1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria

Transkrypt

1 Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory symboli podstawowych W rachunku predykatów oprócz symboli podstawowych wyróżniamy... oraz Termem nazywamy Atom, literał, klauzula to Zmienną nazywamy zmienną wolną gdy Zmienną nazywamy zmienną związaną gdy Formułę nazywamy formułą zamkniętą gdy nie zawiera zmiennych Domknięcie uniwersalne lub egzystencjalne pozwala usunąć z formuły zmienne Zadania 1. Zakładając, że p jest symbolem predykatywnym, zbuduj najprostszą formułę. 2. Czy wyrażenie x p(a) jest formułą? 3. Czy wyrażenie x p(x) zawiera zmienne wolne? 4. Wskaż zmienne wolne w formule: x p(x, y) p(a). 5. Domknij uniwersalnie formułę: x p(x, y) p(z).

2 Logika obliczeniowa - zadania 2 SEMANTYKA 2. Semantyka 2.1. Teoria 1. Formuła rachunku predykatów jest spełniona gdy Formuła rachunku predykatów nie jest spełniona gdy Predykat to... i ma on swój odpowiednik w matematyce w postaci Relacja n-argumentowa na zbiorze S to... i można ją reprezentować za pomocą Interpretacja I to Wartościowanie σ I to Do wyznaczenia wartości termu, atomu, formuły złożonej wykorzystujemy funkcję Formuła F = x A przyjmuje wartość logiczną 1 gdy Formuła F = x A przyjmuje wartość logiczną 1 gdy Modelem formuły zamkniętej A nazywamy... w której formuła jest... i oznaczamy to I = A. 11. Formuła zamknieta jest spełnialna gdy Formuła zamknieta jest prawdziwa gdy... i oznaczamy to = A Zadania 1. Dla formuły F = q(f(a, x), y) podaj przykład: interpretacji I, wartościowania σ I. 2. Sprawdź, czy formuła F = x y p(x, y) jest spełnialna.

3 Logika obliczeniowa - zadania 3 METODA TABLIC SEMANTYCZNYCH 3. Metoda Tablic Semantycznych 3.1. Teoria 1. Dane są formuły zamknięte A 1 i A 2. A 1 jest logicznie równoważna A 2 (A 1 A 2 ) gdy Dany jest zbiór formuł U oraz formuła A. A jest konsekwencją logiczną U (U = A) gdy Gdy zbiór formuł U jest pusty to pojęcie konsekwencji logicznej jest tożsame z pojęciem... ( = A). 4. Uzupełnij treść twierdzeń:... wtw. gdy = A 1 A 2 Niech U = {A 1,..., A n }.... wtw. gdy = (A 1... A n ) A 5. Para literałów komplementarnych to Para formuł komplementarnych to Dopełnienie formuły A to Zbiór jest spełnialny gdy Metoda tablic semantycznych poszukuje systematycznie... i wykorzystuje reguły Węzeł drzewa zawiera... i Korzeń drzewa zawiera... i Jeżeli formuła w korzeniu drzewa nie zawiera stałych to Liść oznaczamy jako domknięty ( ) gdy Liść oznaczamy jako otwarty ( ) gdy Tablicę zakończoną nazywamy domkniętą gdy Tablicę zakończoną nazywamy otwartą gdy Gdy gałąź jest nieskończona tablicę oznaczamy jako Formuła jest niespełnialna gry tablica jest Formuła jest spełnialna gdy tablica jest Zadania 1. Liść {p(a), p(b), p(a)} jest otwarty/domkniety. 2. Liść {p(a), p(b), p(c)} jest otwarty/domkniety. 3. Niech F będzie pewną formułą rachunku predykatów. Określ prawdziwość zdania: Jeżeli tablica semantyczna dla formuły F zawiera wyłącznie liście otwarte, to formuła F jest prawdziwa. 4. Wykorzystując MTS zbadaj spełnialność formuły F = p(a) (q(b) p(a)). 5. Zbadaj spełnialność formuły F = x( yq(y) q(x)). 6. Zbadaj spełnialność formuły F = x yp(x, y) (model przeliczalny, nieskończony). 7. Zbadaj prawdziwość formuły F = x(p(x) q(x)) ( xp(x) xq(x)). 8. W metodzie tabel semantycznych zdarzają się etapy, kiedy można wybrać jedną z kilku formuł, dla której zastosujemy regułę. Czy inna kolejność wyboru może doprowadzić do innego wyniku w terminach spełnialna-niespełnialna?

4 Logika obliczeniowa - zadania 3 METODA TABLIC SEMANTYCZNYCH 3.3. Przykład 1. Wykorzystując metodę tablic semantycznych zbadaj czy zdefiniowana poniżej formuła F jest prawdziwa. Podkreślaj formułę przekształcaną w każdym kroku. Dopuszczalne jest usuwanie podwójnej negacji w locie. Nie wolno przekształcać formuł korzystając z tożsamości logicznych. Kontynuuj obliczenia do uzyskania wszystkich liści. F = (p(a) x q(x)) x (p(x) q(x)) { [(p(a) x q(x)) x (p(x) q(x))]}, {a} {(p(a) x q(x)), x (p(x) q(x))}, {a} {p(a), x q(x), x (p(x) q(x))}, {a} {p(a), x q(x), (p(b) q(b))}, {a, b} {p(a), x q(x), q(a), q(b), (p(b) q(b))}, {a, b} {p(a), x q(x), q(a), q(b), p(b)}, {a, b} {p(a), x q(x), q(a), q(b), q(b)}, {a, b} Odpowiedź: Zanegowana formuła jest spełnialna, oryginalna formuła nie jest prawdziwa. α α 1 α 2 β β 1 β 2 A 1 A 1 A 1 A 2 A 1 A 2 (B 1 B 2 ) B 1 B 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 B 1 B 2 B 1 B 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 B 1 B 2 B 1 B 2 (A 1 A 2 ) A 1 A 2 B 1 B 2 B 1 B 2 A 1 A 2 A 1 A 2 (B 1 B 2 ) B 1 B 2 A 1 A 2 A 1 A 2 A 2 A 1 (B 1 B 2 ) (B 1 B 2 ) (B 2 B 1 ) (A 1 A 2 ) A 1 A 2 A 2 A 1 B 1 B 2 (B 1 B 2 ) (B 2 B 1 ) γ γ(a) a już δ δ(a) a jest nową x A(x) A(a) występuje w x A(x) A(a) stałą x A(x) A(a) wierzchołku x A(x) A(a) 3.4. Dodatek 1. Metoda Tablic Semantycznych poszukuje modelu (modeli) formuły. Modele te można odczytać z liści otwartych. 2. Jeżeli dany liść pozwala na odczytanie modelu formuły, to można odczytać z tego liścia jeden model lub więcej modeli. Liczba modeli, które można odczytać z takiego liścia zależy od postaci zbioru literałów tworzących liść (zbiór literałów w liściu traktujemy jako koniunkcję tych literałów). Wystąpienie literału w liściu definiuje bowiem wartościowanie odpowiedniego atomu, tworzącego ten literał. 3. Przypominamy, że metoda tabel semantycznych nie daje odpowiedzi wprost na pytanie: czy formuła jest prawdziwa. Zatem drzewo, które posiada wyłącznie liście otwarte, nie jest dowodem na to, że formuła jest prawdziwa. 4. Można postawić pytanie czy metoda tabel semantycznych pokazuje wszystkie możliwe modele?

5 Logika obliczeniowa - zadania 4 PODSTAWIENIA 4. Podstawienia 4.1. Teoria 1. Podstawieniem termów za zmienne nazywamy Podstawienie puste to Instancję Eθ wyrażenia E otrzymujemy Złożenie podstawień θδ to Składanie podstawień jest... ale nie jest Najbardziej ogólne podstawienie uzgadniające to podstawienie uzgadniające, które Zadania 1. Zastosuj podstawienie θ = {x y, y a} do wyrażenia E = p(x) q(y). 2. Do wyrażenia E z powyższego zadania zastosuj kolejno podstawienia θ = {x f(y), y f(a), z u}, δ = {y g(a), u z, v f(f(a))}. 3. Sprawdź na przykładzie powyższego zadania równość E(θδ) = (Eθ)δ.

6 Logika obliczeniowa - zadania 5 UZGADNIANIE 5. Uzgadnianie 5.1. Teoria 1. Zbiór termów do uzgodnienia to zbiór równań na termach, który spełnia warunki Algorytm uzgadniania to cztery operacje... i definiuje Zadania 1. Uzgodnij A = p(g(y), f(x, h(x), y)) oraz B = p(x, f(g(z), w, z)) Przykład 1. Oblicz najbardziej ogólne podstawienie uzgadniające µ dla poniższej pary formuł: A = p(b, x, f(g(y))), B = p(z, h(z, v), f(v)). Niech λ = {z a, y a} Oblicz: Aµ, (Aµ)λ, µλ, B(µλ) i sprawdź, czy (Aµ)λ=B(µλ). b = z x = h(z, v) f(g(y)) = f(v) z = b x = h(b, v) g(y) = v z = b x = h(b, g(y)) v = g(y) µ={z b, x h(b, g(y)), v g(y)} Aµ = p(b, h(b, g(y)), f(g(y)) (Aµ)λ = p(b, h(b, g(a)), f(g(a))) µλ = {z b, x h(b, g(a)), v g(a), y a } B(µλ) = p(b, h(b, g(a)), f(g(a)) (Aµ)λ = B(µλ) 5.4. Dodatek 1. Można postawić pytanie, czy algorytm uzgadniania generuje dokładnie jedno najbardziej ogólne podstawienie uzgadniające. Sprawdź to rozwiązując zadanie 1.

7 Logika obliczeniowa - zadania 6 SKOLEMIZACJA 6. Skolemizacja 6.1. Teoria 1. Niech S bedzie spełnialnym zbiorem formuł rachunku predykatów. Formuła A jest logiczną konsekwencją zbioru S wtw gdy S { A} jest Formuła jest w koniunkcyjnej postaci normalnej gdy Formuła jest w przedrostkowej koniunkcyjnej postaci normalnej gdy Formuła zamknieta jest w postaci klauzulowej gdy Zadania 1. Dokonaj skolemizacji formuły F. F = x [q(x) p(x)] x p(x) 2. Dokonaj skolemizacji formuły F. F = x y p(x, y) y x p(x, y) 3. Czy można uzyskać postać klauzulową dla formuły zawierającej zmienne wolne? 6.3. Przykład 1. Poniższe pytania odnoszą się do formuły F zdefiniowanej poniżej: F = x [[p(x, f(x)) x y q(x, y)] y p(g(x, a), f(y))] Dokonaj skolemizacji formuły F. Przy każdym kroku podaj nazwę wykonywanej operacji. Zapisz uzyskaną formułę jako zbiór klauzul. a) Usunięcie binarnych operatorów innych niż oraz x [ [p(x, f(x)) x y q(x, y)] y p(g(x, a), f(y))] b) Przesunięcie negacji x [[ p(x, f(x)) x y q(x, y)] y p(g(x, a), f(y))] c) Przemianowanie zmiennych x [[ p(x, f(x)) z y q(z, y)] u p(g(x, a), f(u))] d) Wydobycie kwantyfikatorów x z y u[[ p(x, f(x)) q(z, y)] p(g(x, a), f(u))] e) Koniunkcyjna postać normalna matrycy x z y u[[ p(x, f(x)) p(g(x, a), f(u))] [ q(z, y) p(g(x, a), f(u))]] f) Funkcje Skolema z h(x) x y u[[ p(x, f(x)) p(g(x, a), f(u))] [ q(h(x), y) p(g(x, a), f(u))]] g) Zbiór klauzul {{ p(x, f(x)), p(g(x, a), f(u))}, { q(h(x), y), p(g(x, a), f(u))}}

8 Logika obliczeniowa - zadania 6 SKOLEMIZACJA 6.4. Dodatek 1. Skolemizacja przekształca formułę do postaci klauzulowej. Postać normalna dopuszcza bowiem kwantyfikatory egzystencjalne. Jednakże my jesteśmy zainteresowani wyłącznie kwantyfikatorami uniwersalnymi, stąd ostatni krok skolemizacji, przekształcający postać normalną do klauzulowej. Postać klauzulową można zapisać w postaci zbioru klauzul. 2. Skolemizacja, do przedostatniego kroku zachowuje logiczną równoważność. Zastosowanie funkcji Skolema nie zachowuje już logicznej równoważności, lecz spełnialność. W większości przypadków badamy jednak spełnialność formuł, stąd Skolemizacja jest użyteczna. 3. Tw. Formuła uzyskana na drodze Skolemizacji jest niespełniana wtw, gdy wyjściowa formuła jest niespełnialna 4. Zauważ, że wydobycie kwantyfikatorów pozwala na pewną dowolność uzyskania prefiksu i w konsekwencji budowanych funkcji Skolema.

9 Logika obliczeniowa - zadania 7 REZOLUCJA 7. Rezolucja 7.1. Teoria 1. Klauzulę pustą oznaczamy... i jest ona Pusty zbiór klauzul oznaczamy... i jest on Term oraz atom jest ustalony gdy Klazule C 1 i C 2 nazywamy kolidującymi gdy Rezolwentą klazul kolidujących C 1 i C 2 nazywamy Tw. Rezolwenta klauzul C 1 i C 2 jest spełnialna wtw. gdy Ogólna metoda rezolucji zatrzymuje się w przypadku gdy... lub gdy Zadania 1. Uzgodnij i zastosuj rezolucję dla klauzul: C 1 = p(f(x), g(y)) q(x, y) C 2 = p(f(f(a)), g(z) q(f(a), g(z)) 7.3. Przykład 1. Sprawdź za pomocą metody rezolucji, czy klauzula q(z) jest logiczną konsekwencją następującego zbioru klauzul: C 1 : t(x 2 ) p(x 2 ) C 2 : s(x 3 ) q(x 3 ) C 3 : p(x 4 ) s(x 4 ) C 4 : t(a) Przy obliczeniach zastosuj notację: C x = Rez(C y,c z ) = tu wpisz rezolwentę; σ i = {tu wpisz podstawienie uzgadniające} Jeżeli q(z) JEST logiczną konsekwencją podanego zbioru klauzul to podaj, dla jakiej wartości zmiennej z ma to miejsce podaj najbardziej ogólne podstawienie uzgadniające (ang. the most general inifier MGU) wygenerowane w trakcie stosowania metody rezolucji; jeżeli q(z) NIE JEST logiczną konsekwencją podanego zbioru klauzul to czy jest logiczną konsekwencją pustego zbioru klauzul? a) Dodajemy klauzulę C 5 = q(z) C 6 = Rez(C 1,C 4 ) = p(a); σ 1 = {x 2 a} C 7 = Rez(C 6,C 3 ) = s(a); σ 2 = {x 4 a} C 8 = Rez(C 7,C 2 ) = q(a); σ 3 = {x 3 a} C 9 = Rez(C 8,C 5 ) = ; σ 4 = {z a} b) q(z) jest logiczną konsekwencją podanego zbioru klazul. Wyznaczamy MGU: σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 = {x 2 a, x 4 a, x 3 a, z a}

10 Logika obliczeniowa - zadania 8 DIAGRAMY BINARNYCH DECYZJI 8. Diagramy Binarnych Decyzji 8.1. Przykład 1. Niech A = (p q) r. Sprawdź czy formuła pa jest spełnialna. Rozwiązanie: 1) zbudować DBD dla rozważanej formuły A, 2) w oparciu o ten diagram zbudować DWA diagramy (dla formuły A p = 0 i A p = 1), 3) zastosować algorytm łączenia drzew. Jeżeli kwantyfikator jest typu łączymy te dwa diagramy operatorem, jeżeli zaś kwantyfikator jest typu łączymy te dwa diagramy operatorem. ODP.: Ponieważ w wynikowym diagramie znajduje się węzeł o wartości 1 zatem formuła pa jest spełnialna (formuła A jest spełniona dla pewnej wartości atomu p).

11 Logika obliczeniowa - zadania 8 DIAGRAMY BINARNYCH DECYZJI 2. Niech A = (q p) r. Sprawdź czy formuła pa jest spełnialna. ODP.: Ponieważ w wynikowym diagramie znajduje się węzeł o wartości 1 zatem formuła formuła pa jest spełnialna (formuła A jest spełniona dla każdej wartości atomu p) Dodatek 1. DBD, w odróżnieniu od większości metod, pozwalają na badanie wprost nie tylko spełnialności ale także prawdziwości. Formuła prawdziwa ma w każdej interpretacji wartość reprezentowaną przez symbol 1, co jest widoczne w zredukowanym diagramie binarnych decyzji. 2. Istnieje twierdzenie mówiące, że zredukowane diagramy UDBD dla formuł logicznie równoważnych są strukturalnie identyczne dla poszczególnych uporządkowań atomów. Podkreślmy: dla poszczególnych uporządkowań atomów. 3. Kwantyfikacja jest pytaniem o spełnialność formuły dla pewnej lub wszystkich wartości kwantyfikowanego atomu. Istnieje możliwość zastosowania kilku kwantyfikatorów do formuły, ale oznacza to, że należy zachować odpowiedni porządek analizowania tych kwantyfikatorów. Wprawdzie w materiałach nie ma o tym wprost mowy, ale żeby dokonać analizy dowolnego kwantyfikatora, należy najpierw poddać analizie kwantyfikatory umieszczone na prawo (najbardziej zagnieżdżone).