Klasyczny rachunek predykatów
|
|
|
- Władysław Bednarski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski
2 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu KRP należą następujące rodzaje wyrażeń: 1. Zmienne indywiduowe: x, y, z, x 1, x 2,, y 1, y 2,, z 1, z 2, 2. Stałe indywiduowe: a, b, c, a 1, a 2,, b 1, b 2,, c 1, c 2, 3. Stałe predykatywne: P, Q, R, P 1, P 2,, Q 1, Q 2,, R 1, R 2, ; z każdą stałą predykatywną związana jest liczba naturalna zwana jej argumentowością. 4. Funktory zdaniotwórcze:,,,, ~ 5. Kwantyfikatory:, 6. Nawiasy: (,. Symbole, które wprowadzono powyżej nie mają, póki co, żadnego znaczenia. Alfabet definiuje jakie typy znaków mogą być wykorzystywane w KRP. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
3 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka DEF. 1: WYRAŻENIE KRP Wyrażeniem KRP nazywamy każdy skończony ciąg symboli alfabetu KRP. a 1 PQ R - jest zatem wyrażeniem KRP x 1 ((α β (P Q, x 1 - nie jest wyrażeniem KRP (P Q, x 1 p 2 - nie jest wyrażeniem KRP spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
4 Formuła klasycznego rachunku zdań reguły składni języka DEF. 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
5 Formuła klasycznego rachunku zdań reguły składni języka DEF. 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. Formuła atomowa to tyle, co jakaś stała predykatowa, po której następuje dokładnie tyle symboli indywiduowych (zmiennych lub stałych, ile wynosi argumentowość tego predykatu. niech predykat P 18 ma argumentowość n (n to jakaś liczba naturalna t i to jakiś symbol indywiduowy (zmienna lub stała (i to liczba naturalna P 18 jest formułą atomową KRP spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
6 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka DEF. 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. (ii Jeżeli α, β są formułąmi KRP, to (α β, (α β, (α β, (α β i ~α też są formułami KRP. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
7 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka DEF. 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. (ii Jeżeli α, β są formułąmi KRP, to (α β, (α β, (α β, (α β i ~α też są formułami KRP. Warunek (ii wyjaśnia, w jaki sposób zbudować bardziej złożoną formułę z mniej złożonych formuł przy pomocy stałych logicznych. UWAGA: w przypadku funktorów binarnych, formuła złożona zamknięta jest nawiasami, za to negację iterować można bez stosowania nawiasów. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
8 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka DEF. 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane jest zgodnie z następującymi zasadami: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n-elementowego ciągu niekoniecznie różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. (ii Jeżeli α, β są formułąmi KRP, to (α β, (α β, (α β, (α β i ~α też są formułami KRP. (iiijeżeli α jest formułą KRP, a x i zmienną indywiduową, to: x i α x i α też są formułami KRP. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
9 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka DEF 2: FORMUŁA KRP (WYRAŻENIE SENSOWNE KRP Formułą KRP jest każde i tylko takie wyrażenie KRP, które zbudowane kwantyfikatorów. jest zgodnie z następującymi zasadami: Warunek (iii wyjaśnia, w jaki sposób budować formuły KRP z użyciem UWAGA: (i Każde wyrażenie KRP zbudowane z n-argumentowego symbolu predykatywnego i następującego po nim ujętego w nawiasy n- elementowego występować ciągu niekoniecznie w formule α. różnych między sobą zmiennych lub stałych indywiduowych jest formułą KRP (formułą atomową. (ii Jeżeli α, β są xformułąmi 1 P(a 6 KRP, to (α β, - (α β, jest (α formułą β, (α β i ~α też są formułami KRP. (iiijeżeli α jest formułą KRP, a x i zmienną indywiduową, to: x i α x i α też są formułami KRP. kwantyfikować można jedynie zmienne indywiduowe, nigdy stałe; zmienna x i, która występuje pod kwantyfikatorem nie musi wcale a 1 (P(a 1 Q(a 1, x 1 - nie jest formułą KRP spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
10 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 3 Zmienna indywiduowa występuje w formule wtedy i tylko wtedy, gdy jest argumentem pewnej stałej predykatywnej tej formuły α: x ( y P(y, y Q(y, z w α występują zmienne y i z spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
11 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 3 Zmienna indywiduowa występuje w formule wtedy i tylko wtedy, gdy jest argumentem pewnej stałej predykatywnej tej formuły DEF. 4 Zmienną, która występuje bezpośrednio po znaku kwantyfikatora nazywamy zmienną objętą kwantyfikatorem α: x ( y P(y, y Q(y, z w α zmienne x i y są zmiennymi objętymi kwantyfikatorami spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
12 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 3 Zmienna indywiduowa występuje w formule wtedy i tylko wtedy, gdy jest argumentem pewnej stałej predykatywnej tej formuły DEF. 4 Zmienną, która występuje bezpośrednio po znaku kwantyfikatora nazywamy zmienną objętą kwantyfikatorem DEF. 5 Zasięg kwantyfikatora to formuła, która rozpoczyna się bezpośrednio po zmiennej objętej danym kwantyfikatorem zasięg : zasięg : y P((y, y x Q(y, z y P((y, y x Q(y, z spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
13 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 3 Zmienna indywiduowa występuje w formule wtedy i tylko wtedy, gdy jest argumentem pewnej stałej predykatywnej tej formuły DEF. 4 Zmienną, która występuje bezpośrednio po znaku kwantyfikatora nazywamy zmienną objętą kwantyfikatorem DEF. 5 Zasięg kwantyfikatora to formuła, która rozpoczyna się bezpośrednio po zmiennej objętej danym kwantyfikatorem DEF. 6 Zmienna ma w formule wystąpienie związane, jeśli zmienna ta leży w zasięgu kwantyfikatora obejmującego zmienną identycznego kształtu α: y P((y, y x Q(y, z w α zmienna y ma trzy wystąpienia związane spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
14 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 7 Wystąpienie zmiennej, które nie jest związane nazywamy wystąpieniem wolnym β: y P((y, x x Q(y, z w β zmienne x i z mają wystąpienia wolne spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
15 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 7 Wystąpienie zmiennej, które nie jest związane nazywamy wystąpieniem wolnym DEF. 8 Zmienna wolna formuły, to zmienna, która ma w tej formule choć jedno wystąpienie wolne β: y P((y, x x Q(y, z w β zmienne x i z są wolne spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
16 Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka STATUS ZMIENNEJ INDYWIDUOWEJ W FORMULE DEF. 7 Wystąpienie zmiennej, które nie jest związane nazywamy wystąpieniem wolnym DEF. 8 Zmienna wolna formuły, to zmienna, która ma w tej formule choć jedno wystąpienie wolne DEF. 9: ZDANIE KRP Zdaniem KRP nazywamy formułę, która nie zawiera zmiennych wolnych.
17 DEF. 10: model języka KRP Modelem języka KRP nazywamy parę uporządkowaną M = <M, I> M to zbiór obiektów zwany uniwersum modelu lub dziedziną przedmiotową; Niech: M = I to funkcja interpretacji, która nadaje znaczenie stałym indywiduowym i predykatowym języka KRP (i stałe indywiduowe: Jeżeli a i jest stałą indywiduową, to I(a i M Funkcja interpretacji przypisuje każdej stałej indywiduowej języka KRP jakiś obiekt z uniwersum modelu, np.:, I(a10 =, I(a11 =, I(a12 =, spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
18 DEF. 10: model języka KRP Modelem języka KRP nazywamy parę uporządkowaną M = <M, I> M to zbiór obiektów zwany uniwersum modelu lub dziedziną przedmiotową; Niech: M = I to funkcja interpretacji, która nadaje znaczenie stałym indywiduowym i predykatowym języka KRP (i stałe indywiduowe: Jeżeli a i jest stałą indywiduową, to I(a i M (ii stałe predykatowe: Jeżeli P i jest n-argumentowym symbolem predykatywnym, to I(P i M n Dla stałej predykatowej o argumentowości n, interpretacja przyporządkowuje zbiór, którego elementami są n-tki uporządkowane obiektów z uniwersum modelu. [c.d.n.
19 [c.d.1 N-tka uporządkowana przedmiotów, to tyle co ciąg przedmiotów. Zatem, w n-tce uporządkowanej liczy się: (i jakie przedmioty ją stanowią, (ii jaki jest ich porządek (który jest najpierw a który później. N-tki uporządkowane zapisujemy w sposób następujący: <o 1, o 2, o 3, o 4,, o n > Jeśli n=2, to mamy parę uporządkowaną: <o 1, o 2 >. Jeśli n=3, to mamy trójkę uporządkowaną: <o 1, o 2, o 3 >. Jeśli n=4, to mamy czwórkę uporządkowaną: <o 1, o 2, o 3, o 4 >.. Zbiór n-tek uporządkowanych, to zbiór, którego elementami są n-tki uporządkowane. A= <,,, > <,,, > <,,, > A jest trzyelementowym zbiorem czwórek uporządkowanych. spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
20 M = <M, I> M = [c.d. 2 N- argumentowemu predykatowi, na mocy funkcji interpretacji odpowiada zbiór n-tek uporządkowanych obiektów z uniwersum modelu. Niech argumentowość P 11 będzie równa 5 (n=5. Zatem, interpretacja przyporządkowuje P 11 zbiór piątek uporządkowanych (n=5, na przykład taki: I(P 11 = {<,,,, >, <,,,, >, <,,,, >} spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
21 DEF. 11: model języka KRP Modelem języka KRP nazywamy parę uporządkowaną M = <M, I> DEF. 12: wartościowanie zmiennych KRP Wartościowaniem zmiennych indywiduowych KRP jest dowolna funkcja g i, która przyporządkowuje wszystkim zmiennym języka KRP elementy uniwersum modelu. Interpretacja decyduje o tym jakie należy rozumieć stałe języka KRP (stałe indywiduowe i stałe predykatowe. Wartościowanie pozwala mówić o odniesieniu zmiennych indywiduowych do obiektów z uniewersum modelu. g 1 =, g 1 =, g 1 g 2 =, g 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3. UMOWA: Dla stałych indywiduowych g(a = I(a M= spotkanie X-XI: KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW
22 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: Definicja spełniania (podobnie jak podana wcześniej definicja formuły KRP jest definicją indukcyjną (vide prezentacja Definicje i podział logiczny. Zatem, definicja ta składa się z kilku warunków, które określają co oznacza, że jakaś klasa formuł KRP, jest spełniona. Stosując kolejne warunki definicyjne, można określić czy dowolna formuła KRP jest spełniona w modelu przy określonym wartościowaniu. Sprawdzając czy formuła α jest spełniona, czy też nie, posuwamy się metodą analityczną: rozbijamy α na coraz prostsze elementy, tak by na końcu uzyskać konstrukt, w którym rozstrzyga się, czy spełnione są jakieś formuły atomowe, z których zbudowana jest α. Zatem, najbardziej pierwotnym przypadkiem spełniania jest przypadek formuły atomowej.
23 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. Jeżeli P m jest formułą atomową, to M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m
24 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. Jeżeli P m jest formułą atomową, to M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m P m to jakaś stała predykatowa, zaś t 1 są ciągiem stałych lub zmiennych indywiduowych; <g i,, g i > to n-tka uporządkowana obiektów z dziedziny przedmiotowej modelu M; [c.d.n. I(P m to zbiór, który na mocy funkcji interpretacji odpowiada predykatowi P m
25 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. Jeżeli P m jest formułą atomową, to M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m [c.d. Zatem, gdy n jest liczbą wyrażającą argumentowość predykatu, spełnianie w przypadku formuły atomowej, oznacza, że n-tka uporządkowana obiektów z dziedziny przedmiotowej modelu jest elementem zbioru, który interpretacja przyporządkowuje występującemu w tej formule predykatowi.
26 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. Jeżeli P m jest formułą atomową, to M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m [c.d. Zatem, gdy n jest liczbą wyrażającą argumentowość predykatu, spełnianie w przypadku formuły atomowej, oznacza, że n-tka uporządkowana obiektów z dziedziny przedmiotowej modelu jest elementem zbioru, który interpretacja przyporządkowuje występującemu w tej formule predykatowi. Co to za obiekty? Na to pytanie odpowiedź znajdzie się, gdy zastosować funkcję wartościowania przy której badamy spełnianie do symboli indywiduowych, które występują w badanej formule atomowej.
27 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i Analogia z warunkami prawdziwości dla funktorów: v(p q = 1 wtw v(p = 1 oraz v(q = 1
28 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ M α β [g i wtw M α β [g i wtw M oraz M β [g i M lub M β [g i Analogia z warunkami prawdziwości dla funktorów: v(p q = 1 wtw v(p = 1 lub v(q = 1
29 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i Analogia z warunkami prawdziwości dla funktorów: v(p q = 1 wtw v(p = 0, lub v(q = 1 (v(p = 0, to tyle co v(p 1
30 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i Analogia z warunkami prawdziwości dla funktorów: v(p q = 1 wtw albo v(p = 1 oraz v(q = 1, albo v(p = 0 oraz v(q = 0
31 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i M wtw M Analogia z warunkami prawdziwości dla funktorów: v( p = 1 wtw v(p = 0 (v(p = 0, to tyle co v(p 1
32 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
33 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m Intuicja: Formuła poprzedzona małym kwantyfikatorem jest spełniona w modelu, gdy w dziedzinie przedmiotowej znajdzie się choć jeden obiekt, 2. Jeżeli α, β są który formułami gdy podstawi KRP, się to go do zmiennej związanej kwantyfikatorem, sprawia, że formuła jest spełniona. [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i [ M α Zatem: β [g i w przypadku wtw zmiennej M α związanej [g i lub przez Mmały β [g kwantyfikator, i dla [ M α spełniania β[g i nie jest wtwistotne albo jaki obiekt M α przypisuje [g i, albo tej Mzmiennej β [g i zadane wartościowanie g [ M α β [g i wtw i ; by α było spełnione w modelu, wystarczy, że istnieje albo M i M β [g i, jakieś wartościowanie g j, które przypisuje zmiennej odpowiedni obiekt. albo M i M β [g i [c.d.n. [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
34 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to M= [ [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
35 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 g M, 2 =, g 2 =, g 2 M= wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami istnieje g j, KRP, że M to P,x [g (g /g j [ [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i M α [g Wiem i wtw to na podstawie M α [g punktu i 3[ definicji spełniania. 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ To wartościowanie g 3 i ale przerobione tak, że ilekroć jako argument pojawia się zmienna x 1, zamiast g 3, bierzemy g j M x n wtw dla każdego g j, M
36 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to,x [g (g /g 3 3 j wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P [ M α β [g i Przerobione wtw M oraz M β [g i wartościowanie [ M α β [g i gwtw 3 i M lub argumenty M β [gprzerobionego i wartościowania g [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i 3 i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Wiem to na podstawie albo Mwcześniejszego i M β kroku [g i dowodowego, oraz punktu 1 definicji spełniania. [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M M=
37 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to 1,x 3 [g 3 /g 3 wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P wtw [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, g 3 M 3 > α I(P [g i oraz M β [g i [ M α β [g i wtw M lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β Wiem [g i to, bo wtw albo M i M β [g i, (i g 3 albo 1 /g 3 M 1 α 1 [g = i g j i M 1, oraz β [g i [ M wtw (ii g 3 M 1 /g 3 α 1 [g i 3 = g 3 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M M=
38 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to j wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P wtw [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, g 3 M 3 > α I(P [g i wtw oraz M β [g i [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, > M I(P. lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Wiem to na podstawie albo Mpoprzedniego i M kroku β [g i dowodowego, [ M α [g oraz i wtw tego, że gm 3 = α [g i 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M M=
39 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to j wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P wtw [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, g 3 M 3 > α I(P [g i wtw oraz M β [g i [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, > M I(P. lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β Teraz, [g i by odpowiedzieć wtw na albo pytanie, M α czy [gformuła i i M jest β [gspełniona, i, trzeba rozstrzygnąć, czy albo istnieje M α takie [g i wartościowanie i M β [g i g j i, że para uporządkowana <g [ M j wtw 1, > należy do I(P. M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M= M x n wtw dla każdego g j, M
40 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to 1,x 3 [g 3 /g 3 wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P wtw [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, g 3 M 3 > α I(P [g i wtw oraz M β [g i [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, > M I(P. lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Oczywiście, takim albo wartościowaniem M i M jest β np. [g i g 1 i, [ M α [g bo i <g wtw 1, > M= <, α >, [g i zaś <, > I(P. 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M= M x n wtw dla każdego g j, M
41 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(P <M, = I> {<, spełnia >} formułę α przy wartościowaniu g i, g 1 =, g 1 =, g 1 M, g 2 =, g 2 =, g 2 wtedy i tylko g 3 wtedy, 1 =, gdy: g 3 =, g 3 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 1 P, x 3 [g 3 wtw wtw istnieje g 2. Jeżeli α, β są formułami j, że M P KRP, to j wtw wtw istnieje g j, <g 3 /g 3, g 3 /g 3 > I(P wtw [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, g 3 M 3 > α I(P [g i wtw oraz M β [g i [ M α wtw β [gistnieje i g j, wtw <g j, > M I(P. lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Zatem, model Malbo spełnia M formułę i M x 1 P β 1,x [g 3 i przy wartościowaniu g 3! [ M wtw M SPEŁNIA! 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M M=
42 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, M, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m Intuicja: Formuła poprzedzona dużym kwantyfikatorem jest spełniona w 2. Jeżeli α, β są modelu, formułami gdy KRP, każdy obiekt to z dziedziny przedmiotowej modelu podstawiony za zmienną objętą kwantyfikacją sprawia, że formuła jest spełniona. [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i [ M α Zatem: β [g i w przypadku wtw zmiennej M α związanej [g i lub przez Mduży β [g kwantyfikator, i dla spełniania formuły nie wystarczy, że jest ona spełniona przy podstawieniu [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i za zmienną obiektu, który przypisuje jej zadane wartościowanie; formuła ta [ M α β musi [g i być spełniona wtw przy albo każdym M wartościowaniu. i M β [g i, [c.d.n. albo M i M β [g i [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
43 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i [ M α β [g i wtw M lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
44 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P 3 1 j [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i [ M α β [g i wtw M lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Wiem to na podstawie albo Mpunktu 3[ i Mdefinicji β [g i spełniania [ M wtw M To wartościowanie g 1 i ale przerobione tak, że ilekroć jako argument pojawia się zmienna x 1, zamiast g 1, bierzemy g j 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
45 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P, x [g (g /g 3 1 j wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q Przerobione [ M α β [gwartościowanie i wtw M lub M β [g i argumenty przerobionego [ M α β[g i gwtw 1 i albo M, albo wartościowania M β [g i g 1 i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Wiem to na podstawie poprzedniego kroku dowodu, oraz punktu 1 definicji albo M i M β [g i spełniania [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
46 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P 3 1 j wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g j M 1, g 1 α 3 > I(Q [g i lub M β [g i [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β Wiem [g i to, bo wtw albo M i M β [g i, (i g 1 albo 1 /g 1 M 1 α 1 [g = i g j i M 1, oraz β [g i (ii g [ M wtw 1 M 1 /g 1 α 1 [g i 3 = g 1 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
47 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P 3 1 j wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g j M 1, g 1 α 3 > I(Q wtw [g i lub M β [g i wtw dla każdego g j, <g j, > I(Q [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Wiem, to na podstawie albo M poprzedniego i M kroku β [g i dowodu, oraz tego, że g 1 = [ M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
48 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P 3 1 j wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g j M 1, g 1 α 3 > I(Q wtw [g i lub M β [g i wtw dla każdego g j, <g j, > I(Q [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β Teraz, [g i by odpowiedzieć wtw albo na pytanie, M α [g czy i i formuła M β [g jest i, spełniona w modelu, należy rozstrzygnąć, albo Mczy jest α [gtak, i i Mże przy β [g dowolnym i wartościowaniu g j, [ M α [g <g i j wtw 1, > należy M do α I(Q, [g i czy też nie. 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
49 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P 3 1 j wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g j M 1, g 1 α 3 > I(Q wtw [g i lub M β [g i wtw dla każdego g j, <g j, > I(Q [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Oczywiście, odpowiedź albo M jest α [g negatywna, i i M β bo [g i jeśli za g j i podstawimy g 3 i, to [ M α [g <g i 3 wtw 1, > = <, M >, α [g zaś i <, > I(Q. 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
50 DEF. [c.d. 13: spełnianie Niech: w KRP Model M = I(Q <M, = I> {<, spełnia >, formułę <, >, α <, przy wartościowaniu >, <, >, <, >, g i, <, >, <, >, <, >, <, >} g 1 =, g 1 =, g 1 = M,, g wtedy i tylko 2 wtedy, 1 =, g gdy: 2 =, g 2 g 3 =, g 3 =, g 3 M= 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m NIE SPEŁNIA! M x 2 P, x 3 [g 1 wtw 2. Jeżeli α, β są wtw formułami dla każdego KRP, g j, Mto P, x [g (g /g 3 1 j wtw wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g 1 (g M j /g α 1 [g 1 i oraz 1, g 1 M 1 /g 1 β 1 [g i 3 > I(Q wtw dla każdego g [ M α β [g i wtw j, <g j M 1, g 1 α 3 > I(Q wtw [g i lub M β [g i wtw dla każdego g j, <g j, > I(Q [ M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i [ M α β [g i wtw albo M i M β [g i, Zatem, model albo M nie Mspełnia formuły i M β x [g i 2 P, x 3! [ M α [g bo i <g wtw 3, > M= <, α >, [g i zaś <, > I(Q. 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
51 DEF. 13: spełnianie w KRP Model M = <M, I> spełnia formułę α przy wartościowaniu g i, wtedy i tylko wtedy, gdy: M, 1. α = P m : M P m [g i wtw <g i,, g i > I(P m 2. Jeżeli α, β są formułami KRP, to [ [ [ [ [ M α β [g i wtw M oraz M β [g i M α β [g i wtw M lub M β [g i M α β[g i wtw albo M, albo M β [g i M α β [g i wtw albo M i M β [g i, albo M i M β [g i M wtw M 3. Jeśli α jest formułą KRP, przed którą stoi kwantyfikator: [ M x n wtw istnieje takie g j, że M [ M x n wtw dla każdego g j, M
52 DEF. 14: tautologia KRP Tautologią KRP nazywamy formułę α, która jest spełniona w każdym modelu. α
53 DO ĆWICZEŃ!
Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź
Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut
Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,
Adam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Kultura logicznego myślenia
Kultura logicznego myślenia rok akademicki 2015/2016 semestr zimowy Temat 6: Rachunek predykatów jako logika pierwszego rzędu logika elementarna = logika pierwszego rzędu KRZ logika zerowego rzędu Język
vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 29 III 2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór
Semantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe
Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda
Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja
Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do
Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie
Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych
Klasyczny rachunek zdań 1/2
Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe
Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów
Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Elementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Matematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Drobinka semantyki KRP
Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp
Logika Radosna 5. Jerzy Pogonowski. KRP: tablice analityczne. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Radosna 5 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl KRP: tablice analityczne Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 5 KRP: tablice analityczne 1 / 111 Wprowadzenie
Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior
Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria
Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Metoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Predykatów I KRZ jest teorią stanowiącą wstępną część logiki formalnej, część zakładaną przez inne teorie. Przypomnijmy, jest on teorią związków logicznych między zdaniami
Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Logika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Uzgadnianie formuł rachunku predykatów
Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie
Logika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów
Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a
Problem. Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Instancja wyrażenia. Podstawienie termu za zmienną. Joanna Józefowska
Problem Instytut Informatyki jedzenie(x 1 ) lubi(adam, x 1 ) jedzenie(jabłko) jedzenie(kurczak) je(x 1, x 2 ) żyje(x 1 ) jedzenie(x 2 ) je(bogdan, orzeszki) żyje(bogdan) je(bogdan, x 2 ) je(zuzia, x 2
Logika Matematyczna 16 17
Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24
Rachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek
Rachunki relacji Rachunki relacji 1. RRK Relacyjny Rachunek Krotek 2. RRD Relacyjny Rachunek Dziedzin 3. Datalog Database Prolog Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski T. Pankowski, Rachunki
Internet Semantyczny i Logika I
Internet Semantyczny i Logika I Warstwy Internetu Semantycznego Dowód Zaufanie Logika OWL, Ontologie Podpis cyfrowy RDF, schematy RDF XML, schematy XML przestrzenie nazw URI Po co nam logika? Potrzebujemy
Logika matematyczna (16) (JiNoI I)
Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Paradygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna
JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Schematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań 1 Wprowadzenie Na tym wykładzie przyjmuję terminologię i
Logika dla informatyków
Logika dla informatyków Notatki do wykładów 21 kwietnia 2002 Niniejszy dokument zawiera listę najważniejszych definicji i twierdzeń omawianych na wykładzie z Logiki dla Informatyków i określa zakres materiału,
Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Problematyka sztucznej inteligencji
Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW
16. PODSTAWOWE POJĘCIA LOGIKI KWANTYFIKATORÓW 16.1. Cele zrozumienie, w jakim sensie logika kwantyfikatorów jest poszerzeniem logiki zdań umiejętność symbolizacji prostych zdań indywiduowych i skwantyfikowanych
Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja
Logika dla archeologów Część 5: Zaprzeczenie i negacja Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zaprzeczenie 2 Negacja 3 Negacja w logice Sprzeczne grupy
Definicja obiektowego modelu danych: struktura i zachowanie
Definicja obiektowego modelu danych: struktura i zachowanie Podziękowania Dla Grzegorza Enzo Dołęgowskiego za wpisanie moich notatek do komputera. Relacyjna baza danych (przypomnienie) Pojęcia pierwotne
ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
1. Klasyczny Rachunek Zdań
Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 1 1. Klasyczny Rachunek Zdań Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest prawdziwe lub fałszywe. Prawdę i fałsz nazywamy wartościami logicznymi.
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki rok akademicki 2007/2008 Wykłady 9 i 10a. Wybrane modalne rachunki zdań. Ujęcie aksjomatyczne 1 Język aletycznych modalnych
RACHUNEK PREDYKATÓW 7
PODSTAWOWE WŁASNOŚCI METAMATEMATYCZNE KRP Oczywiście systemy dedukcyjne dla KRP budowane są w taki sposób, żeby wszystkie ich twierdzenia były tautologiami; można więc pokazać, że dla KRP zachodzi: A A
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. I Wprowadzenie do Klasycznego Rachunku Zdań Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? Co znaczą i co oznaczają?
Trzy razy o indukcji
Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać