Elektrostatyka Potencjały I linie sił pola. Symetria cylindryczna Odwzorowania konforemne

Transkrypt

1 Elektrostatyka Potencjały I linie sił pola Symetria cylindryczna Odwzorowania konforemne

2 Metoda rozdzielania zmiennych Dwa wymiary

3 Laplasjan. Symetria cylindryczna. 1 r r V (r r )+ 1 V r ϕ = 0; V = R( r) Φ( φ) Φ( φ) = C cosnφ + D sin nφ n = n n 0,1,,... n n R( r) = A r + B r n = 1,,... R( r) = A B ln( r) n n + V(r,ϕ) = A + Bln(r) n=1 + (A n r n + B n r n )(C n cosnϕ + D n sinnϕ)

4 Przypomnienie Pole i potencjał nieskończenie długiej naładowanej nitki o~liniowej gęstości ładunku λ: E(r) = λk 1 r, V(r) = const λk lnr Tutaj k=1/4πε 0.

5 Problem Znaleźć potencjał i natężenie pola układu dwu nieskończenie długich równoległych walców o osiach odległych o d, o promieniach r 0 i potencjałach +V 0 / i V 0 /. Rozwiązanie otrzymamy znając rozwiązanie dla dwu nieskończenie długich ładunków umieszczonych w punktach x=+a i x= a. Z zasady superpozycji mamy V(r) = λk ln r r 1 = λk ln (x + a) + y (x a) + y Parametry zwiążemy z poprzednimi V 0 itd..

6 Problem Niech potencjał w punkcie P(x P,y P ) będzie V P. Punkty, w których potencjał jest V P spełniają równanie lub równoważnie r / r 1 = exp(v P / λk) = e c (x acothc) + y = a / sinh c. Jest to okrąg o środku w punkcie (a coth(c), 0) o promieniu a/sinh(c).

7 Problem Jeśli wygenerujemy rozwiązanie, które da potencjał +/-V 0 / na okręgach o promieniu r 0 to jest to rozwiązanie problemu walców. Zauważmy, że a = r 0 sinhc, Stąd gdzie d = acothc = r 0 coshc. λk = V 0 / c, c = cosh 1 Szukany potencjał jest więc równy: d r 0. V(x, y) = V 0 ln(r / r 1 ) c.

8 Funkcje analityczne z = x + iy = ρe iθ iy F( z) = g( x, y) + ih( x, y) w = u + iv = F( z) x F(z) odwzorowuje płaszczyznę (x,y) w płaszczyznę (u,v). Przykłady: z n, z 1/ n, sin z, e z, ln z

9 Funkcje analityczne spełniają warunki Cauchy ego-riemanna Zapewnia to, że g(x,y) i h(x,y) spełniają równania Laplace a., and x h y g y h x g = = 0. and 0 = + = + y h x h y g x g Jeśli g(x,y) spełnia warunki brzegowe problemu to g jest potencjałem. Jeśli h(x,y) spełnia warunki brzegowe problemu to h jest potencjałem.

10 Funkcje g i h są sprzężone. Jeśli g=v (potencjał) to g=const opisuje powierzchnie ekwipotencjalne, a h=const opisuje linie sił pola lub odwrotnie. Jeżeli F(z) jest analityczna to definiuje odwzorowanie konforemne. Transformacja konforemna odwzorowuje sieć prostokątną w sieć krzywoliniową, w której linie współrzędnych są prostopadłe. Przykład. πi Współrzędne kartezjańskie à wsp. polarne: z w = e, z = x + iy, w = e Współrzędne polarne à wsp. kartezjańskie: z x e iy. w Cała Płaszczyzna zespolona w = ln z, z = i ρe θ, ln z = ln ρ + iθ.

11 Kąt z płaszczyzn przewodzących F(z) = az + iv o V = h(x, y) = axy +V o Linie eqwipotencjalne g(x, y) = a(x y ) = const Linie sił

12 Brzeg przewodzącej płyty F(z) = az 1/ + iv o V(x, y) = a ( x + y x) 1/ +V o g(x, y) = a ( x + y + x) 1/ Pow. ekwipotencjalne Linie sił

13 Kondensator płaski F(z) = V o iπ ln w z = d π [ln w + 1 (1 w )] odwzorowanie w F odwzorowanie w z

14 ] sin 1 [ln )] cos (1 1 [ln ln, 0, 0, θ ρ ρ π θ ρ ρ π ρ π π θ ρ π θ ρ θ = + = = = < = d y d x V h V V e w o o i Kondensator płaski

15 Przykłady VISUALIZATION OF ELECTROMAGNETIC FIELDS USING AWK. Daryl Armstrong, Ian Llanas, Frank Russo, and Jeffrey R. Schmidt: Computers in physics, Vol 1 No, Mar/Apr, 1998, p. 159.

16

17 Figure 1. Equipotentials and field lines in four exactly soluble sets of field geometries: a) grounded plane with a high-voltage strip from x = -1 to x = 1 (set1); b) line charge above a grounded plane (set); c) line charge through the origin (set3); d) parallel plates (set4).

18

19

20 Figure. Equipotentials and field lines for various field geometries: a) line charge above an insulated plane; b) cylinder with upper half grounded and lower half at Vo; c) wedge with boundaries at different potentials; d) external fields of a wedge with boundaries at different potentials; e) conducting channel with walls at different potentials; f) rectangular box with halves at different potentials; g) line charge in a grounded conducting box; h) line charge between two grounded parallel plates; i) grounded conducting cylinder in a uniform electric field.

21 Pola naładowanej nitki: y=0 Nie można wyświetlić obrazu. Na komputerze może brakować pamięci do otwarcia obrazu lub obraz może być uszkodzony. Uruchom ponownie komputer, a następnie otwórz plik ponownie. Jeśli czerwony znak x nadal będzie wyświetlany, konieczne może być usunięcie obrazu, a następnie ponowne wstawienie go.

22 Pola naładowanej nitki: y=1 f (z) = (λ / πε)ln[(z i) / (z + i)]

23 Pola wstęgi x <1 na płaszczyźnie

24 Równoległe, naładowane płyty

25 Inne Przykłady Y. Shibuya: "Electrostatic Fields Using Conformal Mapping" hgp://demonstrajons.wolfram.com/electrostajcfieldsusingconformalmapping/wolfram DemonstraJons Project

26 Linie Maxwella u + iv= f(x + iy) 1 y v 0-1 y u Nie można wyświetlić obrazu. Na komputerze może brakować pamięci do otwarcia obrazu lub obraz może być uszkodzony. Uruchom ponownie komputer, a następnie otwórz plik ponownie. Jeśli czerwony znak x nadal będzie wyświetlany, konieczne może być usunięcie obrazu, a następnie ponowne wstawienie go.

27 Koncentryczne okręgi u + iv= f(x + iy) 1 v 0 y 1 y u f (z) = i *cot(z)

28 Elipsy Nie można wyświetlić obrazu. Na komputerze może brakować pamięci do otwarcia obrazu lub obraz może być uszkodzony. Uruchom ponownie komputer, a następnie otwórz plik ponownie. Jeśli czerwony znak x nadal będzie wyświetlany, konieczne może być usunięcie obrazu, a następnie ponowne wstawienie go. Nie można wyświetlić obrazu. Na komputerze może brakować pamięci do otwarcia obrazu lub obraz może być uszkodzony. Uruchom ponownie komputer, a następnie otwórz plik ponownie. Jeśli czerwony znak x nadal będzie wyświetlany, konieczne może być usunięcie obrazu, a następnie ponowne wstawienie go.

29 Przykłady 1.0 u + iv= f(x + iy) 0.5 v 0.0 y y u

30 Hiperbole u + iv= f(x + iy) v 0.0 x 1 x u f (z) = sin(z)

31 Inne sn(z) cn(z)