KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW

Transkrypt

1 Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu KARTA PRZEDMIOTU AM1_M w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma studiów Poziom studiów Profil studiów Specjalność Matematyka Stacjonarne Studia I stopnia licencjackie Ogólnoakademicki Matematyka bankowa i ubezpieczeniowa Jednostka prowadząca przedmiot Osoba odpowiedzialna za przedmiot- koordynator przedmiotu Termin i miejsce odbywania zajęć Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Imię i nazwisko Prof. dr hab. Kazimierz Włodarczyk Kontakt wlkzxa@math.uni.lodz.pl Forma zajęć Miejsce realizacji Termin realizacji Wykład i konwersatorium Zajęcia w pomieszczeniu dydaktycznym Instytutu Nauk Ekonomicznych i Informatyki OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU Semestr zimowy Status przedmiotu/przynależność do modułu Język wykładowy Moduł treści podstawowych Przedmiot obowiązkowy Polski Semestry, na których realizowany jest przedmiot I Wymagania wstępne Student powinien posiadać wiedzę dotyczącą szkoły średniej Formy zajęć Liczba godzin FORMY, SPOSOBY I METODY PROWADZENIA ZAJĘĆ Wykład ćwiczenia lektorat rok Sem estr Sposób realizacji zajęć Sposób zaliczenia zajęć Metody dydaktyczne seminariu m ZP PZ Samokszt ałcenie- ZBUN r s R s r s r s r S r s r S Zajęcia konwersatoryjne w grupach osobowych, 3 godziny tygodniowo wykładu, 2 godziny tygodniowo konwersatorium. Wykład egzamin ustny - kolokwia 1. Wykład wykład, analiza tekstu z dyskusją. Przedstawione są zagadnienia teoretyczne - twierdzenia, definicje, ilustrujące przykłady, stawiane są i rozwiązywane problemy, prezentowane są idee i możliwości stosowań, prezentowany jest rys historyczny oraz wskazywane są

2 Przedmioty powiązane/moduł Wykaz literatury Podstawowa Uzupełniająca kontynuacje oraz związki z innymi działami matematyki. 2. pogadanka, własna działalność, zadania do rozwiązania. Analizowane są zadania ilustrujące materiał teoretyczny zaprezentowany na wykładzie, konwersatorium prowadzone jest w formie pogadanki i ogólnej dyskusji. [1] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa, [2] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, II, PWN, Warszawa, [3] G. N. Berman, A problem book in mathematical analysis, [4] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna, Wydaw. UJ, [1] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I-III, PWN, W-wa, [2] B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin, [3] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, W-wa, [4] W. I. Smirnow, Matematyka wyższa, PWN, Warszawa, [5] S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa, [6] R. Kowalczyk, K. Niedziałomski, C. Obczyński, Matematyka dla studentów i kandydatów na wyższe uczelnie. Repetytorium. PWN, Warszawa CELE, TREŚCI I EFEKTY KSZTAŁCENIA Cele przedmiotu (ogólne, szczegółowe) C1 Zaznajomienie studenta z podstawowymi zagadnieniami dotyczącymi przestrzeni rzeczywistej R i zespolonej C, przestrzeni euklidesowych k-wymiarowych, przestrzeni metrycznych oraz przestrzeni wektorowych, unormowanych i topologicznych. C2 Zaznajomienie studenta z takimi pojęciami jak: otoczenie punktu; punkt skupienia zbioru; otwartość i domkniętość zbioru; spójność, zwartość i zupełność przestrzeni. C3 Zaznajomienie studenta z funkcjami (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). C4 Zaznajomienie studenta z ciągami (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). C5 Zaznajomienie studenta z szeregami (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). Efekty kształceni a (kody) W1 Forma zajęć Wykład W1, W2 Wykład W1-W3 Wykład Treści programowe Temat Liczby naturalne: aksjomat dobrego uporządkowania, indukcja. Liczby rzeczywiste. Liczby: całkowite, wymierne i niewymierne. Relacja <. Wartość bezwzględna. Pierwiastek. Ograniczenia i kresy zbiorów. Zasada ciągłości. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych. Liczby zespolone: nierówność Schwarza; argument; wzór de Moivre'a; pierwiastki. Przestrzenie k-wymiarowe (rzeczywiste i zespolone) : Iloczyn skalarny; Norma euklidesowa i przestrzeń euklidesowa. Definicja funkcji. Obrazy i przeciwobrazy. Odwzorowanie różnowartościowe (wzajemnie jednoznaczne, 1-1 odwzorowanie). Liczba kardynalna. Relacja równoliczności. Zbiór przeliczalny i zbiór nieprzeliczalny. Przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. (a) Przestrzeń metryczna (X,d). Kula otwarta i kula domknięta. Otoczenie punktu. Punkt skupienia zbioru. Punkt izolowany zbioru. Zbiór domknięty. Punkt wewnętrzny zbioru. Zbiór otwarty. Dopełnienie zbioru. Zbiór ograniczony. Zbiór E gęsty w X, ośrodkowość przestrzeni. Kula otwarta (domknięta) jest zbiorem otwartym Liczba godzin

3 W1-W4 Wykład (domkniętym). Dowolne otoczenie punktu skupienia zbioru zawiera nieskończenie wiele punktów tego zbioru. Zbiór G jest otwarty (domknięty) wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem domkniętym (otwartym). Suma (iloczyn) zbiorów otwartych (domkniętych) jest zbiorem otwartym (domkniętym). Skończona suma (skończony iloczyn) zbiorów domkniętych (otwartych) jest zbiorem domkniętym (otwartym). Zbiór domknięty w R, ograniczony z góry (z dołu) zawiera kres górny (dolny). Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest zawarty w X, to zbiór E jest otwarty (domknięty) w Y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór G otwarty (F domknięty) w X taki, że E jest iloczynem G i Y (E jest iloczynem F i Y). Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest zawarty w X, to zbiór K jest zwarty w przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarty w przestrzeni X. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w tej przestrzeni. Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zbiorem zwartym. Każda kostka k-wymiarowa jest zbiorem zwartym. Jeśli rodzina zwartych podzbiorów przestrzeni metrycznej X posiada tę własność, że iloczyn dowolnej skończonej podrodziny rodziny tej rodziny nie jest pusty, to iloczyn elementów rodziny jest niepusty. Jeśli E jest nieskończonym podzbiorem zbioru zwartego K, to E ma punkt skupienia należący do K. W przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej następujące warunki są równoważne: (i) E jest zbiorem zwartym; (ii) E jest zbiorem domkniętym i ograniczonym; (iii) każdy nieskończony podzbiór zbioru E ma punkt skupienia należący do E. (Weierstrass) Każdy nieskończony i ograniczony podzbiór przestrzeni euklidesowej k- wymiarowej ma punkt skupienia w tej przestrzeni. Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest podzbiorem X, to zbiór E zawarty w Y jest spójny w przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójny w przestrzeni X. Podzbiór E przestrzeni R jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy ma następującą własność: jeśli x, y należą do E i x < z < y, to z należy do E. Charakteryzacja zbiorów spójnych na R. Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru. (b) Ciała. Przestrzenie wektorowe, unormowane, topologiczne. Ciągi liczbowe Definicja ciągu zbieżnego. Ciąg ograniczony. Jeśli dany jest ciąg w przestrzeni metrycznej, to: (a) jest zbieżny do punktu tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu; (b) granica tego ciągu jest wyznaczona jednoznacznie; (c) jeśli ciąg ten jest zbieżny, to jest ograniczony. Jeśli p jest punktem skupienia podzbioru E zbioru X, to istnieje ciąg elementów zbioru E, zbieżny do p. Działania na granicach ciągów. Podciągi. Warunek Cauchy'ego. Zupełność. Przestrzenie Banacha. Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ciągiem Cauchy'ego. Ciąg w przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego. W R ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Ciągi rozbieżne i rozbieżne do nieskończoności. Granice: górna i dolna ciągu. Twierdzenie o trzech ciągach. Granice n α, x n, a 1/n, n 1/n. Zbieżność (1+1/n) n. Definicja liczby e. Dowód niewymierności liczby e. Szeregi liczbowe Kryterium kondensacyjne Cauchy'ego. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Szereg harmoniczny. Kryteria: porównawcze, Cauchy'ego, D'Alemberta, Dirichleta, Abela, Leibniza. Działania na szeregach. Szeregi zbieżne: bezwzględnie, warukowo, bezwarunkowo. Iloczyn Cauchy'ego szeregów - twierdzenie Martensa. Zmiana porządku 20

4 składników szeregu - twierdzenie Riemanna. K_U01- K_U04 K_U01- K_U06, K-U08 K_U06, K_U23 Liczby naturalne: aksjomat dobrego uporządkowania, indukcja. Liczby rzeczywiste. Liczby: całkowite, wymierne i niewymierne. Relacja <. Wartość bezwzględna. Pierwiastek. Ograniczenia i kresy zbiorów. Zasada ciągłości. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych. Liczby zespolone: nierówność Schwarza; argument; wzór de Moivre'a; pierwiastki. Przestrzenie k-wymiarowe (rzeczywiste i zespolone) : Iloczyn skalarny; Norma euklidesowa i przestrzeń euklidesowa. Definicja funkcji. Obrazy i przeciwobrazy. Odwzorowanie różnowartościowe (wzajemnie jednoznaczne, 1-1 odwzorowanie). Liczba kardynalna. Relacja równoliczności. Zbiór przeliczalny i zbiór nieprzeliczalny. Przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Przestrzeń metryczna Kula otwarta i kula domknięta. Otoczenie punktu. Punkt skupienia zbioru. Punkt izolowany zbioru. Zbiór domknięty. Punkt wewnętrzny zbioru. Zbiór otwarty. Dopełnienie zbioru. Zbiór ograniczony. Zbiór E gęsty w X, ośrodkowość przestrzeni. Kula otwarta (domknięta) jest zbiorem otwartym (domkniętym). Dowolne otoczenie punktu skupienia zbioru zawiera nieskończenie wiele punktów tego zbioru. Zbiór G jest otwarty (domknięty) wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest zbiorem domkniętym (otwartym). Suma (iloczyn) zbiorów otwartych (domkniętych) jest zbiorem otwartym (domkniętym). Skończona suma (skończony iloczyn) zbiorów domkniętych (otwartych) jest zbiorem domkniętym (otwartym). Zbiór domknięty w R, ograniczony z góry (z dołu) zawiera kres górny (dolny). Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest zawarty w X, to zbiór E jest otwarty (domknięty) w Y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór G otwarty (F domknięty) w X taki, że E jest iloczynem G i Y (E jest iloczynem F i Y). Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest zawarty w X, to zbiór K jest zwarty w przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwarty w przestrzeni X. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest zbiorem domkniętym w tej przestrzeni. Domknięty podzbiór zbioru zwartego jest zbiorem zwartym. Każda kostka k-wymiarowa jest zbiorem zwartym. Jeśli rodzina zwartych podzbiorów przestrzeni metrycznej X posiada tę własność, że iloczyn dowolnej skończonej podrodziny rodziny tej rodziny nie jest pusty, to iloczyn elementów rodziny jest niepusty. Jeśli E jest nieskończonym podzbiorem zbioru zwartego K, to E ma punkt skupienia należący do K. W przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej następujące warunki są równoważne: (i) E jest zbiorem zwartym; (ii) E jest zbiorem domkniętym i ograniczonym; (iii) każdy nieskończony podzbiór zbioru E ma punkt skupienia należący do E. (Weierstrass) Każdy nieskończony i ograniczony podzbiór przestrzeni euklidesowej k- wymiarowej ma punkt skupienia w tej przestrzeni. Jeśli X jest przestrzenią metryczną i Y jest podzbiorem X, to zbiór E zawarty w Y jest spójny w przestrzeni Y wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójny w przestrzeni X. Podzbiór E przestrzeni R jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy ma następującą własność: jeśli x, y należą do E i x < z < y, to z należy do E. Charakteryzacja zbiorów spójnych na R. Domknięcie, wnętrze i brzeg zbioru. Ciała. Przestrzenie wektorowe, unormowane, topologiczne Podstawowe pojęcia. K_U10 Konwer- Ciągi liczbowe

5 satorium Definicja ciągu zbieżnego. Ciąg ograniczony. Jeśli dany jest ciąg w przestrzeni metrycznej, to: (a) jest zbieżny do punktu tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu; (b) granica tego ciągu jest wyznaczona jednoznacznie; (c) jeśli ciąg ten jest zbieżny, to jest ograniczony. Jeśli p jest punktem skupienia podzbioru E zbioru X, to istnieje ciąg elementów zbioru E, zbieżny do p. Działania na granicach ciągów. Podciągi. Warunek Cauchy'ego. Zupełność. Przestrzenie Banacha. Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ciągiem Cauchy'ego. Ciąg w przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego. W R ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Ciągi rozbieżne i rozbieżne do nieskończoności. Granice: górna i dolna ciągu. Twierdzenie o trzech ciągach. Granice n α, x n, a 1/n, n 1/n. Zbieżność (1+1/n) n. Definicja liczby e. Dowód niewymierności liczby e. Szeregi liczbowe Kryterium kondensacyjne Cauchy'ego. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Szereg harmoniczny. Kryteria: porównawcze, Cauchy'ego, D'Alemberta, Dirichleta, Abela, Leibniza. Działania na szeregach. Szeregi zbieżne: bezwzględnie, warukowo, bezwarunkowo. Iloczyn Cauchy'ego szeregów - twierdzenie Martensa. Zmiana porządku składników szeregu - twierdzenie Riemanna. Efekty kształcenia Kod Student, który zaliczył przedmiot w zakresie WIEDZY Odniesienie do efektów kształcenia dla kierunku W1 Student zna liczby rzeczywiste i zespolone, przestrzenie euklidesowe k-wymiarowe oraz pojęcia normy i przestrzeni unormowanej. K_W01-K_W05 W2 Student zna funkcje i zagadnienia równoliczności, przeliczalności i nieprzeliczalności zbiorów. K_W01-K_W06 W3 Student zna przestrzenie metryczne. K_W01-K_W06 W4 Student zna ciągi i szeregi liczbowe. K_W01-K_W06 w zakresie UMIEJĘTNOŚCI U1 Student potrafi wykonywać działania na liczbach rzeczywistych i K_U01-K_U03, zespolonych oraz potrafi wyznaczać iloczyn skalarny i normę K_U08 wektorów. U2 Student potrafi zbadać monotoniczność, różnowartościowość, parzystość i nieparzystość funkcji oraz równoliczność zbiorów K_U09 U3 Student potrafi sprawdzić, że przestrzeń jest przestrzenią metryczną oraz potrafi zbadać czy podzbiór prostej przestrzeni metrycznej jest otwarty, domknięty, zwarty czy spójny. K_U06 U4 Student potrafi zbadać zbieżność ciągów i szeregów K-U10 K1 w zakresie KOMPETENCJI Student potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień z zakresu prostych przestrzeni, teorii zbiorów i odwzorowań oraz teorii zbieżności ciągów i szeregów liczbowych. Metody weryfikacji efektów kształcenia K_K01-K_K07 Efekty kształcęnia (kody) Egzamin ustny W1 W2 W3 W4 Egzamin pisemny Projekt Kolokwium U1 U2 U3 U4 K1 Sprawozdanie Referat/ prezentacja Inne

6 Punkty ECTS Obciążenie studenta Forma aktywności Liczba punktów Liczba godzin ECTS Godziny kontaktowe z nauczycielem akademickim, w tym: wykłady 45 konwersatoria 30 1,2 Ćwiczenia Konsultacje przedmiotowe w ramach wykładów 30 1,2 Konsultacje przedmiotowe w ramach konwersatorium/ćwiczeń Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć kontaktowych z nauczycielem akademickim Godziny bez udziału nauczyciela akademickiego wynikające z nakładu pracy studenta, w tym: Przygotowanie się do egzaminu + zdawanie egzaminu 40 1,6 Przygotowanie się do kolokwium zaliczeniowego 30 1,2 Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej literatury w ramach wykładów Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej literatury w ramach konwersatorium/ćwiczeń 25 1 Przygotowanie raportu, projektu, prezentacji, dyskusji Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z samodzielnej pracy studenta 95 4 Sumaryczna liczba godzin/punktów ECTS dla przedmiotu wynikająca z całego nakładu pracy studenta Odsetek godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć kontaktowych z nauczycielem akademickim 52% 52%