Rozdział II. Analiza drgań przewodów linii elektroenergetycznej. Modelowanie przewodów 2.1.

Transkrypt

1 Rodał II Anaa drgań prewodów n eetroenergetycne e Modeowane prewodów Podobne a w prypadu anay statycne ta teŝ w prypadu anay dynamcne onstruc nebędne est opracowane modeu tóry wymaganą doładnoścą będe opsywał recywsty ustró Im mode ten będe awerał mne uprosceń tym doładnesa araem barde łoŝona będe preprowadana anaa Prewody n eetroenergetycnych modeue sę wye a pomocą cęgen wotch a węc eementów onstrucynych tórych eden wymar est weorotne węsy od dwóch poostałych ora tórych stywność na gnane sręcane est pomane mała w stosunu do stywnośc na rocągane Są to cęgna weopreotowe awesone na onstrucach wsporcych Zawyca prymue sę Ŝe wsy statycne cęgna w preotach są małe to nacy ora strał wsu cęgna f do ropętośc preotu spełna warune: f / < co potwerda sę w pratyce W aeŝnośc od sposobu amocowana prewodów do onstruc wsporce wyróŝna sę dwa rodae schematów statycnych Jeś prewody są amocowane a pośrednctwem oatorów stoących to ałada sę podparce a pomocą podpory pregubowe nepresuwne (patr rys a na str 4) ego rodau schemat statycny est charaterystycny da n nn ora SN W prypadu n NN gde powsechne est stosowane oatorów wsących uwgędna sę moŝwość premesceń podpór (patr rys b na str 4) Dostatecne długe oatory wsące pełną roę neodstałcanych wę pregubowo-pregubowych tóre wychyaąc sę reduuą ewentuane róŝnce nacągów w sąsednch pręsłach W obu prypadach oatory amocowane odcągowo do słupów sranych stanową podpory pregubowe nepresuwne Ideaaca prewodów n eetroenergetycnych a pomocą cęgen deane wotch wąŝe sę całowtym pomnęcem stywnośc na gnane sręcane co stanow uproscene modeu fycnego onstruc dopuscane e wgędu na małe - 3 -

2 a) b) Rys Schematy statycne prewodów n eetroenergetycnych amocowanym do słupów preotowych oatoram: a) stoącym b) wsącym [3] [9] preroe poprecne prewodów W anae statycne dynamcne prewodów stosowane są teŝ nne uproscena Prede wsystm wyorystue sę nową aeŝność pomędy napręŝenam a odstałcenam podłuŝnym cy prawo Hooe'a Ponadto prymue sę powsechne ałoŝene ostośc prerou poprecnego ZałoŜene to est godne recywstoścą w prypadu prewodów ednodrutowych ora węsośc n oowanych Cęsto stosue sę edna prewody w postac spranych n otwartych tórych preró poprecny est edyne bŝony do prerou ołowego W anae dynamcne ucowe nacene ma ałoŝene dotycące roładu masy uładu ora deaaca obcąŝeń Nabarde doładnym modeem est mode cągły w tórym masa obcąŝene ewnętrne są rołoŝone w sposób cągły wdłuŝ długośc eementu a mode pryęto do rowaŝań w nnese pracy Mne precyynym odworowanem recywstośc est mode dysretny w tórym masa est supona w oreśone cbe puntów a obcąŝena ewnętrne są pryładane edyne w puntach granuac masy Na bae budowanego modeu fycnego pryętych ałoŝeń opracowue sę mode matematycny cy wyprowada sę uład równań róŝncowych stanowących matematycny ops drgań W prypadu prewodu (cęgna) cągłym roładem masy obcąŝena matematycnym opsem drgań est uład nenowych równań róŝncowych o pochodnych cąstowych Premescena obcąŝene prewodu są bowem oreśone funcam dwóch mennych: casu menne prestrenne Mode dysretny opsue nacne prostsy uład równań róŝncowych wycanych [9] - 4 -

