Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
|
|
- Ewa Małecka
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna Procedura decyzyjna 2 Reguły α i β Podstawowe pojęcia Reguły α Reguły β 3 - algorytm Algorytm MTS Tabela semantyczna a spełnialność Problem spełnialności Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji Zdefiniowaliśmy pewien język formalny: rachunek zdań. A właściwie po co? Sherlock Holmes stosował metodę dedukcji bez specjalnych formalizmów. A komputer? Jednym z zastosowań języków programowania w logice jest automatyczne wnioskowanie (sztuczna inteligencja). Wnioskowanie odbywa się na ogół na podstawie pewnych przesłanek, założeń. Np.: Pan Brown leżał koło biurka i trzymał pistolet w prawej ręce. To sugeruje, że został zamordowany, ponieważ był mańkutem i z pewnością sam strzelałby lewą ręką. Ktoś go zastrzelił, a potem włożył mu pistolet do ręki. Definicja Niech U będzie zbiorem formuł, A zaś formułą. Jeśli w każdym modelu U wartością A jest 1, to A nazywamy konsekwencją logiczną U, co zapisujemy U = A. Jesli zbiór U jest pusty, to pojęcie konsekwencji logicznej jest tożsame z pojęciem prawdziwości ( = A). Przykład Niech U = {p q, p} i A = {p q} Interpretacja v(p) = 1, v(q) = 1 jest jedynym modelem U. v(a) = 1, a zatem A jest logiczną konsekwencją U.
2 Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Własności logicznej konsekwencji Teoria Twierdzenie Niech U = {A 1, A 2,..., A n }. Wtedy U = A wtw, gdy = (A 1... A n A). Twierdzenie Jeśli U = A, to dla dowolnej formuły B zachodzi U {B} = A. Twierdzenie Jeśli U = A, B zaś jest formułą prawdziwą, to U \ {B} = A. Definicja Zbiór formuł T nazywamy teorią wtw, gdy jest on zamknięty ze względu na konsekwencje logiczne. Zbiór T jest zamknięty ze względu na konsekwencje logiczne wtw, gdy dla wszystkich formuł A zachodzi zależność: jeśli T = A, to A T. Elementy zbioru T nazywamy twierdzeniami. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Teoria aksjomatyzowalna Przykład Definicja Niech U będzie zbiorem formuł. T (U) = {A U = A} nazywamy teorią zbioru formuł U. Formuły ze zbioru U nazywamy aksjomatami, a o teorii T (U) mówimy, że jest aksjomatyzowalna. Teoria Niech U = {p q, p}. T = {p q, p, q, p q, p q, p q...}
3 Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Jeszcze raz Sherlock Holmes Procedura decyzyjna Dedukcja Czy fakt, że pan Brown został zamordowany jest logiczną konsekwencją faktów, że był mańkutem i trzymał pistolet w prawej ręce? Jak ustalić, że formuła jest elementem pewnego zbioru formuł (np. teorii)? Dedukcja i nie tylko. Definicja Niech U będzie zbiorem formuł. Procedurą decyzyjną dla zbioru U nazywamy algorytm, który dla dowolnej formuły A F kończy działanie oraz udziela odpowiedzi TAK, jeśli A U, a odpowiedzi NIE, jeśli A U. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Przykład Podstawowe pojęcia Czy formuła A = p p należy do zbioru formuł spełnialnych? Można zastosować metodę tablic logicznych. p p p Formuła A nie należy do zbioru formuł spełnialnych. Dopełnienie, komplementarność Literał: atom oraz negacja atomu (pozytywny, negatywny). (p, p): para literałów komplementarnych. (A, A): para formuł komplementarnych. A jest dopełnieniem formuły A, a A jest dopełnieniem formuły A. Zbiór jest spełnialny, gdy nie zawiera pary literałów komplementarnych.
4 Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Na zdrowy rozum Jak z tego zrobić algorytm? Korzystając z faktu, że v(a) = 0 wtw v( A) = 1 zapiszmy nasze rozumowanie tak, żeby usunąć wartość zero. Czy formuła A = (((p q) p) p) jest spełnialna? Szukamy modelu formuły A. Kiedy v( (((p q) p) p)) = 1? v((p q) p) = 1 i v(p) = 0 v(p q) = 0 i v(p) = 0 lub v(p) = 1 i v(p) = 0 v(p) = 1 i v(q) = 0 i v(p) = 0 A 1 A 2 A 1 A 2 (A 1 A 2 ) Formuła A jest niespełnialna. v( (((p q) p) p)) = 1 v((p q) p) = 1 i v(p) = 0 v(p q) = 0 i v(p) = 0 lub v(p) = 1 i v(p) = 0 v(p) = 1 i v(q) = 0 i v(p) = 0 v( (((p q) p) p)) = 1 v((p q) p) = 1 i v( p) = 1 v( (p q)) = 1 i v( p) = 1 lub v(p) = 1 i v( p) = 1 v(p) = 1 i v( q) = 1 i v( p) = 1 (((p q) p) p) (p q) p i p (p q) i p lub p i p p i q i p Teraz możemy opuścić funkcję interpretacji, a zachować tylko postać formuły, która ma być spełniona. Zatem rozwijamy drzewo tak długo, aż w liściach mamy tylko atomy. Para literałów komplemetarnych w liściu wskazuje, że w tej ścieżce nie ma Joanna modelu Józefowska formuły A. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Obserwacja Warunek postaci v(a 1 ) = x i v(a 2 ) = y, x, y {0, 1} A A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 Zauważmy, że dla każdej formuły postaci A 1 opa 2 możemy podać warunek spełnialności w jednej z następujących postaci: v(a 1 ) = 1 i v(a 2 ) = 1 v(a 1 ) = 1 i v( A 2 ) = 1 v( A 1 ) = 1 i v(a 2 ) = 1 v( A 1 ) = 1 i v( A 2 ) = 1 v(a 1 ) = 1 lub v(a 2 ) = 1 v(a 1 ) = 1 lub v( A 2 ) = 1 v( A 1 ) = 1 lub v(a 2 ) = 1 v( A 1 ) = 1 lub v( A 2 ) = 1 A A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A A (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 )
5 Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Reguły α Warunek postaci v(a 1 ) = x lub v(a 2 ) = y, x, y {0, 1} α α 1 α 2 A 1 A 1 A 1 A 2 A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 2 A 1 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 A 2 A 1 A A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 1 A A (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) (A 1 A 2 ) Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Reguły β Co to jest metoda tabel semantycznych? β β 1 β 2 (B 1 B 2 ) B 1 B 2 B 1 B 2 B 1 B 2 B 1 B 2 B 1 B 2 B 1 B 2 B 1 B 2 (B 1 B 2 ) B 1 B 2 (B 1 B 2 ) (B 1 B 2 ) (B 2 B 1 ) B 1 B 2 (B 1 B 2 ) (B 2 B 1 ) Algorytm do badania spełnialności (prawdziwości) formuł rachunku zdań. Polega na systematycznym poszukiwaniu modelu. Wykorzystuje reguły α i β. Reguła α definiuje jedną ścieżkę: wszystkie powstające formuły muszą być spełnione równocześnie. Reguła β definiuje dwie ścieżki, z których każdą trzeba sprawdzić oddzielnie. W ten sposób powstaje drzewo przeszukiwania.
6 Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Algorytm konstrukcji tabeli semantycznej Algorytm c.d. Tabela semantyczna T dla formuły A jest drzewem, którego każdy wierzchołek n zawiera zbiór formuł U(n). Początkowo T składa się z pojedynczego wierzchołka (korzenia) zawierającego zbiór jednoelementowy {A}. A = [(p q) ( p q)] n { [(p q) ( p q)]} Tworzenie tabeli semantycznej przebiega iteracyjnie przez wybór nieoznakowanego liścia n, zawierającego U(n) i wykonanie jednego z następujących kroków algorytmu. Jeżeli U(n) nie jest zbiorem literałów, to wybierz dowolną formułę A z tego zbioru, niebędącą literałem. Jeśli A jest typu α, to utwórz nowy wierzchołek n, będący potomkiem wierzchołka n i umieść w nim U(n ) = ((U(n) {A}) {α 1, α 2 }). (Jeśli formuła A jest postaci (A 1 ), to nie ma formuły α 2.) Formuła typu α [(p q) ( p q)] n n {(p q), ( p q)} Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Algorytm c.d. Algorytm c.d. {(p q), ( p q)} Jeśli A jest typu β, utwórz dwa nowe wierzchołki n oraz n jako następniki wierzchołka n. W wierzchołku n umieść U(n ) = (U(n) {A}) {β 1 }, a w wierzchołku n umieść U(n ) = (U(n) {A}) {β 2 }. Formuła typu β {(p q), ( p q)} n n n { p, ( p q)} {q, ( p q)} Jeżeli U(n) (zbiór formuł w wierzcholku n) jest zbiorem literałów, to sprawdź, czy zawiera on parę literałów komplementarnych. Jeżeli tak, to oznakuj go jako domknięty, jeżeli nie, to oznakuj go jako otwarty. n n n { p, p, q} {q, p, q}
7 Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Domknięta i otwarta tabela semantyczna MTS jako procedura decyzyjna Tabele semantyczna, której tworzenie zakończono (w liściach są tylko literały) nazywamy zakończoną. Tabelę zakończoną nazywamy domkniętą, jeśli wszystkie liście są oznakowane jako domknięte. Jeżeli istnieje liść otwarty, to tabelę nazywamy otwartą. Algorytm tworzenia tabeli semantycznej zatrzymuje się. Formuła A jest niespełnialna wtw, gdy zakończona tabela T dla formuły A jest domknięta. Formuła A jest spełnialna wtw, gdy T jest otwarta. Formuła A jest prawdziwa wtw tabela semantyczna dla formuły A jest domknięta. jest procedurą decyzyjną rozstrzygającą prawdziwość formuł rachunku zdań. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm - Przykład Problem spełnialności { [(p q) ( p q)]} α(4) {p q, ( p q)} { p, ( p q)} β(3) α(3) α(3) {q, ( p q)} Sformułowanie Problem spełnialności to pytanie: Czy dla danej formuły rachunku zdań istnieje model? Odpowiedź NIE jest równoważna odpowiedzi TAK na pytanie: Czy negacja tej formuły jest formułą prawdziwą? { p, p, q} α(1) α(1) {q, p, q} { p, p, q} {q, p, q}
8 Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Złożoność obliczeniowa problemu spełnialności Przykładowe zadania Dla formuły zawierającej n zmiennych tablica logiczna ma 2 n wierszy. Można wykazać (Cook, 1971), że problem spełnialności w rachunku zdań jest NP-zupełny. nie spowoduje zmniejszenia złożoności w najgorszym wypadku, ale średnio zachowuje się lepiej niż tablice logiczne. 1 Wykazać równoważność logiczną formuł rachunku zdań metodą tabel semantycznych: Zbudować odpowiednią formułę za pomocą operatora równoważności. Zanegować otrzymaną formułę. Zastosować metodę tabel semantycznych w celu wykazania, że zanegowana formuła jest niespełnialna. 2 Znaleźć model formuły (może się zdarzyć, że modelu nie będzie wtedy trzeba to wykazać!).
Metoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,
1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria
Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory
Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Semantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Rachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Adam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Logika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Modele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda
Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Automatyczne planowanie oparte na sprawdzaniu spełnialności
Automatyczne planowanie oparte na sprawdzaniu spełnialności Linh Anh Nguyen Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Linh Anh Nguyen Algorytm planowania SatPlan 1 Problem planowania sufit nie malowany?
Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior
Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy
Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Gramatyki bezkontekstowe I Gramatyką bezkontekstową
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Paradygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w
RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Definicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Logika rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza Wprowadzenie
Poprawność semantyczna
Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych
1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist
Lista 6 Problemy NP-zupełne
1 Wprowadzenie Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Teoretyczne Podstawy Informatyki Lista 6 Problemy NP-zupełne Problem abstrakcyjny Q jest to relacja dwuargumentowa
Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Logika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Konsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Elementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Klasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych
Elementy logiki: Algebra Boole a i układy logiczne 1 Elementy logiki dla informatyków Wykład III Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych Elementy logiki: Algebra Boole a
Drzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy
Wykład 2. Drzewa zbalansowane AVL i 2-3-4
Wykład Drzewa zbalansowane AVL i -3-4 Drzewa AVL Wprowadzenie Drzewa AVL Definicja drzewa AVL Operacje wstawiania i usuwania Złożoność obliczeniowa Drzewa -3-4 Definicja drzewa -3-4 Operacje wstawiania
Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Dowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Alfred N. Whitehead
Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist - 1956 Automatyczne
Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Metoda tabel analitycznych dla Klasycznego Rachunku Zdań 1 Wprowadzenie Na tym wykładzie przyjmuję terminologię i
Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY
Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.
Obliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Reprezentacja wiedzy ontologie, logiki deskrypcyjne
Reprezentacja wiedzy ontologie, logiki deskrypcyjne Agnieszka Ławrynowicz 24 listopada 2016 Plan wykładu 1 Powtórka: sieci semantyczne, RDF 2 Definicja ontologii 3 Logiki deskrypcyjne Semantyczny Internet
ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Początki informatyki teoretycznej. Paweł Cieśla
Początki informatyki teoretycznej Paweł Cieśla Wstęp Przykładowe zastosowanie dzisiejszych komputerów: edytowanie tekstów, dźwięku, grafiki odbiór telewizji gromadzenie informacji komunikacja Komputery
Dedukcyjne bazy danych i rekursja
Dedukcyjne bazy danych i rekursja Wykład z baz danych dla studentów matematyki 27 maja 2017 Bazy danych z perspektywy logiki Spojrzenie na bazy danych oczami logika pozwala jednolicie opisać szereg pojęć.
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Internet Semantyczny. Logika opisowa
Internet Semantyczny Logika opisowa Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
prowadzący dr ADRIAN HORZYK /~horzyk e-mail: horzyk@agh tel.: 012-617 Konsultacje paw. D-13/325
PODSTAWY INFORMATYKI WYKŁAD 8. prowadzący dr ADRIAN HORZYK http://home home.agh.edu.pl/~ /~horzyk e-mail: horzyk@agh agh.edu.pl tel.: 012-617 617-4319 Konsultacje paw. D-13/325 DRZEWA Drzewa to rodzaj
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a
Technologie baz danych
Plan wykładu Technologie baz danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. SQL - podstawy Definicja zależności funkcyjnych Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów
Obliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Modele obliczeń Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 05/10/2016 1 / 33 1 2 3 4 5 6 2 / 33 Co to znaczy obliczać? Co to znaczy obliczać? Deterministyczna maszyna Turinga
Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany
Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN
vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Metody Programowania
POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.
Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Rachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Logiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk
Logiki modalne notatki z seminarium Piotr Polesiuk 1 Motywacja i historia Logika modalna rozszerza logikę klasyczną o modalności takie jak φ jest możliwe, φ jest konieczne, zawsze φ, itp. i jak wiele innych
Uzgadnianie formuł rachunku predykatów
Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie
Czyli o budowie drzew semantycznych.
Czyli o budowie drzew semantycznych ZAŁÓŻMY Jednego z Was porwał okrutny PRL. W ramach okupu żąda, by obecni na sali udowodnili, że podane przez nich formuły są zawsze prawdziwe. Zaczynają zupełnie niewinnie
Porządek symetryczny: right(x)
Porządek symetryczny: x lef t(x) right(x) Własność drzewa BST: W drzewach BST mamy porządek symetryczny. Dla każdego węzła x spełniony jest warunek: jeżeli węzeł y leży w lewym poddrzewie x, to key(y)
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach
Algebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Języki programowania zasady ich tworzenia
Strona 1 z 18 Języki programowania zasady ich tworzenia Definicja 5 Językami formalnymi nazywamy każdy system, w którym stosując dobrze określone reguły należące do ustalonego zbioru, możemy uzyskać wszystkie
Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
LOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów