Symulacja MES pomiaru drgań dźwigara kratowego przy pomocy rozłożonych czujników piezoelektrycznych

Transkrypt

1 Symulacja w Badaiach i Rozwoju Vol., No. 1/011 Ja FREUNDLICH, Marek PIETRZAKOWSKI Politechika Warszawska, IPBM, 0-54 Warszawa, ul. Narbutta 84, jfr@simr.pw.edu.pl, mpi@simr.pw.edu.pl Symulacja MES pomiaru drgań dźwigara kratowego przy pomocy rozłożoych czujików piezoelektryczych 1 Wstęp Kostrukcje dachowe stosowae w budowictwie arażoe są a iekorzysty wpływ otoczeia w postaci zaburzeń o charakterze drgaiowym, których źródłem w rejoach iskiej aktywości sejsmiczej jest główie ruch ciężkich pojazdów trasportowych. A zatem, sta odpowiedzialych elemetów kostrukcji kratowicy dachowej powiie być moitoroway także pod kątem obciążeń zmieych w czasie w celu wykrycia i idetyfikacji uszkodzeń we wczesych fazach rozwoju. W opracowaiu zapropoowao zastosowaie rozłożoych czujików piezoelektryczych do pomiaru zmieych w czasie odkształceń i przemieszczeń prętów kratowicy. Zaletą takich czujików jest brak koieczości ich zasilaia. Czujiki piezoelektrycze mogą być w całości przyklejoe do powierzchi obiektu w obszarze mierzoych odkształceń lub mocowae a obu brzegach przy pomocy specjalych uchwytów [, 5]. Zapewieie odpowiediej pracy czujików piezoelektryczych w daej kostrukcji często wymaga wcześiejszej symulacji umeryczej działaia całego systemu. W pracy przedstawioo budowę modelu aalityczego i MES systemu belka czujik piezoelektryczy. Model te użyto do symulacji umeryczej moitorowaia kratowego dźwigara dachowego przy zastosowaiu czujików piezoelektryczych. Obliczeia wykoao dla uproszczoego modelu MES dźwigara kratowego (Rys. 1), zastosowaego w staowisku badawczym projektu MONIT [3]. Rys. 1. Dźwigar kratowy i kostrukcja dachowa [3] Fig. 1. Truss girder ad the roof structure [3] 5

2 Ja FREUNDLICH, Marek PIETRZAKOWSKI Model aalityczy belki do obliczeń porówawczych Jako zadaie porówawcze rozważoo drgaia jedorodej, swobodie podpartej belki z przyklejoym do dolej lub górej powierzchi czujikiem piezoelektryczym. Założoo doskoałe połączeie czujika z powierzchią belki. Przyjęto uproszczoy model czujika piezoelektryczego z pomiięciem wpływu jego masy i sił bezwładości a drgaia poprzecze belki. Model belki założoo zgodie z teorią Beroulliego, pomijając bezwładość obrotową przekrojów belki oraz wpływ ściaia. Aalizę ograiczoo do drgań stacjoarych, wymuszoych pioowym przemieszczeiem podpór belki. y 1 (t) x 1 x czujik y (t) Rys.. Schemat badaej belki Fig.. Schema of the aalyzed beam Rówaie ruchu drgań poprzeczych w(x,t) lepkosprężystej belki (Rys. ) poddaej wymuszeiu kiematyczemu w podporach y 1 (t) i y (t) odiesioe do ieodkształcoej osi ma postać 4 5 w w w x x Eb Jb + µ + ρ = 1 1( ) + y ( t) 4 4 b Ab ρ A && y t & (1) b b x x t t l l gdzie: J b, A b ozaczają odpowiedio momet bezwładości i pole przekroju belki, E b, ρ b moduł Youga i gęstość materiału belki, µ jest współczyikiem wewętrzego tłumieia (model Kelvia-Voigta), dwie kropki ad literą ozaczają drugą pochodą względem czasu. Rozwiązaie rówaia (1) musi spełiać waruki podporowe. Napięcie geerowae odkształceiem czujika moża obliczyć z zależości (por. [4]) V s l w = Cs bs x 0 ( x)dx, ( h + h ) b s hs C s = d31es () A gdzie: b s (x) jest fukcją kształtu czujika, b s (x) = b s [H(x x 1 )-H(x x )] przy czym b s ozacza jego efektywą szerokość, H(x) jest dystrybucją Heaviside a, C s ozacza współczyik jakości czujika, w którym, d 31, ε 33 oraz E s ozaczają odpowiedio współczyik piezoelektryczy, przeikalość elektryczą oraz moduł Youga materiału czujika, h b i h s są odpowiedio grubością belki i grubością warstwy czujika, A s jest efektywą powierzchią elektrod. Rozwiązaie rówaia (1) przedstawioo w postaci przepustowości widmowej ugięć belki w stosuku do przemieszczeia lewej podpory l s 33 6

3 Symulacja MES pomiaru drgań dźwigara kratowego przy pomocy rozłoŝoych czujików piezoelektryczych H wy w( x, iω) ω π ( iω) si x 1 = = (3) y ( iω) π = ( ω ω + iµω ω) l 1 1 EbJ b π gdzie: ω częstość wymuszeia, i = 1, ω =, = 1,,... ρ A l Na podstawie zależości () wyzaczoo przepustowość widmową apięcia sesora w stosuku do przemieszczeia lewej podpory H Vy1 b Vs( iω) Csbs = = ω π π ( iω ) cos x cos x 1 (4) y1( iω) l = 1ω ω + iµω ω l l W aalogiczy sposób moża wyzaczyć przepustowości widmowe odiesioe do przemieszczeia prawej podpory. 3 Model MES belki do obliczeń porówawczych Zakładając schemat obliczeiowy belki podoby do przyjętego w obliczeiach aalityczych (Rys. ), zbudowao model MES badaej belki z czujikiem piezoelektryczym. Model MES belki zbudowao z dwuwęzłowych elemetów belkowych według teorii Beroulliego (Elemety B33 [1]). Model MES czujika piezoelektryczego został zbudoway przy zastosowaiu 0-to węzłowych trójwymiarowych elemetów objętościowych o właściwościach piezoelektryczych z dodatkowymi elektryczymi stopiami swobody w węzłach (elemety C3D0E [1]). W elemetach tych sprzężeie piezoelektrycze uzyskuje się przez wprowadzeie odpowiedich współczyików piezoelektryczych i stałych dielektryczych materiału. Użyto mechaizmu systemu Abaqus do aalizy drgań przy wymuszeiu w podporach. Model belki zbudowao z 45 elemetów belkowych (B33), atomiast model czujika piezoelektryczego składa się z 4 trójwymiarowych elemetów C3D0E, rozmieszczoych w dwóch warstwach. Zgodość przemieszczeń węzłów elemetów czujika piezoelektryczego z przemieszczeiami węzłów belki została uzyskaa przez zastosowaie więzów kiematyczych ( Kiematic couplig wg [1]) 4 Obliczeia porówawcze modelu aalityczego i modelu MES belki W obliczeiach porówawczych drgań belki przyjęto, że belka o długości 3 m ma przekrój dwuteowy o wysokości 10 mm, szerokości 60 mm, półkach o grubości 6 mm i ściace pioowej o grubości 3 mm. Moduł Youga materiału belki przyjęto rówy E b =, MPa, gęstość ρ b = 7600 kg/m 3, współczyik tłumieia materiałowego µ = 10-5 s. Czujik piezoelektryczy ma kształt prostokątej płytki o wymiarach 60x30 mm i grubości 1 mm. Założoo astępujące właściwości materiału czujika: moduł Youga E s = 6, MPa, gęstość ρ s = 780 kg/m 3, przeikalość elektryczą 33 = 1, F/m, współczyik piezoelektryczy d 31 = -1, CN -1. We wstępym etapie obliczeń porówao wartości kilku pierwszych częstości drgań własych wyzaczoych metodą aalityczą i obliczoych dla modelu MES aalizowaej belki (Tabela 1). b 4 7

4 Ja FREUNDLICH, Marek PIETRZAKOWSKI Tabela 1. Częstości drgań własych belki obliczoe dwiema metodami. Postać drgań MES [rad/s] 79,8 1119,0 518,4 4476,7 6993, ,0 Met. aalit. [rad/s] 80,1 110,4 50,9 4481,7 700, ,7 Maksymaly błąd względy między częstościami własymi obliczoymi porówywaymi metodami wyosi około 1%, co potwierdza zgodość modelu MES z modelem aalityczym rozpatrywaej belki w zakresie podstawowego parametru drgaiowego. W kolejym etapie obliczeń wyzaczoo charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe drgań belki oraz apięć geerowaych w czujiku piezoelektryczym. Zbadao drgaia puktu belki, który odpowiada środkowi czujika piezoelektryczego. Obliczeia wykoao przyjmując przemieszczeia podpór zgode w fazie (φ = 0) i z przesuięciem fazowym φ = π. W przypadku metody aalityczej obliczeia przeprowadzoo a podstawie wzorów (3 i 4) a przepustowości widmowe, przy pomocy pakietu obliczeń symboliczych MATHEMATICA. Obliczoe charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe drgań wybraego puktu belki oraz apięcia czujika przy wymuszeiu zgodym w fazie (φ = 0) przedstawioo graficzie odpowiedio a rysukach 3 i 4. Aalogicze obliczeia wykoao przy użyciu sytemu MES Abaqus, stosując zapropooway model MES aalizowaej belki. Tak jak w przypadku obliczeń aalityczych, wyzaczoo amplitudy drgań puktu belki i amplitudy apięć czujika w zależości od częstości wymuszeia. Wyiki obliczeń przedstawioo w formie charakterystyk amplitudowo-częstotliwościowych ugięć wybraego węzła belki (Rys. 3) i apięcia czujika (Rys. 4) przy zgodym w fazie ruchu podpór. Porówując krzywe zależości amplitudy drgań od częstości wymuszeia przy wymuszeiu w podporach zgodym w fazie (Rys. 3), widać, że wyiki otrzymae metodą aalityczą i metodą elemetów skończoych ie wiele się różią. Niezaczie większe różice występują w przypadku charakterystyk amplitudowo-częstotliwościowych apięć geerowaych w czujikach piezoelektryczych (Rys. 4). 8

5 Symulacja MES pomiaru drgań dźwigara kratowego przy pomocy rozłoŝoych czujików piezoelektryczych Rys. 3. Amplituda drgań obliczeia aalitycze i MES, kąt φ = 0 Fig. 3. Vibratio amplitude aalytical ad FEM calculatios, agle φ = 0 Rys. 4. Amplituda apięcia obliczeia aalitycze i MES, kąt φ = 0 Fig. 4. Voltage amplitude aalytical ad FEM calculatios, agle φ = 0 Podobe wyiki uzyskao w przypadku przesuięcia fazowego ruchu podpór φ = π. Biorąc pod uwagę zgodość obliczoych częstości drgań własych badaego układu oraz przedstawioych charakterystyk amplitudowo-częstotliwościowych, moża przyjąć, że model MES układu belka czujik piezoelektryczy został zbudoway poprawie i adaje się do stosowaia w bardziej złożoych układach. 5 Obliczeia MES dźwigara kratowego Do obliczeń MES przyjęto dae dźwigara kratowego według dokumetacji projektu MONIT [3] (Rys. 1). Pasy góre i doly badaego dźwigara zbudowae są z teowików o wysokości 30 mm, szerokości 60 mm, grubości półki 3 mm oraz grubości ściaki pioowej 6 mm. Pręty kraty (tzw. krzyżulce) wykoae są z kątowików 30x30x3 mm. Taka kostrukcja powoduje, że rama ie jest ściśle płaska, a zatem mimo wymuszeia lub obciążeia w płaszczyźie ramy, występują także przemieszczeia o składowych prostopadłych do jej płaszczyzy 9

6 Ja FREUNDLICH, Marek PIETRZAKOWSKI Rys. 5. Schemat obliczeiowy badaego dźwigara kratowego Fig. 5. Calculatio scheme of the roof girder Parametry materiałowe dźwigara kratowego i czujika piezoelektryczego przyjęto takie jak w rozdziale 4, zakładając, że wymiary czujika są rówież takie same. Założoo atomiast większy, przyjmoway dla stali współczyik tłumieia materiałowego µ = s. W celu przeprowadzeia obliczeń MES, zbudowao odpowiedie modele dźwigara kratowego z umieszczoymi a im czujikami piezoelektryczymi. Model MES kratowicy składa się z 103 węzłów oraz 110 elemetów belkowych według teorii Beroulliego (B33 [1]). Zastosowao dwa czujiki piezoelektrycze, jede umieszczoy a pasie dolym, atomiast drugi a jedym z prętów wykrzyżowaia (Rys. 5). Każdy z czujików składa się z 01 węzłów i 4 trójwymiarowych elemetów o właściwościach piezoelektryczych C3D0E [1]. W pierwszym etapie, podobie jak w obliczeiach porówawczych belki, obliczoo kilka ajiższych, kolejych częstości drgań własych kratowicy. Następie wyzaczoo charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe drgań puktów dźwigara zajdujących się bezpośredio pod środkami geometryczymi czujików piezoelektryczych. Charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe przedstawioe a rysuku 6 dotyczą drgań wywołaych wymuszeiem w podporach zgodym w fazie (φ = 0) i odoszą się do puktu a pasie dźwigara i wykrzyżowaiu (Rys. 5). Na wykresach charakterystyk liią ciągłą ozaczoo przemieszczeia w płaszczyźie dźwigara, a liią przerywaą w kieruku prostopadłym do iej (Rys. 6). Natomiast charakterystyki apięciowe przy tym wymuszeiu zamieszczoo a rysuku 7. Wykresy charakterystyk zmia apięcia wywołae ruchem podpór o przeciwej fazie (φ = π) pokazao a rysuku 8. 10

7 Symulacja MES pomiaru drgań dźwigara kratowego przy pomocy rozłoŝoych czujików piezoelektryczych Rys. 6. Amplituda drgań puktu pasa i wykrzyżowaia, kąt φ = 0 Fig. 6. Vibratio amplitude of the poit o the chord ad the diagoal, agle φ = 0 Rys. 7. Amplituda apięcia w czujikach piezoelektryczych, kąt φ = 0 Fig. 7. Voltage amplitude i piezoelectric sesors, agle φ = 0 Rys. 8. Amplituda apięcia w czujikach piezoelektryczych, kąt φ = π Fig. 8. Voltage amplitude i piezoelectric sesors, agle φ = π Jak wspomiao wcześiej, zastosowaie prętów kraty o przekroju kątowym (Rys. 1) powoduje, że dźwigar ie jest ściśle płaski i jest strukturą mało sztywą w kieruku poprzeczym. Ozacza to, że przy wymuszeiu w płaszczyźie dźwigara pojawiają się zaczące składowe przemieszczań o kieruku prostopadłym do jego płaszczyzy. Jak wyika z aalizy, ajiższa częstość drgań dźwigara kratowego odpowiada postaci drgań o domiujących składowych prostopadłych do płaszczyzy dźwigara (Rys. 6). Efekt te 11

8 1 Ja FREUNDLICH, Marek PIETRZAKOWSKI jest szczególie widoczy a wykresach amplitudowo-częstotliwościowych puktu pręta wykrzyżowaia (Rys. 6), gdzie składowa przemieszczeia prostopadła do płaszczyzy dźwigara (liia przerywaa) osiąga wyraźie większe wartości amplitud rezoasowych iż składowa przemieszczeia w płaszczyźie dźwigara (liia ciągła). Złożoy obraz drgań prętów kraty i tym samym złożoy sta odkształceia czujika piezoelektryczego powoduje trudości z iterpretacją powstających apięć (Rys. 7 i 8). W tym przypadku wskazae jest zastosowaie dwóch czujików o jedokierukowym działaiu umieszczoych we wzajemie prostopadłych płaszczyzach. Dodatkową trudością może być występowaie drgań gięto-skrętych i efektu piezoelektryczego wywołaego ściaiem. Przedstawioe a rysukach 7 i 8 charakterystyki apięć geerowaych w czujiku zamocowaym do pasa dźwigara, ze względu a stosukowo mały udział odkształceń warstwy czujika w kieruku poprzeczym, potwierdzają możliwość jego zastosowaia do ocey lokalego poziomu aprężeń i przemieszczeń w płaszczyźie dźwigara. 6 Wioski Opracowao model MES układu belka czujik piezoelektryczy. Wykoao obliczeia porówawcze drgań belki z czujikiem piezoelektryczym, przy użyciu modelu aalityczego i opracowaego modelu MES. Obliczoe dwoma metodami wartości częstości drgań własych oraz amplitud drgań wybraych puktów belki są prawie jedakowe, a wyzaczoe apięcia w czujiku piezoelektryczym różią się miej iż 5%. Wika z tego, że model MES badaego układu został poprawie zbudoway. Wyiki symulacji w postaci charakterystyk amplitudowych: przemieszczeń dźwigara kratowego i geerowaego apięcia czujika potwierdzają przydatość przetworików piezoelektryczych w systemie moitorowaia iebezpieczych staów kostrukcji dachowych spowodowaych drgaiami. W przypadku złożoych postaci drgań (p. gięto-skrętych) czujiki piezoelektrycze o kierukowym działaiu mają ograiczoe zastosowaie. Obliczeia MES dźwigara kratowego wymagają weryfikacji doświadczalej, która pozwoli lepiej dopracować model MES systemu belka czujik piezoelektryczy. Badaia takie przewidziae są w dalszej realizacji programu badawczego. Literatura 1. ABAQUS Olie Documetatio: Versio 6.8, Gaudezi P., Carboaro R., Bezi E.; Cotrol of beam vibratios by meas of piezoelectric devices: theory ad experimets, Composite Structures 50 (000) Moitorowaie Stau Techiczego Kostrukcji i Ocea jej Żywotości (MONIT). Projekt współfiasoway ze środków Europejskiego Fuduszu Rozwoju Regioalego w ramach Programu Operacyjego Iowacyja Gospodarka (PO IG 1.) 4. Pietrzakowski M., Experimet o a catilever beam cotrol ad theoretical approximatio, J.of Theoretical ad Applied Mechaics, 3, 40, 00, Li M. W., Abata A. O., Rogers C. A., Applicatio of Commercial Fiite Elemet Codes for the Aalysis of Iduced Strai-Actuated Structures, Joural of Itelliget Material Systems ad Structures, 6, 5, 1994,

9 Symulacja MES pomiaru drgań dźwigara kratowego przy pomocy rozłoŝoych czujików piezoelektryczych Streszczeie W pracy przedstawioo modelowaie i symulację umeryczą drgań dźwigara kratowego z umocowaymi a powierzchiach prętów czujikami piezoelektryczymi, przezaczoymi do moitorowaia drgań dźwigara. W celu walidacji modelu MES, wykoao obliczeia drgań swobodie podpartej belki z czujikiem piezoelektryczym metodą aalityczą i MES. Uzyskao dobrą zgodość porówywaych wyików, co potwierdza poprawość modelu MES badaego układu. Następie, zbudowao uproszczoy model MES dźwigara kratowego. Model te został zastosoway do wyzaczeia charakterystyk dyamiczych przemieszczeń dźwigara oraz apięć geerowaych w czujikach piezoelektryczych. FEM simulatio of distributed piezoelectric sesors applied to truss girder vibratio measuremets Summary I this paper modellig ad umerical simulatios of the truss girder with the piezoelectric sesors mouted o the surface of the girder members are preseted. The sesors are applied to moitorig of the girder vibratio. For validatio a simply supported beam with piezoelectric sesor is calculated usig the FEM ad the aalytical approach. The results achieved by both methods are i a good agreemet ad cofirm the FE model correctess. Afterwards, a simplified FE model of the truss girder was created. The model was used to calculate dyamic characteristics of both the girder displacemets ad the voltage geerated by the sesors. 13