r), natomiast rodzinę (oznaczaną też ) wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (, ) nazywamy topologią tej przestrzeni metrycznej lub topologią w zbiorze wprowadzoną lub wyznaczoną przez metrykę. Definicja metryk równoważnych. Metryki w zbiorze nazywamy równoważnymi, gdy topologie w wyznaczone przez te metryki są identyczne. Metryki,, określone powyżej w przykładach metryk w R są równoważne, ale nie są równoważne metryce dyskretnej w R. Twierdzenie o topologii przestrzeni metrycznej. Rodzina wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (, ) ma następujące własności: (T1) i (zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi), (T2) (suma mnogościowa zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni), (T3), (część wspólna dwu zbiorów otwartych w danej przestrzeni jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni. 4

5 (T4) ( ; (,r) ( każda kula otwarta w danej przestrzeni metrycznej jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni), (H) ( warunek Hausdorffa) dla każdej pary, różnych punktów zbioru, istnieje para, rozłącznych zbiorów otwartych w (, ) taka, że i. Dowody powyższych faktów pozostawiam jako ćwiczenie. Definicje topologii i przestrzeni topologicznej, zbiorów otwartych i domkniętych w przestrzeni topologicznej. Niech będzie rodziną podzbiorów jakiegoś zbioru mającą własności (T1)-(T3). Wówczas nazywamy topologią w zbiorze, a parę (, ) przestrzenią topologiczną, przy czym zbiorami otwartymi w przestrzeni topologicznej (, ) nazywamy zbiory należące do topologii tej przestrzeni, a zbiór nazywamy zbiorem domkniętym w przestrzeni topologicznej (, ), gdy \. Definicja przestrzeni metryzowalnej. Przestrzeń topologiczną, nazywamy przestrzenią metryzowalną, gdy istnieje metryka w zbiorze taka, że jest topologią przestrzeni metrycznej,. Przykład przestrzeni topologicznej niemetryzowalnej. Gdy jest zbiorem mającym co najmniej dwa różne punkty, np. gdy 2 0,1, to rodzina ={, } jest topologią w zwaną antydyskretną, ale nie istnieje metryka w wyznaczająca topologię. Zatem nie każda topologia jest wyznaczona przez metrykę. Topologia naturalna w. Topologię w wyznaczoną przez metrykę euklidesową w tej przestrzeni zwie się topologią naturalną. W szczególności, topologia naturalna w jest wyznaczona przez metrykę standardową (wyznaczoną przez wartość bezwzględną w ). Definicja zbioru domkniętego w przestrzeni metrycznej. Zbiór nazywamy domkniętym w przestrzeni metrycznej (, ), gdy dopełnienie do zbioru jest zbiorem otwartym w (, ). Uwaga o części wspólnej skończonej ilości zbiorów otwartych. Wykorzystując zasadę indukcji matematycznej oraz warunek (T3), można udowodnić, że część wspólna skończonej ilości zbiorów otwartych w danej przestrzeni metrycznej (ogólniej, topologicznej) jest zbiorem otwartym w tej przestrzeni. Stąd, z własności (T1)-(T3) oraz z praw de Morgana wnioskujemy, że prawdziwe jest następujące: Twierdzenie o rodzinie wszystkich zbiorów domkniętych w danej przestrzeni. Rodzina wszystkich zbiorów domkniętych w danej przestrzeni metrycznej (ogólniej: w przestrzeni topologicznej ) ma następujące podstawowe własności: (D1) zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami domkniętymi w tej przestrzeni, (D2) część wspólna dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w tej przestrzeni jest też zbiorem w niej domkniętym, (D3) suma mnogościowa skończonej ilości zbiorów domkniętych w tej przestrzeni jest zbiorem w niej domkniętym. 5

6 Definicje wnętrza, domknięcia i brzegu zbioru. Niech będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (ogolniej: topologicznej). Wówczas: (i) wnętrzem zbioru w tej przestrzeni nazywamy zbiór int będący sumą mnogościową wszystkich tych zbiorów otwartych w tej przestrzeni, które są zawarte w ; (ii) domknięciem zbioru w danej przestrzeni nazywamy zbiór cl będący częścią wspólną wszystkich tych zbiorów domkniętych w tej przestrzeni, w których zawarty jest zbiór ; (iii) brzegiem zbioru w danej przestrzeni nazywamy zbiór bd cl \ int. Dokładniejsze oznaczenia. Gdy, natomiast jest metryką w lub jest topologią w, bywają stosowane oznaczenia: int, int, int,, cl itd. Twierdzenie podające warunek konieczny i wystarczający przynależności punktu do wnętrza (odp.: domknięcia, brzegu zbioru ). Jeżeli jest podzbiorem przestrzeni metrycznej (, ) oraz, to: (i) int,, ; (ii) cl,, ; (iii) bd,,, \. Definicje (zbiory gęste, brzegowe, nigdziegęste). Podzbiór przestrzeni metrycznej (, ) (odp. topologicznej (, )) nazywamy: (i) (ii) (iii) gęstym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni ma jakiś element ze zbioru ; brzegowym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni ma jakiś element nie należący do ; nigdziegęstym w tej przestrzeni, gdy każdy niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni zawiera pewien niepusty zbiór otwarty w tej przestrzeni rozłączny ze zbiorem. Definicje (ośrodki, przestrzenie ośrodkowe). Przestrzeń metryczną (odp. topologiczną) nazywamy przestrzenią ośrodkową, gdy istnieje jej przeliczalny podzbiór gęsty w tej przestrzeni. Każdy przeliczalny zbiór gęsty w danej przestrzeni nazywamy jej ośrodkiem. Uwaga o ośrodkowości przestrzeni. Przestrzeń z nadaną jej topologią naturalną jest przestrzenią ośrodkową. Jej ośrodkiem jest na przykład zbiór wszystkich takich, że jest liczbą wymierną dla każdego. W szczególności, zbiór wszystkich liczby wymiernych w R jest ośrodkiem przestrzeni R wszystkich liczb rzeczywistych wyposażonej w jej topologię naturalną. Uwaga o pojęciu zbioru przeliczalnego. Dla wygody, przez zbiór przeliczalny będziemy rozumieć zbiór równoliczny z jakimś podzbiorem klasy. Zbiory przeliczalne w tym sensie bywają nazywane co najwyżej przeliczalnymi, a niektórzy przez zbiór przeliczalny rozumieją zbiór równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych. Istnieje też następująca definicja zbioru przeliczalnego: Definicja zbioru przeliczalnego (Wajch). Zbiorem przeliczalnym nazywamy taki i tylko taki zbiór, który jest równoliczny z każdym ze swoich nieskończonych podzbiorów. Nie można udowodnić, że w teorii ZF ta definicja zbioru przeliczalnego jest równoważna podanej powyżej definicji zbioru co najwyżej przeliczalnego. 6

7 Zadania. Zadanie 1. Uzasadnić, że każdy podzbiór przestrzeni dyskretnej jest w niej zarówno otwarty jak i domknięty, a jedynym zbiorem gęstym w danej przestrzeni dyskretnej jest cała ta przestrzeń. Zadanie 2. Niech będzie metryką w zbiorze, a metryką w zbiorze. Sprawdzić, że funkcja określona wzorem: a) ((, ),(, ))= (, )+ (, ), b) ((, ),(, ))=max, ),, } jest metryką w zbiorze taką, że = :,,. Zadanie 3. Uzasadnić, że na przykład w R z topologią naturalną część wspólna przeliczalnie wielu zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym, a suma mnogościowa przeliczalnie wielu zbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym. Zadanie 4. Quasi-metryką w zbiorze nazywamy funkcję : [0, + mającą własności m1 i m3. Pokazać, że nie każda quasi-metryka musi być metryką. Zadanie 5. Uzasadnić, że funkcja : R mająca własności m1 i m3 nie musi być quasimetryką. Zadanie 6. Załóżmy, że jest quasi-metryką w zbiorze. a Sprawdzić, że funkcja =max,, gdzie, =, dla każdego,, jest metryką w zbiorze. b Dla oraz 0,+, niech (,r)={ : (, )< }. Udowodnić, że rodzina ={ : (, ) } jest topologią w zbiorze (zwaną wprowadzoną przez quasi-metrykę ) taką, że (,r) dla każdego i każdego 0,+. c Zauważyć, że równość = nie musi zachodzić. d Uzasadnić, że topologia nie musi spełniać warunku Hausdorffa. Zadanie 7. Uzasadnić, że kula domknięta w przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w tej przestrzeni. Zadanie 8. Niech będzie metryką w zbiorze. Czy dla i 0,+, domknięcie w, kuli otwartej, musi być kulą domkniętą,? Zadanie 9. Niech, będzie rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią unormowaną. Wykazać, że funkcja : R określona wzorem, = - dla, jest metryką w zbiorze zwaną wyznaczoną przez normę. Uzasadnić, że przestrzeń unormowana nie jest przestrzenią metryczną. Zadanie 10. Czy każda metryka w R jest wyznaczona przez jakąś normę w tej przestrzeni? Zadanie 11. Uzasadnić, że każdy podzbiór skończony przestrzeni metrycznej jest domknięty w tej przestrzeni. 7

8 Zadanie 12. Uzasadnić, że w R z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną zbiór { + :, {0 nie jest domknięty ani otwarty. Znaleźć domknięcie oraz wnętrze tego zbioru w tej przestrzeni metrycznej. Zadanie 13.. Niech będzie metryką w zbiorze, a metryką w zbiorze. W zbiorze rozważmy metrykę określoną wzorem: ((, ), (, ))= (, )+ (, ), gdzie, i,. Załóżmy, że i. Sprawdzić, czy muszą zachodzić równości: cl ( ) = cl cl oraz int ( ) = int int. Zapisać sensowny związek między bd ( ) oraz bd i bd. Zadanie 14. W R z metryką euklidesową wskazać wszystkie te punkty domknięcia zbioru = {sin : R 0, które nie należą do. Zadanie 15. Czy w R z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną istnieje zbiór nieprzeliczalny nigdziegęsty? Zadanie 16. Uzasadnić, że przestrzeń wszystkich liczb niewymiernych z metryką wyznaczoną przez wartość bezwzględną w tym zbiorze jest ośrodkowa w teorii ZFC. Zadanie 17. Uzasadnić, że przestrzeń topologiczna, ( ), gdzie ( ) jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru, jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem przeliczalnym. Czy taka przestrzeń topologiczna jest na pewno metryzowalna w teorii ZFC? Czy jest ona na pewno metryzowalna w teorii ZF-Inf? Uwaga. Przestrzeń topologiczną, ( ) nazywamy przestrzenią dyskretną. Zadanie 18. Załóżmy układ ZF i załóżmy dodatkowo, że R jest zbiorem nierównolicznym z żadną liczbą należącą do, ale skończonym w sensie Dedekinda, to znaczy nierównolicznym z żadnym ze swoich podzbiorów właściwych. Uzasadnić, że przestrzeń metryczna (, ) nie ma żadnego równolicznego z podzbiorem klasy zbioru gęstego, więc nie jest ośrodkowa (zob. [9]). Zadanie 19. Uzasadnić, że przestrzeń metryczna dyskretna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalna. Zadanie 20. Uzasadnić dokładniej, że w teorii ZF-Inf jest niedowodliwe, że istnieje zbiór taki, iż funkcja : 0.1 określona wzorem: 0 dla =,, ) = 1 dla, gdzie,, jest metryką w zbiorze. Czy zdanie, że w każdym niepustym zbiorze jest jakaś metryka, na przykład zero-jedynkowa, można traktować jako absolutnie prawdziwe? Uwaga o quasi-odległościach w rzeczywistym wszechświecie. W praktyce, przy mierzeniu odległości między obiektami materialnymi, zatraca się symetrię pomiarów i posługujemy się w pomiarach raczej niesymetrycznymi funkcjami odległości niż metrykami. Między innymi dlatego niektórzy naukowcy badają quasi-metryki, ale powinni oni uświadomić sobie, że w ZFC-Inf nie może zaistnieć żaden wiarygodny przykład quasi-metryki. Pojęcie quasi-metryki wprowadził W. A. Wilson w 1931 roku. 8