3 Cechą charaterystycną anay dynamcne ustroów cęgnowych est onecność ednocesnego prowadena arówno obceń statycnych a dynamcnych Wpływ weośc statycnych tach a obcąŝene ws cy statycne napęce cęgna na parametry drgań est nacący [9] Datego teŝ ne naeŝy stosować asady superpoyc rodeaąc efety oddaływana obcąŝeń statycnych dynamcnych są to bowem weośc aeŝne od sebe Równana drgań prestrennych nych ednego preotu cęgna modeuącego prewód Na rysunu na str 6 pretawono nfnteymany odcne cęgna o długośc naduący sę w stane odnesena ora ponŝe ten sam odcne cęgna odstałconego o długośc Za stan odnesena pryęto stan równowag statycne cęgna (prewodu) obcąŝonego cęŝarem własnym mg ewentuane cęŝarem sad ora napętego poomą słą nacągu H Wsystm weoścom występuącym w stane odnesena nadano ndes dony ero W stane odstałconym na cęgno dała dodatowe obcąŝene dowone menne w case rołoŝone wdłuŝ cęcwy cęgna ntensywnoścą ( x t) wynosą: p ( x t) p ( x t) p ( x t) g m s p Sładowe obcąŝena w erunach os uładu współrędnych Zgodne asadą d Aemberta obcąŝene to poostae x y w równowade słam bewładnośc reacam spręŝystym cęgna odstałcanego repreentowanym pre sły osowe [] Sły oporów ruchu pomnęto na tym etape rowaŝań Będą uwgędnone w p 4 dasych cęścach pracy po sformułowanu ostatecne postac równań ruchu cęgna Ruch cęgna w prestren wgędem stanu odnesena opsuą try sładowe premescena u ( x t) v( x t) w( x t) odpowedno w erunach os x y ora PołoŜene stycne do os cęgna w prerou x oreśaą ąty erunowe α β γ Weośc te są funcam menne prestrenne x casu t podobne a sła osowa w cęgne N W stane równowag statycne ąty erunowe α β γ ora sła osowa N są funcam tyo edne menne x - 5 -

4 x + d N α y v v + v y + dy y w w w + x x β x + u γ N β γ α m u & m v & mg p β + ( mg mw& ) β d p y p x α + γ + u u + β + β α dn N + d γ d α + α N N + x γ + γ Rys RóŜncowy eement cęgna w stane odnesena stane odstałconym

5 Sły dałaące na róŝncowy eement cęgna w stane odstałconym musą spełnać try równana równowag godne asadą d Aemberta Warun równowag maą następuącą postać: P P P x y N α N cosα + N + cos α + mu && N β N cos β + N + cos β + mv && N γ N cosγ + N + cos γ + + gde symboem (&) onacono pochodną cąstową wgędem casu: α Uwgędnaąc Ŝe << moŝna apsać + p x + p y () () ( mg mw&& ) + p (3) / t α α α α cos α + cosα cos snα sn cosα snα (4) ora anaogcne β β cos β + cos β sn β γ γ cos γ + cosγ sn γ (5) (6) Po potawenu aeŝnośc (4) do równana () otrymue sę N α N cosα + N + cosα snα mu && + px (7) co po pomnęcu sładna wyŝsego rędu podeenu pre dae wyn N α N snα cosα + mu& p x (8) Borąc pod uwagę Ŝe / cosα ora x ( N cosα ) N cosα α N cosα N N snα cosα (9) - 7 -

6 równane (8) moŝna apsać w postac ( N cosα ) m + u& cosα p x () W anaogcny sposób moŝna prestałcć równana () (3) otrymuąc ( N cos β ) ( N cosγ ) m + v& cosα p y m mg + w& p + cosα cosα () () Równana ()-() naeŝy w dasym cągu ta prestałcć aby były apsane w ta wane postac premescenowe (cy były wyraŝone popre funce opsuące stan premescena cęgna) Na potawe rysunu otrymue sę u u cosα x + + u + x u + v v cos β y + dy + v + y v w w cosγ + d + w + w d + d u + w + (3) (4) (5) pry cym we wore (4) uwgędnono Ŝe dy ponewaŝ prewód w stane odnesena obcąŝony cęŝarem własnym wsa w płascyźne x Załadaąc Ŝe ednostowe wydłuŝene eementu róŝncowego cęgna powstałe na sute drgań odnesone do długośc eementu w stane odnesena est nacne mnese od ednośc ε << moŝna apsać ε + ε (6) Stąd wyna Ŝe cosα (7) - 8 -

7 Potawene aeŝnośc (7) do worów (3)-(5) dae następuące wyn cosα cosα cos β cosα v cosγ cosα ( + u ) ( + w ) (8) (9) () pry cym symboem ( ) onacono pochodną wgędem menne x: / Uwgędnaąc aeŝnośc (8)-() w równanach ()-() otrymue sę [ N cosα ( + u )] ( N cosα v ) [ N cosα ( + w )] m + u&& p cosα m + v&& p cosα m + w&& p cosα y x mg + cosα () () (3) Występuąca w powyŝsych równanach sła H N cosα est poomą sładową sły osowe obconą uwgędnenem asady estywnena to nacy pomnęcem many ąta erunowego nachyena sły osowe Sła ta est naywana nacągem cęgna Warto auwaŝyć Ŝe w onfgurac odstałcone pooma sła nacągu est oreśona worem H N cosα Jeś w dasym cągu wyramy słę osową N ( x t) ao sumę sły statycne w stane odnesena N ( x) dynamcnego pryrostu pod wpływem obcąŝena ( x t) N ora wprowadmy onacena H cosα H N cosα (4) N to otrymamy H N cosα ( N + N) cosα H + H (5) W ceu uproscena dase anay prymemy Ŝe cęcwa cęgna est pooma ZałoŜymy taŝe Ŝe e wgędu na mały ws statycny prewodu masa cęgna moŝe być ropatrywana ao równomerne rołoŝona wdłuŝ poome cęcwy cy m / cosα m Wówcas po uwgędnenu (5) w równanach ()-(3) równana równowag cęgna prymuą następuącą postać: - 9 -

8 [( H + H )( + u )] [( H + H ) v ] + [( H + H )( + w )] + mu&& p mv&& p y x + mw&& p + mg (6) (7) (8) Jeś cęgno nadue sę w stane odnesena to p p p a wtedy x y u v w H W wynu potawena powyŝsych reac do równań (6)-(8) otrymue sę równana równowag statycne cęgna w stane odnesena P P P x y H H H mg const (9) (3) (3) Dwurotne obustronne scałowane równana (3) prowad do func opsuące parabocną rywą statycnego wsu cęgna mg ( x) x + Cx + C H (3) C Z warunów bregowych otrymue sę stałe całowana: ) ( x ) mg ) ( x ) C cy ostatecne mamy H mg x H ( x) x( ) (33) Jeś nany est wstępny nacąg cęgna H to strała wsu cęgna w środu ego ropętośc wynos ( / ) f mg /8H Wówcas moŝna apsać aternatywne równane parabo (33) w postac 4 f ( x) x( ) x (34) Po wyrugowanu równań równowag statycne (9)-(3) równań (6)-(8) otrymue sę równana równowag dynamcne cęgna - 3 -

9 [( H + H ) u + H ] [( H + H ) v ] + mv&& [( H + H ) w + H ] + mu&& p p y x + mw&& p (35) (36) (37) pry cym dynamcny pryrost nacągu H N cosα obca sę prawa Hooe'a tórego wyna Ŝe N EAε gde EA est stywnoścą cęgna na rocągane Wgędne odstałcene wyraŝaące ednostowy pryrost długośc cęgna wgędem stanu odnesena est oreśone w prypadu małych drgań worem cos α ( u + w ) atem 3 H EAcos α ε [9] ( u + w ) (38) Z anay równana (36) reac (38) wyna Ŝe poome drgana cęgna w erunu prostopadłym do płascyny wsu są w agadnenu nowym neaeŝne atem mogą być anaowane ao agadnene odrębne W dasych cągu pracy uwaga będe supona główne na drganach ponowych W prypadu cęgen o małym wse drgana ponowe mogą być anaowane pomnęcem wpływu premesceń poomych w płascyźne wsu cęgna (hpotea rchhoffa [9]) Pomaąc atem wpływ poomych sł bewładnośc cęgna ( m u& ) aładaąc p ora u otrymamy na potawe równana (35) reacę H H x ( x t) H ( x t) H ( t) (39) tóre wyna Ŝe dynamcny pryrost nacągu est tyo funcą casu x 3 Równane drgań ponowych weopreotowego cęgna-prewodu n NN Prewody n NN są mocowane do słupów a pomocą oatorów wsących W prypadu słupów preotowych oatory są umescane w poyc ponowe natomast w prypadu słupów mocnych (sranych) oatory są mocowane odcągowo w poyc poome Schemat statycny odcna tae n pretawa rys b na str 4-3 -

10 Predmotem anay są ponowe drgana prewodu tóry stanow cęgno weopreotowe o dane cbe preotów Pryęto Ŝe: ) wpływ tarca w podwesenach prewodu do słupów pośrednch est pomane mały (podpory pośredne moŝna tratować ao deane pregubowe poomo -presuwne) ) ne występue obcąŝene podłuŝne prewodów 3) wysoość amocowana prewodów est stała na długośc całe n (cęcwy preotów cęgna-prewodu są poome) 4) anaowany odcne n est w ruce góry prostonowy 5) ws statycny prewodu w aŝdym preoce est mały 6) dany est nacąg wstępny prewodu H Z warunu równowag poomych sładowych sł w puntach podparca (awesena) cęgna na podporach pośrednch (patr rys 3a) wyna Ŝe w stane odnesena nacąg statycne są sobe równe po obu stronach podpory PonewaŜ są one równeŝ neaeŝne od oanych mennych prestrennych x ) w aŝdym pręśe ( (patr wór (9)) węc de facto są stałe na całe długośc prewodu co onaca Ŝe a) b) N H H + α + α N N + cosα N cos + α+ α α + H + + ) ( x ) H ( x H const (4) N N + W prypadu cęgna w stane odstałconym warune równowag sł poomych ma postać: N cos α N cosα Uwgędnaąc na potawe woru (8) x + + x + Ŝe cosα ( + ) cosα ora Ŝe u gdy ws cęgna est mały otrymue sę u N cos α N cosα Stąd wyna Ŝe x + + x+ Rys 3 Równowaga poomych sładowych sł: a) w stane odnesena b) w stane odstałconym + H ( t) H ( t) H ( t) (4) ponewaŝ N cosα H + H H H ora na potawe woru (39): H ( x t) H ( t) Zatem dynamcny pryrost nacągu est równeŝ stały na całe długośc prewodu podobne a wstępny statycny nacąg cęgna orystaąc tego - 3 -

11 fatu moŝna na potawe woru (38) apsać ( t) H u 3 w EAcos α (4) gde ( ) / Borąc pod uwagę Ŝe suma poomych sładowych odstałceń cęgna wdłuŝ całe ego ropętośc mus być równa eru ponewaŝ srane podpory są nepresuwne otrymamy H ( t) EA u ( ) 3 cos w H t EA α L w (43) gde L 3 cos α Po wyonanu całowana pre cęśc uwgędnenu warunów bregowych w ( x t) ora w ( x t) reaca (43) ma postać H EA L w (44) Ze woru (34) wyna Ŝe atem ostatecne dynamcny pryrost nacągu 8 f / prewodu pod wpływem obcąŝena dynamcnego wynos w chw t H ( t) EA L 8α w (45) gde α e woru f / Długość całowtą cęgna -preotowego w stane odnesena obca sę L + cos α (46) Bauąc na równanu (37) ora uwgędnaąc aeŝnośc (4) (4) moŝna apsać w następuące postac uład równań opsuących ponowe drgana preotów cęgna ( + w ) + mw& p H w H (47)

12 Są to nenowe cąstowe równana róŝncowo-całowe oreśone w prestren geometrycno-casowe Po pomnęcu sładna nenowego H w potawenu reac (45) otrymue sę uład spręŝonych równań ruchu -preotowego cęgna-prewodu EA α α H w L ( x t) + 64 w + mw&& ( x t) p ( x t) (48) tórego rowąanem est bór func w ( x t) prewodu n eetroenergetycne oreśaących nowe drgana pręseł 4 Rowąane równań ruchu weopreotowego cęgna metodą Lagrange'a-Rta Równana ponowych drgań prewodu wyprowadone w punce 3 są róŝncowo -całowym spręŝonym równanam dwóch mennych: menne geometrycne x ora casu t Ne est moŝwe wynacene ścsłego rowąana taego uładu równań W ceu naeena rowąana prybŝonego wyorystana będe aprosymacyna metoda Lagrange'a-Rta Ideą te metody est dysretyaca uładu cągłego w sposób matematycny popre cągłą aprosymacę prestrennego roładu premesceń onstruc Ruch uładu est opsany a pomocą współrędnych Lagrange'a natomast asady aprosymac posuwanych func premesceń bauą na metode Rta unce aprosymacyne (baowe) pownny być atem nematycne dopuscane to nacy pownny spełnać premescenowe warun bregowe ednoceśne musą tworyć uład upełny cy w pełn opsywać ruch badanego ustrou [4] [] Zastosowane metody Lagrange'a-Rta prowad do równań ruchu astępcego uładu dysretnego tórego drgana są opsane wycanym równanam róŝncowym wgędem casu W nnesym adanu ao funce baowe pryęto funce trygonometrycne snusowe Aprosymaca premesceń w -tym preoce cęgna ma postać w n ( x t) sn ( t) (49) π x

13 ub w notac wetorowe w ( x t) s s (5) gde s co(sn( πξ )sn(πξ )sn( n πξ )) est wetorem func baowych symbo co onaca macer oumnową (wetor) aś ξ x / Wetor co( n ) awera bór współrędnych uogónonych Lagrange'a W ceu naeena sładnów równań ruchu Lagrange'a naeŝy sporądć bans energetycny uładu dynamcnego uwgędnenem pryętych asad aprosymac premesceń W rowaŝanym adanu praca ewnętrnych sł cynnych na premescenach cęgna po uwgędnenu aprosymac (5) wynos pw p s L (5) gde wetor uogónonych sł wbudaących est wyraŝony worem p ( x t) s (5) Wyorystuąc funcę roładu masy premesceń uładu moŝna obcyć ego energę netycną Po potawenu woru (5) uwgędnenu pryętego wceśne ałoŝena Ŝ masa est równomerne rołoŝona wdłuŝ poome cęcwy cęgna otrymamy E mw& m & s s & & B & (53) Macer bewładnośc -tego preotu est opsana worem m B I (54) ponewaŝ s I s gde ( ) Symbo dag onaca macer dagonaną I dag est macerą ednostową o romare n

14 Wynacene energ potencane odstałcena uładu na potawe nanych worów ne est moŝwe Datego teŝ wyorystano asadę Ŝe waraca energ potencane est równa wrtuane pracy reac spręŝystych cęgna na waracach odpowednch premesceń uładu pry ałoŝenu Ŝe sły bregowe ne wyonuą pracy [4] [] Reace spręŝyste oreśono na potawe uładu równań (47) Borąc pod uwagę aeŝnośc (4)-(4) ora wynaącą e woru (34) reacę: 8 f / waracę energ potencane odstałcena uładu moŝna apsać ao δe p H ( H w + H ) w δw H δw 8 f w Ep Ep δ δ + δ ( ) ( ) (55) Po wyonanu całowana pre cęśc uwgędnenu warunów bregowych w ( x t) ora w ( x t) a równeŝ spostreŝenu Ŝe w δ w δ 5 w gdyŝ δw w δw perwsy sładn woru (55) moŝna apsać w postac ( ) δe p H δw (56) Uwgędnaąc wór (45) ora fat Ŝe ( δ w w ) δ ( w w ) energ potencane moŝna wyrać worem drug sładn δe ( ) p 64EA L α α δ w w (57) Po potawenu do równana (55) worów (56) (57) ora wyłącenu operatora rachunu waracynego pred nawas otrymamy δe p 64 EA α α δ H + w w w L (58)

15 Ostatecne energa potencana odstałcena uładu wynos E p H α α 64EA w + w L w (59) Po potawenu aprosymac stanu premescena (5) obcenu całe wór (59) prymue postać E gde p { d } H 64 4EA + α α L + g g (6) H { d } 56EA αα g g L (6) W wyprowadenu formuły (6) uwgędnono Ŝe w { d } Ŝe ora w g pry cym wprowadono onacena: { } dag( π 4π n π ) ( n π ) cos g co π 3π n π d Anaa formuł (53) (6) opsuących energę netycną energę potencaną uładu prowad do wnosu Ŝe drgana preotów są spręŝone (statycne) Zatem aby wyprowadć na potawe równań Lagrange'a macerową postać równań ruchu uładu naeŝy wprowadć łącny wetor współrędnych uogónonych ( ) co ora oreść transformacę tych współrędnych na oane współrędne poscegónych preotów Jest to transformaca nowa defnowana worem A (6) Macer transformac [ φ I φ] ( ) A est boową macerą erową o wymare n n ednostowym boem I o wymare n n Potawene reac (6) do formuł (5) (53) (6) powaa apsać wyn bansu energetycnego w bae współrędnych

16 φ φ Energa netycna uładu prybera wówcas postać ednorodne formy wadratowe prędośc uogónonych (63) B A B A & & & & E tóre ądro B est boowo-dagonaną macerą bewładnośc uładu o następuące struture ( ) ) (64 dag B B B B B B A B A B O Energa potencana odstałcena uładu est ednorodną formą wadratową premesceń uogónonych (65) A A A A p E + Jądrem formy est symetrycna macer stywnośc uładu ( ) dag L M O M M L L L M O M M L L (66) Pracę ewnętrnych sł cynnych na premescenach uładu po potawenu reac (6) do równana (5) wyraŝa wór (67) A L gde ( ) (68) co M est wetorem uogónonych sł wbudaących w bae współrędnych uogónonych

17 Po potawenu wynów bansu energetycnego do równań Lagrange'a II rodau apsanych da małych drgań w postac d dt grad & E ( & ) + grad E ( ) grad L( ) (69) p otrymue sę macerowe równane ruchu weopreotowego cęgna tóre po uwgędnenu tłumena ma postać B && + C& + (7) W pracy pryęto masowy mode tłumena wsotycnego (tłumene ewnętrne) w tórym macer tłumena w dasych cęścach pracy C µ B [] Macer ta ostane scegółowo defnowana W prypadu ednego preotu cęgna ( ) amocowanego pregubowo nepresuwne na ońcach równane ruchu prymue postać ( + ) B && + & + C (7) gde { d } p ( x t) s (7) m 56EA f H B I + g g + L co wyna e worów (5) (54) (6) pry cym pryęto Ŝe 5 ObcąŜene ponowe słupa preotowego Chcąc oreść stopeń wytęŝena preotowego słupa eetroenergetycnego w trace drgań prewodów naeŝy ustać masymaną sumarycną wartość menaących sę w case oddaływań prewodów na słup spowodowanych drganam sąsaduących preotów Oddaływana te są równe słom osowym w sranych preroach awesonego cęgna (prewodu) tóre wynaą łącnego statycnego dynamcnego obcąŝena cęgna N ( t) γ +( t) γ ( t) P ( t) Rys 4 Słup uład sł ( ) N t

18 Uład sł dałaących na słup o numere ustrue rysune 4 ObcąŜene słupa P ( t) stanow suma ponowych sładowych sł osowych Sładowe poome (nacąg) ompensuą sę e wgędu na presuwne podparce prewodu na słupe Bauąc na rys 4 moŝemy apsać P ( t) N+ ( t) cosγ + ( t) + N( t) cos[ 8 γ ( t) ] N ( t) cosγ ( t) N ( t) cosγ ( t) (73) + + ąty erunowe γ ora γ + dotycą odstałcone onfgurac cęgna cy są merone od os do stycne do trasy cęgna drgaącego w chw t Na potawe woru () otrymuemy cosγ cosα ( + w ) cosγ cos ( + α w + ) (74) Uwgędnaąc godne (5) (9) (39) Ŝe N ( x t) N ( x ) + N ( x t) [ + H ( t) ] ( ) gde cos ( + ) H cos α x ( ) mg + + moŝemy apsać H P α ora godne (33) Ŝe ( ) + ( t) [ H + H ( t) ] cos α ( ) + w ( t) cosα ( ) [ H + H ( t) ] cos α ( ) + w ( t) cosα ( ) mg H mg H [ H + H ( t) ] ( + ) + w ( t) w ( t) (75) + + mg H mg H + W stane odnesena gdy w ora H obcąŝene słupa (statycne) wynos atem w P mg ( t) ( + ) + (76) Po wyrugowanu (76) formuły (75) otrymamy wór oreśaący dynamcny pryrost obcąŝena: - 4 -

19 mg H ( t) ( + ) H ( t) + H [ w ( t) w ( t) ] + H ( t) [ w ( t) w ( t) ] (77) P Łącne ponowe obcąŝene słupa spowodowane oddaływanem ednego prewodu moŝe być atem wyraŝone ao suma obcąŝena statycnego występuącego w stane odnesena obcąŝena dynamcnego: P ( t) P + P ( t) P ( t) Dynamcne obcąŝene ostało tu obcone wg teor drugego rędu to nacy uwgędnenem poprawe wynaących odrucena asady estywnena Słada sę ono trech sładnów: perwsy sładn woru (77) opsue obcąŝene be efetów II rędu nowe obcone wgędem onfgurac cęgna w stane odnesena dwa następne sładn są poprawam II rędu perwsy nch ma charater nowy ao ta ne pownen być pomany w obcenach drug est efetem nenowym tóry moŝe być pomnęty w prypadu małych drgań Aby doonać oceny wpływu drgań prewodów eetroenergetycnych na wytęŝene preotowego słupa wsporcego naeŝy wynacyć masymaną wartość prebegu man obcąŝena słupa w case Puntem startowym procedury obcena prebegu casowego dynamcnego pryrostu obcąŝena słupa est rowąane równana ruchu weopreotowego cęgna (7) pry adanym obcąŝenu preotów p ( x t) Następne na potawe wynaconych prebegów współrędnych uogónonych (t) naeŝy obcyć dynamcny pryrost nacągu cęgna (45) tóry po potawenu aprosymac premesceń cęgna (5) wyonanu obceń est wyraŝony worem H 6EA L ( t) α ( t) g (78) gde wetor ( n π ) cos g co ostał uŝ oreśony w p 4 Ostatnm π 3π n π roem procedury est wynacene prebegu func (77) defnuące dynamcne obcąŝene słupa pry cym po potawenu reac (5) wór (77) moŝna apsać w postac α (79) + ( ) + t H ( t) + [ H + H ( t) ] ( t) { d } b ( t) { d } a P

20 W wyprowadenu powyŝsego woru uwgędnono Ŝe (por wory (33) (34)) ora Ŝe mg 4α gde α f / H w ( x t) { d} c (8) gde πx nπx co cos( πx / )cos cos c { d } dag ( π π n π ) pochodne premesceń ponowych da x ora x wynosą + Wówcas w ( t) { d } a w + ( t) { d } b (8) pry cym wetory a co( ) ( ) n ora + n b co maą odpowedno wymar 6 Gaopowane prewodów n eetroenergetycne 6 Równane drgań weopreotowego cęgna wymusonych obcąŝenem mpusowym + Aby apocątować gaopowane prewodów n eetroenergetycne nebędny est ewnętrny mpus wprawaący e w drgana ponowe Impus ten moŝe stanowć chwowy poryw watru odrywaące sę wry Benarda-ármána ub na pryład gałąź uderaąca w prewód Porusaące sę ponowo cęgno obodone w sposób tóry neorystne mena ego charaterysty aerodynamcne est podatne na gaopowane W nnese pracy pryęto Ŝe obcąŝenem ncuącym ponowy ruch prewodu est mpus spowodowany prypadowym uderenem ZałóŜmy Ŝe w punt x preotu Q cęgna (prewodu) o numere J udera w chw t predmot (np onar drewa) o cęŝare Q ObcąŜene cągłe -tego preotu cęgna spowodowane tym uderenem moŝna apsać ogóne worem p ( x t) Qδ ( x x ) δ ( t t ) χ (8) Q - 4 -

21 gde symbo δ onaca funcę deta Draca aś preotu: χ gdy J ora χ da J χ est wyróŝnem obcąŝena -tego Wetor uogónonych sł wbudaących apsany w bae współrędnych -tego preotu ma atem godne e worem (5) następuącą postać Qδ ( x x ) δ ( t t ) χ s χ Qδ ( t t ) s (83) Q Q πx πx nπx Q Q Q pry cym wetor s ( ) Q s xq co sn sn sn Po doonanu agregac potawenu do woru (67) reac (83) gobany wetor uogónonych sł wbudaących apsany w łącne bae współrędnych uogónonych ma postać A M M J φ φ M Q s M φ JQ δ ( t t ) δ ( t t ) (84) JQ gde wetor JQ odpowada se supone Q tóra est pryłoŝona w preoce J w punce o współrędne x Q Macerowe równane ruchu opsuące ponowe drgana prewodu spowodowane uderenem słą Q moŝna apsać godne e worem (7) ao B && + C& + δ JQ ( t ) (85) t Macer tłumena w równanu (85) est proporconana do macery bewładnośc stosowne do ałoŝena podanego w p 4: C µ B (86) Współcynn proporconanośc µ est wymarowym parametrem tłumena masowego tóry moŝna osacować na potawe perwse formy drgań własnych według woru µ α ω (87)

22 gde α est cbą tłumena potawowego uładu modanego ω πf est potawową cęstoścą własną meroną w rad/s f est cęstoścą wyraŝoną w H [] 6 Równane drgań weopreotowego cęgna w trace gaopowana Porusaący sę ponowo prewód na tóry dała poomy watr est poddany n dałanu sł aerodynamcnych Na rys 5 c pretawono preró poprecny obodonego prewodu porusaącego sę w dół prędoścą w& Dałaący na nego pod ątem ϕ wypadowy w& V ϕ V w d w& y watr weący prędoścą V w powodue powstane sł aerodynamcnych: sły nośne ora sły cągnące c oddałuących na prewód n Rys 5 ObcąŜene aerodynamcne Wartośc tych sł podane na ednostę długośc moŝemy apsać ao [6] [4] n c ( ϕ) ρv dc ( ϕ) ( ϕ) ρv dc ( ϕ) w w n c (88) gde ρ est gęstoścą powetra d wymarem prerou poprecnego meronym prostopade do erunu wetora prędośc V aś C ( ϕ) ora ( ϕ) n C są współcynnam oporu aerodynamcnego W pracy pryęto podobne a w monograf [4] Ŝe współcynn te są tae same da cęgna drgaącego neruchomego Wypadowa prędość prepływu powetra godne rysunem 5 wynos c V V w cosϕ (89) Po uwgędnenu worów (88) reac (89) ora pryętych na rys 5 wrotów sł ponowe obcąŝene aerodynamcne oddałuące na gaopuący równomerne obodony na całe długośc prewód ma postać

23 p ( x t) cosϕ snϕ ρdv [ C ( ϕ) + C ( ϕ) tgϕ] n ρdv C c ( ϕ) cosϕ n c (9) gde C cosϕ ( ϕ) [ C ( ϕ) C ( ϕ) tgϕ] (9) n + c w& ora tgϕ W prypadu małych drgań achodących bepośredno po ncac V gaopowana prewodów moŝna pryąć Ŝe tg ϕ ϕ Rowaąc funcę C ( ϕ) w sereg ayora w otocenu puntu ϕ doładnoścą do dwóch wyraów rownęca a w monograf [4] otrymamy C ( ϕ) C ( ) dc + dϕ ( ϕ) ϕ ϕ (9) Po obcenu pochodne uwgędnenu według [4] Ŝe C da ϕ równane (9) prymue postać n C ( ϕ) w& dcn + C V dϕ c ϕ (93) Potawaąc aeŝnośc (93) do równana (9) ponowe obcąŝene aerodynamcne prewodu moŝna apsać ao p ( x t) dcn ρdvw& + Cc dϕ ϕ ρdvˆ w& (94) gde pre Vˆ onacono astępcą prędość watru tóra aeŝy od prędośc watru od charaterysty aerodynamcnych obodonego prewodu (w ogónym prypadu nenanych): ˆ dcn V V + Cc dϕ ϕ (95)

24 Po potawenu ałoŝone aprosymac stanu premescena (5) do reac (94) wetor uogónonych sł wbudaących (5) ma da -tego preotu postać ˆ ρdv ss ˆ & ρdv I& (96) pry cym ( ) I dag n est macerą ednostową Gobany wetor uogónonych sł wbudaących uładu po doonanu agregac a węc potawenu aeŝnośc (6) do równana (96) uwgędnenu woru (67) prymue postać ρdvˆ A A & C & aeŝną od prędośc uogónonych anaowanego uładu a (97) & ta a wetor C& opsuący w równanu (7) sły oporu ruchu Na potawe te anaog macer est naywana macerą tłumena aerodynamcnego W rowaŝanym agadnenu ma ona następuącą struturę boowo-dagonaną C a C a ˆ ρdv A pry cym bo C a φ ( ) Ca C a Ca Ca (98) O φ A dag C ˆ ρ a dv I są równeŝ maceram dagonanym Po onacenu w równanu (7) macery tłumena onstrucynego (masowego) µ B α ω B symboem C m C ora po potawenu reac (97) otrymamy C następuące równane ruchu C a B & + C & + C & m a (99) Prenesene wetora sł wbudaących na ewą stronę równana soarene go słam oporów ruchu prowad do równana ( C + C ) B & + & + m a ()

25 opsuącego drgana weopreotowego prewodu eetroenergetycnego obcąŝonego słam aerodynamcnym Drgana te mogą po prerocenu rytycne prędośc watru prowadć do gaopowana będącego preawem nestatecnośc aerodynamcne NaeŜy auwaŝyć Ŝe równane () est uładem ednorodnych równań róŝncowych II rędu wgędem casu tóre opsuą tw drgana swobodne Aby te drgana achodły mus astneć pocątowy bodec ncuący tóry prowad do neerowych warunów pocątowych am bodźcem moŝe być np uderene cy obcąŝene mpusem pocątowym ropatrywane w poprednm punce pracy (patr p 6) Superponuąc dwa ropatrywane prypad drgań opsane równanam (85) () otrymamy równane ( C + C ) & + ( t ) () B && + δ m a JQ t tórego rowąane umoŝw anaę drgań weopreotowego obodonego cęgna w wetre spowodowanych uderenem Pred reaacą mpusu naeŝy ałoŝyć erowe warun pocątowe ta aby reaaca mpusu prełoŝyła sę bepośredno na warun pocątowe ncuące ewentuane gaopowane ub anaące drgana swobodne 63 Warune Den Hartoga Na potawe anay strutury równana () moŝna ustać warun wystąpena gaopuących drgań prewodów eetroenergetycnych Ze worów (54) (64) (98) wyna Ŝe łącna macer tłumena onstrucynego tłumena aerodynamcnego w równanu () est boowo-dagonana gde ( C + C C + C C ) () C C + + m Ca dag a a Ca m ˆ C Cm + Ca α ω + ρdv I c I (3) Łącny współcynn tłumena wartość współcynna tłumena onstrucynego c c + c est sumą dwóch sładnów pry cym m a cm α ωm (4)

26 est awse dodatna podcas gdy wartość współcynna tłumena aerodynamcnego c a moŝe być dodatna ub uemna Zna współcynna c a aeŝy wyłącne od wartośc dcn wyraŝena + C dϕ c ϕ ponewaŝ ˆ dcn c a ρdv ρdv + Cc (5) 4 4 dϕ ϕ Jeś wsyste łącne współcynn tłumena będą dodatne ( c > ) to drgana będą mały charater anaący Jeś edna w tórymowe preoce n współcynn będe uemny ( c < ) to drgana będą narastać Wystąp wówcas awso gaopowana prewodów Ze wgędu na spręŝene równań ruchu (pre macer stywnośc) gaopowanu uegną wsyste pręsła n ednaŝe rowó drgań w case będe nasybsy w preoce w tórym c < Z powyŝse anay wyna Ŝe warune wystąpena gaopowana prewodów n eetroenergetycne ma postać dcn + C dϕ c ϕ < (6) godną warunem podanym pre Den Hartoga [5] [6] [4] Załadaąc Ŝe warune (6) est spełnony moŝemy wynacyć rytycną prędość watru po tóre prerocenu wystąp gaopowane W sytuac grancne mamy c c + c sąd po uwgędnenu aeŝnośc (4) (5) otrymue sę wartość rytycną m a V r 4mαω dcn + Cc ρd dϕ ϕ (7) tóra est dodatna gdy spełnony est warune Den Hartoga Warto auwaŝyć Ŝe wartość rytycne prędośc watru ne aeŝy bepośredno od długośc preotów a edyne pośredno pre potawową cęstość drgań własnych ω Ponadto rytycna prędość watru est tym węsa m węse est tłumene onstrucyne stąd efetywnym sposobem abepecena prewodów pred gaopowanem est montowane tłumów węsaących tłumene drgań